第二章 气体动理论

O r0
引力
r
势能
二、热运动的特点
（1）微观粒子的运动永不停息、无规则， 每个粒子的运动过程具有极大的偶然性— 无序性。
（2）对大量粒子的整体而言，运动又表 现出必然的、确定的规律——统计规律。
第一节 气体的压强和温度
一、理想气体的状态方程
1. 理想气体的概念: 是实际气体在一定条件下的近似。
平动自由度t=3 转动自由度r=2
i tr5
z

三原子分子

C(x, y, z)
y
平动自由度t=3 转动自由度r=3
i tr 6
x
二、能量按自由度均分定理
t

1 2
mv2

3 2
kT
vx2

vy2

vz2

1 v2 3
1 2
mvx2

1 2
mv y 2

1 2
mvz2

1 3
第2章 气体分子动理论
玻耳兹曼：奥地利物理学家，统计物理学的 奠基人之一。于1868年提出麦克斯韦-玻耳 兹曼分布定律 。在 1872年从非平衡态的分 子动力学得到 H 定理 ，这是经典分子动力 论的基础。1877年提出热力学第二定律与微 观几率态数 W 的关系以及熵的统计解 释。 1900年普朗克运用玻耳兹曼的理论得出 S＝k lnW 并证明了斯忒藩的实验结论 u ＝ σT4（斯忒藩 - 玻耳兹曼黑体辐射公式）， 掀开了量子时代的帷幕。
实际气体在密度不太高、压强不太大、温度不 太低的实验范围内，且遵守玻意耳定律、盖吕萨克 定律和查理定律这三条定律的气体。
2. 理想气体状态方程:
R=8.31J/mol·K
T源自文库位为k
适用条件: 理想气体处于平衡态。
二、热力学系统 平衡态 状态参量
1. 热力学系统（体系）：在热学中所研究的由
大量分子、原子组成的物体或物体系。
在曲面上运动的质点: 位置由二个独立坐标确定 自由度 i =2
质点沿直线或曲线运动：位置由一个独立坐标确定 自由度 i =1
2. 刚体的自由度
①质心→自由质点 i1 3 ②绕质心轴的转动 i2 1
③转轴的方位 , ,
cos2 cos2 cos2 1
z



NA 6.0221367(36) 1023 mol1
n 分子数密度（ ）：单位体积内的分子数目.
例 常温常压下 n水 3.30 10 22 / cm3
n氮 2.471019 / cm3
2、温度的本质和统计意义
由P

2 3
n
t
及PV

M

RT
2 3
ntV

M

RT
t 3 M RT 2 n V
V1 1s m3
s为玻璃管的横截面积
T1 27C 300 K
当水进入玻璃管内的深度为h时：
P2 10.33（0.8 h）mH2O V2 (1 h)s m3 因玻璃管压入水中不深，可将水温视为与气温相等 即T2 300K
由状态方程得： P1V1/T1 P2V2/T2 代入数据，解得
体分子平均平动动能的量度，它是描述大量分子热运
动剧烈程度的物理量。
注意：
（1）分子热运动永不停止，所以绝对零度永远不可能达到。
（2）当T→0时，气体早已变为液、固态，温度公式早已
不适用。
将温度公式代入压强公式得：P 2 n 3 kT nkT
3、气体分子的方均根速率
32
由平均平动动能
t
利用扫描隧道显 微镜技术把一个个原 子排列成 IBM 字母 的照片.
对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 .
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
............ ........... ............ ........... ............ ........... ............
p

2 3
nt
讨论：
压强是一个统计平均量， 对个别或少数分子是没有意义的，从上推导 中可知，压强是容器中大量气体分子在单位 时间内施于器壁单位面积的平均冲力（大量 分子对时间对空间的统计平均）。
五、分子的平均平动动能与温度的关系
1、 阿伏伽德罗常数：
1 mol 物质所含的分子（或原子）的数目均相同 .
r
r

1 kT 2

xt


t y


t z
r
r

5 kT 2
温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子
平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分
理想气体分子的平均能量
分子模型 刚性单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子
自由度 ３ ５ ６
i kT
x
O
b
a
F
p S A1
I t bc

m abc
N i 1
vi2x

m V
N i 1
vi2x
p

m V
N i 1
vi2x
vx2

1 N
N
vi2x
i 1
其中 n N V
p

Nm V
vx2

nmvx2

1 nmv2 3
为气体分子数密度
t

1 2
mv2
理想气体压强公式：
Ludwig Boltzman (1844~1906)
绪 言：
热力学与统计物理学的异同
研究对象 物理量 出发点
方法
优点 缺点 二者关系
宏观理论
（热力学）
热现象
微观理论
（统计物理学）
热现象
宏观量
观察和实验
总结归纳 逻辑推理 普遍，可靠
微观量
微观粒子
统计平均方法 力学规律 揭露本质
不深刻
无法自我验证
热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热 力学本质
1 2
M
v02
得
T v02 / i R
（1）
对于氮气，i 5, 2.8102 kg mol1
代入上式
T 2.8102 2002 27（K） 5 8.31
设v12和v22分别表示容器停止前、后氮气分子热运动速率的平方平均值
1 2
mv22

1 2
mv12

3 2
k T
式中m为氮分子的质量
（2）
由（1）、（2）两式联立求解，并将 N0 m, R N0K 代入
v22
v12

3 i
v02
i 5
v22
v12

3 5
v02

3 5
2002

2.4 104 (m2 s2 )
上式表明：双原子分子速率平方的平均值的增量等于该容器定向运动速 率平方的3/5。即表示定向运动动能的3/5转换成分子的平均平动动能， 其余2/5则转换成分子转动的平均动能。
viy
vi
vOiz
a
z
vixc x
b
x 方向速度分量为 vix 的分子 i 与 A1 碰撞，动量变化：
Pix mvix (mvix ) 2mvix
y
对 A1 的冲量：
Iix Pix 2mvix
vix A1 c
连续两次与 A1 发生碰撞的时间
O
间隔为：2a / vix
一、分子动理论的三个基本概念
宏观物体是不连续的，由大量微观粒子——分子（或 原子）所组成
物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度 与温度有关
布朗运动
分子间有相互作用力
r0 1010 m ( 平衡位置 )
r r0
分子力表现为引力
r r0
分子力表现为斥力
r0
分子有效直径
f
斥力
合力
• 分子间及分子与容器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。
• 统计性假设：“对大量气体分子来说，分子沿各个方向运动 的机会是均等的，任何一个方向的运动并不比其他方向更占 优势。因此，统计平均来看，任一时刻沿各个方向运动的分 子数目应相等，分子速度在各个方向的分量的各种平均值也 相等。”
v
2 x
=
v
2 y
=
v
2 z
=
1 3
v2
（二）、气体压力产生的微观解释
对容器内气体的整体而言 ，每一时刻都有大量分子与器壁 发生碰撞，宏观上表现出器壁受到一个恒定的、持续的压力。
（三）、压强公式的推导:
建立三维直角坐标系 Oxyz

vi
(vix, viy , viz )
x, y, z 方向规律相同，压强相同
分析 x 方向
y
例2.1 设有一端封闭的玻璃管长1m,将它从空气中 倒立竖直压入水中直至管的上端露出水面0.2m为止。 求水进入管内的深度h（如图）。已知大气压强为 1.01325×105Pa,气温为27℃。
解：将玻璃管内的气体作为研究对 象，并视为理想气体。
当玻璃管在空气中时：
1 1.01325105 a 10.33mH2O（水柱高）

1 2
mv2

3 2
kT
得，方均根速率
00C下，不同气体的方均根速率分别为：
O2——4.61×102m/s， N2——4.93×102m/s， H2——1.84×103m/s，
第二节 能量按自由度均分定理
一、自由度 i 确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目。
1. 质点的自由度
在空间自由运动的质点: 位置由三个独立坐标确定 自由度 i =3
统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有
统计规律.
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
i 设 Ni为第 格中的粒子数 .
粒子总数 N Ni
i
i

lim
N
Ni N
i 概率 粒子在第 格中
出现的可能性大小 .
归一化条件
i
i
Ni iN
1
统计规律与涨落现象：
任一时刻，实际分布在某一速率区间内的 分子数，一般来说是与统计平均值有偏离的— —涨落现象。
四 理想气体的压强公式
(一) 、理想气体的微观模型
• 同种类气体分子性质相同；气体分子视为质点。 • 除碰撞外，分子之间的作用力可忽略不计；重力也忽略不计。
y
i3 2
i i1 i2 i3 6
x
平动自由度t i1 3
转动自由度 r i2 i3 3
3. 刚性分子的自由度 刚性分子: 分子内原子间距离保持不变
z
C(x, y, z)
y x
单原子分子
z
C(x, y, z)
y
x 双原子分子
平动自由度t=3
i tr 3
(
1 2
mv2
)

1 2
kT
处于平衡态的理想气体 （温度为 T ），气体分子在 每一个平动自由度上的平均能量为 kT / 2
原因： 碰撞
不同自由度上的能量相互转化
不同自由度上的能量平均化
刚性双原子分子的动能
分子动能
平动动能

t x

t y

t z
转动动能 r r
xt


t y
zt
a
z
x
b
Δt 时间内与 A1 发生碰撞的次数：
t 2a vix

t 2a

vix
Δt 时间内分子 i 对 A1 的冲量：
t 2a
vix
2mvix

mt a
vi2x
Δt 时间内所有分子对A1 的冲量：
I

N i 1
mt a
vi2x

mt a
N
vi2x
i 1
z
y
vix A1 c
h≈0.07m,而h≈11.34m不符合题意
故水进入管内的深度为h=0.07m
三、气体动理论的研究方法
宏观物体都是由大量不停息地运动着的、彼此有相互作 用的分子或原子组成 .
现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它 们在物体中的排列情况, 例如 X 光分析仪,电子显微镜, 扫描 隧道显微镜等.
3 ( M )RT
2 N
3 ( M )RT 3 R T
2 NmN0
2 N0
令k R
8.31J / mol K
23
1.3810 J / K
N0
6.0221023 / mol
玻尔兹曼常数
t 3 kT 温度公式
2
微观量
宏观量
揭示了气体温度的统计意义，即气体的温度是气
2. 平衡态：在不受外界影响或外界条件一定时，系
统内处处均匀，其宏观性质不随时间改变的状态。
(1) 平衡态是一个理想的概念，它是在一定条 件下， 对实际情况的概括和抽象。
(2) 平衡态下系统内的分子仍在不停地作无规则 运动，只不过大量分子运动的平均效果不随时 间改变，因此也叫 热动平衡状态。
3. 状态参量：为描述系统平衡态所具有的特性 而引入的参量，如力学参量P、几何参量V、以 及热学参量 T等。
2
i →气体分子的自由度
总平均能量 ３kT/2 ５kT/2 3kT
三、理想气体的内能
E
理想气体分子动能之和
1 mol 理想气体的内能：
E

N0

N0
i 2
kT

i 2
RT
质量为 m 、摩尔质量为 M 的理想气体的内能：
E m i RT M2
理想气体的摩尔热容量
E m i RT M2
E m i RT M2
E

m M
CV
T
Cp

CV

R

i
2 2
R
CV

i 2
R
例2.2 一个贮有氮气的容器以速率v0=200m·s-1运 动，若该容器突然停止。试求容器中氮气的温度和速 率的平方平均值的变化。
解：设氮气的质量为M，摩尔质量为µ，视氮气为由 刚性氮分子组成的理想气体。
由题意得

E

M

i 2
R

T