2011年高考浙江卷理科数学第12题一题多解

于是
−− 8
x+y ⩽ √
=
5
−− 2√10
, 5
−−
−−
等号当 x = y = √10 时取得，因此所求 x + y 的最大值为 2√10 ．
5
5
法二 利用齐次特性创造运用均值不等式的条件
当 时， ； xy = 0
x + y = ±1
当 xy#43; 2xy
2
(x + y) =
−−
2
√15
(x + y) + (
y) = 1,
4
4
于是令 此时
−−
1
√15
x + y = cos θ,
y = sin θ,
4
4
其最大值为
3
x+y =
−− sin θ + cos θ,
√15
−−−−−−−−−−−− √
−−−−−−−−−−−−
2
√(
3
2
−− ) + 1 =
√15
−− 2√10
, 5
为定角 ． 1 arccos (− ) 4
接下来求 BC + CA 的最大值，有两种不同的途径．
三角途径
由正弦定理，有 于是
x
y
1
=
=
,
sin A
sin B
sin C
sin A + sin B x+y =
sin C
A+B
A−B
2 sin
⋅ cos
2
2
=
sin C
π−C
2 sin
2
⩽
sin C
−− 2√10
），于是 D 也在以 AB 为弦的一段圆弧上，此时易得
8
AD 的最大值为圆弧的直径，为
AB
−− 2√10
=
,
sin D
5
−−
当 C 平分 AD ，即 x = y = √10 时取得等号，因此所求 x + y
5 −−
的最大值为 2√10 ．
5
−−
接下来证明当 x, y 不均为正实数时 x + y ⩽ 2√10 ：
2
2
3x − 3tx + 2t − 2 = 0,
其判别式
2
Δ = −15t + 24 ⩾ 0,
解得
−− 2√10
−
⩽t⩽
5
−− 2√10
, 5
−−
右边等号当 x = y = √10 时取得，因此所求 x + y 的最大值为
5 −−
． 2√10
5
法五 主元配方后三角换元
将题中条件通过主元配方转化为
2
1
⎛ √2
x
⎜
( )=⎜
y
⎜
2 √2
⎝−
2
√2 ⎞
2⎟ m
⎟( )
√2 ⎟
n
⎠ 2
将椭圆 x2
+ y2
+
1 xy
=
1
旋转
∘
45
，将其“摆正”为
2
2
3m 4
2
5n +
4
= 1,
如图．
−−
所求 x + y = √2n ，其最大值为 2√10 ．
5
−−
等号显然可以取到，于是所求最大值为 2√10 ．
5
法六 联想已知条件的几何意义
先考虑 x, y 均为正实数的情形．
由于已知条件的形式，联想余弦定理．将条件改写为
1
2
2
x + y − 2xy ⋅ (− ) = 1,
4
于是可以构造 △ABC ，其中 BC = x ， CA = y ， AB = 1 ，角 C
x2 + y2
+
1
xy
2
= 1+
3
xy
2
x2 + y2 +
1
xy
2
3
= 1+
2
x
y
1
++
y
x
2
3
2
⩽ 1+
1
2+
2
8 =,
5
−−
−−
等号当 x = y = √10 时取得，因此所求 x + y 的最大值为 2√10 ．
5
5
法三 对二次式进行配方
引入参数，试图使得
1
2
2
2
(x + y) − λ (x + y + xy)
每日一题[283] 千树万树梨花开
2015年10月29日 意琦行 数海拾贝
编者按 本人原作者为刘杨，编辑为意琦行，有大量补充和细节更 正．
2011年高考浙江卷理科数学第12题：
已知
x,
y
∈
R
，
2
4x
+
2
y
+
xy
=
1
，则
2x
+
y
的最大值为_______．
解 首先重新叙述问题：
已知 x, y
∈
， R
x2
=
,
5
−−
当 ，即 A = B
√10 x=y=
时取得等号．
5
几何途径
直接考虑定线段 AB 所对的角 C 为定角，于是 C 在以 AB 为弦的 一段圆弧上．此时求 AC + BC 的最大值不易（需要借助椭圆）．
延长 AC 到 D ，使得 CD = CB ，则 ∠ADB 也为定角（为
−−
5 arcsin √
+ y2
+
1 xy
=
1
，求 x + y
的最大值．
2
解决问题的核心在于如何处理掉交叉项 xy ，有以下不同的思路．
法一 利用均值不等式建立 xy 与 x + y 的联系
根据已知，有
1
2
2
1 = x + y + xy
2
3
2
= (x + y) − xy 2
2
3
x+y
2
⩾ (x + y) −
⋅(
)
2
2
5
2
= (x + y) , 8
2
为完全平方式，即二次式
1
2
2
(1 − λ)x + (2 − λ) xy + (1 − λ)y
2
的判别式
2
1
2
Δ = (2 − λ) − 4(1 − λ) = 0,
2
−−
解得 λ = 8 （ λ = 0 舍去），进而可得 x + y 的最大值为 2√10 ．
5
5
法四 利用判别式处理二次式
令 t = x + y ，则 y = t − x ，代入已知条件，整理得
5
当 x, y ⩽ 0 时，显然；
当 xy < 0 时，有
1
2
2
2
2
2
(x + y) = x + y + 2xy < x + y + xy = 1,
2
于是
x+y < 1 <
−− 2√10
. 5
−−
于是所求的最大值为 2√10 ．
5
注一 法五中利用三角处理的部分也可以通过柯西不等式进行描述．
注二 可以利用变换