久期的计算与应用

T t 1
tCt
1 yt
dP
进行移项变换： P
D 1 y
dy
Modified
Duration
D 1 y
dP P
Modified
Duration
dy
麦考利久期的局限性：
• Macaulay久期模型暗含着收益率曲线平坦的假设， 但是现实中的收益率曲线还具有向上倾斜、向下倾 斜以及驼峰形等多种形态；
公式法 EXECl有两个久期公式:DURATION()和MDURATION()
DURATION
（settlement,maturity,coupon,yld,frequency,[basis]）
Settlement---指债券的结算日（也就是购买日）； Maturity---指债券的到期日； Coupon---指债券的息票率； Yld---指债券的到期收益率； Frequency---指债券每年付息的次数； Basis---指“天数计算基准”（也就是一年的天数）。 0或缺省：美国（NASD）30/360；1：实际天数/实际天数；2：实际天数/360； 3：实际天数/365；4： 欧洲30/360
现代久期模型
1、F-W久期模型
Fisher和Weil于1971年在他们的关于免除风险的学术论文 中提出了F-W久期模型，用未来利率的估计值来对现金流折 现，其公式为：
DF W
1 C1
1 r1
1
2 C1
r11
r2
P
n C1
1 r11 r2 1 rn
F-W久期用每一期限的利率估计值来对未来现金流折现，从
PB ：债券的价格 y ：债券的到期收益
久期是债券平均到期时间的有效度量
•
债券价格的公式：
P
T t 1
Ct
1 yt
求P关于y的导数：
dP dy
Βιβλιοθήκη Baidu
1
1
y
T t 1
tCt
1 yt
等式两边除以1/P： 1
P
dP dy
1 1
y
1 P
T t 1
tCt
1 yt
久期：
D
1 P
T t 1
tCt
1 yt
例子：
1.我们取当前时间为两只债券的结算日，即2015-5-04；
2.基准我们选取0或缺省；
3.按两只债券的基本资料我们推算出债券的到期日：国债 0213（100213）剩余天数为2.3836（剩余年限）*360=858 天，即到期日为2017-9-20；
4. 国债0213（100213）每年利息支付次数为2次；
Deff
P0
P P R R
3、基于期限结构非平行移动的久期模型
平行移动意味着收益率曲线的每一点都以相同的方向和 相同的数量发生移动。但平移的收益率曲线在现实中几 乎难以见到，更常见的是收益率曲线的形状和斜率都发 生变动。
常见的久期模型：随机久期模型、方向久期模型、主成 分久期模型等。
久期的计算机计算
• Macaulay久期模型只考虑了收益率曲线发生平行移 动这一种变动情况，然而不同时期的到期收益率对 某一市场影响因素的反应一般是不同的，即它们一 般会发生不同幅度甚至不同趋势的变化；
• Macaulay久期模型只考虑了到期收益率发生微小变 动时，债券价格的相对变动与到期收益率变动之间 的线形关系。
而避免了收益率曲线平坦的假定，比传统的Macualay久期
更贴近现实。但是，仍隐含了收益率曲线的平行移动。
2、有效久期
1993年，Frank Fabozzi提出了有效久期的思想。所谓有效 久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动 的百分比。它直接运用不同收益率变动为基础的债券价格 进行计算。有效久期的公式为:
3.18 修正久期
NaN 凸性 NaN
2.313905128 2.27768986
数据来源：锐思数据/ 或和讯债券/国泰安/等
影响久期的几个因素
影响债券久期的因素主要有：到期收益率、息票率、到 期期限。
久期缺口模型的计算与应用
1、久期缺口
假设商业银行共有m项不同种类的资产A1,A2,...,Am,以DAj
发行额(亿元) 年利率(%) 债券类型 剩余年限(年) 到期收益率(%) Duration Mduration
240.00 发行价(元)
100.00 期限(年)
15
2.60 计息日 3.20、9.20
到期日 2017-09-20
固定 付息方式
半年付 类别 固定
2.3836 应计利息
0.33 全价(元) 99.015
1、麦考利久期
麦考利久期（Macaulay Duration），是债券平均有效期的一个测
度。使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。它是债券
在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现值在债券价
格中所占的比重。
MacD
Tt
t
1
Ct y
t
PB
Ct ：债券在第t期所能带来的现金流收入
T ：债券的期限
久期是衡量债券利率敏感性的有效度量
MacD
T
t 1
t
Ct 1 y
t
PB
Macaulay久期的性质：
• 附息债券的Macaulay久期一般小于它的到期时间,而零 息债券的Macaulay久期与它的到期时间相等。
• 息票率越高，Macaulay久期越短；息票率越低， Macaulay久期越长。
• 债券的Macaulay久期随着到期收益率的上升而变短。
• 债券的到期时间越长，Macaulay久期越长。
• 久期最重要的性质是可加性。若资产组合有N项资产， 则将每项资产久期乘以其权重后相加就可到得到资产组
合的久期。
2、修正久期（Modified Duration）
1
P
dP dy
1 1
y
1 P
表示第j项资产Aj的久期，以PAj表示第j项资产Aj的市场价
值，则:
m
D A W j D Aj j 1
Wj
PAj PA
,
j
1,2,, m
若商业银行有n种不同的负债 L1,L2,…,Ln,以DLi 表示第i项 资产 的久期，以PLi 表示第i项资产 的市场价值，则:
久期的计算与应用
胡志强 马文博 赵美娟
久期概念与现代久期模型的介绍 久期的计算机计算 久期缺口模型的计算与应用
久期概念与现代久期模型的介绍
久期的来源
Macaulay（1938）研究铁路债券的平均还款期限时，提 出了久期的概念。久期的概念和剩余期限近似，但又有 别于债券的剩余期限。在债券投资里，久期被用来衡量 债券或者债券组合的利率风险，它对投资者有效把握投 资节奏有很大的帮助，在被逐渐引入对债券等产品的分 析中后，目前已在金融债券市场上广泛应用。