主理想的定义(精)

i 1
n
(2) 如果 R 是有单位元的环 ,则 n a { xi ayi | xi , yi R, n N };
i 1
(3) 如果 R 是交换环, 则
a {xa ma | x R, m Z}; (4) 如果 R 是有单位元的交换环, 则 a aR {ar | r R}.
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三、主理想的定义及表示
设 a R , 考察 R 中含有元素 a 的全部理想的集 合
{I R | a I }.
因为 a R , 且 R R , 所以 R , 从而 非空. 令 a I .
I
则由定理3.3.2知, a 为R 的一个理想. 这个理想称 为 R 的由 a 生成的主理想 (principal ideal). 因a I ( I ) 所以 a a ,从而 a . 我们看到:
§3.3 理想与商环
一、理想的定义 三、主理想 主理想的定义 定理3.3.3 ---主理想的表示
定义3.3.1 ---理想
例1
例2
二、理想的运算 定义3.3.2 ---和与交 定理3.3.1 ---和与交仍为理想 定理3.3.2 ---多个理想的和与交 1
推论1
推论2 三、商环
例3
例4
商环的定义 定理3.3.4 ---商环的性质
I R , 则称 I 为R 的真理想 (proper ideal).
由定义可知, 如果 I 为 R 的理想,则 I 必为R的子环.
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例1 {0} 与R 本身显然都是 R的理想. 这两个理想称 为 R 的平凡理想(trivial ideal). 例2 试求Z的所有理想.
解 设 I 为 Z的任一理想, 则 I 为 Z 的子环. 从而存 在 d Z, d 0 ,使 I dZ(见§3.1例10). 反之, 设I 为 Z 的任一子环, 那么存在d Z , 使
d 0; Z 的全部理想为dZ 其中d Z，
用类似方法还可证明, 对任意m Z(m > 0),Z m 的所有理想为dZ m , 其中d 0, 或d | m,1 d m.
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二、理想的运算
定义3.3.2 设R 为环, I , J 都是R 的理想, 集合
I J {a b | a J , b J }与I J
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同理 于是
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a b, ax, xa J .
a b, ax, xa I J .
所以 I J为 R 的理想.
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定理3.3.2 (1) 环R 的任意有限多个理想的和还 是理想;(2) 环 R 的任意 (有限或无限)多个理想的交还 是 R 的理想. (提示：如上同样的证明方法，只要把所有的 写出来即可.)
r s (a1 a2 ) (b1 b2 ) (a1 b1 ) (a2 b2 ) I J ; xr x(a1 a2 ) xa1 xa2 I J ; rx (a1 a2 ) x a1 x a2 x I J .
所以 I J 为 R 的理想． (2) 对任意的 a, b I J , x R. 因 a, b I , 则有 a b, ax, xa I .
分别称为理想I 与 J 的和与交. 定理3.3.1 设R为环, I , J 都是R 的理想. 则 I 与 J 的和与交都是R的理想．
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证 （1）设 r , s I J , x R . 则有
a1 , b1 I , a2 , b2 J,使 r a1 a2 , s b1 b2 .从而
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一方面, a 是包含 a 的理想; 另一方面, a 是所有包含
a 的理想的交. 所以 a 是 R 中包含 a 的最小理想.
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定理3.3.3 设 R 为环, a R 则 (1)
a { xi ayi xa ay ma | xi , yi , x, y R, n N , m Z}
a { xi ayi | xi , yi R, n N };
(3) 如果 R 是交换环 , 则 xay xya, ay ya. 从而 n xi ayi xa ay ma
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证（1） 设
I { xi ayi xa ay ma | xi , yi , x, y R, n N , m Z}.
易知 I 为 R 的理想. 因为a 1 a I (1 Z) 所以 I 为 包含 a 的理想, 从而 a I . 又因为 a 是由 a 生成的理想, 所以 a 必包含所 有的形如
xay, xa, ay与ma ( x, y R, m Z)
i 1
n
的元素及这些元素的和, 因此 a I . 于是 a I .
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(2) 如果R有单位元 e , 则
ma (me)ae(m Z), xa xae, ay eay
都是形如 xay的元素. 所以
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例5 例6
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一、理想的定义
I为R 的非空子集,如果I 满足 定义3.3.1 设R为环,
(I1) 对任意的 r1 , r2 I , r1 r2 I ； (I2) 对任意的 r I , s R, rs, sr I . 则称 I 为环 R 的一个理想 ( ideal), 记作 I R . 又如果
I dZ 则对任意的 r dx, s dy I , z Z, r s dx dy d ( x y ) I ; rz zr (dx) z d ( xz ) I .
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所以 dZ 为 Z 的理想. 由此知,I 为Z 的理想当且仅当I 为 Z 的子环. 因此