集合与简单逻辑-容斥原理-练习题

附加题：
1.设 S 1, 2,, 280 ．求最小自然数 n ，使得 S 的每个 n 元子集中都含有 5 个两
两互素的数．
2. 46 个国家派代表队参加亚洲数学竞赛，比赛共 4 个题．结果统计如下：第 1 题对的学生有 235 人；第 1、2 两题都对的有 59 人；第 1、3 两题都对的有 29 人；第 1、4 两题都对的有 15 人；四题全对的有 3 人．求证：存在一个国家，这 个国家派出的选手中至少有 4 人恰好只做对了第 1 题．
p12 , p1 p2 , p1 p3, p1 p4 , p1 p5 , p22 , p2 p3, p2 p4 S .因为 S 中共有 220 个合数而这时T
中有 213 个合数，故在 S T 中的合数只有 7 个，从而上面集合中的 8 个元素中 总有一个含在T 中，它与T M 中的 4 个数一起即满足题中要求. （3）设 T M 3 .这时，至多有 S 中的 6 个合数不在T 中.若集合
参考答案
必做题：
1.解析：设 A {某中学男生}， B {某中学高中生}， C {某中学团员}，则 A 528 ， B 312 ， C 670 ， A B 192 ， B C 247 ， C A 336 , A B C 175 .于是
A B C 528 312 670 192 336 247 175 910 .但某中学的学生总数
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 3 1327 2 1990 1 ，故存在数学家，
不妨设为4 A1 A2 A3 ，即4 与1 、2 、3 都合作过.从而有数学家1 、2 、3 、 4 两两合作过.
3.解析：设 S {由 1，2，3 组成的 n 位数}，则 S 3n .记 A1 ｛ S 中所有不含 1 的 n 位数}，A2 { S 中所有不含 2 的 n 位数}，A3 { S 中所有不含 3 的 n 位数}. 于是 Ai 表示所有含有数字 i 的 n 位数，且 Ai 2n ， i 1, 2,3 ， Ai Aj 1 ， i j,i, j 1, 2,3 .因此， A1 A2 A3 S A1 A2 A3 A1 A2 A1 A3 A1 A2 A3 3n
S A3 S A5 A S 7 S A3 A5 A7 S ( A3 A5 A7 )
A3 A5 A5 A7 A7 A3 A3 A5 A7
105 (35 2115) (7 3 5) 1 48
设与 105 互质的正整数按从小到大的顺序排列为 a1, a2 ,, an, ，则
派出的选手中至少有 4 人做对了且只做对了第一题.
i 1
i 1
冋理， A1 A3 A4 3 , A1 A2 A4 3 ,所以
4
A1 A2 A3 A1 A3 A4 A1 A2 A4 Ai .注意到 A1 A2 A3 A4
i 1
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A2 A3 A4
3.由数字 1、2 和 3 组成 n 位数，要求 n 位数中 1、2 和 3 中的每一个至少出现 1 次．求所有这些 n 位数的个数．
4.对于
0

x
100
，求函数
f
x

x
2x
5x 3


3x

4x
所取的不同整数值
的个数．
5.将与 105 互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第 1000 项．
i1
4
A1 A2 A3 A1 A3 A4 A1 A2 A4 Ai 235 59 29 15 6 138 , 可
i 1
见
A1 A2 A3 A4 139 3 46 1 3 46 .故由抽屉原理知，存在一个国家，该国
察区间 105 (k 1),105k 中与 105 互质的整数．
解：设 S 1, 2,,105 ， A3 a a S , 且3 a ， A5 a a S , 且5 a ，
A7
a a S , 且7 a
，则
A3
105 35 ， 3
附加题：
1.令
Ai

ik
k

1,
2,,

280 i

，i
1, 2, ，A

A2

A3

A5

A7
.则由容斥原理可
以算出 A 216 .由于在 A 中任取 5 个数时，必有两个数在同一个 Ai i 2,3,5, 7
之中，二者不互素，故知所求的最小自然数 n 217 .
4
Ai
Ai Aj
Ai Aj Ak
4 Ai
i1
1i j4
1i jk 4
i1
4
Ai
Ai Aj
4
Ai

A1
A1 A2

A1 A3

A1 A4
i2
2i j4
仅为 900，矛盾. 故统计有误.
2.解析：记数学家为1,2 ,,i,,1990 ，与i 合作过的数学家的集合为 Ai .不妨 设数学家1 与2 合作过.由 A1 A2 A1 A2 A1 A2 2 1327 1990 0 知，有 数学家不妨设为3 与1 ，2 都合作过.又
抽屉原理知必有一个集合的至少 5 个数含在T 中.显然，这 5 个数两两互素. 综上可知，所求的最小自然数 n 217 .
2.设集合 A {全部选手}， Ai {第 i 题对的考生}， i 1, 2,3, 4 .则 A1 235 ，
4
4
A1 A2 59 ，A1 A3 29 ，A1 A4 15 ， Ai 3 .因为 A1 A2 A3 Ai 3 ，
集合与简单逻辑-容斥原理
必做题：
1.已知某中学共有学生 900 人，其中男生 528 人，高中学生 312 人，团员 670 人， 高中男生 192 人，男团员 336 人，高中团员 247 人，高中男团员 175 人．试问这 些统计数据是否有误？
2.一次会议有 1990 位数学家参加，每人至少有 1327 位合作者．证明：可以找到 4 位数学家，他们中每两个人都合作过．
3 2n 3 .
4.解析：以
A1
，
A2
，
A3
，
A4
，
A5
来分别表示函数

x

，
2
x

，3
x

，
4
x
和

5x 3

的所有间断点的集合.则易知
A1

A2

A4
，且
A3

n

3
n

1, 2,,300
，
A4

n 4
n
1, 2,, 400
，
A5
22,32,52, 72,112,132 中有 5 个或 4 个元素含在T 中，则问题化为前两种情形.以
下设这 6 个合数中至多有 3 个含在T 中，于是其他合数至多有 3 个不在T 中.因此，
集合2 41,3 37,5 31, 7 29,11 23,1319 ，
2 37,3 31,5 29, 7 23,1119,1317 的 12 个合数中至多有 3 个不在T 中.由
300 400 166 100 33 33 33 733 .故知 f x 所取的不同整数值的个数为
734.
5.分析：先看在区间 0,105 中有多少个整数与 105 互质．因为105 35 7 ，所
以只要在数列 1，2，…，105 中去掉所有 3 或 5 或 7 的倍数即可．然后再逐段考
A5
105 21 ， 5
A7
105 15 ， 7
A3 A5
105 7 ， 35
A5 A7
105 3 ， 57
A7 A3
105 5 ， 73
A3 A5 A7

105 357

1
，
S
105 ．
在 1 到 105 中，与 105 互质的数有
a1 1， a2 2 ， a3 4 ，…， a48 104 ，
a49 105 1 ， a50 105 2 ，
a51 105 4 ，…， a96 105 104 ，…
因为1000 48 20 40 ，所以 a1000 105 20 a40 ． 由于 a48 104 ，a47 103 ，a46 101 ，a45 97 ，a44 94 ，a43 92 ，a42 89 ， a41 88 ， a40 86 ，所以 a1000 105 20 86 2186 ．
另一方面，设 T S 且 T 217 .记 S 中所有素 M 5 ，则问题已解决. （2）若 T M 4 ，设其余的素数从小到大排列为 1, p2 , p3, ，显然有 p1 11， p2 13 ， p3 17 ， p4 19 ， p5 23 .于是有

3n 5
n
1, 2,,166
.由此可得
A3 A4 n n 1, 2,,100 ， A3 A5 A4 A5 A3 A4 A5 3n n 1, 2, ,33 .