第六章——不可压缩粘性流体的内部流动

4
6.1 流动阻力 2. 流动阻力损失 阻力损失——不可压粘性流体由于内摩擦力引起的能量损失hw。 包含沿程阻力损失和局部阻力损失
hw hf hj
（1）沿程阻力损失（沿程阻力、沿程损失）：
6-7
发生在缓变流流动中的能量损失。单位重量的流体沿程损 失可用达西公式表示为：
l V2 hf d 2g
6
6.1 流动阻力 【解】油的平均流速为 G V 0.329(m / s ) A 流动沿程阻力损失为：
l V2 hf 9.94(m) d 2g
建立入口和出口间的伯努利方程
V12 p1 V22 p2 z1 z2 hw 2g g 2g g
出口端的油压
p0 p2 (V12 V22 ) g ( z1 z2 ) p1 ghw 305090(Pa)
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6.2 圆管内层流 1. 入口段与充分发展段 流体在管道入口的流动
入口段：0≤x≤L，圆管内流体速度剖面不断变化的阶段
L称为入口段长度
充分发展段：x≥L，圆管内流体形成稳定的速度剖面以后 的阶段
26
6.4 管内湍流
图6-10 某热线仪测得的管内轴向瞬时速度
从图中可见湍流中某一点的瞬时速度随时间的变化极其紊 乱，难以找到流动规律。但是在一段足够长时间ΔT 内，其值 围绕着某一平均值u上下脉动，因此可以用瞬时速度的平均值 来研究湍流运动的统计规律。
1 u (t ) T

T
0
ui dt
急变流 缓变流 急变流 缓变流
缓变流
急变流
急变流 缓变流
急变流
图 3-11 缓变流和急变流
2
6.1 流动阻力 （2）用平均流速 V 来表示整个截面上的速度，并用动能修 正系数α来修正速度头的计算误差
1 V dA A A V
3
6-5
得到总流在两个缓变流截面上的总流伯努利方程
6-24
18
6.3 平板间的层流 （1) 若上板不动，则U=0
u 1 p 2 (h y 2 ) 2 l
6-25
两平板间速度呈抛物线分布，这种平板不动，而平板间粘 性流体在压强梯度作用下的层流流动称为帕肃叶流动
最大速度发生在y=0处
umax 1 p 2 h 2 l
切应力分布

du p y dy l
6-12
12
6.2 圆管内层流 3. 圆管内层流流动流量表达式 由式6-12知，圆管内流体在轴线上r=0具有最大速度
umax
p 2 pd 2 R 4l 16l
R
6-13
将速度分布在整个断面上积分，可得到圆管体积流量：
Q udA
A
0
p 2 2 pR4 pd 4 ( R r )2 rdr 4l 8l 128l
p pa g (h y)cos
（d）
24
6.3 平板间的层流 对应的（a）式变为
d 2u g sin 0 2 dy
（e）
积分后得到
u
利用边界条件y=0, u=0 得C3=0; y=h, du/dy=0得 C2 gh sin

g 2 y sin C2 y C3 2
由式（6-18）得沿程阻力损失
l V 2 64 l V 2 64 1000 1.272 hf 16.57(m) d 2 g Re d 2 g 1587.5 0.2 2 9.806
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6.3 平板间的层流 1. 平板间层流流动的微分方程和速度分布 如图所示，水平放置的两块平板长L宽M，两板间距2h，上板以 速度U沿x方向运动，两板间充满不可压流体，流体在x方向上压 强差Δp和上板的带动下作定常流动
(2)定常流动： 0 t
u 2u (3)充分发展流动: 2 0 , u u( y ) x x
(4)质量力沿x分量:
化简后得：
dp d 2u 2 dx dy
17
fx 0
6.3 平板间的层流 压强p与y无关，速度u与x无关，积分得：
1 dp 2 u= y +c1y+c 2 2 dx
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6.3 平板间的层流 （2) 若两平板间x方向上的压强梯度为零，则 U y u (1 ) 6-26 2 h 此时，平板间的速度随y呈线性分布，这种由上平板运动 带动流体产生的流动称为库艾特剪切流 最大速度就是上平板的运动速度，即在y=h处 umax U 整个断面上切应力为常量
du U dy 2h 令y*=y/h, u*=u/U对平板间速度分布的基本方程6-24无
10
6.2 圆管内层流 2. 圆管内层流流动的应力和速度分布 在定常流动的等直径圆管轴线上取一半径为r,长度为dx的微元 柱体，则沿x方向上的合力为零。
p p r ( p dx) r 2 2 rdx 0 x
2
化简后得到
r p 2 x
对于有限长度l的圆柱体，其x方向上的压降为Δp，则
所以速度分布为：
u
g sin (2hy y 2 ) 2
h
单位宽度上的流量为：
Q udy
0 h 0
g gh3 2 sin ( y 2hy)dy sin 2 3
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6.4 管内湍流 1. 湍流脉动现象与值 湍流（紊流） ：流动雷诺数Re> 2300的流动 湍流脉动现象：湍流流动参数随时间和空间作随机变化的现象。
【例】圆管直径d=200mm,长l=1000m，输送运动黏度ν=1.6cm2/s
的石油，流量Qv=144m3/h，求沿程损失。
【解】
判别流动状态
Re Vd


1.27 0.2 1587 .5 2000 4 1.6 10
为层流
式中
4Q 4 144 V 1.27(m / s) 2 2 d 3600 3.14 0.2
6-7
其中λ为沿程阻力系数，是一个无量纲数。主要与流体流动的
雷诺数、管道壁面的粗糙度以及流体的流态有关。
5
6.1 流动阻力 （2）局部阻力损失（局部阻力、局部损失）： 发生在急变流流动中的能量损失，由流体的惯性引起。单 位重量的流体局部损失可表示为：
V2 hj 2g
6-7
其中ξ为局部阻力系数，也是一个无量纲数。主要与引起流动 急变的管道结构有关，通常由实验给出。 求流动阻力问题转变为求阻力系数问题 【例6-1】输油管的直径d=0.1m,长l=6000m,出口端比入口 端高h=12m,油的流量为G=8000kg/h,油的密度为=860kg/m3, 入口端的油压pi=4.9×105Pa,沿程阻力系数λ=0.03,求出口 端的油压p0
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6.3 平板间的层流 由于单向流动v=w=0,列x方向上的N-S方程
2 u 2u 2u 1 Du 1 p fx 2 2 2 ( V ) Dt x x y z 3 x
利用已知条件： (1)=常数； =常数
1 p 2u 0 f x x y 2 0 f 1 p 0 y y 由（b）得 p g cos 0 y
（a） （b）
积分得
p gy cos C1
当y=h时，p=pa此压强沿x方向不变，故将y=h, p=pa, 代入得
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6.3 平板间的层流
将速度分布公式6-24在-h到h间积分，可得到单位宽度平 板间流过的流量
2 dp 3 Q udy h Uh h 3 dx
h
6-27
对6-24求导可得到流体间的应力分布
du dp U y dy dx 2h
6-28
wu
wl
dp U h dx 2h
6-14
——哈根-帕肃叶公式。
首次验证了牛顿粘性假设以及壁面不滑移特性
根据平均速度的定义，有
Q pd 2 umax V A 32l 2
6-15
13
6.2 圆管内层流 4. 圆管内层流流动沿程阻力公式 由哈根-帕肃叶公式还可以求得粘性阻力所产生的压降
128 lQ p d4
单位重量的流体的沿程阻力损失为：

量纲化处理后,得到
u B 1 * *2 u 1 y 1 y* , U 2 2 h2 dp B U dx
6-27
20
源自文库
6.3 平板间的层流 其中B称为无量纲压强梯度。 图6-6给出了无量纲压强梯度B下无量纲速度分布
由图可见：
（1）B=0时，两平板间速度分布是一条直线 （2）B>0时，上游压强大于下游压强，称为正压强梯度流动 （3）B<0时，下游压强大于上游压强，称为逆压强梯度流动 当逆压强梯度增大到一定程度，会出现u* <0，即倒流。
dp U h dx 2h
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6.3 平板间的层流 【例6-2】动力黏度为μ的液体在重力作用下沿与水平方向夹 角为θ的斜平板作定常层流流动。假定液膜的厚度为h,液面上 是大气压力Pa。求流层内的压强和速度分布的表达式，以及z 方向取单位长度的流量表达式。
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6.3 平板间的层流 【解】建立图示坐标系，该问题可简化为xy平面内的流动，结 合定常、不可压、单向流动等条件N-S方程可以简化为：
所以
p p x l p r 2l
斯托克斯公式
11
6.2 圆管内层流 结合牛顿内摩擦定律
du p r dr 2l
du dr
得到 6-11
对式6-11积分并利用边界条件r=R，u=0得到
p 2 2 u (R r ) 4l
圆管内层流应力和速度分布如图所示
6-2
对于粘性流体由于克服粘性阻力要消耗机械能，若定义hwl为单 位重量流体上游1点到下游2点的机械损失，则
V12 p1 V2 2 p2 z1 z2 hwl 2g g 2g g
6-4
1
6.1 流动阻力 总流：内部流动中有效截面所包含的所有流线的流动 建立总流伯努利方程的两个条件： （1）有效截面（过流断面）必须是均匀流或者缓变流
1V12 p1 2V2 2 p2 z1 z2 hw 2g g 2g g
重量流体流过1、2两个断面后平均损失的能量
hw 1 QV
6-6
其中α1 、α2分别为1、2两个面上的动能修正系数，hw为单位
h
A
wl
dQV
6-7
3
6.1 流动阻力 实际流体总机械能是不断减少的，即总水头是逐渐降低的。
6-47
27
6.4 管内湍流 其中 ΔT1<< ΔT<< ΔT2， ΔT1为湍流脉周期的特征时间 ΔT2为能显示时均值非定常性的特征时间 瞬时速度与时均速度之差为脉动速度，用u’表示
6.1 流动阻力 内部流动：被固体壁面包围，在管道或渠道中的流动 粘性流体流动的两大特点： （1）由于流体的粘性内摩擦效应产生了阻力和能量损失 （2）出现了层流和湍流两种流动形态 1. 不可压粘性流体总流的伯努利方程
沿流线上、下游1、2两点单位重量流体的伯努利方程。
V12 p1 V22 p2 z1 z2 2g g 2g g
2 128 l d V 2 2 p 32 lV 64 lV 64 l V 4 hf 4 2 g g d gd Vdd 2 g Re d 2 g
6-17
6-18
与达西公式（6-9）相对比，得圆管内层流的沿程阻力系数
64 Re
6-19
14
6.2 圆管内层流
利用边界条件y=h, u=U; y=-h, u=0可得：
c1 = U 2h 1 dp 2 U h 2 dx 2
c2
所以速度分布为：
u 1 dp 2 U y (h y 2 ) + (1 ) 2 dx 2 h 1 p 2 U y 2 (h y ) + (1 ) 2 l 2 h
8
6.2 圆管内层流 层流流动入口段的长度Le与管径d之比与Re成正比
Le 0.06 Re d
层流最大的入口段为138d (Re = 2300 )
湍流流动入口段的长度Le与管径d之比大约为
1 Le 4.4 Re 6 d
湍流入口段长度范围为20-40d (Re=104～106)。
9
6.2 圆管内层流