高中数学选修2-1 抛物线导学案

抛物线及其标准方程导学案

【学习要求】

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程.

【学法指导】

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

【知识要点】

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2

探究点一 抛物线定义

如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边

上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？

问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗？为什么？

问题3 点D 在移动过程中，满足什么条件？

问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点F ”去掉是否可以？

例1 方程[]

2

2)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

跟踪训练1 （1）若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线

（2）若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线

探究点二 抛物线的标准方程

问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？

问题2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？

问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？

例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0； （3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0).

跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭

⎫7

16，0 B ．⎝⎛⎭⎫－74，0 C ．⎝⎛⎭

⎫－7

16，0

D ．⎝

⎛⎭⎫0，－7

4 （2）抛物线y ＝－1

4x 2的准线方程是 ( )

A ．x ＝1

16

B ．x ＝1

C ．y ＝1

D ．y ＝2

例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0； （2）过点(3，－4)；

（3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.

跟踪训练3 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x

（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、

抛物线方程及其准线方程.

探究点三 抛物线定义的应用

例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12

. （1）求点M 的轨迹方程；

（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716

B ．1516

C ．78

D ．0

（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．

172

B ．3

C ． 5

D ．92

【当堂检测】

1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y

2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p

2)，则点M 的横坐标是 ( )

A ．a ＋p

2

B ．a －p

2

C ．a ＋p

D ．a －p

3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2

B ．3

C ．115

D ．3716

4．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________

【课堂小结】

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).

【拓展提高】

1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =

2．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，

那么AB =（ ）

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )

A ．y 2＝9x

B ．y 2＝6x

C ．y 2＝3x

D ．y 2＝3x

4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为

抛物线的简单几何性质（一）导学案

【学习要求】

1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.

【学法指导】

结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.

【知识要点】

1

2．焦点弦

直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p

2

，故|AB |＝

3．直线与抛物线的位置关系

直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程 的解的