3.1衍射的基本理论详解
高中物理：光学-光的衍射
高中物理：光学-光的衍射光的衍射是光学中的经典知识点，其在多个领域都有着广泛的应用，例如显微镜、天文望远镜等。
本文将详细介绍光的衍射的基本概念、衍射定理、夫琅禾费衍射以及常见的实验方法。
一、光的衍射的基本概念光的衍射是指光通过一个孔或者通过物体表面的缝隙后，光波会扩散成为一组新的光波，这种现象被称为光的衍射。
在光的衍射中，光波会形成一些明暗交替的区域，这些区域被称为衍射图样，其形状和孔或者缝隙的大小和形状有关。
二、衍射定理衍射定理是光学中最重要的定理之一，它是描述从一个孔或者一个光源丝的发射的光经过另一个孔或者缝隙后产生的光的波前的变化情况。
衍射定理可以用来计算衍射图案的形状，以及通过使用光的衍射图案来确定物体的大小和形状。
衍射定理的公式如下所示：sinθ = nλ/d其中，θ是衍射角，n是衍射序数，λ是光的波长，d是孔或者缝隙的宽度。
三、夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射是一种典型的衍射现象，它是一种发生在单缝或双缝上的衍射现象。
夫琅禾费衍射的衍射图样是一组纵向的亮暗条纹。
夫琅禾费衍射的公式如下所示：dsinθ = nλ其中，d是缝隙的大小，θ是衍射角，n是衍射序数，λ是光的波长。
四、实验方法实验方法是研究光的衍射现象的重要手段。
常见的光的衍射实验方法包括单缝衍射实验、双缝干涉实验、格点衍射实验等。
（1）单缝衍射实验单缝衍射实验是研究光的衍射现象的最简单的实验方法之一，它可以通过一个狭窄的孔洞使光波扩散成为一个圆形的波前来观察光的衍射现象。
（2）双缝干涉实验双缝干涉实验是研究光的干涉现象的重要实验方法，它可以通过两个狭缝使光波扩散成为一组具有干涉现象的亮暗条纹。
（3）格点衍射实验格点衍射实验是一种研究光的衍射现象的实验方法，它可以通过一个光栅来使光波扩散成为一组具有规律的亮暗条纹。
五、练习题1. 一束波长为500nm的光穿过一个宽度为0.3mm的单缝后，经过距离1m的观察屏时，其衍射图样的第五个主极大的位置距离中心线的距离是多少？参考答案：0.30mm2. 光通过一组双缝（缝距为0.1mm，缝宽为0.05mm），在距离屏幕40cm处出现了一组亮暗条纹。
《激光原理》3.1光学谐振腔的衍射理论(新)
条状腔经过1次和300次传播后镜面上的振幅的分 布和相位分布
• 理解激光的空间相干性：即使入射在第一个 孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效 应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第 一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这 样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一 定的关联。在经过了足够多次衍射之后，光 束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因 而空间相干性随之越来越增强。在开腔中， 从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好 的激光，正是由于衍射的作用。
我们更关心镜面上的场
激光输出直接与镜面上的场相联系。镜面上稳态 场分布的形成可以看成是光在两个镜面间往返传 播的结果。因此，两个镜面上的场必然是互相关 联的：一个镜面上的场可以视为另一个镜面上的 场所产生，反之亦然。
在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不 随时间变化的稳态场分布）?如何求场分布?
u(x, y) ik u(x', y') eik (1 cos )ds'
4 M '
(1 cos ) 2 L
(3-5)
将以上近似代入(3-5)， 得到自再现模所满足的积分方程
（不受衍射影响的稳态场分布函数）
积分方程 的核
mnumn(x, y) K(x, y, x', y')uq (x', y')ds' (3-6)
• 由不同的初始入射波所得到的最终稳态场分布可能 是各不相同的，这预示了开腔模式的多样性。实际 的物理过程是，开腔中的任何振荡都是从某种偶然 的自发辐射开始的，而自发辐射服从统计规律，因 而可以提供各种不同的初始分布。（特点2：多样性）
(1)自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。
光的衍射和衍射现象
光的衍射和衍射现象光的衍射是光通过物体边缘或孔洞时发生的现象。
它是光波的传播特性之一，展现了光的波动性。
衍射现象是当光波在遇到不同障碍物或具有不同形状的孔洞时，光波会发生偏折、扩散和干涉的现象。
1. 衍射的基本原理衍射的基本原理是根据赫兹原理和干涉原理。
赫兹原理指出，任何一个振动源都可以当做是许多振动源的叠加，每一个振动源都发出一束球面波。
当这些球面波叠加时，会形成一个新的波面，这个波面是振动源波面的几何平均。
2. 衍射的特征光波在经过边缘或孔洞时，会产生衍射现象，具有以下几个特征：2.1 扩散现象当光波遇到一道狭缝或孔洞时，会在狭缝或孔洞处弯曲，使得光波扩散出去，形成扩散光芒。
扩散的程度与波长及狭缝或孔洞的大小有关。
2.2 形成暗纹和明纹在衍射过程中，光波经过衍射物体后，在远离衍射物体的某些位置上形成一系列明纹和暗纹。
明纹和暗纹的形成是由光波的干涉和相位差引起的。
2.3 衍射图样光波经过光栅、狭缝或孔洞等衍射物体后，在屏幕上形成一系列明暗相间的条纹或斑点，称为衍射图样。
衍射图样的形状和分布与衍射物体的尺寸和形状、光波的波长有关。
3. 光衍射的应用光衍射现象在许多领域有着广泛的应用。
3.1 衍射光栅光栅是由很多平行缝或平行线条排列而成的光学器件。
光栅具有分光和合成光的能力，利用光栅可将入射光波分解为多个不同波长的光，从而实现物质的光谱分析。
3.2 衍射显微镜衍射显微镜是一种使用衍射原理的显微镜。
它利用光波的衍射现象，通过孔径较小的物体来扩大并清晰可见待观察的细小物体。
3.3 衍射声纳衍射声纳是一种利用声波的衍射现象进行探测和成像的方法。
通过声波在障碍物上发生衍射，可以获取目标物体的位置和形状等信息，应用于声纳成像和声学测量领域。
4. 衍射的局限性衍射现象虽然在很多领域有着广泛的应用，但在一些特定情况下，衍射也会带来些许局限性。
例如，在显微镜观察不同尺度的样品时，由于衍射的限制，分辨率会受到影响，使得细微结构无法被清晰展现出来。
（完整版）X射线衍射的基本原理
（完整版）X射线衍射的基本原理三．X 射线衍射的基本原理3.1 Bragg 公式晶体的空间点阵可划分为⼀族平⾏⽽等间距的平⾯点阵，两相邻点阵平⾯的间距为d hkl 。
晶体的外形中每个晶⾯都和⼀族平⾯点阵平⾏。
当X 射线照射到晶体上时，每个平⾯点阵都对X 射线射产⽣散射。
取晶体中任⼀相邻晶⾯P 1和P 2，如图3.1所⽰。
两晶⾯的间距为d ，当⼊射X 射线照射到此晶⾯上时，⼊射⾓为θ，散射X 射线的散射⾓也同样是θ。
这两个晶⾯产⽣的光程差是：θsin 2d OB AO =+=? 3.1当光程差为波长λ的整数倍时，散射的X 射线将相互加强，即衍射：λθn d hkl =sin 2 3.2上式就是著名的Bragg 公式。
也就是说，X 射线照射到晶体上，当满⾜Bragg 公式就产⽣衍射。
式中：n 为任意正整数，称为衍射级数。
⼊射X 射线的延长线与衍射X 射线的夹⾓为2θ（衍射⾓）。
为此，在X 射线衍射的谱图上，横坐标都⽤2θ表⽰。
图3.1 晶体对X 射线的衍射由Bragg 公式表明：d hkl 与θ成反⽐关系，晶⾯间距越⼤，衍射⾓越⼩。
晶⾯间距的变化直接反映了晶胞的尺⼨和形状。
每⼀种结晶物质，都有其特定的结构参数，包括点阵类型、晶胞⼤⼩等。
晶体的衍射峰的数⽬、位置和强度，如同⼈的指纹⼀样，是每种物质的特征。
尽管物质的种类有成千上万，但⼏乎没有两种衍射谱图完全相同的物质，由此可以对物质进⾏物相的定性分析。
3.2 物相分析物相的定义是物质存在的状态，如同素异构体SiO2、TiO2分别有22种和5种晶体结构。
除了单质元素构成的物质如铜、银等以外，X射线衍射分析的是物相（或化合物），⽽不是元素成分。
对于未知试样，为了了解和确定哪些物相时，需要定性的物相分析。
正如前述，晶体粉末衍射谱图，如⼈的指纹⼀样，有它本⾝晶体结构特征所决定。
因⽽，国际上有⼀个组织——粉末衍射标准联合会（JCPDS）后改名为JCPDS－衍射数据国际中⼼专门负责收集、校订、编辑和发⾏粉末衍射卡⽚（PDF）的⼯作。
衍射的基本理论
表示外向法线与 （从S到面Σ上某点Q的矢量）之间夹角的余弦。 在不透明屏右侧∑1上， 假定 假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件：
添加标题
对于∑2： 在∑2上， 则对∑2上的积分关系：
添加标题
Ω为∑2对P点所张立体角。
由索末菲辐射条件： 在辐射场中 而 是有界的 则R→∞时，可不考虑∑2的贡献。 即 将
将近似条件代入得到：
菲涅耳－基尔霍夫衍射近似公式
三、基尔霍夫衍射公式的近似
图12－4 孔径 S的衍射
添加标题
在振幅项中
添加标题
添加标题
傍轴近似（两点近似）
添加标题
设定孔径函数
添加标题
01
进一步的计算需要将exp( ikr )中的r表示成(x,y,z)的函数。
添加标题
03
图12－4 孔径 S的衍射
代入上式， 则并考虑到1/r、1/l比k值小得多。 则 此即为菲涅耳－基尔霍夫衍射公式 此为基尔霍夫衍射定理的一种近似， 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式比较：
单击此处添加大标题内容
其中，设定方向角 ( n, l ) 和 ( n, r ) 为S的法线与 l 和 r 的夹角。
Q
当光线接近于正入射时
P1
P2
P3
Z
Fraunhofer区
衍射区的划分
菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
可选 为球面波： 式中r表示∑’内任一点Q与考察点P之间的距离 显然、此球面波函数在r=0处不连续，故为了使格林公式成立，应将r＝0点P除去。为此以P为圆心作一半径为ε的小球，并取积分域为复合曲面 见上图， 则（2）式变为
进而有：
则
由
对于 上的Q点，
衍射知识点总结
衍射知识点总结
衍射是一种光的传播现象，涉及到光波在通过障碍物或物体边缘时发生弯曲和扩散的过程。
衍射现象在光学、声学和其他波动现象中都有广泛的应用，对于理解光的传播和波动性质
有重要意义。
1. 衍射的基本原理
当光波遇到一个小孔或尺寸较小的障碍物时，光波会弯曲和扩散，形成特定的衍射图样。
这种现象可以用赫尔姆霍兹方程和费马原理等物理定律进行描述和解释。
2. 衍射的分类
衍射可以分为菲涅尔衍射和菲索衍射两种类型。
菲涅尔衍射是指当光波传播时，光源和观
察平面距离差异较大，需要考虑光波传播的路径长度差，会产生衍射现象。
菲索衍射是指
当光波和物体表面接触时，会产生衍射现象。
3. 衍射的数学描述
衍射现象可以用数学公式进行描述，可以通过赫尔姆霍兹方程和费马原理等物理定律来进
行计算和分析衍射现象。
这种数学描述对于理解光波的传播规律和特性有重要意义。
4. 衍射的应用
衍射现象在激光技术、光学成像、声学传播等领域都有广泛的应用。
例如，在激光技术中，可以利用衍射原理来进行激光光栅的制作和光束调制；在光学成像中，衍射现象对于显微
镜和望远镜等成像设备的设计和优化有重要意义。
总之，衍射是光波传播中的重要现象，对于理解光的传播规律和波动性质有重要意义。
通
过对衍射现象的研究和应用，可以推动光学技术和相关领域的发展，为人类社会的进步做
出贡献。
物理光学-第3章 光的衍射
f x = ρ cos φ
f y = ρ sin
dx0 dy 0 = r0 dr0 dα 0
( x0 , y 0 ) = A
α0
0 ~ 2π
r0
0~a
24
3-4 夫琅和费圆孔衍射
光强分布公式
ie iKz 2 z ( x12 + y12 ) + ∞ i 2π ( f x x0 + f y y0 ) u ( x, y ) = e u ( x 0 y 0 )e dxo dy 0 ∫ ∫∞ λz
4
3.2衍射的基本理论
①狭缝衍射 ②圆孔衍射
5
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
6
3.2衍射的基本理论
惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波 源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波 源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹 面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的 传播方向。这就是惠更斯原理。 菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来 自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光 振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的 次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原 理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
12
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离z很大，透光孔很小 2 2
2 2 x0 + y 0 k ( x0 + y 0 ) max ≈0 z >> 2 z 2 2 2 2 2 1 ( x1 x0 ) + ( y1 y 0 ) 1 x12 + y12 1 x0 + y 0 x1 x0 + y1 y 0 r ≈ z 1 + = z 1 + 2 z 2 + 2 z 2 2 z2 2 z k [( x x ) + ( y y ) ] i i ikz u ( x1 y1 ) = e ∫∫ u ( x 0 y 0 )e 2 Z dx 0 dy 0 λz k 2 2 2 2
3.物理光学-衍射解析
一.填空题1.1 波面是指波在传播时（同位相 ）点的集合，这些点的轨迹是一个（等相面）面。
1.2 惠更斯原理是指：任何时刻波面上的每一点都作为（次波）的波源,各自发出（球面）次波,在以后的任何时刻,所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的（新波面）。
1.3 惠更斯引入（子波 ）的概念提出了惠更斯原理，菲涅耳再用（子波干涉 ）的思想补充了惠更斯原理，发展成了惠更斯－菲涅耳原理。
1.4 爱里班的半角宽度是（Dλ=θ∆22.1 ）。
1.5 一远处点光源的光照射在小圆孔上,并通过圆孔后紧靠孔的会聚透镜,在透镜焦面上,将不是出现光源的几何象点,而是一个衍射斑,衍射斑对小孔中心展开的角大小与（入射光波长）成正比，与（ 圆孔直径（或半径） ）成反比。
1.6 光栅衍射强度分布受到（ 单缝衍射 ）和（缝间干涉 ）的共同作用。
1.7 光栅衍射图样是（单缝衍射 ）和（ 缝间干涉 ）的总效果。
1.8 光栅衍射中，光栅常数为d ，缝数为N ，相邻两个主最大之间有(N-1 )个最小和（ N-2 ）个次极大。
1.9 通过衍射光栅观察到的衍射花样，主最大的位置与缝数N （无关）；但他们的宽度随N的增大而（ 减小 ），其强度正比于（ N 2 ），而相邻主最大之间有（ N-1 ）条暗纹和（ N-2 ）个次极大。
1.10 光栅方程为（λ=θk sin d 或者λ=α±θk d sin sin d ）。
1.11 平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15 mm 的单缝上，缝后有焦距为f=400 mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕，现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8 mm ，则入射光的波长为λ=（ 500nm ）。
1.12 一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅， 用平行钠光束（λ=589nm ）与光栅平面法线成30˚角入射，在屏幕上最多能看到第（ 5 ）级光谱。
1.13 若在某单色光的光栅光谱中第三级谱线是缺级，则光栅常数与缝宽之比（a+b ）/a 的各种可能的数值为（ 3 ）1.14 在透光缝数为N 的平面光栅的衍射实验中,中央主极大的光强是单缝衍射中央主极大光强的（N 2 ）倍,通过N 个缝的总能量是通过单缝的总能量的（ N ）倍。
X射线的衍射原理ppt课件
3.1.7 常见的衍射方程
完整版PPT课件
3
3.1.1 劳埃方程
一维点阵的情况：
a (cos - cos 0) = h
a 是点阵列重复周期， 0为入射线与点阵列所成的角度；
为衍射方向与点阵列所成的完整角版P度PT课，件 h为任意整数
4
3.1.1 劳埃方程
对于三维情形，就可以得到晶体光栅的衍射条件： a (cos - cos 0) = h b (cos - cos 0) = k c (cos - cos 0) = l
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12
3.1.3 布拉格方程的讨论
1）选择反射 布拉格方程描述了“选择反射”的规律。
产生“选择反射”的方向是各原子面反 射线干涉一致加强的方向，即满足布拉 格方程的方向。 原子面对X射线的反射只有当λ、θ和d三 者之间满足布拉格方程时才能发出反射， 所以把X射线的这种反射称为选择反射。
这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由
面间距为dHKL的（HKL）晶面的1级反射， （hkl)与（HKL）面互相平行。面间距为dHKL 的晶面不一定是晶体中的原子面，而是为了
Б =DB+BF=2d sin=n
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2）Braag方程
2dsin = n
X射线的衍射线： 大量原 子散射波的叠加、干涉而 产生最大程度加强的光束。 ：入射线、反射线与反 射晶面之间的交角，称掠 射角或布拉格角、衍射半 角； n ：整数，反射级数； 这个公式把衍射方向、平 面点阵族的间距d(hkl)和 X 射线的波长λ 联系起来 了。
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3.1.3 布拉格方程的讨论
由于带有公因子n 的平面指标(nh nk nl)是一 组和(hkl)平行的平面，相邻两个平面的间距 d(nh nk nl)和相邻两个晶面的间距d(hkl)的关系 为：
3.1 标量衍射理论
1 cos Y l
fy 0
fx
1 cos X l
1
平面波的空间频率
fy
1 cos Y l 1 cos fz Z l
f x f y fz
2 2 2
l2Hale Waihona Puke 平面波的波矢 k 2
l
k x k y kz
2 2
2
这里的 k x k cos
第三章
标量衍射理论
傅立叶光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理 论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
fx
cos
l
, fy
cos
l
通过上面几个图像，可以看出：
高空间频率信息决定图像的细节
时间频率与空间频率的比较：
时间 周期 频率 圆频率
T (s )
1 1 (s ) T
2 2 T
1
空间 单色光波
l (cm)
l
(cm 1 ) / f x cos
• 传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率 。
（3）平面波的空间频率
平面波前相位图
两相邻等相位线在x方向的间距为 X
l
cos
x方向的空间频率用
y方向的空间频率用
1 cos f x 表示，f x X l
单位是周/mm。
光 的 衍 射3.1
※ 对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。 ※ 白光或复色光入射，高级次光谱会相互重叠。
八、闪耀光栅
透射光栅存在的问题:零级衍射斑为能量最强的包 络,而j=0的干涉条纹正好与其中心相对应，而零 级无色散,无法利用。 能否使非零级干涉条纹 与零级衍射斑中心方向 对准?从而把光能转移并 集中到所需的某一级光 谱上,闪耀光栅正为解决 此问题而产生。闪耀光 栅是平面反射光栅,槽面 与光栅(宏观)平面之间夹 角称闪耀角
正入射时,透射光栅有: 衍射方位角 b sin m (m 0) 0 零级干涉方位角 d sin m (m 0) 0 斜入射时，透射光栅有： b sin sin u
当 u 0,
d sin * sin v
光的衍射
四 讨论：
㈠ 缝间干涉因子的作用
(1)主极大(亮纹):大小、位置和数目
N 主极大的位置满足 sin 0, sin 0 2 2
即：d sin j ( j 0,1,2,)
称为正入射时的光栅方程. (与双缝干涉的亮纹公式一样 光程差d sin )
面间散射波干涉 面间点阵散射波的干涉
面1
作截面分析
面2
面3
…
布喇格定律 面间点阵散射波的干涉
入射角 掠射角 求出相邻晶面距 离为 d 的两反射 光相长干涉条件
层间两反射 光的光程差
相长干涉得 亮点的条件
布喇格定律
或布喇格条件
分出不同间距 d 的晶面。 对任何一种 方向的晶面， 只要满足布喇 格公式，则在 该晶面的反射 方向上，将会 发生散射光的 相长干涉。
Na
散射波干涉
X射线 X射线
晶体点阵的散射波可以相互干涉。 原子或离子中的电子在
3.1衍射的基本理论详解
10/11/2018
3. 基尔霍夫衍射公式的近似
1)傍轴近似 在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光 学系统光轴夹角极小的傍轴光线。- -低空间频率
对于傍轴光线，图36所示的开孔Σ的线度 和观察屏上的考察范 围都远小于开孔到观 察屏的距离。
下面的两个近似条件通常都成立： ①cos(n,r)≈1,cos(n,l)= -1, 于是K(θ )≈1；②r≈z1。
基尔霍夫公式
10/11/2018
i ~ ~ ikr E ( P) E ( Q ) e d z1
(3 - 15)
2) 距离近似- -菲涅耳近似和夫朗和费近似
在前面介绍衍射种类时，已知观察屏距衍射孔 的距离不同，衍射图样是不同的；
r0 增加 r0 → ∞
屏上 r0 很小 图形：
衍射现象在数学处理上遇到很大困难， 许多实际问题得不到严格的解。 衍射理源自大多是近似理论。
惠更斯原理 惠更斯－菲涅耳原理
10/11/2018
惠更斯原理
波面：光场中，相位相同点的构成的轨迹称为等相面， 也称波阵面。- -数学概念 惠更斯原理（图示） 任意时刻波面上的各点都可以作为次波源，各自发出 球面次波；在下一时刻，这些次波波面的包络面即是 该时刻的新波面。 较好地解释光的
直线传播规律 反射折射规律 双折射现象
成功之处
定性地解释光的干涉、衍射现象
不足之处
10/11/2018
不能解释干涉、衍射光的振幅大小变化 不能解释衍射光场中光强的重新分布
惠更斯原理对平面与球面波的解释
子波源 子波
子波
子波源 新波阵面 新波阵面
10/11/2018
3-1光的衍射
a k k为奇数
a1
a3
ak
k为偶数
1 (a1 ak ) 2
a2
基线
1 Ak (a1 ak ) 2
a2
基线
Ak
原则：各矢量的起点都与前一个矢量的终点等高。 从基线指向最末一矢量ak终点，即为合振动Ak的振动矢量。
§3.4
菲涅耳衍射（圆孔和圆盘） （Fresnel Diffraction）
对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k，ak 0， 则对于给定轴线上的一点P的振幅为：
a1 AP 2
即：球面波自由传播时，每各球面波上各次波波源在P点 产生的合振动等于第一个半波带在P点产生的振动振幅的 一半，强度为它的4分之1。
a I0 4
2 1
三. 矢量合成法
a1
a3
qh gK q缓慢 减小
a1 > a2 > … >ak ，但是各振幅相差很小。
各半波带在P点的振幅是一个单调递减的收敛数列。
a3 a3 a5 a1 a1 Ak ( P) ( a2 ) ( a4 ) ... 2 2 2 2 2 ak 2 ak ak ( ak 1 ) k为奇数 2 2 2 ak 3 ak 1 ak 1 ak ak ( ak 2 )( ) k为偶数 2 2 2 2 2
较困难。
i t
或：
E ( p)
dE( p) Ce
S
S
AQ K q ikr e dS r
三、衍射的分类、处理方法
借助于惠更斯-菲涅耳原理可以解释和描述光束通过各种形状的 障碍物时所产生的衍射现象。以下将讨论几种特殊形状的障碍物 所产生的衍射图样的光强分布。在讨论时，根据障碍物到 光源和考察点的距离，把衍射现象分成两类：
衍射的概念和衍射的求解方法
衍射光学
衍射的概念和衍射的求解方法
基本概念和公式复习 例题分析 作业题讲解
基本概念和公式复习
2
1 光的衍射
当光波在传播过程中遇到障碍物时偏离直线传播、强度发生重新分布的现 象称为光的衍射。
两个要点：（1）光波的波面可以看成连续分布的次波点源。
（2）次波点源之间是相干源，观察场中的衍射强度分布是次波 点源发出的次波相干迭加的结果。
An ]
A(P0
)
1 2
A1
(P0
)
A(P0 )
1 2
An1
K
Rb k
Rb
k 1
f
2 k
/ k
12
/
(k 1,2,3, )Fra bibliotek11 1 Rb f
2) 夫琅和费衍射：光源和接收屏幕距离衍射屏幕无限远。
4
夫琅和费单缝衍射：
U~
U~0
sin
e ikr0
a sin
I (P0
U~0
)I
a
0
(
0
或者将积分公式近似处理成：
U~(P) dU~(P) U~i (P)
2）半波带法：
0
将衍射波前分割成整数个半波带，求出每个半波带的复振幅，然后将复振 幅相加求出总复振幅的振幅A，就可以得到衍射光强度。
适用条件：
7
（1）只适用于能整分成整数个半波带的情况。 （2）只能求菲涅耳衍射的中心场点的的光强度。 （3）可以计算夫琅和费衍射焦平面上的衍射光强分布。
设前 k（取k为偶数）个半波带中偶数半波带被露出。
22
A
A2
A4
Ak
k 2
A2
kA0
第三讲-电子衍射
o
r G
o
v R
p
衍射花样的分类：
1）斑点花样：平行入射束与单晶作用产生斑点状花样； 主要用于确定第二相、孪晶、有序化、调幅结构、取向关系； 2）菊池线花样：平行入射束经单晶非弹性散射失去很少 能量，随之又遭到弹性散射而产生线状花样；主要用于衬度 分析、结构分析、相变分析以及晶体的精确取向、布拉格位 置偏移矢量、电子波长的测定等； 3）会聚束花样：会聚束与单晶作用产生盘、线状花样； 可以用来确定晶体试样的厚度、强度分布、取向、点群、空 间群以及晶体缺陷等。
[110]
五、查表法
序号 G2／G1 θ ［UVW］ H1K1L1 d1 H2K2L2 d2 H0K0L0 XH1K1L1 yH1K1L1
标准物相电子衍射表的制作方法：
①计算在一个［UVW］下可能产生的（HKL)
②求出各面的面间距 ③求出相应的G值，找出最短G1和次短G2
④求出G1和G2的夹角θ和G2／G1的比值
如立方：
d e f
con
H 1 H 2 K 1 K 2 L1 L2
2 2 2 ( H 12 K 12 L2 )( H K L 1 2 2 2)
计算的θ与照片实际测量的夹角进行比较。 用矢量和的方法求第三个R的指数，并计算夹角对前两个指数 进行验证 用下列规律求出其它斑点指数 与透射斑对称的斑点指数相反 通过透射斑点，在同一直线上的斑点指数成倍增加 （同方向）和减少（异方向）
2d ( hkl ) sin θ n 2d ( HKL ) sin θ
根据正弦函数的性质：
λ sin θ 1 2d λ 2d 对于给定晶体，只有当入射波长足够短，才能产生衍射。
光衍射重要知识点总结
光衍射重要知识点总结1. 光衍射的基本原理光衍射是指光线通过一个具有微小孔径或者狭缝的光学元件后，呈现出一种特殊的传播现象。
这种现象是高度幅度、相位、甚至偏振相关的，它可以用来研究光的波动性质。
光衍射可以用亚原子大小的粒子之间的干涉来解释。
2. 阿利法斯原理阿利法斯原理是光学中的一个重要原理，它是光衍射现象的基础。
阿利法斯原理指出：当光线通过一个孔径较小的障碍物时，会出现衍射现象，形成一系列明暗相间的条纹。
这些条纹的分布规律可以用亚原子级别的粒子衍射理论来解释。
3. 光衍射的分类光衍射可以分为多种类型，主要包括菲涅尔衍射、费米衍射、宏观衍射和微观衍射等。
其中，菲涅尔衍射是指光线经过一个有限大小的孔径或者狭缝时出现的衍射现象；费米衍射是指光线经过一个无限小的孔径或者狭缝时出现的衍射现象；宏观衍射是指光线通过大孔径或者狭缝后在远处形成的衍射现象；微观衍射是指光线通过微观小孔径或者狭缝后在近处形成的衍射现象。
4. 光衍射的应用光衍射在很多领域有广泛的应用，主要包括光学成像、衍射光栅、激光干涉仪、原子微镜、干涉操作、粒子大小和理化参数的测量等。
这些应用主要依赖于光衍射的干涉效应，以此来实现对光束或者光场的操作和测量。
5. 光衍射实验光衍射实验是光学中非常经典的实验之一，它可以通过双缝干涉装置和单缝衍射装置来实现。
在双缝干涉实验中，一束平行光通过两个狭缝后，形成一系列明暗相间的干涉条纹；在单缝衍射实验中，一束平行光通过一个狭缝后，形成一系列明暗相间的衍射环。
通过光衍射实验，可以观察到不同孔径和间距的障碍物对于光的干涉和衍射效应的影响，从而深入理解光的波动性质和光学干涉现象。
6. 光衍射的数学描述光衍射可以通过赫兹本规则、费马原理、基尔霍夫衍射积分等方法来进行数学描述。
这些方法可以用来分析和计算光衍射的干涉条纹、光场分布和相位变化等现象，从而实现对光学效应的精确模拟和预测。
总结：光衍射是光学中非常重要的一个现象，它是研究光的波动性质和光学干涉现象的重要工具。
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注意刀片狭缝的衍射花样
10/11/2018
注意阴影中央的亮点（泊松点）
光的衍射是有条件的
主要取决于障碍物的大小，当障碍物的线 度与波长可比时，即会出现衍射现象； 衍射现象是否明显，除障碍物的线度外， 还与观察的距离和方式、光源的强度和相 干性等因素有关； 一般来说，障碍物的线度要比光波的波长 大得多，故不易看到光的衍射现象。
这就是亥姆霍兹- -基尔霍夫积分 定理。 它将P点的光场与周围任一闭合曲 面Σ上的光场联系了起来； 实际上可以看作是惠更斯- -菲涅 耳原理的一种较为完善的数学表达 式。
10/11/2018
2. 基尔霍夫衍射公式
i ~ ~ e cos(n , r ) cos(n , l ) E ( P) E (l ) d (3 - 14) r 2
“光的直线传播”不是独有的，机械波、电磁 波同样也有直线传播。
超声波具有明显的方向性、高架公路边的隔声墙、海 港防波堤 微波一般也表现为直线传播，－－微波中继站
10/11/2018
衍射的分类
障碍物 光源 S 观察屏
*
R
B
r0
P
1、菲涅耳（Fresnel）衍射 （近场衍射）
r0 和 R 中至少有一个是有限值。
惠更斯-菲涅耳公式
~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r 没有给出方向因子K()的具体表达式。
基尔霍夫从微分波动方程出发，引入格林函数，给出了 惠更斯-菲涅耳原理较完善的表达式； 将空间P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场 建立了联系，并得到了倾斜因子K()的表达式，建立了 光的衍射理论；- -标量衍射理论
~
理论上，若已知某时刻t0，波面S上的E(Q)及K()，即 可计算出其后光场中P点在任意时刻t的振幅－－很难。 实验上，E(Q)与K()均可测量，代入积分公式后可由计 算机进行运算。
10/11/2018
E(Q)：dS处振幅的分布函数； K()：倾斜因子，增大，K()减小。
3.1.3 基尔霍夫衍射公式
直线传播规律 反射折射规律 双折射现象
成功之处
定性地解释光的干涉、衍射现象
不足之处
10/11/2018
不能解释干涉、衍射光的振幅大小变化 不能解释衍射光场中光强的重新分布
惠更斯原理对平面与球面波的解释
子波源 子波
子波
子波源 新波阵面 新波阵面
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n dS ) r0 S r P
惠更斯－菲涅耳原理
菲涅耳的改进
补充了描述“次波”特征：相位和振幅的定量表示； 增加了“次波相干叠加”的原理。
波面S上每一个面元dS均可以看成新的波源，各 新波源均发出球面次波； 波面前方空间某点P的振动可以由S上所有面元dS 所发次波在P点叠加后的合振幅来表示。
惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯－菲涅耳原理的数学表达式
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光的衍射(圆孔、单缝)
圆孔衍射
S
*
单缝衍射
H
P
不但光线 拐弯，而 且在屏上 出现明暗 相间的条 纹。
S
G
*
- -衍射
10/11/2018
单缝衍射条纹特征
10/11/2018
衍射规律
10/11/2018
10/11/2018
圆孔衍射规律
10/11/2018
光的衍射(圆屏、直边)
10/11/2018
Q
n ) r0物理含义及各 量的物理意义
dS S
dS所发次波在P点 K ( ) E (Q) ikr dE C e dS 产生的振动为 r S上所有面元dS在P点叠加产生的合振动为 ~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r 此式称为菲涅耳衍射积分，一般计算此积分相当复杂， 特殊情况下可简化，可用代数加法或矢量加法代替积分。
声波波长：10m 无线电波：100m 微波：10mm 光波：400nm-760nm
10/11/2018
光的直线传播与光的衍射现象并不矛盾
波的直线传播和波的衍射，是波在传播过程中 不同条件下的具体表现，两者并不矛盾。
当波遇到的障碍物线度远大于波长时，表现为直线传 播； 当波遇到的障碍物线度与波长差不多时，表现为衍射；
衍射现象在数学处理上遇到很大困难， 许多实际问题得不到严格的解。 衍射理论大多是近似理论。
惠更斯原理 惠更斯－菲涅耳原理
10/11/2018
惠更斯原理
波面：光场中，相位相同点的构成的轨迹称为等相面， 也称波阵面。- -数学概念 惠更斯原理（图示） 任意时刻波面上的各点都可以作为次波源，各自发出 球面次波；在下一时刻，这些次波波面的包络面即是 该时刻的新波面。 较好地解释光的
2、夫琅禾费（Fraunhofer）衍 （远场衍射） 射 r0 和 R 皆为无限大（也可用透镜实现）。
10/11/2018
圆孔的衍射图样随 r0 的变化（R=∞）：
r0→ ∞
屏上 r0 很小 图形：
r0 增加
r0→∞
孔的投影
（光直线传播）
10/11/2018
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
3.1.2 惠更斯－菲涅耳原理
将光场当作标量处理，把光矢量一个分量当作一个独立标量来 处理； 近似理论； 对高分辨率衍射光栅，要达到精确的结果，还需考虑光场的矢 量性。
10/11/2018
1. 基尔霍夫积分定理
~ ikr ikr 1 E e e ~ E ( P) E d 4 n r n r
3.1
衍射的基本理论
3.1.1 光的衍射现象 3.1.2 惠更斯-菲涅耳原理 3.1.3 基尔霍夫衍射公式
1*. 基尔霍夫积分定理 2*. 基尔霍夫衍射公式 3. 基尔霍夫衍射公式的近似
10/11/2018
3.1.1 光的衍射现象
什么是波的衍射？
波在传播过程中，遇到障碍物（或孔，缝）时，会发生 衍射现象。即不沿直线传播，而向各方向绕射的现象。 声波、水面波－机械波有衍射现象 无线电波－电磁波（长波）有衍射现象 光波－电磁波（短波）也有衍射现象 光的衍射：光遇到障碍物时，绕过障碍物偏离直线传播 而进入几何阴影，并产生光强分布不均匀的现象。 光的衍射为什么不易看到？