【江海名师零距离】高三数学二轮总复习专题2 解决函数的图像与性质问题
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专题二 解决函数的图象与性质问题
【典题导引】
例1. 已知二次函数2()1f x ax bx =++和函数21
()2bx g x a x b -=+.
(1)若()f x 为偶函数,试判断()g x 的奇偶性;
(2)若方程()g x x =有两个不等的实根,求证:函数()f x 在(1,1)-上是单调函数. 解:(1)
)(x f 为偶函数, ∴x R ∀∈,()()f x f x -=,即20bx =,∴0b =. ∴
21()g x a x =-. ()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞,且
2211))()((a x a x g x g x -==-=--, ∴函数()g x 为奇函数;
(2)由212bx x a x b -=+,得 2210a x bx ++=,
由2240b a ∆=->,且0a ≠, 得12b a >,即1122b b a a -<-->或,
∴函数()f x 在(1,1)-上是单调函数.
例2. 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数,周期5T =,函数()(11)y f x x =-≤≤的图象关于原点对称.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在2x =时函数取得最小值5-.
(1) 证明:(1)(4)0f f +=;
(2) 求()y f x =,[1,4]x ∈的解析式;
(3) 求()y f x =在[4,9]上的解析式.
解:(1)
()f x 是以5为周期的周期函数,(4)(45)(1)f f f ∴=-=-, 又()y f x = (11)x -≤≤关于原点对称,(1)(1)(4)f f f ∴=--=-,
(1)(4)0f f ∴+=;
第6题答案图
(2)当[1,4]x ∈时,由题意可设
2()(2)5(0)f x a x a =-->, 由(1)(4)0f f +=得
22(12)5(42)50a a --+--=,2a ∴=, 2()2(2)5f x x ∴=--(14)x ≤≤;
(3)由条件得()y f x =(11)x -≤≤是奇函数,(0)0f ∴=,又知()y f x =在[0.1]上是一次函数,
∴可设()(01)f x kx x =≤≤,而
2(1)2(12)53f =--=-,∴3k =-, ∴当01x ≤≤时,()3f x x =-,从而当10x -≤<时,()()3f x f x x =--=-,
故当11x -≤≤时,()3f x x =-,∴当46x ≤≤时,有151x -≤-≤,
()(5)3(5)315f x f x x x ∴=-=--=-+,
当69x <≤时,154x <-≤,
22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x ∴=-=---=--, 2315,46()2(7)5,69.x x f x x x -+≤≤⎧∴=⎨--<≤⎩,.
点评:紧抓函数几个性质,将未知的转化为已知的,注意函数图象及端点值.
例3. 已知函数
2()a f x x x =+(0x ≠,常数a ∈R ). (1) 讨论函数()f x 的奇偶性,并说明理由;
(2) 若函数()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数,求a 的取值范围.
解:(1) 当0a =时,2()f x x =,对任意(,0)(0,)x ∈-∞+∞,
22()()()f x x x f x -=-==, ∴()f x 为偶函数.当0a ≠时,2()(0,0)a f x x a x x =+≠≠,
取1x =±,得(1)(1)20f f -+=≠,(1)(1)20f f a --=-≠,
∴(1)(1)f f -≠-,(1)(1)f f -≠,∴函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数.
(2) (解法1)设122x x ≤<,22121212()()a a f x f x x x x x -=+--12121212[()]x x x x x x a x x -=⋅+-⋅,
要使函数()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数,必须12()()0f x f x -<恒成立.
120x x -<,124x x ⋅>,即1212()a x x x x <⋅+恒成立. 又124x x +>, ∴1212()16x x x x ⋅+>.∴ a 的取值范围是(,16]-∞.
(解法2)当0a =时,2()f x x =,显然在[2,)+∞上为增函数.
当0a <时,反比例函数a x 在[2,)+∞上为增函数,∴
2()a f x x x =+在上[2,)+∞为增函数. 当0a >时,同解法1.
(解法3)
2()20a f x x x '=-≥,即a ≤2x3,对[2,)x ∈+∞恒成立.而32y x =在[2,)+∞上单调递增,最小值为16,∴16a ≤.
点评:本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题.
例4. 已知函数1
()f x a x =-.
(1)求证:函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数;
(2)若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围;
(3)若函数()y f x =在[,]m n 上的值域是[,]m n ()m n ≠,求实数a 的取值范围.
解:1)当(0,)x ∈+∞时,1()f x a x =-.则21()0f x x '=>,
∴()f x 在(0,)+∞上为增函数. (2)12a x x -
<在(1,)+∞上恒成立,即
12a x x <+在(1,)+∞上恒成立. 设1()2h x x x =+,则()a h x <在(1,)+∞上恒成立. 222121()2x h x x x -'=-=.又1x >,∴()0h x '>.
∴()h x 在(1,)+∞上单调递增.
∴()(1)3h x h >=,故3a ≤.
∴a 的取值范围为(,3]-∞; (3) ()f x 的定义域为{}0,x x x R ≠∈,0mn ∴>.
当0n m >>时,由(1)知()f x 在(0,)+∞上单调递增,
∴()m f m =,()n f n =.
故210x ax -+=有两个不相等的正根m ,n .