工程结构可靠度计算方法中心点法和验算点法讲解

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，X*n ) ?
0
③
设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点
S?* ? ? cos? s
R?* ? ? cos? R
R? ? R S?*
0' ? ?S
R?*
P*
极限状态线
S?
在原坐标系中，验算点的坐标
S * ? ? S ? ? S ? cos? S R* ? ? R ? ? R ? cos? R
且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程
Z ? R* ? S* ? 0
X? n
在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 ?到曲面的最短距离?P*就 是结构可靠指标β
极限状态曲面
X? n *
P*
θn
θ1
θ2
X? 1 *
X? 2 *
X? 2
X?1
可证明在原坐标系中P *的坐标为
Xi* ? ? i? cos?i ? ?i ①
cos?i ?
?
?g ?Xi
知识回顾
一 结构可靠度的基本概念
1 结构的功能要求
◆安全性：结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保 持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏
◆适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求 ◆耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有
?
?
2 S
? ? R R? ? ? S S? ? ? R ? ? S ? 0
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2 R
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cos? R R? ? cos? S S? ? ? ? 0
?? ? PS ? P(Z ? 0) ? 1- Pf ? ? fx ( X1X 2 ? X n )dX1X 2 ? X n
4 结构的可靠指标
Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度
量结构的可靠程度 ? ? ? Z ? 1 ? Z ?Z
β值与Pf值也一一对应， β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高
(1) 假设一组Xi＊值，通常取Xi＊＝μi (2) 求cosθi (3) 由Xi*=σiβcosθi+μi，求X1*，X2*，…，Xn* (4) 代入g(X1*，X2*，…，Xn*)=0求β (5) 重复(2) - (4)求β,与前一轮值比较，直至两轮β值的差小于
允许值为止
3 多个非正态分布随机变量
Z=R-S
Z=R-S>0 Z=R-S=0 Z=R-S<0
结构处于可靠状态 结构处于极限状态 结构处于失效状态
极限状态方程 f (Z) βσZ
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结构在规定的时间内，P在f 规定的条件下，完成预定功能 的能力
结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件?下z ，完成预定功Z 能 的概率，以可靠概率Ps表示
(xi*)]??
Xi
?
Xi '
?
? {?
[F ?1 Xi
(xi*)]}/
f Xi
(xi*)
式中 ? —标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi' 、 σXi' 后根据验算点法可计算β值
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布
极限状态直线的 标准法线式方程
(1)β的几何意义
标准正态化坐标系中, β就是原点o'到极限状态直线的最 短距离o'P*，其中cosθS、cosθR为o'P*对各坐标向量的方向 余弦。
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点
P*称为结构的设计验算点
P*(S?*, R?* )
需在设计验算点xi＊处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随 机变量（当量正态化处理）
根据设计验算点xi＊处当
f(Q)
量正态化条件
FX ' (x*) ? FX (x*)
fX'(x*) ? fX (x*)
得当量正态变量Ｘ i' 的特征值
0 Ｘ* μ 'X μ X
Ｘ
? Xi'
?Βιβλιοθήκη Baidu
xi*
?
?
?1[F Xi
足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
三 验算点法
为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出 当量正态变
量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验
算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用
1 两个相互独立的正态分布变量R和S
极限状态方程为： Z ? R ? S ? 0 R?R
R=S极极限限状状态态线线
对R和S作标准化变换
2 多个正态分布随机变量
极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布 Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0
对Xi作标准化变换
X? i ? X i ? ? i ?i
Xi ? ? i X?i ? ? i
Z ? g (? 1 X?1 ? ? 1,? ， ? nX? n ? ? n ) ? 0
R? ? R ? ? R
? S?
S
?
?S
0'
S?
?R
?S
以 R? 和 S? 表述的极限状态
S
Z ? ? R R? ? ? S S? ? ? R ? ? S ? 0
用?
?
2 R
?
?
2 S
除上式得
? ? R R? ? ? S S? ? ? R ? ? S ? 0
?
2 R
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2 S
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2 R
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2 S
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2 R
Xi* ? ? i? cos?i ? ?i ①
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0
③
由于P*点未知，用式① ② ③不能直接求出β，需采用迭代法结合式 ① ② ③确定结构设计验算点坐标和计算β