哈工大大学物理学第1章--质点运动学

v (v )n (v )
dv rd 线量与角量关系：a r dt dt
a r
v (t t )
v (t )
C
s
(v )n
B
v
0

r
s
A x
(v )
v (t )
v (t t )
Sab b
dr ?
a b
ra rb
r rb rb 位移

a
b
dr ?
ab 位移大小

a
b
dr ?
Sab 路程大小
1.3 速度 加速度
一、速度
运动快慢程度和方向 平均速度: (瞬时)速度 :
r2 r1 r v t t
指向圆心方向
an v
21
切向加速度 a 法向加速度 an
速度大小变化产生的加速度 速度方向变化产生的加速度
dt
dv 切向加速度 a 大小： a
方向：切线方向
v2 2 an 大小： an r 方向：指向圆心 法向加速度 r 圆周运动的总加速度 a an a
力 学 (Mechanics)
力学---研究物体机械运动的科学。
机械运动---物体相对位置或自身各部份的相对 位置发生变化的运动。
机械运动的基本运动形式： 平动 定轴转动
1
第 一 章 质点运动学
1.1 质点 参考系和坐标系 一、理想模型 （物体——看成“质点”）
质点--把实际物体看成只有质量而无大小形状 的力学研究对象。
r dr v lim t 0 t dt
dx vx dt dy vy dt
方向：
大小： 平均速率:
切线方向 2 2 2 v vx v y vz
v s t
vx i v y j vz k
d dx dy dz ( xi yj zk ) i j k dt dt dt dt
大小 r x 2 y 2 z 2 方向

Z k
A z

r
n
x
B
i
X
x y z cos cos cos r r r
二、位移:
6
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k xi yj zk 大小： r x 2 y 2 z 2 z 三、路程：
注意： a. 能否看成质点是相对于所研究的问题而言
b .不能看成质点的物体可看着质点的集合
二、 参考系 参考系：描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
1.运动的绝对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式 （如轨迹、速度等）可以不同。
“坐地日行八万里 ” “山不转来水在转，水不转来云在转 ，…” 3.常用参考系: · 太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） · 地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） · 地面参考系或实验室参考系 · 质心参考系（后面介绍）
s

v
s
A x
(v )
v (t )
v (t t )
(v ) n (v ) v dv a lim lim lim an a t 0 t t 0 t 0 dt t t v dv 切向加速度 a 大小： a lim 切线方向 t 0 t dt
三、坐标系 坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线 或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中 用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同， 但其运动形式的数学表述却可以不同。
直角坐标系 y 自然坐标系
j
t
极坐标系
Z
k
o
i
dz vz dt
v s B A r r1 r2
s ds dr (瞬时)速率: v lim lim v t 0 t dt t 0 t dt
r
二、加速度：
瞬时加速度:
9
v v2 v1 平均加速度: a t t2 t1
2 2 a 的大小 a an a
二、自然坐标系
1. 质点位置与位移
位置：用轨迹长度 s 来描述， 位移：Δs , 即A,B 间轨迹长度。
22
n
(t ) Δs
A B
t

：切向单位矢量 ：法向单位矢量 o
s
n (t t )
(t t )

o
vx 0
x
例3：求船的 v，a
0
已知；
x
h
r
y
dr dx i x r 2 h2 dt dt
r xi hj
dr v0 dt
x
dx r dr dt r 2 h 2 dt
rv0 dx x2 h2 dr v0 v0 2 2 dt x dt r h
沿质点运动轨道建立y轴（正方向向下）
14
0 y
(t=0)
已知：
求：
ag
y0 0 v0 0 y(t ) ? v(t ) ?
解： 同理可得
1 2 y gt 2 v gt v 2gy 2
v g
y
(t)
例3 竖直上抛物体运动：
沿质点运动轨道建立y轴（正方向向上）
y
g
a g （向下）
d dt
方向：右手螺旋定则 已知 ds rd
r
P ds
v
2 d d 2 3)角加速度 : dt dt
dt
线速度大小 v ds
v r
v r
圆周运动的线加速度
v (t t )
0
v (t )
r
(v )n
v x2 h2 dr v 0 i dt x
a ?
2 2 h a v 0 3 x
例4： 一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与 速度方向相反，满足
dv kv 2 , 式中 k 为常数。试证明汽艇在关闭发动机 dt
后又行驶 x 距离时的速度为
故
v v0e ,
kx
v ln kx v0
dv v kdx v0 0
v
x
1.6 圆周运动
质点做曲线运动时， 可以看作各个瞬间做不同 曲率半径的圆周运动
18
r1


r2
一、圆周运动的角量描述 1) 角位置 角位移 :


2) 角速度 :
d 大小 dt
1.4 直线运动
直线运动 运动特点：
匀加速
例1 匀加速直线运动
一维 a为常量 x O (t=0)
v
(t)
a
13
x
设质点沿Ox轴运动 已知： a 和 初始条件 解： (t=0) 反问题： 已知加速度 求速度
t 0 t
x(t ) ? x0 ( x0 0) 求： {v0 v(t ) ?
x
o
P
r
O
P
n
x
1.2 质点运动的描述 一、 质点的位置矢量（位矢、矢径）
r op
x x(t ), y y(t ), z z (t ) r r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
j
y
o
Y P
该式也叫质点的运动函数或运动方程。
v BC | (v ) n | lim 法向加速度 an 大小： an t 0 t lim rt t 0 vs (v ) n v s v BC lim lim v t 0 rt r t 0 t r v r
v an r
2
方向：
何种特征运动？
dr dt dr dt dv dt dv dt
0 0
静止、转动
静止
0 匀速率运动（直线、曲线） 0
匀速直线运动
质点运动学中的正反问题：
质点运动状态
11
{
位矢
dr ( t) 瞬时速度矢量 v dt
r (t )
质点运动状态变化
{
位移
2 dv d r 瞬时加速度矢量 a 2 dt d t
求位置（运动函数） （积分）
dv 由 a dt 由 v dx dt
dx vdt
v0 x x0
v
dv adt
0
v v0 at
x t x0 0
v v0 at
dx ( v0 at )dt
1 2 x x0 v0t at 2
例2自由落体运动：
解：对题中所给关系式
v v0e kx , 其中 v0 是关闭发动机时的速度。 dv 2 作一数学处理如下： kv dt
即
dv dv dx kv 2 dt dx dt
分离变量积分：
dv v kv 2 dx
dv kdx , v
ln v ln v0 kx,
ax i a y j az k
方向: 指向轨道曲线凹下的一侧
dvx d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dvz d 2 z az 2 dt dt
2 2 2 大小： a ax a y az
例：质点在平面运动，分别指出下列情况中做
求速度
r r2 r1
正问题： 已知位置（运动函数） 反问题： 已知加速度 求速度
求加速度 （求导）
求位置（运动函数） （积分）
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k（运动方程）
12 举例： 加速度为恒矢量时的质点运动 r 为常矢量 其大小和方向都不变）初始条件 {0 （ 已知：a (t = 0) v0 求：v(t ) ? r (t ) ? v t dv dv adt 解： a 由 v0 dv 0 adt dt v v0 at 瞬时速度矢量 v v at 0 r t dr (t ) dr vdt 由 v r0 dr 0 (v0 at )dt dt 12 位矢 r r v t at 12 0 o r r0 v0t at 2 2 位移 r r r0
vy v
(x y)
vx
轨道函数 vx v0 cos {v v sin gt g y x tan 2 x2 y 0 2v0 cos 2 x v0t cos { y v t sin 1 gt 2 0 2

vy0
g
v y 0 v0 sin
r r (t t ) r (t ) r2 r1
y
A(t)
M
| ຫໍສະໝຸດ Baidur | r ?
r r
O
r r1 r2
Δs
B(t+t) N
x
r ? s
当
Δr Δs dr ds
t 0 时
例：如图所示：质点沿曲线路径由a运动至b， 所经路径为Sab， a，b的位矢为 ra rb a
v0 0
（向上）
v v0 gt
1 2 y v0t gt v 0 0 2 0
1.5 抛体运动
曲线运动 运动特点： 匀加速 建立坐标系： 水平方向x轴 x方向：匀速 二维（平面运动）
15
ag
v0
竖直方向y轴 y
ax 0
y方向：匀加速 a y g x0 0 初始条件 vx 0 v0 cos y0 0 (t=0)
Y
v1
A
v2
v
B
2 v dv d r 2 a lim t 0 t dt dt
dvx dv y i dt dt d2 x d2 y 2i 2 dt dt dvz j k dt d2 z j 2 k dt
Z
o
v2 X