北师大版七年级数学下册第四章《三角形回顾与思考》拓展题含答案

第四章《三角形回顾与思考》拓展题含答案

1．如图，在△ABC 中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠

ACB ，

（1）求∠BPC 的度数；

（2）若∠A 的度数为α，用α表示∠BPC 的度数．

B

2．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，

BE ⊥MN 于E 。

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，△ADC ≌△CEB ，且DE =AD +BE ，

你能说出其中的道理吗？

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，DE =AD -BE 。说说你的理由． （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等

量关系？请写出这个等量关系．

图2

图1

图3

第2题图

第1题图

3．已知∠AOB =120°，OC 平分∠AOB ，点P 是射线OC 上的一点．

图2

图1

F

G D

O B

B

O

A

C

P

A C

P

（1）如图一，过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，说明PD 与PE 相等的理由. （2）如图二，如果点F 、G 分别在射线OA 、OB 上，且∠FPG =60°，那么线段

PF 与PG 相等吗？请说明理由；

4．如图，已知△ABC 中，AB =AC =10cm ，BC =8cm ，∠B =∠C ,点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在

线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为时________cm/s ，在运动过程中能够使△BPD 与△CQP 全等.(直接填答案) （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时

出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇?

第3题图

第4题图

第四章《三角形回顾与思考》拓展解析

1．（1）解：因为BP 平分∠ABC ，∠ABC =80°,

PBC ∠=2

1

ABC ∠=40°

, 同理，PBC ∠=2

1

ACB ∠=25°,

所以∠BPC =180°-∠PBC -∠PCB =115°.

（2）在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，

所以∠PBC =21∠ABC ，∠PCB =2

1

∠ACB ，

所以∠BPC =180°-∠PBC -∠PCB

=180°-21∠ABC -21

∠ACB

=180°-21

(180°-∠A )

=90°+2

1

∠A

文字叙述：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角的度数等于90°加上第三个

角的一半.

2．（1）如图1，

在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ACD +∠BCE =90°， 直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ， 所以∠ADC=90°，∠BEC=90°，∠BEC +∠ADC =90°； 因为ACD CAD +∠∠=90°， 所以∠BCE =∠CAD ， 又因为AC =BC ，

所以△ADC ≌△CEB （AAS ）． 所以AD =CE ，DC =BE ． 所以DE =CE +DC =AD +BE ．

图2

图1

图3

（2）因为AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，

所以∠ADC =∠BEC =∠ACB =90°，

所以∠CAD +∠ACD =90°，∠ACD +∠BCE =90°， 所以∠CAD =∠BCE ， 在△ADC 和△CEB 中

CDA BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

所以△ADC ≌△CEB (AAS)． 所以CE =AD ，CD =BE ． 所以DE =CE －CD =AD －BE ． （3）DE =BE －AD ．

3．解：（1）因为OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC =∠BOC ， 因为PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， 所以∠PDO ＝∠PEO =90° 且OP =OP

所以△POD ≌△POE ， 所以PD =PE ； （2）相等．

理由：过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，

所以∠PMO ＝∠PNO =90°， 因为∠AOB =120°，OC 平分∠AOB ， 所以∠POM ＝∠PON =60°，

同（1）的方法得，证得△PMO ≌△PNO ，PM =PN ． 所以∠OPM ＝∠OPN =30°，

所以∠FPM+∠MPG ＝∠GPN+∠MPG =60°， 所以∠FPM ＝∠GPN ， 所以△PMF ≌△PNG 所以PF =PG ；

4．解：（1）①△BPD ≌△CQP ， 理由如下： 因为t =1s ，

所以BP =CQ =3×

1=3cm ， 因为AB =10cm ，点D 为AB 的中点，

图2

图1

A