4-2 正态随机变量的线性组合
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ( 1
X Y 1
1
}
) ( . ) .
3.小
结
正态分布的重要性质（定理２）：两个或多个相互
独立的正态分布的线性组合仍是正态分布．
即 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且
C 1 X 1 C 2 X 2 ... C n X n ~ N ( C 1 μ 1 C 2 2 ... C n n , C 1 σ 1 C 2
总电阻W 超过19的概率小于0.005,问要控制 至 解 (1) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有
Y i ~ N ( 6 , 0 . 3 ), i 1 , 2 , 3 ,
2
Y i ~ N ( 6 , 0 . 3 ), i 1 , 2 , 3 ,
2
且Y1,Y2,Y3相互独立,所以
定理2 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且 i=1,2,…,n,则有
C 1 X 1 C 2 X 2 ... C n X n
X i ~ N ( μ i , σ i ),
2
~ N ( C 1 μ 1 C 2 2 ... C n n , C 1 σ 1 C 2
2 2 2
0 . 27 1
0 . 27
) 1 ( 1 . 92 )
1 0 . 9276 0 . 0274
(2) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有
Y i ~ N ( 6 , ), i 1 , 2 , 3 ,
2
且Y1,Y2,Y3相互独立,所以 Y 1 Y 2 Y 3 ~ N ( , 3 2 ), 按题意,需求 使得 P {Y 1 Y 2 Y 3 19 } .
Y 1 Y 2 Y 3 ~ N ( 3 6 , 3 0 . 3 ),
2
即
Y 1 Y 2 Y 3 ~ N ( 18 , 0 . 27 ),
故所求概率为
P {Y 1 Y 2 Y 3 19 } P {
i1Y i
3
18
19 18 0 . 27
}
1 (
4.2
正态随机变量的线性组合
1.有关定理 2.典型例题
3.小结
1. 有关定理
定理1 设
Y 1 ~ N ( μ 1 , σ 1 ), Y 2 ~ N ( μ 2 , σ 2 ),
Y 1 Y 2 ~ N ( μ 1 2 , σ 1 2 ).
2 2
2
2
且Y1,Y2相
互独立,则有 推广定理1有
,可得
一分布N ( , ) , X
2
1 n
i1
n
Xi
是X1,X2,…,Xn的算术
X ~ N ( 0 ,1 ).
平均值，则有
X ~ N( μ,
2
n
),
或
n
2. 典型例题
例1 设内燃机汽缸的直径（以cm计） X
~ N ( . , . ),
活塞的直径（以cm计）Y ~ N ( 40 . 5 , 0 . 3 2 ), 设X和Y相互 独立.若活塞不能装入汽缸则需返工，求返工的概率. 解 按题意需求概率 P { X 由定理2知 即
i1
9
X i ~ N ( 2 , ), Y 4 9
4
1
Y i ~ N (1,
i1
4
1 4
),
又由假设 X 和Y 相独立,故知 X
X Y ~ N ( , )
Y ~ N ( 1,
Байду номын сангаас
),
P{ X Y } P { X Y 0} P {
P{
1 ( 1
i1Yi
3
18
19 18
} .
1
) . , (
1
) . ( . ),
. ,
.
例3 设X1,X2,…,X9相互独立且都服从 N ( , ), Y1,Y2,Y3,Y4相互独立且都服从 N ( , ), 又设 X 和Y 相互独立,求 P { X Y }. 解 由定理2的注 X
Y } P { X Y 0 },
2 2
X Y ~ N ( 41 . 5 40 . 5 , 0 . 4 0 . 3 ),
X Y ~ N ( 1 , 0 . 25 ),
P { X Y 0} P {
X Y 1 0 .5
1 0 .5
} ( 2 )
X
n ),
~ N ( 0 ,1 ).
n
作业
Ｐ111 2,8,9
2 2 2 2 2
X i ~ N ( μ i , σ i ),
2
i=1,2,…,n,
2 2
则有
... C n n ).
特别地，设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn 服从同一 分布 ( , N 则有
X ~ N ( μ,
2
, ) X
1 n
2
i1
n
Xi
或
是X1,X2,…,Xn 的算术平均值，
1 ( 2 ) 1 0 . 9772 0 . 0228
例2
一电路由3只独立工作的电阻串联而成, (1)已知电阻器的电阻(以欧计)Y
~ N ( 6 , 0 . 3 ),
2
求
电路的总电阻W超过19的概率; (2)设电阻器的电阻 多是多少?
Y ~ N ( 6 , ),
2
若求电路的
2 2
... C n n ).
2 2
注 (1) 教材上通过求概率密度的方法证明定理1有 些麻烦,另有其他证明方法较为简单(如求特征函 数法)，有兴趣的同学可以自学. (2) 如在定理2中取 C 1 下面重要结论: 设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn服从同
C 2 ... C n n
X Y 1
1
}
) ( . ) .
3.小
结
正态分布的重要性质（定理２）：两个或多个相互
独立的正态分布的线性组合仍是正态分布．
即 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且
C 1 X 1 C 2 X 2 ... C n X n ~ N ( C 1 μ 1 C 2 2 ... C n n , C 1 σ 1 C 2
总电阻W 超过19的概率小于0.005,问要控制 至 解 (1) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有
Y i ~ N ( 6 , 0 . 3 ), i 1 , 2 , 3 ,
2
Y i ~ N ( 6 , 0 . 3 ), i 1 , 2 , 3 ,
2
且Y1,Y2,Y3相互独立,所以
定理2 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且 i=1,2,…,n,则有
C 1 X 1 C 2 X 2 ... C n X n
X i ~ N ( μ i , σ i ),
2
~ N ( C 1 μ 1 C 2 2 ... C n n , C 1 σ 1 C 2
2 2 2
0 . 27 1
0 . 27
) 1 ( 1 . 92 )
1 0 . 9276 0 . 0274
(2) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有
Y i ~ N ( 6 , ), i 1 , 2 , 3 ,
2
且Y1,Y2,Y3相互独立,所以 Y 1 Y 2 Y 3 ~ N ( , 3 2 ), 按题意,需求 使得 P {Y 1 Y 2 Y 3 19 } .
Y 1 Y 2 Y 3 ~ N ( 3 6 , 3 0 . 3 ),
2
即
Y 1 Y 2 Y 3 ~ N ( 18 , 0 . 27 ),
故所求概率为
P {Y 1 Y 2 Y 3 19 } P {
i1Y i
3
18
19 18 0 . 27
}
1 (
4.2
正态随机变量的线性组合
1.有关定理 2.典型例题
3.小结
1. 有关定理
定理1 设
Y 1 ~ N ( μ 1 , σ 1 ), Y 2 ~ N ( μ 2 , σ 2 ),
Y 1 Y 2 ~ N ( μ 1 2 , σ 1 2 ).
2 2
2
2
且Y1,Y2相
互独立,则有 推广定理1有
,可得
一分布N ( , ) , X
2
1 n
i1
n
Xi
是X1,X2,…,Xn的算术
X ~ N ( 0 ,1 ).
平均值，则有
X ~ N( μ,
2
n
),
或
n
2. 典型例题
例1 设内燃机汽缸的直径（以cm计） X
~ N ( . , . ),
活塞的直径（以cm计）Y ~ N ( 40 . 5 , 0 . 3 2 ), 设X和Y相互 独立.若活塞不能装入汽缸则需返工，求返工的概率. 解 按题意需求概率 P { X 由定理2知 即
i1
9
X i ~ N ( 2 , ), Y 4 9
4
1
Y i ~ N (1,
i1
4
1 4
),
又由假设 X 和Y 相独立,故知 X
X Y ~ N ( , )
Y ~ N ( 1,
Байду номын сангаас
),
P{ X Y } P { X Y 0} P {
P{
1 ( 1
i1Yi
3
18
19 18
} .
1
) . , (
1
) . ( . ),
. ,
.
例3 设X1,X2,…,X9相互独立且都服从 N ( , ), Y1,Y2,Y3,Y4相互独立且都服从 N ( , ), 又设 X 和Y 相互独立,求 P { X Y }. 解 由定理2的注 X
Y } P { X Y 0 },
2 2
X Y ~ N ( 41 . 5 40 . 5 , 0 . 4 0 . 3 ),
X Y ~ N ( 1 , 0 . 25 ),
P { X Y 0} P {
X Y 1 0 .5
1 0 .5
} ( 2 )
X
n ),
~ N ( 0 ,1 ).
n
作业
Ｐ111 2,8,9
2 2 2 2 2
X i ~ N ( μ i , σ i ),
2
i=1,2,…,n,
2 2
则有
... C n n ).
特别地，设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn 服从同一 分布 ( , N 则有
X ~ N ( μ,
2
, ) X
1 n
2
i1
n
Xi
或
是X1,X2,…,Xn 的算术平均值，
1 ( 2 ) 1 0 . 9772 0 . 0228
例2
一电路由3只独立工作的电阻串联而成, (1)已知电阻器的电阻(以欧计)Y
~ N ( 6 , 0 . 3 ),
2
求
电路的总电阻W超过19的概率; (2)设电阻器的电阻 多是多少?
Y ~ N ( 6 , ),
2
若求电路的
2 2
... C n n ).
2 2
注 (1) 教材上通过求概率密度的方法证明定理1有 些麻烦,另有其他证明方法较为简单(如求特征函 数法)，有兴趣的同学可以自学. (2) 如在定理2中取 C 1 下面重要结论: 设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn服从同
C 2 ... C n n