主理想的定义(精)
主理想整环与欧几里得整环讲解
d ak . 另一方面,
ak I d
, 所以
d ak d .
从而
d ak .
由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 k项.
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定理4.4.3 设 D为主理想整环, a是 D 的一个非 零非单位的元素. 则下列条件等价: (1)a是素元; (2)a是不可约元; (3) a 是极大理想; (4) a 是素理想. 证 (1) (2) 见定理 4.3.3。 (2)(3) 因为 a不是单位, 所以 a 为 D 的真理想.
a 极大.
(3)(4) 见第三章定理3.4.3. (4)(1) 设 a | bc , 则 bc a , 因 a 为素理想,故 必有 b a 或 c a , 即有a | b或 a | c . 所以 a为素元
10
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定理4.4.1的证明: 由定理4.4.2, 主理想整环的每一个真因子链都 有限. 又由定理4.4.3, 主理想整环的每一个不可约元 都是素元. 从而由定理4.3.7知, 主理想整环是惟一分 解整环.
则因为 g ( x) 0 , 所以 {0} .
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如果 0 , 则有 h( x) F [ x] , 使
0 f ( x) g ( x)h( x).
取 r ( x) 0, q( x) h( x) , 则有
f ( x) g ( x)q( x).
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二、欧几里德整环的定义及性质
我们知道, 在惟一分解整环中, 任意两个元素 a, b 都有最大公因子. 为了应用标准分解式求得它们的最 大公因子, 我们必须首先将这两个元素因式分解. 但 即使在整数环中, 因式分解也不是一件轻而易举的事 情. 所以希望通过因式分解来了解它们的最大公因子 是不现实的. 但在主理想整环中, 我们却可以象在整 数环中那样, 把 a, b的最大公因子表示为它们的一个线
近世代数复习
近世代数复习(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和 ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
理想主义是什么意思
理想主义是什么意思理想主义是什么意思 1比如说: 一个美女坐在独木舟上，如恭不小心船沉了，你在岸边正好看到，你又不会游泳，这个时候。
如果你在岸边大喊叫人救命，你是现实主义如果你什么都不管，就往下跳，想着自己淹不死，还能顺利救她，你就是理想主义理想主义是什么意思 2什么是理想主义? 理想主义又称法理主义或规范主义,产生于第一次大战以后,是对格劳秀斯和康德等西欧的理想主义外事哲学的直接继承和发展。
在现代的英文中,理想主义与唯心主义是同一个词汇,都是ideali *** ，这个词属于哲学范畴。
其意思是，对人而言，思想精神是第一位的，是至高无上的，与现实主义的哲学概念相对应。
概括起来，理想主义有三个特征：一是，理想是不现实的；二是，理想是完美善良的，崇尚大公无私；三是，其理想是尽毕生精力与努力也难以实现的。
什么是理想主义者？无论从哪个角度来看，现代理想主义者都应该是一个上位概念，经常谈论仅凭发挥想像出来的事物，有着一种追求事物完美善良的设想与愿望；思维具有归纳性，而且敏感，重视自身感觉，自尊心强烈；与他人交往充满善意且易动情，相信直觉，追求浪漫，看重荣誉感。
理想主义者由于自身的特征，而必然成为社会的不稳定因素，激烈的理想主义者，如果不坚强，最容易蜕变成彻底的虚无主义者，也就是犬儒主义者。
他们可以参入改造社会的活动，但社会现实中存在着许多困难，却不愿意直面现实来理性辨析与脚踏实地的解决问题；他们可以进行创新，但新的事物总需要有人去实践才能起作用，却没有这种实践的毅力与恒心，幻想一挥而就；他们可以充满善意的与周围的人交往，并热心于道德，喜于裁判正误与对错，可是过多的干预他人的各项事务却会引起不满与生厌，而且过多复杂的人际关系使之精神负载过重后走向反面。
当然，理想主义者具有大公无私的特征，是为了社会的共同利益去设想与思考，只要能够妥善地引导其脚踏实地去直面现实，勇于实践，不怕困难地努力工作，还是会成为大有作为的人。
理想主义与现实
理想主义与现实——在北大国际关系学院文化节闭幕式上的演讲标签：潘维● 潘维（进入专栏）很高兴能为我们学院的―文化节‖做点贡献。
因为讲授社会科学，难得与本科生交流―文化‖。
社会科学讨论不以个人意志为转移的因果关系，也就是―规律‖；文化则属于道德情操之列。
如果不是―文化节‖，就很难有机会与大家交流为人做事的心得。
今天我想议论三件事。
第一，什么是理想主义？第二，为什么大学培养理想主义？第三，为什么有理想主义的社会是有亲和力的社会，比较令人羡慕？一．什么是理想主义？在英文里，理想主义与唯心主义是一个词，都是idealism。
这个词属于哲学范畴，意思是说，对人而言，思想精神是第一位的，是至高无上的。
我在这里讨论的理想主义，虽然与哲学意义上的唯心主义不完全是一回事，但有密切关联。
这里首先谈理想主义的定义，或者说关于理想的三个特征。
第一，理想不是现实。
理想主义的词根是idea，是观念。
ism是至上的意思，就成了―主义‖。
如果去掉表示―至上‖的后缀词尾–ism，就是idea，就是观念。
观念不是现实，理想不是现实，这是关于理想的第一个特征。
第二，理想意味着善良完美的观念，是大公无私的集体主义精神。
因为是perfect idea，所以是ideal。
如果不是完美善良的观念，而是一般的idea，就很难―至上‖，很难成为―主义‖。
所以，idealism是ideal 加上后缀-ism，不是普通的idea加-ism。
公元前5世纪的柏拉图是古希腊世界里最著名的唯心主义者，他的著作集中讨论―善‖，即―good‖。
从11世纪到18世纪，欧洲流行主观唯心主义。
主观唯心主义的核心内容是绝对精神，是absolute。
Absolute的含义与柏拉图的good几乎是一样的，即完美的善良，绝对的善，也就是孔子讲的―至善‖。
在那个时代，唯心主义者是这样证明上帝存在的：因为上帝完美无私，所以上帝存在。
如果上帝不存在，怎么会有完美无私这种观念呢？在那个时代，善良完美为―真‖，代表―真理‖，就是perfect。
第5章 主理想整环与欧氏环(2015)
作业
第三版 5-4第201页 1，2
5.3-5.4
、理想的定义 、理想的构造 一、主理想整环 二、 欧氏环
一、主理想整环
——（第五章第三节）
定义 设K是一个有单位元的整环，如果K的每个 理想都是Байду номын сангаас理想，则称K是一个主理想整环.
例 (1) 整数环是主理想整环. (2) 域F上的多项式环F[x]是主理想整环. (P166 习题3(1)） (3) 整数环Z上的多项式环Z[x]不是主理想整环. (因为 <2,x>不是主理想 ) 故Zn不是主理想整环. （4）当n为合数时，环Zn有零因子， 定理 Gauss整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}是主理想整环.
二、 欧氏环
——（第五章第四节）
定义 设K是一个有单位元的整环.如果 （1）有一个从K-{0}到非负整数集的映射 存在, 使 （2）对于K中任意元素a及b≠0, 存在元素q, r∈K，
a bq r , r 0, 或 ( r ) (b), 则称K关于 作成一个欧氏环.
例 整数环Z是一个欧氏环. 例 域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 定理 欧氏环必是主理想整环.
近世代数课件 第11节 子环与理想
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近世 代数
理想子环的实例
前面的例1已经证明：对任意给定的自然数n, nZ={nz|z∈Z}
是整数环Z的子环。 于是有： 2Z ={2z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环. 3Z ={3z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
…… nZ={nz|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
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近世 代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真 理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理 想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
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近世 代数
子环的判定
定理1 (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a–b∈S； (2) a, b∈S, ab∈S.
定理1’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a+b∈S； (2) a∈S, -a∈S; (3) a, b∈S, ab∈S.
的特征数，简称为特征，记为ChR.
定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素
数.
推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是
一个素数.
问题：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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近世 代数
第11节 子环与理想
主要内容:
子环 理想(子环) 环的同态基本定理 极大理想
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近世 代数
定理1’’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。
近世代数简介ppt
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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第四讲：主理想整环上的模及其分解
數學傳播32卷1期,pp.25-47線性代數五講一一第四講主理想整環上的模及其分解龔昇·張德健4.1.環上的模的基本概念A.在第二講及第三講中,我們討論了向量空間及其上線性變換,在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之,這是本書的主要部份,在這一講中,將介紹模的定義和基本性質,尤其是在主理想整環上的模及其分解。
若V體F上的一個向量空間,T∈L(V)。
對F[x]中任一多項式p(x),對任意 v∈V,可定義p(x) v=p(T)( v),這就是我們要討論作用在V上的線性算子。
顯然對任意r(x),s(x)∈F[x], u, v∈V有r(x)( u+ v)=r(x) u+r(x) v,(r(x)+s(x)) u=r(x) u+s(x) u,(r(x)s(x)) u=r(x)(s(x) u),1 u= u,等等。
但是F[x]不是體而是環,所以F[x]中元素對V作純量乘積,V不能成為一個向量空間。
於是引入了比向量空間更為一般的概念:模。
定義4.1.1:若R是有單位元的交換環,其元素稱為純量(scalar)。
一個R−模(R−module),或R上的一個模(a module over R)是一個非空集合M,有運算加法,記作+,對( u, v)∈M×M,有 u+ v∈M;另一個是R與M的運算是純量乘積,用毗連來表示,對(r, v)∈R×M,有r v∈M,而且有1.M對加法而言是Abel群;2.對所有r,s∈R, u, v∈M有2526數學傳播32卷1期民97年3月a.(分配律):r( u+ v)=r u+r v,(r+s) u=r u+s v;b.(結合律):(r s) u=r(s u),c.1 u= u.顯然當R為體,則模為向量空間,即體上的模就是向量空間。
當R=Z(整數環),則Z−模就是Abel群,故模也是Abel群的概念之擴充。
特別重要的是在第一講開始就說到的R=F[x],若F是體,則由定理1.2.1,F[x]是主理想整環,於是可以定義F[x]−模,這是我們今後要主要討論的對象。
信息安全数学基础
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韩琦
计算机科学与技术学院
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近世代数
群
举例
例 (希尔密码) 在希尔密码(Hill Cipher)中加密变换为 (������1 ������2 · · · ������������ ) = (������1 ������2 · · · ������������ )������ ������������������ 26 这里密钥������ ∈ ������������������ (������26 ), ������������ , ������������ ∈ ������26 , ������26 = {0, 1, · · · , 25}，������������ 为明 文，������������ 为密文，式1.1右边的行向量(������1 , ������2 , · · · , ������������ )与矩阵������ 乘是先进行 通常的实数行向量与实数矩阵乘再对所得行向量的每一分量取模26。 加密过程 字母������������ · · · ������分别对应0, 1, · · · , 25，加密前先将明文字母串变换为������26 上 的数字串，然后再按上述表达式每次������个数字的将明文数字串变换为密 文数字串，最后将密文数字串变换为密文字母串。
1
当生成元������是无限阶元素时，则������称为无限阶循环群。 如果������的阶为������，即������������ = 1，那么这 时������ =< ������ >=< 1, ������, ������2 , · · · , ������������−1 >，则������称为由������所生成的������阶循 环群，注意此时1, ������, ������2 , · · · , ������������−1 两两不同。
追求远大理想坚定崇高信念.pptx
－－罗青长
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长征的胜利是理想信念的胜利
长征精神的科学内涵是：把全国人 民和中华民族的利益看得高于一切，坚 定革命的理想和信念，坚信正义事业必 然胜利的精神；是为了救国救民，不怕 任何艰难险阻，不惜作出一切牺牲的精 神；是坚持独立自主、实事求是，一切 从实际出发的精神；是顾全大局、严守 纪律、紧密团结和精神；是紧紧依靠人 民群众，同人民群众生死相依、患难与 共，艰苦奋斗的精神。
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二、理想的本质
理想是人类特有的精神现象。 理想是一个人的世界观。 陶铸说：“理想问题实质上是一个人的世
界观问题。一个人活在世界上，应该具有 什么样的奋斗目标呢？什么样的社会才是 最理想的社会呢？这是和一个人的世界观 密切联系着的。”
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理想是流露真心的美丽梦境。
埃德加·斯诺在《西行漫记》中指出：“这是一次
丰富多彩、可歌可泣的远征”，“这些千千万万青年
人的经久不衰的热情，始终如一的希望、令人惊诧的
革命乐观情绪，像一把烈焰，贯穿着这一切，他们不
论在人力面前，或者在大自然面前，上帝面前，死亡
面前都绝不承认失败----所有这一切以及还有更多的东
西，都体现在现代史上无与伦比的一次远征的历史中
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另一种是完全脱离现实的发展规律，并且 毫无实现的可能，这种幻想就是空想。空 想也是人们对未来的一种想象，也反映了 人们一定的追求和目标，但它是缺乏客观 根据的，是脱离实际的一种主观臆想，它 违背事物发展的客观规律，因而是永远不 可能实现的。如永动机。
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第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
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第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
§4.3.主理想环
特殊的唯一分解环：第一种是主理想环.
定义1 一个整环I 叫做一个主理想环, 假如 I的每一个理想都是主理想.
一个主理想环一定是一个唯一分解环.
例1环R的理想升链 : I1 I 2 I n I n 1 的并 I I i 是理想.
i 1 n
例2在整环中 (1) ( a ) (b) b a (2)( a ) (b) a, b是相伴元
(i ) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有 一个分解a p1 p2 pr
pi是I的素整除ab, 那么p能整除a或b.
§ 4.3 主理想环
§ 4.3 主理想环
令A 为这些理想的并集,则A 是I的一个理想,
由于I 是主理想环, 所以A 是一个主理想:A = (d).
由于d A , 所以d也属于某一个 an .可以证明, 这个an一定是要求的元.
§ 4.3 主理想环
否则,若an 存在真因子an +1 ,由于d an , an 1 d =A , 因此an | d , d | an 1 ,于是an | an 1
又 an1 | an ,可得an1和 an是相伴元,与an1是an的 真因子矛盾.
综上，这个序列一定是一个有限序列.
§ 4.3 主理想环
引理2 假定I 是一个主理想环,那么I的一个素元p 生成一个最大理想.
§ 4.3 主理想环
定理 一个主理想环I 是一个唯一分解环.
证明 利用P131定理2的性质来证明.
§ 4.3 主理想环
引理1 假定I 是一个主理想环.若在序列 a1 , a2 , a3 ,
ai I
里每一个元都是前面一个的真因子,那么 这个序列一定是一个有限序列.
马克思主义理想观
《资本论》
总结词
《资本论》是马克思主义的经典之作，它系统地揭示了资本主义经济体系的内在矛盾和未来走向，为 分析资本主义的发展规律提供了科学的理论依据。
详细描述
《资本论》通过对剩余价值、资本积累、阶级斗争等问题的分析，揭示了资本主义制度的本质、矛盾 和危机，指出了资本主义必然被社会主义所取代的历史命运。
夺取政权
无产阶级需要通过革命手段夺取政权，建立社会主义国家，为社 会主义建设打下基础。
社会主义建设
在社会主义国家，需要建立公有制经济、计划经济和按劳分配等 制度，为实现共产主义打下基础。
共产主义社会实现的理想
01
共产主义制度
02
人的自由全面发展
马克思主义认为共产主义是一种社会 制度，在这种制度下，生产资料公有 制、计划经济、按需分配等原则得到 实现，人们的生活水平得到极大提高 。
实践性
马克思主义理想观具有强烈的实践 性，它不仅对于实践具有重要的指 导作用，而且本身也是实践的产物 。
马克思主义理想观的历史背景与现实意义
历史背景
马克思主义理想观是在19世纪欧洲工人运动和社会主义运动 的背景下产生的，它对于当时的政治和社会问题提出了积极 的解决方案。
现实意义
马克思主义理想观对于当今社会的政治、经济、文化等方面 仍然具有重要的指导意义，它为我们认识世界、改造世界提 供了重要的思想武器。
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实事求是
中国特色社会主义道路探索过程中，坚持实事求是，根据中国国 情和人民需要，制定符合实际的政策。
全面发展
中国特色社会主义道路不仅注重经济发展，还重视政治、文化、社 会、生态文明等多方面的发展，实现了全面发展。
中国梦：马克思主义理想观的中国化表达
有理整数环
第二学期第十四次课第八章 有理整数环§1 有理整数环的基本概念8.1.1 有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：1） 加法满足结合律；2） 加法满足加换律；3） 有一个数0，是对任意整数a ，0a a +=；4） 对任意整数a ，存在整数b ，使0b a +=；5） 乘法满足结合律；6） 有一个数1，是对任意整数a ，1a a ∙=7） 加法与乘法满足分配律：()a b c ab ac +=+；8） 乘法满足加换律；9） 无零因子：如果0,0a b ≠≠，则0ab ≠。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用Z 代表它。
“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。
现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设R 是一个非空集合。
如果在R 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对R 中任意两元素,a b ，都按某法则f 对应于R 内的一个唯一确定的元素，记作a b +，且满足如下运算法则：（i ） 结合律：()()a b c a b c ++=++；（ii ） R 中有一元素0，是对一切0a R a a ∈+=有；（iii ） 对R 中任一元素a ，有0b R a b ∈+=使；（iv ） 交换律：a b b a +=+。
又设R 内另有一种运算称作乘法，即对R 中任意两个元素,a b ，都按某个法则g 对应于R 内一个唯一确定的元素，记作ab ，且满足如下运算法则：（v ） 结合律：()()a bc ab c =；（vi ） 加法与乘法有两方面的分配律：(),(),a b c ab ac b c a ba ca +=++=+ 则R 成为一个环。
如果一个环R 的乘法也满足交换律，则R 称为交换环；如果环R 内存在一个元素e ，使()ae a ea a R ==∀∈，则e 称为R 的单位元素，R 称为有幺元的环；如果环R 内存在两个非零元,a b ，使0ab =，则a （b ）称为左（右）零因子，这时R 称为有零因子环；如果环R 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称R 为一个整环； 如果R 是一个整环，且对R 内任一非零元素都有逆元，则R 称为一个域。
主理想整环上有限生成模的结构
主理想整环上有限生成模的结构好啦，咱们今天就来聊聊主理想整环上有限生成模的结构。
别担心，虽然这个话题一听上去让人觉得有点高深莫测，但其实从简单的角度来看，没那么复杂。
就像解一道数学题，得耐心一点，慢慢捋顺了就明了。
好了，咱们慢慢说。
啥是主理想整环？你别看这名字长得吓人，简单来说，它就是一个特别“规矩”的环。
咋个规矩呢？就是说它所有的理想（简单理解为一个集合，能在环里做加法和乘法）都可以用某个元素生成。
打个比方，你在数学这条大路上走，发现每一个岔路口都可以由一个“原始的、单一的”点引出来。
这个点就是主理想整环里的“主”，啥理想都能从它出发。
这种结构非常特别，因为它限制了环的生成方式，避免了随便乱来。
就好像你去超市买菜，发现所有蔬菜最后都能用一个基础菜品做成，比如说，你买的每一样蔬菜最后都能变成一盘炒菜，简单不？再说有限生成模。
你是不是觉得，“这又是啥？”模就是环的一种扩展，就像是环的“兄弟”一样。
说它有限生成是因为，它不需要无限多个元素才能表达清楚，最多也就需要有限几个。
你可以把它想象成一套工具，虽然工具箱里只有有限的几个工具，但你啥活儿都能做。
有限生成模就像是一套“精简版”的工具包，虽然小巧，但够用。
现在问题来了，既然有了这么几个基础概念，我们怎么把它们联系起来呢？简单！当我们把这些元素放到主理想整环里，结果就会非常有意思。
因为主理想整环本身的“简洁”特性，使得有限生成模的结构相对也会比较简单。
你可以想象它就像一个刚刚组装好的拼图，虽然各个部分很简洁，但放在一起后，形成的整体结构却非常和谐。
换句话说，当你在这类环上研究有限生成模时，你可以很容易地看到这些模的一些特别的性质：它们的结构简单、清晰，甚至还能根据具体的生成元来分析它们的形态。
就好像你已经知道了拼图的形状，剩下的就是找出正确的拼合方式，立马就能得到最终的结果。
好啦，问题又来了：那这些模到底长什么样？它们有啥共同点？主理想整环上的有限生成模，其实很像一群有规律的“小伙伴”。
2009抽象代数
2009抽象代数湖北省⾼等教育⾃学考试⼤纲课程名称：抽象代数课程代码：2009第⼀部分课程性质与⽬标⼀、课程性质与特点《抽象代数》是湖北省⾼等教育⾃学考试数学教育专业本科的⼀门重要的专业基础课。
作为代数学的⼀门重要的⼊门课程，具有⾼度的抽象性，它的研究对象是各种代数结构以及它们之间的内在联系，它的思想和⽅法已渗透到数学的⼏乎所有的分⽀。
《抽象代数》的许多内容对于中学数学教学也具有重要的指导意义，作为数学教育专业的学⽣，学习抽象代数的基础知识，掌握其基本理论和基本思想⽅法是⼗分必要的，对于学⽣加深理解数学的基本思想和⽅法, 提⾼抽象思维能⼒, 培养数学修养都具有重要意义。
不仅如此，它的理论也已应⽤到⾃然科学技术的许多⽅⾯，已成为物理、通信、系统⼯程、计算机科学等领域的研究⼈员的基本⼯具。
抽象代数是数学教育专业的必修课程，根据⾼等教育⾃学考试课程设置的相关规定，该课程代码为2009，总教学时数为80学时，6学分，所需预修课程是《⾼等代数》或《⾼等代数与解析⼏何》。
《抽象代数》的主要内容包括群、环、域的基本概念和基本性质。
⼆、课程⽬标与基本要求通过本课程的学习使学⽣了解抽象代数的基本概念，常⽤术语，掌握抽象代数的基本思想和推理⽅法，培养学⽣的抽象思维能⼒、逻辑推理能⼒、运算能⼒、综合应⽤知识解决有关实际问题的能⼒和⾃学能⼒，为后续课程的学习提供条件，为学⽣今后从事数学教学和数学研究⼯作奠定扎实的理论基础。
⾃学应考者在理解抽象的代数结构时，应从熟悉的常见例⼦出发来理解抽象的代数结构(如从整数集合、剩余类集合、⼀个⾮空集合上的所有可逆变换来引出群的概念；从整数集合、剩余类集合、域上的多项式集合、域上的⽅阵集合等来引出环、域的概念等)。
⼤纲中少量加*号的内容⾃学应考者可根据实际情况决定是否⾃学。
⾃学应考者可以阅读⼀些关于抽象代数应⽤的例⼦和有关抽象代数发展历史的资料，激发学习兴趣，培养和提⾼⾃学能⼒。
坚持做好课后练习，在整个⾃学过程中，都要按计划选作⼀定数量的课后练习，并要求在复习基本知识的基础上完成。
基及其初步应用(精)
Groebner基及其初步应用引言Groebner基理论的形成,可以说是经历了几十年的时间,最早可以追溯到1927年F·S.的工作.他首先将全序的概念引入到多变元多项式环中单项式全体组成的集合中.经历了将近40年,H.Hironaka于1964年在研究奇性分解时,引进了多变元多项式的除法算法.在1965年,B.Buchberger使用除法算法系统地研究了域上多变元多项式环的理想生成元问题.他的基本思想是在单项式的集合中引入保持单项式的乘法运算的全序,称为项序,以保证多项式相除后所得多项式唯一,他引入了S-多项式,使得对多项式环中的任一给定的理想,从它的一组生成元出发,可计算得到一组特殊的生成元,即现在通常称之的Groebner基. Groebner基的概念是B.Buchberger于1965年在其博士论文中提出来的,为纪念其导师W.Groebner而将这种基称之为Groebner基.利用Groebner基,许多关于理想的问题都得到了解决.因此它一出现,受到许多领域的研究人员的重视,理论方面和应用方面都得到了迅速发展.本文主要介绍有关Groebner基的一些基本内容.一Groebner基简介（一） 预备知识设),,,(21n x x x T 表示域K 上的多项式环[]n x x x K ,,,21 中的全体项组成的集合.“≤”表示某一线序.（线序的定义见[1]）定义1 在),,,(21n x x x T 中，如果线序≤满足：（1）),,,(21n x x x T t ∈∀,1≤t;（2）对每个∈21,,t t s ),,,(21n x x x T ,s t s t t t ⋅≤⋅⇒≤2121. 则线序≤叫做),,,(21n x x x T 上的单项式序.注 []n x x x K ,,,21 中单项式记为,αX βX (α,β是n 元数组). 我们约定变元i x 上的序关系为n x x x >>> 21.下面给出几种常用单项式序的例子：例1字典序，简记为：lex.定义如下：在中),,,(21n x x x T ，),,(111111n n b n b lex a n a b a b a x x x x n n --⇔> 从左向右第一个非零分量为正数.例如 按照字典序有：432312322313523221,x x x x x x x x x x lex lex >> 例2 分次字典序，简记为：grlex.定义如下：在),,,(21n x x x T 中，∑∑==>⇔>ni i n i i b n b grlex a n a b a x x x x n n 111111 或者∑∑===n i i n i ib a 11而),,(11n n b a b a -- 从左向右第一个非零分量为正数.例如 按照分次字典序有：324134231x x x x x x grlex >，43221332221x x x x x x grlex > 例3 分次逆字典序，简记为：grevlex.定义如下：在),,,(21n x x x T 中，∑∑==>⇔>ni i n i i b n b grevlex a n a b a x x x x n n 111111 或者∑∑===n i i n i ib a 11而)11,,(n n b a b a -- 中从右向左第一个非零分量为负数.例如 按照分次逆字典序有：33261433251x x x x x x grevlex >， 532231335221x x x x x x grevlex >几个符号说明：设[]n In x x K x a x x f ,),,(11∈=∑∈ααα，其中，I 是有限集；{}I x a f M ∈=ααα)(表示),(1n x x f 中出现的所有的单项式的集合；{}I x f T ∈=αα)(表示f 中出现的所有项的集合；)(f HT 表示)),((≤f T 中的最大项，称f 的首项；)(f HM 表示)),((≤f M 中的最大项，称f 的首单项式；()()HC f HM f 表示中的系数，称首系数.定义2 设[]n x x K I ,,1 ⊆是一个非空子集，如果：（1）,,f g I f g I ∀∈+∈有;（2）[]n x x K p I f ,,,1 ∈∈∀ ，有I pf ∈.则称I 为一个多项式理想.若有有限个多项式s f f ,,1 ，作[]{}n i s s s x x K p f p f p f f ,,,1111 ∈++=，易证，s f f ,,1 是一多项式理想，称为由s f f ,1生成的理想.定义3 在多项式环[]n x x x K ,,,21 中,如果I 是由一组单项式生成的理想,则称A X I ∈=αα(n N A ⊆)是单项式理想.定义4 设[]n x x K I ,,1 ⊆是一个非零理想，≤是一给定的单项式序，由()HT I 生成的理想()HT I 称为I 的首项理想.（其中，{}()()HT I HT f f I =∈）(二) Groebner 基的定义定义5 对于给定的单项式序，非零理想[]n x x K I ,,1 ⊆的有限子集{}s f f G ,,1 =，如果满足：)(,),()(1s f HT f HT I HT =，则称G 是I 的Groebner 基.说明 根据定义，因为G 是I 的子集，易知)()(,),(1I HT g HT g HT s ⊆)(,),()()(,),()(11s s g HT g HT I HT g HT g HT I HT ⊆⇔= )()()(,)()(,11s s g HT a g HT a f HT I HT f HT I f ++=∈∈∀⇔ 因此，要证明G 是I 的Groebner 基，只须证明I 中的每个单项式的首项可以被)(,),(1s f HT f HT 中的某一项整除.注意 Groebner 与某个单项式序密切相关，即若G 是关于单项式 序1<的Groebner 基，但关于单项式序2<未必是Groebner 基.下面给出Groebner 基的几个例子：例4 设x xy y x I --=22,1,单项式序为分次字典序,则 {}{}1,,2221--==y y x g g G 是I 的Groebner 基.证明 2221,)(),(y x g HT g HT =,f I ∀∈,则[]),,,(),)(,()1)(,(1212221n x x K a a x xy y x a y x y x a f ∈-+-=y x y x a HT f HT 21)),(()(=或者22)),(()(xy y x a HT f HT =它们显然都可以被2x 或2y 整除.从而，G 是I 的Groebner 基.例5 {}24242262124,4,x y y x y x x g g I +--==，其中单项式序是grlex,则{}21,g g G =不是I 的Groebner 基.证明 422622424212222)4()24(x y x x y x y y x x g y g x =--+-=- ∴I x ∈42于是)()2(244I HT x HT x ∈= 但246214,)(),(2y x x g HT g HT x =∉ 即)(),()(21g HT g HT I HT ≠∴G 不是I 的Groebner 基.说明 理想I 的Groebner 基不唯一，例如在例4中，{}y x y G --=22,1与{}2222322,,1x y x xy y x y x y G +----='都是I 的Groebner 基.这是因为：在I 的Groebner 基中，多项式的首项系数不唯一确定，当给定了I 的Groebner 之后，在G 中添加I 中任意多项式f 所得的{}G G f '=⋃也是I 的Groebner 基.另外，因为理想I 中具有相同首项的多项式有许多，它们可以构成相同的首项理想，即使G 是极小Groebner 基（极小Groebner 基的定义在后面介绍），G 也不是唯一的.是不是每一个非零理想都有Groebner 基呢？在定义中，也并没要求G 是I 的生成元素组成的集合，但事实上，G 一定生成理想I .下面的定理可帮我们回答上述两个问题.定理1 固定一个单项式序，每一个非零理想[]n x x K I ,,1 ⊆ 都有Groebner 基{}t f f G ,,1 =.更进一步，I G =.为证明此定理，我们先给出几个定义和已证明过的命题.定义6 给定[]n x x K p g f ,,,,1 ∈,0≠p ,f 模p 一步约化 到g ，记为()pf g HT p −−→⇔整除f 的某一项X ，且()X g f p HT p =-;设{}[]s i p x x k p p P i n s ≤≤≠⊆=1,0,,,,,11 ， 如果存在一列指标{}s i i t ,,2,1,,1 ∈和一列多项式[]n t x x k g g ,,,,111 ∈-，使得g g g g f ti t i i i i p t p p p p −→−−−→−−→−−→−−→−--1211321 ，则称f 模P 约化到g ，记为*pf g −−→ 定义7 如果一个多项式f 模P 是不可约化的，则称f 是模P 的范式.对每个多项式f都存在一个多项式g 使得*p f g −−→其中，g 是模P 不可约化的，则称g 是f 模P 的范式. 其实，只有当()T f 中的每一项都不能被{}P p p HT ∈)(整除时，f 模P 才是不可约化的.命题1 设[]n x x K I ,,1 ⊆是一个非零理想，则一定存在有限个多项式I f f s ∈,,1 ，使得)(,,()(1s f HT f HT I HT =.（证明见[1]）.命题2 假设A X I ∈=αα是一个单项式理想,则一项I X ∈β当且仅当存在A ∈α,使得βαX X .下面来证明定理1.证明 {}0I ≠∴由命题1，I 是有限生成的，即存在I 的有限子集{}t f f G ,,1 =，使得)(,),()(1t f HT f HT I HT =，满足Groebner 基的定义，∴G 是I 的Groebner 基.另外，设{}I f f f P t ∈∀=,,,1 ，f 模P 的范式设为r ， 则[])1,,,(,111t i x x K a r f a f a f n i t t ≤≤∈+++=由范式性质知，对每个)(,i f HT i 不能整除()HT r∴I f a f a f r t t ∈++-=)(11如果0r ≠，则)(,),()()(1t f HT f HT I HT r HT =∈∴由命题2，存在某个)(i f HT ,使得)(i f HT 整除)(r HT矛盾, ∴0=r ∴t t t f f f a f a f ,,111 ∈++=由于f 的任意性,G I =.（三） 极小Groebner 基前面提到了极小Groebner 基的概念，这是一类特殊的Groebner 基，我们来看一看极小Groebner 基的一些有关性质.定义8 Groebner 基{}[]n t x x K g g G ,,,,11 ⊂=称为极小的，如果对于每个i ，)1(t i ≤≤，,1)(=i g HC 而且对于任何t j i j i ≤≤≠,1,，都有)(i g HT 不能整除)(j g HT .说明 定义8中提到的Groebner 基G ，是指它是G 生成的理想 G 的Groebner 基.以后若提到[]n x x K ,,1 中的非零多项式的有限集G 是Groebner 基，都是指这一类型的Groebner 基. 下面我们给出一种求极小Groebner 基的方法.定理2 设{}t g g G ,,1 =是理想I 的Groebner 基，如果),1(),()(t j i g HT g HT j i ≤≤，则{}t j j g g g g ,,,,,111 +-仍是I 的Groebner 基.实际上，从任何一组Groebner 基出发，不难得到极小Groebner 基.若{}[]n t x x K g g G ,,,,11 ⊂=是Groebner 基，那么对任何G g i ∈，若存在)()(,i j g HT g HT i j ≠，就将i g 从G 中拿掉，然后将剩下的每个i g 用)(i g HC 去除，便得到了极小Groebner 基.例6 经验证知{}x y x g x xy y g x xy g x y y x g G 2,,,342232221-+=++-=-=+-==是Groebner 基.单项式序是“grlex ”. ∵)()(43g HT g HT ，∴{}321,,g g g 仍是Groebner 基，且是极小 Groebner 基.下面的定理告诉我们，I 的关于同一单项式序的极小Groebner 基尽管不是唯一的，但有相同的元素个数，且适当排序后，对应多项式的首项相同，即：定理3 如果{}t g g G ,1=，{}s f f F ,1=是[]n x x K ,,1 中理想I 的相对于同一单项式序的极小Groebner 基，则t s =，而且对)()(,1i i g HT f HT t i =≤≤.（如需要，可将i g 和i f 适当的重新排序. （四）约化Groebner 基前面说了，理想I 的Groebner 基不唯一，为了讨论Groebner 基的唯一性，我们引入以下定义.定义9 设G 是理想I 的Groebner 基，如果G 满足：（1）1)(,=∈∀f HC G f ;（2）对任意f G f ,∈模{}f G -是不可约化的.则称G 是I 的约化Groebner 基.定理4 假设I 是[]n x x K ,,1 的理想，对于给定的单项式≤ ，存在唯一的约化Groebner 基G .（证明见[1]） 由此可见，I 对于每个单项式序都有唯一的约化Groebner 基.现在有两个问题，（1）I 的约化Groebner 基是否是有限个呢？（2）是否有这样一个I 的子集F ，它对于[]n x x K ,,1 的每一个单项式序都是I 的Groebner 基呢？事实上有：定理5 I 只有有限个约化Groebner 基，而且I 一定存在子集F ，它对于[]n x x K ,,1 的每一个单项式序都是I Groebner 基 （证明见[4]）二 Groebner 基的判定我们知道，每一个非零理想I 都有Groebner 基，那么，什么样的子集I G ⊂是I 的Groebner 基呢？如何来判定G 是否是I 的Groebner 基呢？下面我们给出几种判定方法.定理 1 假设[]n x x K I ,,1 ⊆是由多项式f 生成的主理想，（主理想定义见[5]），则任何包含f 的I 的有限子集都是I 的Groebner 基.证明 设I G ⊂是有限子集，G f ∈，f I = 令{}f f f G t ,,1 = ∵f I =，且I G ⊂，∴[]t i x x K a f a f n i i i ≤≤∈=1,,(1 ）)(),()(,),()()(),(,),(11f HT f HT a HT f HT a HT f HT f HT f HT t t = )()(,I HT f HT I f m m ∈∈∀ 则)(),(,),()()()(1f HT f HT f HT f HT a HT f HT t m m ∈=，即)(f HT 可以整除)(m f HT ，∴G 是I 的Groebner 基。
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n
的元素及这些元素的和, 因此 a I . 于是 a I .
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(2) 如果R有单位元 e , 则
ma (me)ae(m Z), xa xae, ay eay
都是形如 xay的元素. 所以
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三、主理想的定义及表示
设 a R , 考察 R 中含有元素 a 的全部理想的集 合
{I R | a I }.
因为 a R , 且 R R , 所以 R , 从而 非空. 令 a I .
I
则由定理3.3.2知, a 为R 的一个理想. 这个理想称 为 R 的由 a 生成的主理想 (principal ideal). 因a I ( I ) 所以 a a ,从而 a . 我们看到:
i 1
n
(2) 如果 R 是有单位元的环 ,则 n a { xi ayi | xi , yi R, n N };
i 1
(3) 如果 R 是交换环, 则
a {xa ma | x R, m Z}; (4) 如果 R 是有单位元的交换环, 则 a aR {ar | r R}.
§3.3 理想与商环
一、理想的定义 三、主理想 主理想的定义 定理3.3.3 ---主理想的表示
定义3.3.1 ---理想
例1
例2
二、理想的运算 定义3.3.2 ---和与交 定理3.3.1 ---和与交仍为理想 定理3.3.2 ---多个理想的和与交 1
推论1
推论2 三、商环
例3
例4
商环的定义 定理3.3.4 ---商环的性质
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同理 于是
a b, ax, xa J .
a b, ax, xa I J .
所以 I J为 R 的理想.
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定理3.3.2 (1) 环R 的任意有限多个理想的和还 是理想;(2) 环 R 的任意 (有限或无限)多个理想的交还 是 R 的理想. (提示：如上同样的证明方法，只要把所有的 写出来即可.)
r s (a1 a2 ) (b1 b2 ) (a1 b1 ) (a2 b2 ) I J ; xr x(a1 a2 ) xa1 xa2 I J ; rx (a1 a2 ) x a1 x a2 x I J .
所以 I J 为 R 的理想． (2) 对任意的 a, b I J , x R. 因 a, b I , 则有 a b, ax, xa I .
a { xi ayi | xi , yi R, n N };
(3) 如果 R 是交换环 , 则 xay xya, ay ya. 从而 n xi ayi xa ay ma
d 0; Z 的全部理想为dZ 其中d Z，
用类似方法还可证明, 对任意m Z(m > 0),Z m 的所有理想为dZ m , 其中d 0, 或d | m,1 d m.
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二、理想的运算
定义3.3.2 设R 为环, I , J 都是R 的理想, 集合
I J {a b | a J , b J }与I J
分别称为理想I 与 J 的和与交. 定理3.3.1 设R为环, I , J 都是R 的理想. 则 I 与 J 的和与交都是R的理想．
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证 （1）设 r , s I J , x R . 则有
a1 , b1 I , a2 , b2 J,使 r a1 a2 , s b1 b2 .从而
I dZ 则对任意的 r dx, s dy I , z Z, r s dx dy d ( x y ) I ; rz zr (dx) z d ( xz ) I .
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所以 dZ 为 Z 的理想. 由此知,I 为Z 的理想当且仅当I 为 Z 的子环. 因此
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一方面, a 是包含 a 的理想; 另一方面, a 是所有包含
a 的理想的交. 所以 a 是 R 中包含 a 的最小理想.
பைடு நூலகம்
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定理3.3.3 设 R 为环, a R 则 (1)
a { xi ayi xa ay ma | xi , yi , x, y R, n N , m Z}
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证（1） 设
I { xi ayi xa ay ma | xi , yi , x, y R, n N , m Z}.
易知 I 为 R 的理想. 因为a 1 a I (1 Z) 所以 I 为 包含 a 的理想, 从而 a I . 又因为 a 是由 a 生成的理想, 所以 a 必包含所 有的形如
I R , 则称 I 为R 的真理想 (proper ideal).
由定义可知, 如果 I 为 R 的理想,则 I 必为R的子环.
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例1 {0} 与R 本身显然都是 R的理想. 这两个理想称 为 R 的平凡理想(trivial ideal). 例2 试求Z的所有理想.
解 设 I 为 Z的任一理想, 则 I 为 Z 的子环. 从而存 在 d Z, d 0 ,使 I dZ(见§3.1例10). 反之, 设I 为 Z 的任一子环, 那么存在d Z , 使
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例5 例6
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一、理想的定义
I为R 的非空子集,如果I 满足 定义3.3.1 设R为环,
(I1) 对任意的 r1 , r2 I , r1 r2 I ； (I2) 对任意的 r I , s R, rs, sr I . 则称 I 为环 R 的一个理想 ( ideal), 记作 I R . 又如果