初等积分法
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
初等积分法
初等积分法一、什么是积分法？积分法是微积分中的一种重要方法，用于求解函数的不定积分。
它利用导数和原函数的关系，将导数运算的逆运算——积分运算应用于各种函数的定积分问题上。
二、初等积分的概念初等积分又称为不定积分，是指可以用常见的初等函数表达出来的积分。
在初等积分法中，我们通过研究常见的初等函数及其性质，掌握一些基本的积分公式和方法，从而解决各种函数的积分问题。
三、常见的初等积分公式下面是一些常见的初等积分公式：1.∫1 dx=x+Cx n+1+C，其中n为实数且n≠−12.∫x n dx=1n+13.∫e x dx=e x+C4.∫sinx dx=−cosx+C5.∫cosx dx=sinx+C dx=arctanx+C6.∫11+x2这些公式在初等积分中非常常用，掌握它们有助于快速求解各类函数的不定积分问题。
四、常见的初等积分方法除了上述基本公式外，我们还可以通过一些特殊的积分方法来求解一些特定的积分问题。
以下是一些常见的初等积分方法。
1. 分部积分法分部积分法是求解乘积函数积分的一种方法。
根据分部积分法，对于两个可导的函数u(x)和v(x)，有如下公式：∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx通过适当选择u(x)和v′(x)，我们可以将复杂的积分问题化简为简单的形式，从而求解出积分的结果。
2. 三角代换法三角代换法是通过引入三角函数来进行代换，从而简化积分问题的一种方法。
常见的三角代换包括正弦代换、余弦代换和正切代换。
通过适当选择三角函数和变量的取值范围，我们可以将原函数转化为简单的三角函数的积分，然后再进行求解。
3. 有理函数分解法有理函数分解法主要用于分解有理函数为更简单的部分分式形式，并进而求解不定积分。
通过将有理函数展开为若干个分式的和，我们可以利用基本的初等积分公式求解每一个分式，最终得到整个有理函数的积分结果。
4. 特殊函数积分法在初等积分中，还可以通过引入一些特殊函数或定义积分函数来求解一些特殊的积分问题。
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
高数 第九章-初等积分法(1-2节)
v = dx dt
（5）
加速度为
根据牛顿第二定律 F = ma ,可以列出方程
a
=
d2x dt 2
.
（6）
m d 2 x = −k dx + mg ,
dt 2
dt
其中 k 为一正比例常数,右端第一项的负号表示阻力与速度 dx 的方向相反. dt
我们现在只考虑 k = 0 的情形,也就是说物体是在下落过程中没有阻力.（7）式变成
程过点 (x0 , y0 ) 的那条积分曲线.
二阶微分方程的初值问题,记为
y′′ = f (x, y, y′) = y(x0 ) y= 0 , y′(x0 )
.
y0′
其几何意义是：求微分方程的通过点 (x0 , y0 ) 且在该点处的切线斜率为 y0′ 的那条积分曲线.
微分方程的阶数，其通解中所含独立任意常数的个数，以及初始条件的个数，这三个数一定相同.
dx
dx
分离变量,得
1 du = 1 dx , f (u) − u x
介质的温度成正比.例如，设物体在任一时刻 t 的温度为 T (t) ，其起始温度为 T (0) = T0 ，放在温度
为 T1 的空气中冷却，则其冷却速度为 −
dT dt
，于是由正比关系易得
− dT dt
=
k (T
− T1) ,
其中 k 为比例常数.若测得起始温度为
（1）
T (0) = 150C ，
（2）
将初始条件代入 y 与 y′′ 得方程组
2 2
C1
+
2 2
C2
= 1
，
2 2
C1
−
2 2
C2
初等积分法
初等积分法初等积分法是求解函数的不定积分的一种方法，也是微积分中的重要内容之一。
它在许多科学领域的计算中都有广泛的应用，如物理、工程、经济等。
掌握初等积分法不仅可以解决各种实际问题，还可以深化对函数性质和变化规律的理解。
在学习初等积分法之前，我们需要先了解积分的概念。
积分是微积分的两大基本运算之一，它是求解函数的面积、图形的曲线长度以及变化速率的逆运算。
而初等积分法则是通过列式、逐步分解或使用特定的换元和恰当的积分技巧，将被积函数转化为已知的标准积分形式，从而求解出不定积分。
初等积分法中最基本的积分公式是幂函数的积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n（其中n是一个实数，n≠-1），其不定积分可以表示为F(x)=∫x^n dx=C+x^(n+1)/(n+1)，其中C是任意常数。
这个公式是初等积分法的基础，其他许多函数的积分都可以通过变形、换元等方法转化为幂函数的积分来求解。
除了幂函数的积分公式外，初等积分法还包括三角函数、指数函数、对数函数、反三角函数等的积分。
例如，当需要求解∫sin(x) dx 时，我们可以利用三角函数的性质进行换元，在变换后的积分形式中找到对应的已知积分，再将结果代回原积分中求解。
类似地，对于其他函数，我们可以根据其特性和已知的初等函数积分公式，选取合适的变换和积分方法进行计算。
在使用初等积分法求解不定积分时，常常会遇到一些特殊的情况和技巧。
例如，利用分部积分法可以解决乘积型的积分问题，利用有理函数的积分性质和分解可约因式可以简化计算过程。
此外，选择适当的放缩、替换变量、换元等方式，也可以使积分的求解更加简便和高效。
初等积分法的应用范围非常广泛。
在物理学中，初等积分法可以用于求解力、功、能量以及速度、加速度等的变化规律。
在工程学中，初等积分法可以用于解决电路、力学、热传导等问题。
在经济学中，初等积分法可以用于求解经济模型中的变量关系。
而对于一些不能直接求解的特殊函数，我们也可以通过初等积分法计算数值近似解，进一步提高求解精度。
常微分方程-第一章-初等积分法
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程初值问题
y H = f (x; y )的含义 如果将 y 视为系统状态变量，则导数 y H 就是状态的变化率；如果 将自变量视为时间，微分方程 y H = f (x; y ) 可解释为：
=
y (x) 或 x = x(t); y = y (t)。
有：
C 的 速 度 矢 量 为 (xH (t); y H (t)), 则 b=
=
q
(xH (t))2 + (y H (t))2
xH (t) dy dx
s
1+
dy 2
dx
(1)
另：
=
at y x
(2)
黄丹
danh_m@
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
微分方程是微积分的自然延续 微积分是人类科学史上一个划时代的重大发现 微积分在几何上的应用产生了微分几何 在物理上广泛和深入的应用产生了微分方程 微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
黄丹
danh_m@
第一章
初等积分法
物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t = 0 时，在距地 面高度为H 处以初始速度 v (0) = v0 垂直地面下落，求此物体下 落时距离与时间的关系。
2. 初等积分法
z = y1−n
得
dz dx
=
(1 − n)P (x)z
+
(1 − n)Q(x)
(2.18)
这是关于z与x的一阶线性方程。利用线性方程的通解公式求出通解后，再将z = y1−n代
回，便得Bernoulli方程的通解。
注2 如果n > 0，则y = 0也是Bernoulli方程的一个解。
【例12】
求方程
第二章 初等积分法
本章，介绍一阶微分方程的初等积分法。所谓初等积分法，是将微分方程的求解问 题转化为积分问题的方法。
2.1 分离变量法
分离变量法是一种直接求解的方法，是解微分方程的重要方法之一。
定义
2.1
如果一阶微分方程
dy dx
= f (x, y)中的函数f (x, y)可以写成f (x, y) = g(x)h(y)
1 − y2
求解方法：变量替换法 令
u
=
y x
(2.4)
则u是x的函数。为了消去y，将(2.4)变形为y = xu，再两边同时对x 求导，得
dy dx
=
d(xu) dx
=
u
+
x
·
du dx
结合方程(2.3)，有 即
u
+x
·
du dx
=
f (u)
du dx
=
f (u) − u x
(2.5)
这是关于u与x的变量分离方程。按2.1的方法求解，然后再将
dy dx
=
f
(
k(a2x + b2y) + c1 (a2x + b2y) + c2
)
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
第一、二章 基本概念及初等积分法 复习
第一、二章基本概念及初等积分法微分方程的古典内容主要是求方程的解，用积分的方法求常微分方程的解，叫做初等积分法，而可用积分法求解的方程叫做可积类型。
初等积分法一直被认为是常微分方程中非常有用的基本解题方法之一，也是初学者必须接受的最基本训练之一。
在学习过程中，首先要学会准确判断方程的可积类型，然后要熟练掌握针对不同可积类型的5种解法，最后在学习指导书的帮助下，总结一下初等积分法中的各种解法与特点与内在联系，以提高自己的解题能力与技巧。
主要内容回顾一、主要概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式。
常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数构成的等式。
偏微分方程：未知函数是两个或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式。
微分方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。
通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。
由隐式表示的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。
初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。
变量可分离方程：形如 )()(y g x f dxdy =或 dy y N x M dx y N x M )()()()(2211= 的方程称为变量可分离方程。
齐次微分方程：形如)(xy dx dy ϕ=的方程，称为齐次微分方程。
线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。
一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(x f y x p dxdy =+ 如果0)(≡x f ,即0)(=+y x p dxdy 称为一阶线性齐次方程。
如果)(x f 不恒为零，则称)()(x f y x p dxdy =+为一阶线性非齐次方程。
伯努利（Bernoulli ）方程：形如n y x f y x p dxdy )()(=+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。
初等积分法
初等积分法初等积分法是微积分的重要内容之一，它是求解不定积分的一种方法。
通过初等积分法，我们可以将一个函数的不定积分求出来，从而得到它的原函数。
初等积分法的基本思想是利用已知函数的导数与原函数的关系，将待求函数进行分解，然后对每一部分进行积分。
在这个过程中，我们需要借助一些已知的基本积分公式和一些基本的积分技巧。
我们需要明确一点，就是初等积分法只适用于可积的函数。
所谓可积函数，是指在一个给定的区间上，函数的导函数存在且连续。
对于不可积函数，我们需要使用其他的积分方法来求解。
在初等积分法中，常见的基本积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分以及一些特殊函数的积分等。
这些基本积分公式是我们在进行具体计算时的重要工具。
在使用初等积分法时，我们需要注意一些常见的积分技巧。
例如，对于形如$\int f(x) g'(x) dx$的积分，我们可以通过换元法或者分部积分法来进行求解。
而对于一些特殊的函数，如反函数、对数函数等，我们也需要采用相应的积分技巧来求解。
当我们求得一个函数的原函数后，我们可以通过求极限的方法来确定积分的常数项。
这一步骤是非常重要的，因为不定积分的结果是一个函数族，其中包含了无穷多个函数。
我们需要通过给定的边界条件来确定具体的函数。
初等积分法在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过初等积分法来求解质点的位移、速度、加速度等问题；在经济学中，我们可以利用初等积分法来求解消费函数、边际效用函数等问题。
初等积分法作为微积分的重要工具之一，不仅具有理论意义，而且在实际问题的解决中也发挥着重要的作用。
通过初等积分法，我们可以将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而得到问题的解析解。
这大大提高了问题的求解效率和准确性。
初等积分法是求解不定积分的一种重要方法。
它通过利用已知函数的导数与原函数的关系，将待求函数进行分解，然后对每一部分进行积分。
初等积分法不仅适用于可积的函数，而且在实际问题中有广泛的应用。
常微分方程初等积分法解法研究常微分方程及积分因子
常微分方程初等积分法解法研究常微分方程及积分因子初等积分法解常微分方程的关键在于求解不定积分。
不定积分是解微分方程的主要手段，通过找到合适的积分因子，可以将一个一阶微分方程转化为一个可积的方程。
在本文中，将对常微分方程及积分因子进行研究。
dy/dx = f(x, y)其中，f(x,y)是已知函数。
解这个方程的方法之一就是通过积分来找到y。
我们需要将这个方程转化成一个可积的形式。
考虑一个形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶常微分方程。
要将这个方程转化为可积的形式，需要找到一个因子M(x)，使得通过乘以M(x)可以使得原方程的左侧变为一个可积的形式。
这个因子M(x)被称为积分因子。
要找到积分因子，通常通过求解方程 M(x) = 1/M dM/dx = P(x) 来确定。
最常见的积分因子是指数函数，即M(x) = e^(∫P(x)dx)。
通过乘以这个积分因子，原方程可以变为积分形式：d/dx (M(x)y) = M(x)Q(x)通过对上式两边进行不定积分，可以求解出y。
举个例子来说明。
考虑一阶常微分方程 dy/dx + xy = x^2、我们需要找到一个积分因子。
通过解方程 M(x) = 1/M dM/dx = x，可以得到M(x) = e^(1/2 x^2)。
d/dx (e^(1/2 x^2) y) = x e^(1/2 x^2)对上式两边不定积分，得到：e^(1/2 x^2) y = ∫x e^(1/2 x^2) dx通过不定积分求解上式，可以得到y。
通过求解积分因子，我们可以将一阶常微分方程转化为可积的形式。
这种方法适用于一阶线性常微分方程。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一组一阶微分方程来求解。
总结起来，常微分方程及积分因子的研究是通过寻找积分因子来将一阶常微分方程转化为可积的形式。
通过解不定积分，可以求解出未知函数。
初等积分法解常微分方程是一种常用的方法，对于一阶线性常微分方程特别适用。
2 初等积分法
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
10
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
11
二、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得Βιβλιοθήκη du(u) u
dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
12
例1. 解微分方程 y y tan y .
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
t 足够大时
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
8
解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C, 即 M C e t
初等积分法
初等积分法初等积分法是微积分中的重要内容之一，它是求解函数的不定积分的一种常用方法。
通过初等积分法，我们可以将一个函数的原函数求出来，从而得到函数的积分表达式。
在本文中，我们将介绍初等积分法的基本概念、常见的积分公式和一些常见的积分技巧。
初等积分法是微积分中的一种基本方法，它是通过找到一个函数的原函数，从而求出函数的积分表达式。
在求解不定积分时，我们可以使用一些常见的积分公式来简化计算。
例如，对于幂函数，我们可以使用幂函数的积分公式来求解。
对于指数函数和三角函数，我们也可以使用相应的积分公式来求解。
除了使用积分公式外，我们还可以使用一些常见的积分技巧来简化计算。
例如，我们可以使用换元积分法将一个复杂的积分转化为一个简单的积分。
换元积分法是通过引入一个新的变量来进行变量代换，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
此外，我们还可以使用分部积分法来求解一些特殊的积分，例如乘积函数的积分。
在实际应用中，初等积分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
例如，在物理学中，我们可以使用初等积分法来求解物体的位移、速度和加速度等问题。
在工程学中，我们可以使用初等积分法来求解电路中的电流和电压等问题。
在经济学中，我们可以使用初等积分法来求解经济模型中的各种变量。
初等积分法的研究和应用离不开数学家们的努力和智慧。
在过去的几个世纪里，许多数学家为初等积分法的发展做出了重要贡献。
他们不断创造性地提出新的积分技巧和积分公式，从而丰富了初等积分法的内容。
同时，他们还研究了初等积分法的理论基础，从而使初等积分法更加严谨和完善。
初等积分法是微积分中的重要内容之一，它是求解函数的不定积分的一种常用方法。
通过初等积分法，我们可以将一个函数的原函数求出来，从而得到函数的积分表达式。
初等积分法的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等多个领域。
在实际应用中，我们可以使用一些常见的积分公式和积分技巧来简化计算。
初等积分法的发展离不开数学家们的努力和智慧，他们不断创造性地提出新的积分技巧和积分公式，从而丰富了初等积分法的内容。
常微分方程辅导
常微分方程辅导〔填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。
〕第一章 初等积分法一．根本类型：曲线的切线。
例1． 曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m 倍，且通过点),2(n p 。
分析： 〔1〕这是一个具有根本应用型的一阶方程，它通过斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。
〔2〕它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。
解：〔1〕设所求曲线的任意点坐标是),(y x ，依题意，,mx dx dy =积分有C x my +=22， 〔2〕该曲线过点),2(n p ，有C mn +=4*2从而有，,2m n C -=故，所求曲线方程是22x my =+),2(m n -二．根本类型的求解（一）可别离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。
〔一阶线性方程是重点〕1．〔1〕可别离变量方程)()(x g x f dx dy= 别离变量有 ,)()()()(00C dx x f x g dyor dx x f x g dy y y x x ⎰⎰⎰⎰+==〔2〕求解对称式,0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M由0)()(≠x P y N ，得,0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M 从而.)()()()(C dy y N y Q dx x P x M =+⎰⎰例2。
求解方程2211x y dx dy ++=。
分析：1）这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解； 2） 它考核的是求解一阶可别离变量方程这一知识点。
解：方程的通积分为,11122C x dxy dy ++=+⎰⎰即：如arctany=arctanx+C 1.解出y 得到通解y=tan(arctanx+C 1)。
例3． 求方程y xy dxdyx-=的通解. 分析：1〕这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。
第7节 微分方程的初等积分法
常微分方程: 偏微分方程:
微分方程的阶 :
n阶微分方程的一般形式为 F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
1、微分方程的解 : 2、微分方程的通解: 3 初始条件:
n阶微分方程 F(x, y, y,, y(n) ) 0 的初始条件为
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y1,, y (n1) (x0 ) yn1
m
d 2s dt 2
mg
即d 2s dt 2
g
(2)
(2) 若考虑空气的阻力,设阻力大小与速度成正比,
则 F mg kv mg k ds , dt
由此得 m d 2 s mg k ds ,
dt 2
dt
即
d 2s dt 2
k m
ds dt
g
(3)
此外, s(t) 还应满足条件 : s(0) 0, s(0) 0
解 : 令 z y , 则 y z dz , dy
原方程化为：
2y z dz 1 z 2 , dy
注 1：对不显含 y 与不显含 x 的二阶方程，均作变换
z y , 但实际上是有区别的。
2：求二阶微分方程初值问题的解时，应边解边确定 任意常数。
3
例 16 求第一节例 3 中方程 (1 y2 ) 2 a y 的通解。
例 7 求 dy 1 y 1的通解. dx x
解：常数变易法：
齐次方程 dy 1 y 0 的通解: y Cx
设
y
dx C(x) x
为xdy
1
y
1的解,
代入得
dx x
初等积分公式和积分方法单元测试
初等积分公式和积分方法单元测试在学习微积分的过程中，掌握初等积分公式和积分方法是至关重要的。
本文将针对初等积分公式和积分方法进行单元测试，帮助读者检验自己的掌握程度，巩固知识点，提高解题能力。
题目一：求不定积分1. $\int x^2 dx = $2. $\int e^x dx = $3. $\int \frac{1}{x} dx = $4. $\int \sin x dx = $5. $\int \cos x dx = $题目二：利用初等积分公式求定积分1. $\int_{0}^{1} 3x^2 dx = $2. $\int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx = $3. $\int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx = $题目三：曲线下面积计算1. 计算曲线 $y = x^2$ 与 x 轴围成的面积。
2. 计算曲线 $y = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 区间内与 x 轴围成的面积。
题目四：求解微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = x$。
2. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = y$。
题目五：利用换元积分法求不定积分1. $\int e^{2x} dx = $2. $\int \sin(2x) dx = $3. $\int \frac{1}{1+x^2} dx = $题目六：利用分部积分法求不定积分1. $\int x \cos x dx = $2. $\int x^2 e^x dx = $3. $\int x \ln x dx = $题目七：利用定积分性质求解定积分1. $\int_{0}^{2\pi} \sin^2 x dx = $2. $\int_{0}^{1} x^3 dx = $以上题目旨在考察读者对初等积分公式和积分方法的理解和掌握程度，希望大家认真对待，认真答题。
答案将在下一篇文章中公布，敬请期待。
愿大家都能在微积分的学习中取得优异的成绩！。
常微分答案方程.doc
第一章初等积分法§1.1 微分方程和解习题简单，略。
§1.2 变量可分离方程(P14)1.求下列可分离变量方程的通解：(1)ydy = xclx : (2) y = y\n y : (3) y = e x~y : (4) tan ydx—colxdy = Q o解：(1)通解为/ =^2 + Co (2)通解为lny = C0L(3)通解为，=e'+C。
(4)通解为sinycosx = C。
2.求下列方程满足给定初始条件的解：(1))/ =)，(、—1),)，(0) = 1； (2)(疽―i)y +2勺，2 =(),贝())=1 ；(3) / = y(2) = 0; (4) (y2 + xy2)dx-(x2 + yr2)dy = 0,y(l) = -1«解:(1)y=1;(2) y(ln|x2 -1|+1) =1: (3) y, =0,y2 =(x-2)3; (4)-= -厂；。
- y3 .利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程：⑴ y r = f(ax+by^c): (2)孚=二，(封);⑶牛="(易；ax x ax⑷ f(xy)y + g(xy)xy f = 0, /(w)丰 g("), /(w), g(")连续。
解：(1)令〃 = or + ” + c,则u f = a + by =a + hf\u)变量分离。
(2)令a = xy ,则/ = y +板=■ +『鼻f(u) = 〃 + '(")变量分离。
x x~ x(3)令〃 = 则_/= "/+ 2心=对*("), / = ~ 变量分离。
r x(4)令u = xy^ ,则 # = y + w，= y-虫少~ = )变量分离。
g(“) x g(u)4.求解方程xjl -y2dx + y\j\ - x2 dy = 0 o解:通解：Jl —b + Jl —y」=C(C>0)。
微分方程的初等积分法
f (u ) u（可分离变量的方程 )
例 9 求 2 xy
2
2
dy dx
3
2y x
3
3
dy dx
的通解 .
解 : ( 2 xy x ) dy dx 2y
2
dy dx
3
2y
3
2( x )
y
3
2 xy x 3 y du 2u 令 u ,得:
求
dy
y
的通解 .
xe
y
2
dy
[ ye
y dy
2
dy C ] y [ ln y C ].
2
四.可经变量代换化为已知类型的几类一阶线性方程 dy y 1.齐次方程 f( ) ( f (tx, ty) f ( x, y )) dx x
令u x du dx
如 : 前面的 (1) 式为一阶微分方程 微分方程 ,
y
(4) 5
, ( 3 ), ( 4 )为二阶
.
y sin 2 x 为四阶微分方程
微分方程的解 : 满足微分方程的函数.
微分方程的通解 : n阶微分方程含有n个独立的 任意常数的解.
如 (1) 式中的微分方程
2
dy dx
2 x , 显然函数 y x ,
2
2
a y
(4)
2. 基本概念 微分方程 : 含有未知函数及未知函数的导数
或微分的关系式. 常微分方程 : 未知函数为一元函数
有一元函数的导数或微 偏微分方程 : 未知函数为多元函数 导数 . , 关系式中只含 分. , 关系式中含有偏
微分方程的阶 : 微分方程中所含导数的最高阶数
1.1-4微分方程概念及一阶微分方程
此外, s( t ) 还应满足条件 : s(0) = 0, s′(0) = 0.
4
1.1-2
微分方程的初等积分法
求此曲线方程 例 3 设一曲线的曲率半径等 于常数 a ,求此曲线方程 .
解 : 设所求曲线为 y = y ( x ), 则由曲率半径的公式得
(1 + y′ ) y′′
2
3
2
= a,
即
(1 + y′ ) 2 = ± ay′′
12
1.1-2
微分方程的初等积分法
（2） y = C1 cos 3 x + C2 sin 3 x 。
解： y ′ = −3C1 sin 3 x + 3C 2 cos 3 x ，
y ′′ = − 9C 1 cos 3 x − 9C 2 sin 3 x = − 9(C 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x ) ，
2
3
由此式解得 y ( x ), 便是所求曲线 .
5
1.1-2
微分方程的初等积分法
1.1 微分方程的基本概念
1.微分方程的定义 1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分) 含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的 等式称为微分方程。 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 常微分方程 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 偏微分方程。 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
2
1.1-2
微分方程的初等积分法
例 2 质量为 的物体从静止开始自由 下落, 求物体下落 质量为m
的运动规律 .
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