工程结构可靠度计算方法中心点法和验算点法讲解
结构可靠度计算
g
(U1*
,U
* 2
,L
,
U
* n
)
0
超切平面方程化简为
n
i 1
g Ui
Pˆ*
(Ui
U
* i
)
0
2012
结构可靠度计算
13
Changsha University of Science & Technology
可靠指标的几何意义
U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。
在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点
在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取
线性项：
Z g X1 , X2 ,L , Xn
n g
i1 X i M
Xi Xi
则功能函数Z的平均值和标准差为
Z g X1 , X2 ,L , Xn
2
Z
n g i1 X i
M
Xi
2012
结构可靠度计算
3
Changsha University of Science & Technology
1、中心点法的优点 直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本
变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即 可计算可靠指标值；
若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合概率分
布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf 值大致在同
一个数量级内；
对正常使用极限状态尤为适用 ( ＝1～2)。
Z g(X1, X2, Xn)
X1, X 2 ,L X n 是表示影响结构可靠度因素的随机变量，
简称基本变量。
X1 , X1 , X2 , X2 ,L Xn , Xn 是基本变量的统计参数。 M (X1 , X2 ,L Xn ) 称为中心点。
结构可靠度设计验算点法介绍
结构可靠度设计验算点法介绍摘要：工程结构应要求具有一定的可靠性，才能保证结构在规定的使用期内能够满足设计要求的各项使用功能。
本文对设计验算点法进行了分类与总结, 同时分析了此计算方法的缺点。
关键字：结构可靠度计算方法缺点1 引言工程可靠度是结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。
是结构可靠性的概率度量[1]。
“规定时间”一般是指结构设计基准期，目前世界上大多数国家普通结构设计基准期均为50年。
设计基准期和设计使用年限是有区别的。
设计基准期是为确定可变作用及与时间有关的材料性能取值而选用的时间参数[2]。
所谓设计使用年限，是设计规定的结构或构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。
是借鉴了国际标准ISO2394：1998提出的，又称为服役期、服务期等。
“预定的功能”指结构在设计基准期内，经济合理的满足下列要求：1、在正常的施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用；2、在正常使用时具有良好的工作性能；3、在正常维护下具有足够的耐久性能；4、在设计规定的偶然时间发生时及发生后，人能保持必须的稳定性。
上述要求的第1、4项关系到人身安全问题，属于结构的安全性，第2项关系到结构的适用性；第3项关系到结构的耐久性。
安全性、适用性和耐久性总称为可靠性。
要注意安全性与可靠性的区别，可靠性的范围更大[3]。
我国结构可靠度理论的研究相对起步较晚。
1954年，大连工学院提出用数理统计学中的误差公式，计算各种荷载组合的总超载系数及构件的总匀质系数，代替各分项系数。
1960年又提出用数理统计法计算的安全系数与经验系数相结合，设计混凝土结构构件。
1978年，借鉴了JCSS编制的《结构统一标准规范的国际体系》，采用了水准Ⅱ的概率极限状态设计法，进行《建筑结构统一设计标准》的编制和研究。
1992年正式颁布了适用于全国的《工程结构可靠度设计统一标准》（GB50216—94）等6个统一标准。
在“统一标准”的指导下，对建筑、水利等各专业结构设计规范进行了大规模的修订或编制。
第八章工程结构可靠度计算方法
第八章工程结构可靠度计算方法
工程结构可靠度计算方法是一种能够精确分析和了解工程结构可靠性
水平的计算方法。
工程结构可靠性是指工程结构可以承受外力，设计精确，在受到外力作用下不会出现不可预料或不可控制的变形、破坏或失效等状
况的程度。
因此，判断工程结构可靠性非常重要，对于工程结构的安全也
尤为重要。
工程结构可靠性计算方法可以分为三大类：统计计算方法、概率分析
计算方法和系统安全性评价计算方法。
统计计算方法是基于一组已经知晓
的数据，例如故障率和故障排除率等对工程结构可靠性进行评价的一种方法。
概率分析计算方法是基于一系列已知的事件，通过计算这些事件发生
的可能性以及其发生后的结果评价工程结构可靠性的一种方法。
系统安全
性评价计算方法则从系统安全性的角度评价工程结构的可靠性，通过针对
失效与故障的影响，来计算不同系统的不确定性程度，评价工程结构在受
外力影响时的可靠性。
工程结构可靠性计算方法是工程结构可靠性评估的重要工具，能够有
效提高建筑结构的可靠性和安全性。
工程结构可靠度计算方法
工程结构可靠度计算方法工程结构可靠度计算是一种用来评估工程结构系统在给定的设计条件下能够正常运行的能力。
通过可靠度计算，可以评估结构在各种设计负载下的可用寿命、安全系数以及潜在的失效模式。
因为结构的可靠性直接关系到工程安全性和经济性，因此可靠度计算在工程领域中具有非常重要的意义。
工程结构可靠度的计算方法有多种，下面将介绍常见的几种方法。
一、确定性方法确定性方法是最简单的可靠度计算方法，它假设结构的参数和负载都是确定值，并且不考虑不确定性因素的影响。
在确定性方法中，常用的计算方法有极限状态法和等效正态法。
极限状态法是通过将结构的参数和负载转化为正态分布的随机变量，利用统计方法进行计算。
该方法假设结构的失效状态是定义好的，当结构的极限状态超过给定的设计阈值时，认为结构失效。
这种方法在可靠性计算中广泛应用，其计算过程相对简单，适用于一般的工程结构。
等效正态法是将结构的参数和负载转化为正态分布的随机变量，并通过概率统计的方法计算结构的可靠度。
该方法假设结构的失效状态服从正态分布，在计算过程中需要对结构各参数的概率分布进行估计。
这种方法计算精度较高，但计算过程相对复杂。
二、概率方法概率方法是一种基于概率论的可靠度计算方法，它充分考虑了结构参数和负载的不确定性因素，通过对模型进行概率分析，得到结构的可靠度指标。
概率方法包括蒙特卡罗模拟法、局部线性化法和形式法等。
蒙特卡罗模拟法是一种基于统计随机过程的可靠度计算方法，通过随机数生成来模拟结构的参数和负载的随机变化，进行多次重复实验来估计结构的可靠度。
这种方法计算精度较高，但计算量较大。
局部线性化法是一种逼近方法，在计算过程中将非线性结构系统转化为线性系统，通过求解线性方程组来得到结构的可靠度。
这种方法在计算精度和计算速度之间能够取得较好的平衡。
形式法是一种基于形式可靠度指标的可靠度计算方法，通过建立结构的失效模式，利用形式可靠度指标来评估结构的可靠性。
该方法适用于结构有多个失效模式的情况，计算过程相对简单，但计算精度有一定的误差。
建筑结构可靠性鉴定概述
结 构 可 靠 度 鉴 定 与 加 固
一、基本概念 1、结构构件的失效性质（根据其材料和受力性质不同） 脆性构件 --一旦失效立即完全丧失功能的构件 延性构件--失效后仍能维持原有功能的构件
构件失效性质的不同，对结构体系可靠度的影响不同 2、结构体系的失效模型
组成结构的方式（静定、超静定）
--为确定可变作用及时间有关的材料性能等取值而选用的时间参数 规范所采用的设计基准期为50年 设计基准期不等同于建筑结构的设计使用年限
足够的耐久性--指结构在规定的工作环境中，在预定时期内，其材
料性能的恶化不致导致结构出现不可接受的失效概率。 从工程概念上讲，足够的耐久性就是指在正常维护条件下结构能够
3、偶然状况—在结构使用过程中出现概率很小，且持续期很短的状况， 如火灾、爆炸、撞击等。
建筑结构的三种设计状况应分别进行承载力极限状态设计
1、对三种状况，均应进行承载力极限状态设计 2、对持久状况，尚应进行正常使用极限状态设计 3、对短暂状况，可根据需要进行正常使用极限状态设计
结 构 可 靠 度 鉴 定 与 加 固
= z / z
Pf
Ps
↑ P f =1- ( ) 结构可靠指标
S Z R 2 2 Z R S
第二节 结构可靠度分析的实用方法 中心点法
结 构 可 靠 度 鉴 定 与 加 固
~ 只适用于基本变量为正态分布、功能函数为线性的情况 验算点法（JCSS建议）
~ 能够考虑非正态基本变量、非线性极限状态方程
一、中心点法
1、结构功能函数为线性函数Z
n a0 ai X i i 1
Z a0
中心点法和设计验算点法的基本思路及其优缺点
中心点法和设计验算点法的基本思路及其优缺点文摘：在采用结构的可靠指标来度量结构的可靠度时,采用一次二矩法,其中包括中心点法和验算点法。
中心点法不考虑基本变量的实际分布,导出结构可靠指标的公式。
但是荷载一般服从极值Ⅰ型分布，结构抗力服从正态分布，，而当量正态模式，并把极限状态函数推到多于两个变量的非线性的跟一般的情况，就是验算点法。
中心点法的优点是计算简便，β值是近似的，存在误差。
验算点法可对可靠度指标进行精度较高的计算，但较复杂。
关键词：可靠指标、失效概率、中心点法、验算点法、迭代法。
《建筑结构可靠度统一标准》将结构在规定的时间呢，在规定的条件下，完成预定功能的能力成为可靠性。
可靠度是对可靠性的概率量度，在可靠性度分析中，首先应建立结构的功能函数，进而确定结构构件或体系的极限状态方程。
结构的功能函数可以用一下变量表示：Z=g(X1,X2,…Xn),适中的变量表示基本变量。
若另R 表示结构抗力，S 表示荷载效应，则Z 为随机变量，Z 可能出现三种情况：①Z=R-S ＞0,结构处于可靠状态。
②Z=R-S=0，结构处于极限状态。
③Z=R-S ＜0，结构处于失效状态。
已知随机变量Z=R-S 的概率密度函数如图所示，失效概率Pf为密度函数与OZ 负轴所围成的面积，可靠概率Ps 为剩余面积。
又Z Zμβσ=，可以看出β与Pf 值一一对应，β越大，Pf 越小。
运用中心点法时，导出结构的可靠指标的计算公式，在分析是采用泰勒公式不考虑基本变量的实际分布，直接按其服从的正态分布或对数正态分布，在分析时采用泰勒级数在中心点展开。
在使用中心点法时，主要思想是把荷载和抗力所服从的函数根据β的定义把二者的函数标准化后求出β.当抗力R 和荷载效应S当抗力R 和荷载效应S 相互独立且均服从对数正态分布时，可靠度指标为：β=lnR μβ=当多个随机变量服从正态分布时，在实际工程中，状态函数的基本变量往往不止一两个，也不一定服从正态分布或对数正态分布。
可靠度计算方法
一次二阶矩法当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。
中心点法中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为S R Z -=的可靠度问题，可靠度指标为ZZσμβ=当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为22SRS R σσμμβ+-=上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数),,,(21n X X X X g Z =其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。
将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似)()(),,,(121i X i ni in X L X X g g Z Z μμμμμ-∂∂+=≈∑= 函数的均值和方差分别为),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-=≈ni X i X Z L ZZ i L LXg Z E 122)()(σμμσσ 由中心点法的可靠度指标的定义，从而有∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈=n i X iX X X X X Z Z inX g g 12)(),,,(21σμμμμσμβ 从式和的推导可以看出，中心点法使用了结构功能函数的的一次泰勒级数展开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称为二阶矩模式。
结构可靠度-可靠度分析方法
利用对数正态分布的特性------ ln X 服从正态分布，
可以推出：
X ' X * ln X
X ' X 1 ln X ln X
验算点法
用当量正态变量
X
' i
的统计参数
、 X
' i
X
' i
代替
Xi
的统计参数 Xi 、 Xi 后，关于正态变量计算 的
方法均可适用。
对于大多数的非正态随机变量，并不能由其概率
S
2 R
2 S
cosRˆ
R
2 R
2 S
R S p OˆP
2 R
2 S
可见：在坐标系 SˆOˆRˆ 中，极限状态直线的法线
OˆP 的长度恰好等于 。
验算点法
结构可靠指标 的几何意义：
------是标准正态坐标系中原点到极限状态直线的 最短距离。
设计验算点
法线的垂足 P点称为设计验算点。
基本思路： 当量正态化
非正态变量
正态变量
当量正态化条件：
设X为非正态连续型随机变量，在 X 处进行当量正态 化，即找一个正态随机变量 X ' ，使得在 X 处满足：
⑴、正态变量 X ' 的分布函数在 X 处的值 FX ' X 与 非正态变量 X 的分布函数在 X 处的值 FX X 相等；
结构构件可靠度的计算方法讲解
3.1.1 基本概念
- 均值点或中心点:非线性功能 函数的泰勒级数的均值展开 点
S
S
均值点
●
R
R
- 一次: 在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算分析时，保留随 机变量的一次项和常数项。
f (x)
f (x0 )
f '(x0 )(x x0 )
f
' ' ( x0 2!
)
(x
x0
)2
...
第三章 结构构件可靠度计算方法
第三章 结构构件可靠度计算方法
主要内容：
3.1 均值一次二阶矩法 3.2 改进的一次二阶矩法 3.3 响应面法 3.4 优化法 3.5 蒙特卡洛（Monte-Carlo Simulation）法
第三章 结构构件可靠度计算方法
3.1 均值一次二阶矩法
3.1 均值一次二阶矩法
(9) 总结 a、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构 的安全性越高。
0.981 1.373 1.765
Pf* 0.1381 0.0926 0.0620
b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指标计算失效概率，
其误差大，也即是
不成立。
Pf
c、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面。
– X空间的可靠指标：
mZ
n i 1
(mXi
xi*
)
g X i
X P*
Z
i
n 1
2 X
i
g X i
2
X P*
– U空间设计验算点：
i cosUi
Ui* cosUi i
n
可靠度实用计算方法
设功能函数Ｚ＝g
(x1,
x2,·····,
xn)按
Ui
X i Xi Xi
将X空间变换到Ｕ空间，得 Ｚ＝g1(U1,U2,…,Un)
可靠指标在几何上就是U空间内从原点Ｍ（即中 心点）到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超 曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点P*(u1*,u2*,····,un*)
则判断结构是否可靠的功能函数为Z＝g(R,S)=R－S
结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为Pf ：
Pf PZ 0 f xdx f x1, x2,, xn dx1dx2 dxn
F
x,x2 ,...,xn1 F
利用上式计算结构的失效概率当然是最理想最精确的，但是 在实际应用中却有以下困难：
按泰勒级数展开
Z
g(mx1, mx2 ,, mxn)
n
(Xi
i 1
mxi
)
g X i
mxi
n i 1
(Xi
mxi )2 2
2g X 2
i
mxi
取线性项，做线性化处理
n
g
Z
g (mx1, mx2 , , mxn )
(Xi
１）选择合理的结构计算模型（计算简图）；
２）荷载与内力计算及荷载效应组合
３）结构或构件截面设计与验算； ４）确定合理的截面尺寸与材料用量等。
当结构计算模型选定后，需要涉及许多参数。这些参数可归 纳为主要的两大类：
一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数，包括施加在 结构上的直接作用或引起结构外加变形或约束变形的间接作用，如结 构承受的设备、车辆及施加于结构的刚荷载、雪荷载、土压力、温度 作用等。
可靠度计算方法
一次二阶矩法当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。
中心点法中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为S R Z -=的可靠度问题，可靠度指标为ZZσμβ=当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为22SRS R σσμμβ+-=上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数),,,(21n X X X X g Z =其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。
将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似)()(),,,(121i X i ni in X L X X g g Z Z μμμμμ-∂∂+=≈∑= 函数的均值和方差分别为),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-=≈ni X i X Z L ZZ i L LXg Z E 122)()(σμμσσ 由中心点法的可靠度指标的定义，从而有∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈=n i X iX X X X X Z Z inX g g 12)(),,,(21σμμμμσμβ 从式和的推导可以看出，中心点法使用了结构功能函数的的一次泰勒级数展开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称为二阶矩模式。
第8章 工程结构可靠度计算方法2
GB50068—2001规定：结构设计使用年限分类
类别 设计使用年限（年）
示例
1
5
临时性结构
2
25
易于替换的结构构件
3
50
普通房屋和构筑物
可靠指标 1 Z Z Z
f Z
Z
Pf
0
Z
Z
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.3可靠指标的概念
结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为Pf ：
Pf PZ 0 f xdx f x1, x2,, xn dx1dx2 dxn
2 S
§8.2 中心点法
§8.2.3多个随机变量服从正态分布的情况
该法首先将结构功能函数在随机变量的平均值（中心点） 算用泰勒级数展开并取线性项，然后近似计算功能函数的 平均值和标准差。可靠指标直接用功能函数的平均值和标 准差之比表示。 设结构的功能函数为
Ｚ＝g(X1 , X2 ····· Xn)
4、在设计规定的偶然事件发生时及发生后，仍能保持必要
的整体稳定性
1项、4项 结构安全性的要求
2项
结构适用性的要求
3项
结构耐久性的要求
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
设计使用年限(design working life)
——设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其 预期目的使用的时期
Xi
Xi
2
§8.2 中心点法
§8.2.3多个随机变量服从正态分布的情况
第五章工程结构可靠度计算方法
状态之一时，即认为超过了承载能力极限状态：
①整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡
（如倾覆等）。例如，烟囱在风力作用下发生整
体倾覆，或挡土墙在土压力作用下发生整体滑移。
②结构构件或连接因材料强度被超过而破坏（包
括疲劳破坏），或因过度的塑性变形而不适于继
续承载。例如，轴心受压柱中混凝土到达其抗压
强度；或阳台雨棚等悬挑构件因钢筋锚固长度不
支座移动、收缩、徐变等。 2)适用性：在正常使用条件下，结构应能具有良好 的使用功能。如吊车梁变形过大则影响运行，水 池裂缝便不能蓄水，这些情况虽不引起倒塌，但 使结构丧失使用功能。 3)耐久性：在正常维护条件下，结构应能在预计的 使用年限内满足各项功能要求。例如，在设计基 准期内，混凝土老化，钢筋的锈蚀均不应超过一 定限度而影响使用功能。
σz
p f
0
μz
9Z
用上面公式求结构可靠度一般要通过多维积分,比 较复杂.为此引入可靠度指标来度量结构的可靠度.
以下介绍结构可靠度分析的实用方法。
5.2结构可靠度分析的实用方法
1.中心点法 中心点法不考虑基本随机变量的实际分布， 直接按其服从正态或对数正态分布，导出结 构可靠度指标的计算公式。由于分析时采用 了泰勒级数在统计中心点展开，故称中心点 法。
s
11
R
结构可靠指标定义为: 1 z z z
则结构失效慨率 p f .
③影响正常使用的振动（如振幅过大)； ④影响正常使用的其他特定状态。
虽然超过正常使用极限状态的后果一般不如超过 承载能力极限状态严重，但是也不可忽视。例如， 过大的变形会造成房屋内粉刷层剥落，填充墙和 隔断墙开裂，以及屋面积水等后果；在多层精密 仪表车间中，过大的楼面变形可能会影响到产品 的质量；水池、油罐等结构开裂会引起渗漏现象； 过大的裂缝会影响到结构的耐久性；过大的变形 和裂缝也将使用户在心理上产生不安全感.
工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法讲解
Z=R-S>0 结构处于可靠状态
Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 f (Z)
Z=R-S<0 结构处于失效状态
βσZ
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结的构能力在规定的时间内，P在f 规定的条件下，完成预定功能
结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下z ，完成预定功Z 能 的概率，以可靠概率Ps表示
Ｘ
Xi '
xi*
1[F Xi
(xi*)] Xi
Xi ' {1[FXi (xi*)]}/ fXi (xi*)
式中 —标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi’、σXi’后根据验算点法可计算β值
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标β
(1)β的几何意义
标准正态化坐标系中, β就是原点o’到极限状态直线的最
短距离o’P*，其中cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向 余弦。
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
P* (Sˆ*, Rˆ * )
Sˆ* coss
足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法.ppt
Rˆ R R
S
S
S
0'
Sˆ
R
S
以 Rˆ 和 Sˆ 表述的极限状态
S
Z R Rˆ S Sˆ R S 0
用
2 R
2 S
除上式得
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
R Rˆ S Sˆ R S 0
2 R
2 S
2 R
2 S
2 R
2 S
f (Z) f (t)
Z
Pf
Z
1
t2
e2
dt
(
Z
)
2
Z
1
σz
式中 () —标准正态函数
Pf
( Z ) ( ) 1 ( ) Z
0 z
tZ
β
1.00
2.00
2.70
3.09
3.20
3.70
4.20
Pf 15.86×10-2 2.27×10-2 3.47×10-3 1.00×10-3 6.87×10-4 1.08×10-4 1.34×10-5
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
Z=R-S
Z=R-S>0 结构处于可靠状态
Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 f (Z)
Z R S
Z
2 R
2 S
fZ (z)
1
1( Z Z )2
e 2 Z
工程结构可靠度计算方法
功能函数为非线性时，上式确定的积分也会亦得相当复杂。
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
中心点法： 只适用于基本变量为正态分布、功能函数 为线性的情况
失效概率 Pf PZ 0
Z Z
0
f Z dZ
0 1 Z 2
GB50068—2001规定：结构设计使用年限分类
类别5 临时性结构
示
例
易于替换的结构构件
3
4
50
100
普通房屋和构筑物
纪念性建筑和特别重要的建筑结构
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
设计基准期(design reference period) ——为确定可变作用及时间有关的材料性能等取值而
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
结构的可靠性：结构在规定的时间（设计使用年基准期 ）内，在规定的条件下（正常设计、正常施工、正常使 用），完成预定功能的能力（结构的安全性、适用性和 耐久性）
可靠度：是对结构可靠性的概率度量，即结构在规定的 时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。
1
1 Z Z 2 e Z
1 X2 e 2 dX
dZ
令
Pf
1 2
1 X2 e 2 dx
1 2
1
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
公式 p f 1 推导
Z 可靠指标 Z Z
1
Pf
f Z
Z
0
关于可靠度分析的若干方法
关于可靠度分析的若干方法1.一次二阶矩法 （1）中心点法中心点法的基本思路就是将非线性功能函数在其随机变量均值(中心点)处Taylor 级数展开并取至一阶项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，而结构可靠度可用功能函数的均值和标准差来表示。
假设n x x x ,...,,21为结构中互不相关的n 个基本随机变量，其均值为),...,2,1(n i ix =μ标准差为),...,2,1(n i i x =σ，将功能函数Z=G(n x x x ,...,,21)在均值处Taylor 级数展开并取至一阶项：)(),...,,(121i n x i ni i x x x x x G G Z μμμμμ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=∑= 由此可计算出功能函数的均值和标准差为：),...,,(21nx x x Z G μμμμ=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ni x i Z i x G 122σσμ从而结构的可靠度可表示为：∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==ni x i x x x Z Z inx G G 122),...,,(21σμμμσμβμ由以上论述可知，中心点法的最大的优势在于计算简便，不需要进行过多的数值计算，但其缺陷也是非常明显的：①不考虑随机变量的分布类型；②将非线性功能函数在基本随机变量均值处展开不合理，这是因为均值不一定在结构的极限状态面上，因此展开后的功能函数可能会较大地偏离原来的极限状态面；③对有相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程，求得的结构可靠指标值不同。
（2）验算点法（JC 法）验算点法的特点是能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠指标β进行精度较高的计算。
对于极限状态方程中包含非正态分布的随机变量的情形，在进行其可靠度分析时，一般要把非正态随机变量当量化为正态随机变量。
当量正态化方法即为JC 法。
它的基本思想就是：①在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的分布函数值*I X F 与原随机变量(其均值*i x μ ，标准差为*I x σ)的分布函数值*I x F 相等；②在设计验算点*x 处，当量正态随机变量*X (其均值*IX μ ,标准差为*IX σ)的概率密度函数值*IX f 与原随机变量(其均值*ix μ ，标准差为*Ix σ)的概率密度函数值*Ix f 相等。
验算点法在工程结构可靠度编程中的运用
验算点法在工程结构可靠度编程中的运用（北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京，100191）摘 要：用验算点法对可靠度编程中的关键问题进行了探讨并给出了解决方法。
这些问题主要包括随机变量服从正态分布的情形且功能函数为非线性和随机变量不服从正态分布时的当量正态化方法。
针对这两种情况运用了两个编程算例来说明验算点法在可靠度分析中的运用。
关键字：验算点法、可靠指标、正态分布函数、非正态随机变量、当量正态化1. 前 言结构可靠度为结构在规定的时间内和规定的条件下完成预定功能的概率。
结构可靠性理论的研究，起源于对结构设计、施工和使用过程中存在的不确定性的认识，以及结构设计风险决策理论中计算结构失效概率的需要。
结构可靠度计算方法有一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡洛方法及其他方法。
一次二阶矩方法又分为中心点法和验算点法，其中验算点法是目前可靠度分析中最常用的方法。
由于这两种方法都是将非线性功能函数作为一次泰勒级数展开，并使用了随机变量的平均值（一阶矩）和方差（二阶矩），故称为一次二阶矩方法。
利用验算点法计算结构的可靠指标时，需要预先知道验算点的坐标值，而对于非线性结构功能函数和非正态随机变量的情形，验算点坐标值是不能预先求得的，因此一般需要迭代求解。
2. 随机变量服从正态分布的情形2.1 功能函数为线性函数功能函数随机变量Z 是一个正态随机变量，其概率密度函数和U 的密度曲线如图1示图1 一个随机变量时的可靠指标（左图为正态随机变量，右图为标准正态随机变量） 假定存在n 个相互独立的随机变量，12,,...,n X X X ，其均值为12,,...,n X X X μμμ，标准差为12,,...,nX X X σσσ结构功能函数为：()∑=+==ni i i x X a a g Z 10n 321...X X ,X ,X （1）其中()n i a i ...3,2,1=为常数将随机变量()n i X i ...3,2,1=变换为标准正态随机变量()n i Y i ...3,2,1=()n i X Y iiXX i i ...3,2,1=-=σμ （2）则由（1）表示的功能函数表示成()()123n 00111Y ,Y ,Y ...Y i i i i nn nY i X X i i X i X i i i Z g a a Y a a a Y μσμσ=====++=++∑∑∑从而功能函数的平均值和标准差表示为∑=+=ni Xi Z ia a 10μμ ∑==ni X iZ ia122σσ按照严格的可靠度指标定义∑∑==+==ni Xini X i ZZ iiaa a 12210σμσμβ （3）可靠度指标和结构失效概率存在精确的对应关系()β-Φ=f P对极限状态方程 0110=++=∑∑==ni X i n i X i Y a a a Zi i σμ两端同时除以∑=-ni X iia122σ得到：0122101221=+--∑∑∑∑====ni Xini X i ni Xini X i iiiiaa a aY a σμσσ（4）与公式（3）比较，有01221=--∑∑==βσσni Xini X iiiaYa （5）令()n i aa ni XiX i Y Y iii i ,...3,2,1cos 122=-==∑=σσθα公式（5）可以写成：0cos 11=-=-∑∑==βθβαni i Y ni Y Y Y i i（6）公式（6）表示的是一法线式的直线方程，i Y θcos 为法线与坐标轴夹角余弦1cos 1=∑=ni Y iθ图2 可靠度指标的几何意义及验算点验算点在Y 空间（标准正态空间）表示为：()**3*2*1*...,,n y y y y =y 在X 空间表示为：()**3*2*1*...,,n x x x x =x两者之间的关系为：()n i y x iX X i i i ,...3,2,1**=+=σμ 根据几何关系有：()n i y ii Y Y i ,...3,2,1cos *===θββα在X 空间，验算点坐标值：()n i x i i i i i i Y X X Y X X i ,...3,2,1cos *=+=+=θβσμβασμ通常表示为：()n i x ii i i i i X X X X X X i ,...3,2,1cos *=+=+=θβσμβασμ2.2 功能函数为线性函数1Y假定随机变量12,,...,n X X X 服从正态分布，但结构功能函数不再是线性函数，显然，这时精确求解Z 的平均值和标准差是非常困然的。
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?? i
p*
1
②
??
?
n
(
?g
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??
p*
?2 i )2?
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g
(
X
* 1
,
X
*
2
?
，X*n ) ?
0
③
设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点
Z=R-S
Z=R-S>0 Z=R-S=0 Z=R-S<0
结构处于可靠状态 结构处于极限状态 结构处于失效状态
极限状态方程 f (Z) βσZ
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结构在规定的时间内，P在f 规定的条件下，完成预定功能 的能力
结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件?下z ，完成预定功Z 能 的概率，以可靠概率Ps表示
需在设计验算点xi＊处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随 机变量（当量正态化处理）
根据设计验算点xi＊处当
f(Q)
量正态化条件
FX ' (x*) ? FX (x*)
fX'(x*) ? fX (x*)
得当量正态变量Ｘ i' 的特征值
0 Ｘ* μ 'X μ X
Ｘ
? Xi'
?
xi*
?
?
?1[F Xi
三 验算点法
为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出 当量正态变
量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验
算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用
1 两个相互独立的正态分布变量R和S
极限状态方程为： Z ? R ? S ? 0 R?R
R=S极极限限状状态态线线
对R和S作标准化变换
知识回顾
一 结构可靠度的基本概念
1 结构的功能要求
◆安全性：结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保 持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏
◆适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求 ◆耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有
2 多个正态分布随机变量
极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布 Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0
对Xi作标准化变换
X? i ? X i ? ? i ?i
Xi ? ? i X?i ? ? i
Z ? g (? 1 X?1 ? ? 1,? ， ? nX? n ? ? n ) ? 0
(1) 假设一组Xi＊值，通常取Xi＊＝μi (2) 求cosθi (3) 由Xi*=σiβcosθi+μi，求X1*，X2*，…，Xn* (4) 代入g(X1*，X2*，…，Xn*)=0求β (5) 重复(2) - (4)求β,与前一轮值比较，直至两轮β值的差小于
允许值为止
3 多个非正态分布随机变量
Xi* ? ? i? cos?i ? ?i ①
cos?i ?
?g ?X i
?? i
p*
1
②
?? n ?g
?( ?? i?1 ?X i
?2
?? i )2 ?
p*
??
g
(
X
* 1
,
X
* 2
?
，X
* n
)
?
0
③
由于P*点未知，用式① ② ③不能直接求出β，需采用迭代法结合式 ① ② ③确定结构设计验算点坐标和计算β
R? ? R ? ? R
? S?
S
?
?S
0'
S?
?R
?S
以 R? 和 S? 表述的极限状态
S
Z ? ? R R? ? ? S S? ? ? R ? ? S ? 0
用?
?
2 R
?
?
2 S
除上式得
? ? R R? ? ? S S? ? ? R ? ? S ? 0
?
2 R
?
?
2 S
?
2 R
?
?
2 S
?
2 R
?
?
2 S
? ? R R? ? ? S S? ? ? R ? ? S ? 0
?
2 R
?
?
2 S
?
2 R
?
?
2 S
?
2 R
?
?
2 S
R? ? R
0' ?S
?
P*
极限状态线
S?
cos? R ? ?
?R
?
2 R
??
2 S
cos? S ?
?S
?
2 R
?
?
2 S
cos? R R? ? cos? S S? ? ? ? 0
(xi*)]??
Xi
?
Xi '
?
? {?
[F ?1 Xi
(xi*)]}/
f Xi
(xi*)
式中 ? —标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi' 、 σXi' 后根据验算点法可计算β值
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布
X? n
在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 ?到曲面的最短距离?P*就 是结构可靠指标β
极限状态曲面
X? n *
P*
θn
θ1
θ2
X? 1 *
X? 2 *
X? 2
X?1
可证明在原坐标系中P *的坐标为
Xi* ? ? i? cos?i ? ?i ①
cos?i ?
?
?g ?Xi
?? ? PS ? P(Z ? 0) ? 1- Pf ? ? fx ( X1X 2 ? X n )dX1X 2 ? X n
4 结构的可靠指标
Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度
量结构的可靠程度 ? ? ? Z ? 1 ? Z ?Z
β值与Pf值也一一对应， β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高
S?* ? ? cos? s
R?* ? ? cos? R
R? ? R ?*
0' ? ?S
R?*
P*
极限状态线
S?
在原坐标系中，验算点的坐标
S * ? ? S ? ? S ? cos? S R* ? ? R ? ? R ? cos? R
且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程
Z ? R* ? S* ? 0
极限状态直线的 标准法线式方程
(1)β的几何意义
标准正态化坐标系中, β就是原点o'到极限状态直线的最 短距离o'P*，其中cosθS、cosθR为o'P*对各坐标向量的方向 余弦。
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点
P*称为结构的设计验算点
P*(S?*, R?* )
足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况