多元函数微分法 (1)
多元微分
x y x y
6 2
3
lim
kx
6
4 2 2
x 0
x k x
lim
kx
4
2 2
x 0
x k
0
但
lim
y kx
x y x y
6 2
3
x 0
lim
x
6
6 6
x 0
x x
xy x y
2 2
1 2
故
( x , y ) ( x0 , y 0 )
lim
f ( x, y )
F a)一元隐函数： ( x , y ) 0 且 F ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域有一阶连续的偏
导数，且 其中
Fx
'
F ( x0 , y0 ) 0
，若
Fy ( x0 , y0 ) 0
'
则存在 y y ( x )
'
Fy
'
' ，F y 是二元函数 F ( x , y ) 对 x , y 的偏导数 .
''
y x
(
z
)
z
2
xy
f xy ( x , y ),
''
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z
2
x y yx
,
x y
(
z
)
z
2
yx
f yx ( x , y ),
''
y y
(
z
)
z
2
y
多元函数微分法(1)
z yy [ f11( xy, x2 y2 ) x f12( xy, x2 y2 )(2 y)]x [ f21(xy, x2 y2 ) x f22 (xy, x2 y2 ) (2 y)](2 y) f2( xy, x2 y2 ) 2
练习 设 z f (2x y, ysin x),
对应点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
证：给x一增量x,则u, v, z都有一偏增量
z du z dv. u v
例1、设z
arctan
y x
, 求z x
,
z
y
.
解：dz
d
arctan
y x
d( y) x
1 ( y)2
xdy ydx
x2 1 ( y)2
xdy ydx x2 y2
x
x
zx
y x2 y2
,zy
x2
x
y2
利用全微分求偏导数是求偏导数 的一个比较简捷的技巧
(1) dz z du z dv . dt u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
z z(u,v, w),u u(t),v v(t), w w(t)
(2) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
多元函数微分法及其应用总结
多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。
多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。
而微分法是研究函数的变化率的一种方法。
本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。
1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。
对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。
全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。
多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。
2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。
对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。
3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。
对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。
4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。
（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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多元函数微分法
u z v , x v x
z y
z u u y
z v
v y
(4) 类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
f x
2z xy
(
fuu
u y
fuy )e y
fu e y
f xu
u y
f xy
fuu xe2 y fuye y fu e y f xu xe y f xy
练习：求z f ( xy, x2 y2 )的偏导数。
解：zx f1( xy, x2 y2 ) y f2( xy, x2 y2 ) 2x
x0 x
x0
x0 x
lim o() lim xu2 xv2
0
x0
x
0 o()
lim lim
0
x0
xu x
2
xv x
2
z z u z v x u x v x
从而 z f (u,v) u ( x, y) v ( x, y)
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z x
z u
求全导数dz .
解:
dt
dz dt
z du u dt
z v
dv dt
z t
ve t
usin t
cos t
et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
例 2 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ，
多元函数微分法
2，
f ( x y, x y) (x y)sin(x y).
2
2. 多元函数的极限
(1描)定述义性：定设义函数 z f (x, y) 的定义域为D, P0(x0, y0 )是D
的聚对点于. 如二果元对函于数任z 意f给( x定, y的)，正P0(数x0, y，0 )总是存定在义正域数D的，聚使点
1 2 x2
x
y2
y2
4
y
x
所求定义域为:
o22
D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
例2.设 f ( x, y) x sin y ,求f (4, )、f ( x y, x y).
2
解:
f (4, )
2
4sin
但是，P( x, y)沿直线y x趋于(0, 0)时
xy
x2
1
lim
x0
f ( x, y) lim x0
x2
y2
lim x0
x2
x2
, 2
y x0
y x0
lim f ( x, y)不存在. （x，y )( 0,0 )
6
例4.
求极限
sin(x2 y)
lim
x0
当得P对( x于, y适) 合P不0(等x0 ,式y0 )0时，对PP应0 的函( x数 值x0 )2f((xy, y)y无0 )限2 接 近
于的一一个切确点定P的( x常, y)数AD，, 则都称有A为f ((xx,,yy))A( x0,y成0 )时立，，函数
则z 称f常( x数, yA) 的为极函限数 z记 为f (：x( x,,yy))li当m( x(0 ,xy0,)yf)(x,(yx)0 ,y0A),时的极限.
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
多元函数微分法
F F z F F z 0, 0 x z x y z y
Fy Fx z z F 若 ， 0则有 x Fz y Fz y
医用高等数学
例4-27 求由方程 e z xyz 0所确定的函数z的偏
导数. 解: 令F ( x, y, z ) e z xyz 则
2 2 2
u
x
由锁链法则
z
r
v
w
y
z dz z u z v z w ( ) x dr u x v x w x
医用高等数学
1 u v w 2 ( 2 x 2 x 2 y) r r r r
2 3 ( xu xv yw) r 2x 2 2 2 (x y )
同理
2y z dz z u z v z w ( ) 2 y dr u y v y w y ( x y 2 )2
医用高等数学
2. 中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
z f (u, x, y) 其中 u ( x, y) u
即
2x 2x 2 ln(3x 2 y ) 2 y y (3x 2 y )
医用高等数学
2
2
z z 例4-21 设 z (1 xy ) , 求 、 . x y
y
v z u 解: 令 u 1 xy, v y, 则
z z u z v x u x v x
2(2 x y) 3x 7 x 2 y
医用高等数学
3. 中间变量均为一元函数
设 z f (u, v)可微,且 u u ( x), v v ( x) ,则复合函数
z f [u ( x), v( x)]为 x 的一元函数, 对 x 求导,得
9、多元函数微分习题课(1)
2z 其中f 具有二阶连续偏导数， z = f (e x sin y , x 2 + y 2 ), 其中 具有二阶连续偏导数，求 4、 设 、 xy z = e x sin yf1′ + 2 xf 2′ 解 x
2z ′′ ′′ ′′ = f11e 2 x sin y cos y + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 + 4 xyf 22 + f1′e x cos y xy
x0 y0 z0 . 6abc
u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件( 于是问题转化为求函数 u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件(1)下的 最大值问题. 最大值问题. F(x,y,z)=xyz＋ x,y,z)=xyz 令 F(x,y,z)=xyz＋λ( a
x + b y + c z 1 )，解方程组
2、 由方程 xyz + 、
x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z=z(x, y)
在点（ 在点（1,0,－1）处的全微分 dz = dx － ） [利用全微分 由方程得 利用全微分] 利用全微分 因此，在点 因此，在点(1,0,-1)处 处
2dy
1 x + y +z
2 2 2
yzdx + xzdy + xydz +
在曲面上， 因 P0 在曲面上，即 a x 0 + b y 0 + c z 0 = 1 ，
(2)
a b c x+ y+ z =1 将它代入( 可化切平面方程为， 将它代入(2)式，可化切平面方程为， x0 y0 z0
多元函数微分学1
多元函数微分学多元函数的极限1. 求函数y x z -=的定义域.解 二元函数的定义域. 由二次根式, 得0≥y 且0≥-y x .2. 设=)1,1(x y f yx x y x 2)(--, 求),(y x f .解1 复合函数.改写, 得=)1,1(x y f yx x y x 2)(--22111xxy y x --=. 于是)2(),(y x y x y y x f --=. 解2 令xv y u 1,1==. 代入化简, 得)2(),(v u v uv v u f --=.即)2(),(y x y xy y x f --=.习题(a) 已知=),(y x f 22y x xy+, 求)1,(x y f . (b) 设22),(y x xyy x f -=+, 求),(y x f .3. 计算极限22sin 00)1(lim y x xy x xy +→→+.解 用一元函数极限的法则与定理.因为x y →→00,, 所以xy →0. 这是1∞型未定式. 因为)(21||22y x xy +≤, 所以22|sin |||y x x xy +|sin |21x ≤. 根据极限存在准则1, lim x y →→000|sin |||22=+y x x xy . 再由函数连续性有lim()sin x y xxy xy →→++01= 1.4. 求证: 极限lim x y →→00x y x y2222-+不存在. 证 选择不同路径(相当于数列或一元函数的子列), 证明极限不存在.一种常用的(不是万能的!)路径是沿直线y y k x x -=-00()趋向于点(,)x y 00. 在这里是沿直线y kx =趋向于坐标原点.lim x y →→00x y x y 2222-+=lim x k k →-+02211=1122-+k k 因为极限值与k 有关, 即沿不同直线趋向于坐标原点时, 有不同极限值, 所以原极限不存在.5. 求证: 极限lim x y →→00x y x y22++不存在.证 选择不同路径, 证明极限不存在.例5中的直线路径在这里无效. 需要寻找曲线路径. 当动点沿抛物线y x kx =-+2趋向于坐标原点时, 有limx y →→00y x y x ++22=k k x k kx x 222lim 220=+-→ 极限值与k 有关, 原极限不存在.6. 研究函数z x yy y =≠=⎧⎨⎪⎩⎪sin ,,1000的连续性. 解 用定义判定连续.根据初等函数的连续性, 当y ≠0时, 函数连续. 因为lim x y →→0x ysin10=, 所以函数在坐标原点也连续.当沿着与y 轴平行的直线趋向于x 轴上其它的点时, 极限不存在. 于是这些点是函数的间断点.7. 设函数f x y (,)关于自变量x 连续, 又存在常数L >0, 使得对于任意两点(,),(,)x y x y 12, 有|(,)(,)|||f x y f x y L y y 1212-≤-, 则函数f x y (,)连续.证 用定义判定连续.任意取点(,)x y 00. 对于任意给定的0>ε, 由于对于取定的y 的值, 函数关于自变量x 连续, 存在01>δ, 使得当10||δ<-x x 时, 有2|),(),(|000ε<-y x f y x f .取}2,min{1Lεδδ=, 则当δ<-||0x x , δ<-||0y y 时, 有|)],(),([)],(),([||),(),(|000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f ---=-|),(),(|0y x f y x f -≤|),(),(|000y x f y x f -+ εεδε≤+≤+-≤22||0L y y L偏导数与全微分1. 设函数f x y xy x y x y x y (,),,=++≠==⎧⎨⎪⎩⎪2222000 , 计算y fx f ∂∂∂∂,. 解 用定义求偏导数.当x y 220+≠时, 用导数公式得2/3223)(y x y x f +=∂∂, 2/3223)(y x x y f +=∂∂. 当x y ==0时, 用偏导数定义, 得f x (,)00=lim(,)(,)x f x f x→-=00000. 同理有f y (,)000=.2. 设函数22),(y x y x f +=, 则它在坐标原点连续, 但没有偏导数.解 用定义证连续，求偏导数因为)0,0(0lim 2200f y x y x ==+→→，函数在所以坐标原点连续。
09-7多元隐函数微分法(1)
设 F ,G C1, 方程组 F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
确定函数 u u(x, y) ,v v(x, y) , 求 u , u , v , v 。
x y x y
1.几个方程确定几个函数； 2.自变量的个数=方程个数-函数个数。
将 y 看成常数
当 (F,G) 0时, (u, v)
2. F (x0 , y0 , z0 ) 0 ; 隐函数存 3. Fz(x0 , y0 , z0 ) 0 , 在的条件 则方程 F(x, y, z) 0 在N (( x0 , y0 )) 内唯一 确定一个函数
z f ( x, y ) C 1( N ( x0 , y0 ))
且 z0 f (x0 , y0 ) , F (x, y, f (x, y)) 0 .
整理得：
dz
exy y ez 2
dx
e xy x ez 2
dy
由微分公式可得：
z e xy y z e xyx
x
ez
2
, y
ez
2
设 F(x y z, xyz) 0 确定 z z(x, y),
例
求 z ,
x
z y
,
其中,
F C1.
解
F x
F1
yzF2
,
F y
F1
xzF2
,
F z
F1
xyF2
J
(u1, u2 ,, un ) (x1, x2 ,, xn )
(F1, F2 ,, Fn ) (x1, x2 ,, xn )
F1 F1 x1 x2
雅可比行列式记号
F1 xn
F2
x1
F2
F2
多元函数微分公式法
多元函数微分公式法1.偏导数的定义考虑一个具有两个自变量的多元函数$f(x,y)$，其中$x$和$y$分别代表两个自变量。
在其中一点$(x_0,y_0)$处，偏导数$\frac{\partialf}{\partial x}$表示函数$f(x,y)$对于变量$x$的变化率。
类似地，偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$表示函数$f(x,y)$对于变量$y$的变化率。
偏导数的定义如下：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$$$\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$2.全微分的定义全微分表示函数$f(x,y)$在其中一点$(x_0,y_0)$附近的微小变化。
全微分记作$df$，它可以看作是函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的局部线性近似。
全微分的定义如下：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partialf}{\partial y}dy$$其中$dx$和$dy$分别代表自变量$x$和$y$的微小变化量。
3.多元函数微分公式$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + ... + \frac{\partial f}{\partialx_n}dx_n$$或者写成更紧凑的形式：$$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$$这个公式描述了函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在其中一点$(x_1,x_2,...,x_n)$处的微小变化。
第五节多元函数微分法
复合函数求导法则特征说明 u z z u z v = + z x u x v x v
x y
项数等于路径条数 因子数等于连线数
公式与结构图两者之间的联系: 公式与结构图两者之间的联系 ①公式中偏导数由 两项组成, 的路径. 两项组成 对应结构图中有两条 x 到达 z 的路径 公式中每项为两个偏导数的乘积, ②公式中每项为两个偏导数的乘积 这两个偏导数形式 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应. 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应 基本规律: 分路向加, 连线相乘, 分清变量, 逐层求导. 基本规律 分路向加 连线相乘 分清变量 逐层求导 复合函数求导法则虽然是多种多样, 复合函数求导法则虽然是多种多样 但是把握了 其规律就 可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公 式.
一,复合函数求导法则 设函数 z= f (u, v) , 而 u = (x), v =ψ (x), 则有复合 中间变量为一元函数) 函数 z = f [(x),ψ (x)] (中间变量为一元函数 定理 处均可导, 设函数 u = (x) 与v = ψ(x) 在x 处均可导 二元函数 z = f (x , y)在 x 对应点 , v)处有一阶连续偏 在 对应点(u 处有一阶连续偏 的导数存在, 导数则复合函数 z = f [(x),ψ (x)] 对 x 的导数存在 且 u dz z du z dv x z = + . v dx u dx v dx
z z u z v = + . y u y v y
z u z v z u z v + + dy dx + 所以 dz = u x v x u y v y z u u z v v = dx + dy + dx + dy u x y v x y z z = du + dv. u v
多元函数微分学(1)
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
9
二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
10
题型 1 求二元函数的极限
解题思路 (1) 利用多元初等函数的连续性求二元
函数的极限 (如例 1); 如例 (2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为 求一元函数极限的问题 (如例 2); 如例 (3) 利用夹逼定理求二元函数的极限 (如例 3); 如例 (4) 判定二元函数的极限不存在 (如例 4). 如例
多元函数微分学
21
例 5 设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 − z = ϕ( x + y + z) 所确定的函数, 所确定的函数 其中 ϕ 具有二阶导数且 ϕ′ ≠ −1 , (1) 求 dz ;
∂u 1 ∂z ∂z ( − ), 求 (2) 记 u( x, y) = . ∂x x − y ∂x ∂y
第八章
多元函数微分学
1
多元函数微分学】 【多元函数微分学】习题课 一、主要内容 二、典型例题分析
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
2
一、主要内容
微积分Ⅰ 微积分Ⅰ
第八章
多元函数微分学
3
1、区域 、 (1) 邻域
U ( P0 , δ ) = { P | PP0 | < δ }
= {( x , y ) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ }.
F ( x , y , u, v ) = 0 (1)F ( x , y ) = 0; (2)F ( x , y , z ) = 0; (3) . G ( x , y , u, v ) = 0
多元函数微分法及其应用常见题型攻略
多元函数微分法及其应用常见题型攻略以心同学整理1.多元函数连续性、可导性、可微性的判断（1）判断极限不存在常用方法①找两种不同的趋近方式，若极限不相等，则极限不存在；②沿直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x 时，极限值与k 有关，则极限不存在。
注：②中沿直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x ，目的是用特殊路径趋于),(00y x 时，极限值如果与k 有关，则极限不存在。
所以并不一定就是用沿直线直线)(00x x k y y 趋近于点),(00y x 。
如后面的例3。
例1设)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f ，判断极限),(lim )0,0(),(y x f y x 是否存在。
解：当点),(y x 沿直线kx y 趋于)0,0(时，有),(lim)0,0(),(y x f y x 22)0,0(),(limy x xy y x 222)0,0(),(1)(lim k kkx x kx x y x，极限值与k 有关，故极限),(lim)0,0(),(y x f y x 不存在。
若函数改为 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(242y x y x y x y x y x f ，那又怎么操作？（2）偏导数定义xy x f y x x f y x f x x ),(),(lim),(0000000★函数在不连续点、分断函数在分界点的偏导数，用偏导数定义。
（3）函数),(y x f z 在点),(00y x 可微的定义)( o y B x A z ，22)()(y x ★判断函数在点),(00y x 是否可微的方法(常用于分断函数的分界点)①若),(00y x f x 或),(00y x f y 不存在，则不可微②若),(00y x f x 或),(00y x f y 存在，则考虑极限)(limy B x A z ，即]),(),([)],(),([lim000000000y y x f x y x f y x f y y x x f y x 是否存在，若存在，则可微；若不存在，则不可微。
高等数学讲义——多元函数微分法
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数 z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f (x, y)在(x, y)处连续;
xy
yx
例4 证明u
1
满足拉普拉斯方程
x2 y2 z2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
证明:
u
1
(x2
y2
z
2
)
3 2
2x
x 2
x
3
(x2 y2 z2)2
2u x 2
(x2
1 y2
3
z2)2
x[ 3 (x2 2
y2
5
z2) 2
2x]
2x2 y2 z2
5
(x2 y2 z2)2
F f xy (x 3x, y 4y)xy 0 3 , 4 1
f yx (x 2x, y 4y) f xy (x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy (x, y) f yx (x, y)
二. 全微分
1. 概念
x
(3)u z yx
z 6x2 y 2 ex y
(2) z x
1
1
y2 x2
(
y) x2
x2
y
y2
;
z x y x2 y2
(3) u z y x ln z y x ln y; u z y x ln z xy x1;
x
y
u y x z y x 1 z
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
高数A(2)习题课(5)多元函数微分学1
∂u + ∂u + ∂u . 2 2 2 设 三、 u = x + y + z , 求 、 ∂x ∂y ∂z
? f (x, y) ¶y
可见函数在（0,0）点极限不存在，更不连续但可偏导.
例5（1）设 f ( x, y ) = x , 求 f x ( x, y ), f y ( x, y ). ∂z ∂z 2 2 （2）设 z = sin( x − y ), 求 , . ∂x ∂y 解 （1） f ( x ，y ) = yx y −1 , x
解法2 利用一阶全微分形式的不变性
x y du = f1′d ( ) + f 2′( ) y z 1 x 1 y = f1′( dx − 2 dy ) + f 2′( dy − 2 dz ) y y z z −x 1 1 y = f1′dx + ( 2 ) f1′ + f 2′ dy − 2 f 2′dz y z z y
C.有界闭区域上连续函数的性质 3.偏导数的定义、计算以及几何意义
4.全微分的定义，形式不变性；可微和偏导数存 在、偏导数连续，连续之间的关系 5.复合函数偏导数的链式法则
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
是否趋于0。
ρ
同理， f y′ ( 0,0 ) = 0
∆f = f ( x, y ) − f (0,0), ∆x = x, ∆y = y, ρ = x 2 + y 2 , 则
lim f ( x, y ) − f (0,0) − f x′(0,0) x − f y′ (0,0) y x2 + y2
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多元函数微分学
1 多元函数的复合函数求导法则 2 全微分形式的不变性 3 隐函数微分法
一、链式法则
(1). z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )]
定理7 设 u = ϕ ( x , y )和 v = ψ ( x , y )都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )]在 点(x,y)可偏导,且
∂z 0，求 ∂x .
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z = + + − 4z, 解 令
则 Fx = 2 x , Fz = 2 z − 4, ∂z Fx x =− = , ∂x Fz 2 − z
例
∂z 由 F ( x + y + z , xy + yz + xz ) = 0 确定 z = z ( x , y )，求 ． ∂x
z
u v w
x
y
例
x ∂z ∂z z = f ( x ϕ ( xy ) , x − y , ) , 设 求 , y ∂x ∂y
x 解 设 u = xϕ ( xy ) , v = x − y , w = , y
利用链式法则有 ∂z ∂u ∂v ∂w = f1 + f2 + f3 ∂x ∂x ∂x ∂x
u x v
推广： z = f ( u, v , w ), u = ϕ ( x ), v = ψ ( x ), w = h( x )
dz ∂f du ∂f dv ∂f dw = ⋅ + ⋅ + ⋅ dx ∂u dx ∂v dx ∂w dx du dv dw = f1 ⋅ + f2 ⋅ + f3 ⋅ dx dx dx
∂ z ∂ z ∂ u ∂z ∂ v = . + . ∂x ∂u ∂x ∂ v ∂x
u z v
x y
∂z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂ u ∂ y ∂v ∂ y
链式法则如图示
u
x
பைடு நூலகம்z v
y
∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ , = f1 ⋅ ux + f 2 ⋅ v x ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂x ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ . = f1 ⋅ u y + f 2 ⋅ v y ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂y
U w v X y z
∂ w ∂ w ∂ u + ∂w ⋅ ∂ v ⋅ . = ∂ u ∂ y ∂v ∂ y ∂y ∂ w ∂ w ∂ u ∂w ∂ v = + ⋅ . ⋅ ∂v ∂ z ∂z ∂ u ∂ z
例
设 w = f ( x + y + z , xyz )， f 具有一阶
∂w ∂w ∂w , 连续偏导数，求 ∂ x 和 ∂ y ∂ z .
z = f [ϕ ( x , y ), x , y ] 把y看作常量 z = f (u , x, y ) 把u,y看作常量
= f1 ⋅ u x + f 2
注意符号的区别
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + = f1 ⋅ u y + f 3 ∂y ∂ u ∂y ∂y
例
∂z ∂z 设 z = x ⋅ f ( x + y )，求 及 ． ∂x ∂y
u vdu − udv (4) d ( ) = v v2 ( v ≠ 0)
例 设 u = f ( xy , xyz ) , 求 ux , u y , uz
解 du = f1d ( xy ) + f 2 d ( xyz )
= f1 ( ydx + xdy ) + f 2 ( yzdx + xzdy + xydz ) = ( yf 1 + yzf 2 ) dx + ( xf 1 + xzf 2 ) dy + xyf 2 dz ⇒ u x = yf 1 + yzf 2
注：1. 项数等于自变量到因变量的途径数. 2. 每一项都是偏导因子的乘积.
“连线相乘，分线相加 ”
( 2). z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y ), w ( x , y )]
设 u = φ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y )、 w = w( x , y ) 都在 点 ( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
解法一 F x
= F1 + F2 ⋅ ( y + z )，
Fz = F1 + F2 ⋅ ( x + y )，
∂z F ∴ = − x = − F1 + F2 ( y + z ) ． ∂x Fz F1 + F2 ( x + y )
解法二
(方程两边取全微分也是常用方法) 把dz看作未知量解方程 ．
F1 (dx + dy + dz ) + F2 ( xdy + ydx + zdy + ydz + zdx + xdz ) = 0 解得 dz = −1 [( F1 + ( y + z )F2 )dx + ( F1 + ( x + z )F2 )dy ] F1 + F2 ( x + y ) F + F2 ( y + z ) ∂z =− 1 ． ∂x F1 + F2 ( x + y )
特殊地: z = f ( u, x , y ), u = ϕ ( x , y ) ⇒ z = f [ϕ ( x , y ), x , y ] z u x y x y
∂ z ∂f ∂ u ∂ f ∂ x ∂ f ∂ u ∂ f = ⋅ = ⋅ + . + ∂ x ∂u ∂x ∂ x ∂ x ∂ u ∂ x ∂ x
z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点 ( x , y ) 可微，
∂z ∂z ∂u ∂z ∂ v ∂z ∂w = + + ∂x ∂ u ∂x ∂v ∂ x ∂ w ∂ x ∂z ∂ z ∂ u ∂z ∂v ∂z ∂ w = + + ∂y ∂u ∂ y ∂v ∂y ∂ w ∂ y
∂ z ∂u ∂u ∂z ∂v ∂v = ( dx + dy ) + ( dx + dy ) ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y
∂z ∂z = du + dv ∂u ∂v
全微分形式不变性
全微分的四则运算性质: (1) d(cu) = cdu (2) d ( u ± v ) = du ± dv (3) d ( uv ) = vdu + udv
dy Fx =− . dx Fy
隐函数的求导公式
(1).F ( x , y ) = 0 → y = y( x )
因为 F [ x , f ( x )] ≡ 0 两边对x求导:
dy Fx ∴ =− dx Fy
dy Fx + F y ⋅ =0 dx
隐函数的求导公式
dy 例如：x − y + sin y = 0，求 ． dx
1 = f1[ϕ ( xy ) + xϕ ' ( xy ) y ] + f 2 + f 3 y 1 = f1[ϕ ( xy ) + xyϕ ' ( xy )] + f 2 + f 3 y
( 3).w = f [ϕ ( x , y , z ),ψ ( x , y , z )]
∂ w ∂ w ⋅ ∂ u ∂w ∂ v , ⋅ + = ∂ u ∂ x ∂v ∂ x ∂x
u y = xf 1 + xzf 2 u z = xyf 2
隐函数微分法
1 一个方程确定的隐函数 2 两个方程确定的隐函数
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， F y ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x ) ，它满足条件 y0 = f ( x0 ) ，并 有
w
u v
x y z
(4). z = f [ϕ ( x ),ψ ( x )]
定理 设 u = ϕ ( x ) 和 v = ψ ( x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ϕ ( x ),ψ ( x )] 在点x可导,且
du dv dz ∂f ⋅ du ∂f dv = f1 ⋅ + f2 ⋅ = 全导数 + z dx dx dx dx ∂u ∂v dx
二. 全微分形式不变性
∂z ∂z dz = du + dv . ∂u ∂v
设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数，则有全微分
全微分形式不变性：
无论 z是自变量 u、 v的函数或中间变量 u、 v 的函数，它的全微分形式是一样的.
u,v为自变量
z = f ( u, v )
∂z ∂z dz = du + dv ∂u ∂v
故
2、方程组的情形
F ( x , y, z ) = 0 (1) 设 在满足一定条件下， 可将 y , z 确定为 x 的函数， G ( x , y , z ) = 0 d y dz 求 ， ． 即 y = y( x )，z = z ( x )， dx dx