新人教版九年级数学知识点总结(2018)

人教版九年级数学知识点总结

21.1 一元二次方程

易错点：① a≠0 和a=0 ②方程两个根的取舍

知识点一

一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二

一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三

一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2 降次——解一元二次方程

21.2.1 配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x

1=a,x

2

=a

.

（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数；

（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边

为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，如果b 2-4ac ≥0，那么方程的两个根为

x=

a

ac

b b 242

-±-，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可

以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax 2+bx+c=0(a ≠0)的过程。

（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)，一般a 化为正值 ② 确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③ 求出b2-4ac 的值；

④ 若b2-4ac ≥0，则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，若b2-4ac ＜0，则方程无实数根(有虚数根-- 高中学)。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b 2-4ac.

△＞0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根

△＜0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)无实数根

21.2．3 因式分解法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个

求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2） 因式分解法的详细步骤：

根的

判别式

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平

方公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x

1,x

2

,则有x

1

+x

2

=-p,x

1

x

2

=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x

1,x

2

,则有x

1

+x

2

=，

a

b

,x1x2=

a

c

21.3 实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

（2）设：是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4）解：就是解方程，求出未知数的值。

（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

（6）答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1）数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。

三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是

100a+10b+c.