数学模型课件第一章
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第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
数学建模算法及应用教学课件
第一章 线性规划重要性：在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划。
自从提出单纯性方法，利用该算法，可利用计算机的超级计算能力解决大型线性规划问题，我们的数学建模中有很多问题都是有关于线性规划或者可转化为线性规划的问题，所以学习线性规划问题的解决办法很有必要。
1.1.1 线性规划的实例与定义例1.1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用A 、B 机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A 、B 、C 三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润z 最大，则目标函数：12max 43z x x =+约束条件：12122122108..7,0x x x x s t x x x +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 由于是在一组约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题，故称为线性规划问题。
1.1.2 线性规划问题的解的概念一般线性规划问题的（数学）标准型为:目标函数：1max nj j j z c x ==∑约束条件：1,1,2,,,..0,1,2,,.nij j j ja xb i m s t x j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑其中：0,1,2,,.ib i m ≥=例： 12min 56z x x =+121221231028..4,0x x x x s t x x x +≥⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 将该线性规划问题转化为标准型。
可行解：满足约束条件的解[]12,,Tx x x =，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数达到最大值的可行解为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R 。
数学模型姜启源 ppt课件
6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
第一章1周期现象-北师大版高一数学必修4课件(共21张PPT)
水深/m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 4.1 3.1
时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00
水深/m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3
时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00
3.可以用列表法、图像法、解析式等等刻画周期现象
4.利用函数描述周期现象 时，会出现不同的自变 量. 时间、角度等都可以作 为自变量.
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
北师大版 高中数学 必修4 第一章 三角函数 §1 周期现象
思考：看完这几幅图片，我们想到了什么呢？
不管是游乐园的过山车，还是钟表零件，或是未来 我们要学习的物理学的机械制造、光学、机械波等， 他们的运动都是循环往复，周而复始的现象.
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象， 这种变化规律称为周期性.函数是刻画客观世界变化规律的数学模型， 那么在数学中又如何刻画世界中的周期性变化规律呢？三角函数是基 本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，它在天文测量、大 地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学及图 形处理等众多学科和领域中都有广泛的应用.
水深/m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
根据上表提供的数据在 坐标系中可以作出水深 H与时间 t关系的散点图如下：
从散点图可以看出，每 经过相同的时间间隔 T（12h），水深 重复出现相同的数值， 因此水深是周期性变化 的.
例1地球围绕着太阳旋转， 地球到太阳的距离 y随 时间变化的现象是周期 现象吗？
个点.该青蛙从“5”这点起跳，经2020跳后它停在的点对应的数
《数学模型电子教案》课件
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
数学模型第01章第五版ppt课件
2）由 f, g 连续可得 h连续.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
1.1 72线性规划问题及其数学模型
可行域
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
第一章数值最优化方法建模与数学预备知识分解PPT课件
x4 a5
例3：两杆桁架的最优设计问题。由两根空心圆杆组成的对称两
杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆
杆的壁厚为B，杆的比重为ρ，弹性横量为E，屈服强度为δ。求在
桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均
直径d。
B
2p
p1
p
2
h
h
d
2p
2L
受力分析图
圆杆截面图
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
min 2 r h 2 r2
则得原问题的数学模型：
min2rh 2r2
s.t.
r2h40 3
利用在微积分学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
L r.h .2 rh2 r2 r2h4
3
分别对r、h、λ求偏导数，并令其等于零，有:
L r
最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际生产或科
技问题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进
行数学加工和求解。
对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料， 但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目 前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实 际问题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将 成为无水之源，难以健康发展。
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。
为了便于大家今后在处理实际问题时建立最优化数学模 型，下面我们先把有关数学模型的一些事项作一些说明。
所谓数学模型就是对现实事物或问题的数学抽象或描述。 建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所研究 的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果可能 不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算带来 困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟 练的技巧。
第一章 数学建模概论 数学模型与实验 国家级精品课程课件 20页
2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见
第1章 数据模型与决策课件第一章导论-1
• 1947年George Dantzig解决线性规划问题的单纯形法。 • 计算机使人们可以借助方法论上的最新成果来解决大量不同的问
题。
• 本书的目的是为了让学生对管理科学在决策过程中所起的 作用有一个完整的观念性理解。
本章主要内容
1.1 解决问题与制定决策 1.2 定量分析与制定决策 1.3 定量分析 1.4 成本、收入与利润模型 1.5 管理科学技术
1.3 定量分析
运用反复试验的方法可以求出例题生产问题的结果。 推荐的决策是每周生产8单位产品，因为x=8时有一个 可行解并且使利润最大。
表1-2 生产模型的反复试验求 解
1.3 定量分析
反复试验的结果也有缺点，它并非总能产生最优 解。而且如果备选方案过多，会变得效率低下。
建模和模型求解这两步不能截然分开。分析人员总 希望既能建立一个可以准确描述实际问题的准确模型， 又希望能对其进行求解。如果在建模时一味追求模型的 准确性，那么我们的模型会因为过于庞大根本无法求解， 而简单易懂的模型一般却只能得到一个近似的最优解。
我们称用来描述一个问题的目标的数学表达式为目 标函数。一个公司的目标是利润最大化，那么利润方程 P=10x就是目标函数。比如，制造每单位产品需要5小 时，而每周工作总时间只有40小时，用x代表每周生产 的产品单位数，那么生产时间限制就用5x≤40表达。
1.3 定量分析
前面的例子中，每单位产品利润10美元，单位产品生 产时间5小时,生产能力40小时是一些环境因素，不受管理 者和决策者的控制。这种能够影响目标函数和约束条件的 影响因素被称为模型的非可控输入，而可以被管理者和决 策者控制的因素称为可控输入，也成为决策变量。
一旦所有可控和非可控输入都已经确定，目标函数和 约束条件就可在模型中被考虑，模型的输出就确定了。
题。
• 本书的目的是为了让学生对管理科学在决策过程中所起的 作用有一个完整的观念性理解。
本章主要内容
1.1 解决问题与制定决策 1.2 定量分析与制定决策 1.3 定量分析 1.4 成本、收入与利润模型 1.5 管理科学技术
1.3 定量分析
运用反复试验的方法可以求出例题生产问题的结果。 推荐的决策是每周生产8单位产品，因为x=8时有一个 可行解并且使利润最大。
表1-2 生产模型的反复试验求 解
1.3 定量分析
反复试验的结果也有缺点，它并非总能产生最优 解。而且如果备选方案过多，会变得效率低下。
建模和模型求解这两步不能截然分开。分析人员总 希望既能建立一个可以准确描述实际问题的准确模型， 又希望能对其进行求解。如果在建模时一味追求模型的 准确性，那么我们的模型会因为过于庞大根本无法求解， 而简单易懂的模型一般却只能得到一个近似的最优解。
我们称用来描述一个问题的目标的数学表达式为目 标函数。一个公司的目标是利润最大化，那么利润方程 P=10x就是目标函数。比如，制造每单位产品需要5小 时，而每周工作总时间只有40小时，用x代表每周生产 的产品单位数，那么生产时间限制就用5x≤40表达。
1.3 定量分析
前面的例子中，每单位产品利润10美元，单位产品生 产时间5小时,生产能力40小时是一些环境因素，不受管理 者和决策者的控制。这种能够影响目标函数和约束条件的 影响因素被称为模型的非可控输入，而可以被管理者和决 策者控制的因素称为可控输入，也成为决策变量。
一旦所有可控和非可控输入都已经确定，目标函数和 约束条件就可在模型中被考虑，模型的输出就确定了。
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
北师大版八年级数学上册第一章专题四模型拓展——勾股定理模型课件
（2）相等，理由如下： 在图Z1－4－1②中， 因为∠C＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2，CD2＝AD2－AC2. 因为D是BC的中点， 所以BC＝2CD. 所以AB2＝AC2＋4CD2＝AC2＋4（AD2－AC2）. 所以AB2＝AC2＋4AD2－4AC2. 所以AB2＋3AC2＝4AD2．
解：（1）猜想正确，理由如下. 因为在四边形ABCD中，AC⊥BD， 所以∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°. 所以AB2＝OA2＋OB2，CD2＝OC2＋OD2， BC2＝OB2＋OC2，AD2＝OA2＋OD2. 所以AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2， BC2＋AD2＝OB2＋OC2＋OA2＋OD2. 所以AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
总结：如图Z1－4－2，视察这两个三角形，得这两个三角 形的高相等，且有两边相等.如图Z1－4－3，将这个三角 形拼在一起后构成一个边长为8的等边三角形，且该等边 三角形的高即为这两个三角形的高.
2. 如图Z1－4－4，在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5， 求∠C的度数.
解：如答图Z1－4－1，过点A作AD⊥BC于点D. 设CD＝x， 则BD＝BC－CD＝5－x. 在Rt△ABD中，由勾股定理, 得AD2＝AB2－BD2.
S四边形ABCD＝(AC·BD)÷2
垂美四边形：对角线互相垂直的四边形．
垂美结论：垂美四边形对边的平方和相等．
5. 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”， 如图Z1－4－7①，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2＋ CD2＝AD2＋BC2．请判断同学的猜想是否正确，并说明理由； （2）如图Z1－4－7②．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D, E 分别是AC, BC的中点， 连接AE, BD，且AE⊥BD，求AB．
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设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
10
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ B A ´
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是的函数
C
四个距离
两个距离
(四只脚) 正方形
十七世纪万有引力定律的发现。
• 20世纪以来，电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
7
数学建模越来越受到人们的重视
• 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多新天地。 马克思说过：一门科学只有成功地运用数学时，才 算达到了完善的地步。
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
6
1.2 数学建模的重要意义
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学， 数学建模是用数学方法解决实际问题的第一步， 数学建模与数学有着同样悠久的历史。 如：两千多年前欧几里德几何的创立、
问题
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
12
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
模型求解
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
• 穷举法 ~ 编程上机
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
• 图解法
y
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3
允许状态 ~ 10个 点Biblioteka C´对称性AO
x
D´ D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
11
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学 已知： f() , g()是连续函数 ;
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
河 小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
问题分析
多步决策过程
3名商人 3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限 步使全体人员过河.
3
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x =20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
8
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理
如虎添翼
数学建模
计算机技术
知识经济
9
1.3 数学建模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
4
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
5
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
13
1.3.2 商人们怎样安全过河
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模
1
1.1 从现实对象到数学模型
原型：人们在现实世界里关心、研究或从事 生产、管理的实际对象。 如：机械系统、电力系统、生态系统、导弹 飞行过程、化学反应过程、计划决策过程等。
模型：是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
2
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
数学模型：由数字、字母或其它数学符号组成 的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形 或算法。
14
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态
xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
sk+1=sk +(-1)k dk
~状态转移律
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0). 15