【江海名师零距离】高三数学二轮总复习专题2 解决函数的图像与性质问题

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

专题二 解决函数的图象与性质问题

【典题导引】

例1. 已知二次函数2()1f x ax bx =++和函数21

()2bx g x a x b -=+.

(1)若()f x 为偶函数,试判断()g x 的奇偶性;

(2)若方程()g x x =有两个不等的实根,求证:函数()f x 在(1,1)-上是单调函数. 解:(1)

)(x f 为偶函数, ∴x R ∀∈,()()f x f x -=,即20bx =,∴0b =. ∴

21()g x a x =-. ()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞,且

2211))()((a x a x g x g x -==-=--, ∴函数()g x 为奇函数;

(2)由212bx x a x b -=+,得 2210a x bx ++=,

由2240b a ∆=->,且0a ≠, 得12b a >,即1122b b a a -<-->或,

∴函数()f x 在(1,1)-上是单调函数.

例2. 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数,周期5T =,函数()(11)y f x x =-≤≤的图象关于原点对称.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在2x =时函数取得最小值5-.

(1) 证明:(1)(4)0f f +=;

(2) 求()y f x =,[1,4]x ∈的解析式;

(3) 求()y f x =在[4,9]上的解析式.

解:(1)

()f x 是以5为周期的周期函数,(4)(45)(1)f f f ∴=-=-, 又()y f x = (11)x -≤≤关于原点对称,(1)(1)(4)f f f ∴=--=-,

(1)(4)0f f ∴+=;

第6题答案图

(2)当[1,4]x ∈时,由题意可设

2()(2)5(0)f x a x a =-->, 由(1)(4)0f f +=得

22(12)5(42)50a a --+--=,2a ∴=, 2()2(2)5f x x ∴=--(14)x ≤≤;

(3)由条件得()y f x =(11)x -≤≤是奇函数,(0)0f ∴=,又知()y f x =在[0.1]上是一次函数,

∴可设()(01)f x kx x =≤≤,而

2(1)2(12)53f =--=-,∴3k =-, ∴当01x ≤≤时,()3f x x =-,从而当10x -≤<时,()()3f x f x x =--=-,

故当11x -≤≤时,()3f x x =-,∴当46x ≤≤时,有151x -≤-≤,

()(5)3(5)315f x f x x x ∴=-=--=-+,

当69x <≤时,154x <-≤,

22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x ∴=-=---=--, 2315,46()2(7)5,69.x x f x x x -+≤≤⎧∴=⎨--<≤⎩,.

点评:紧抓函数几个性质,将未知的转化为已知的,注意函数图象及端点值.

例3. 已知函数

2()a f x x x =+(0x ≠,常数a ∈R ). (1) 讨论函数()f x 的奇偶性,并说明理由;

(2) 若函数()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数,求a 的取值范围.

解:(1) 当0a =时,2()f x x =,对任意(,0)(0,)x ∈-∞+∞,

22()()()f x x x f x -=-==, ∴()f x 为偶函数.当0a ≠时,2()(0,0)a f x x a x x =+≠≠,

取1x =±,得(1)(1)20f f -+=≠,(1)(1)20f f a --=-≠,

∴(1)(1)f f -≠-,(1)(1)f f -≠,∴函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数.

(2) (解法1)设122x x ≤<,22121212()()a a f x f x x x x x -=+--12121212[()]x x x x x x a x x -=⋅+-⋅,

要使函数()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数,必须12()()0f x f x -<恒成立.

120x x -<,124x x ⋅>,即1212()a x x x x <⋅+恒成立. 又124x x +>, ∴1212()16x x x x ⋅+>.∴ a 的取值范围是(,16]-∞.

(解法2)当0a =时,2()f x x =,显然在[2,)+∞上为增函数.

当0a <时,反比例函数a x 在[2,)+∞上为增函数,∴

2()a f x x x =+在上[2,)+∞为增函数. 当0a >时,同解法1.

(解法3)

2()20a f x x x '=-≥,即a ≤2x3,对[2,)x ∈+∞恒成立.而32y x =在[2,)+∞上单调递增,最小值为16,∴16a ≤.

点评:本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题.

例4. 已知函数1

()f x a x =-.

(1)求证:函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数;

(2)若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围;

(3)若函数()y f x =在[,]m n 上的值域是[,]m n ()m n ≠,求实数a 的取值范围.

解:1)当(0,)x ∈+∞时,1()f x a x =-.则21()0f x x '=>,

∴()f x 在(0,)+∞上为增函数. (2)12a x x -

<在(1,)+∞上恒成立,即

12a x x <+在(1,)+∞上恒成立. 设1()2h x x x =+,则()a h x <在(1,)+∞上恒成立. 222121()2x h x x x -'=-=.又1x >,∴()0h x '>.

∴()h x 在(1,)+∞上单调递增.

∴()(1)3h x h >=,故3a ≤.

∴a 的取值范围为(,3]-∞; (3) ()f x 的定义域为{}0,x x x R ≠∈,0mn ∴>.

当0n m >>时,由(1)知()f x 在(0,)+∞上单调递增,

∴()m f m =,()n f n =.

故210x ax -+=有两个不相等的正根m ,n .

相关文档
最新文档