多元函数微分法 (1)

第三节
多元函数微分学
1 多元函数的复合函数求导法则 2 全微分形式的不变性 3 隐函数微分法
一、链式法则
(1). z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )]
定理7 设 u = ϕ ( x , y )和 v = ψ ( x , y )都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )]在 点(x,y)可偏导,且
z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点 ( x , y ) 可微，
∂z ∂z ∂u ∂z ∂ v ∂z ∂w = + + ∂x ∂ u ∂x ∂v ∂ x ∂ w ∂ x ∂z ∂ z ∂ u ∂z ∂v ∂z ∂ w = + + ∂y ∂u ∂ y ∂v ∂y ∂ w ∂ y
w
u v
x y z
(4). z = f [ϕ ( x ),ψ ( x )]
定理 设 u = ϕ ( x ) 和 v = ψ ( x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ϕ ( x ),ψ ( x )] 在点x可导,且
du dv dz ∂f ⋅ du ∂f dv = f1 ⋅ + f2 ⋅ = 全导数 + z dx dx dx dx ∂u ∂v dx
特殊地: z = f ( u, x , y ), u = ϕ ( x , y ) ⇒ z = f [ϕ ( x , y ), x , y ] z u x y x y
∂ z ∂f ∂ u ∂ f ∂ x ∂ f ∂ u ∂ f = ⋅ = ⋅ + . + ∂ x ∂u ∂x ∂ x ∂ x ∂ u ∂ x ∂ x
∂ z ∂ z ∂ u ∂z ∂ v = . + . ∂x ∂u ∂x ∂ v ∂x
u z v
x y
∂z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂ u ∂ y ∂v ∂ y
链式法则如图示
u
x
z v
y
∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ , = f1 ⋅ ux + f 2 ⋅ v x ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂x ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ . = f1 ⋅ u y + f 2 ⋅ v y ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂y
注：1. 项数等于自变量到因变量的途径数. 2. 每一项都是偏导因子的乘积.
“连线相乘，分线相加 ”
( 2). z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y ), w ( x , y )]
设 u = φ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y )、 w = w( x , y ) 都在 点 ( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
z = f [ϕ ( x , y ), x , y ] 把y看作常量 z = f (u , x, y ) 把u,y看作常量
= f1 ⋅ u x + f 2
注意符号的区别
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + = f1 ⋅ u y + f 3 ∂y ∂ u ∂y ∂y
例
∂z ∂z 设 z = x ⋅ f ( x + y )，求 及 ． ∂x ∂y
dy dz 2 x + 2 y dx + 2 z dx = 0 dy dz 1+ + =0 dx dx
( y − z ≠ 0)
解方程组得:
dy z − x = , dx y − z dz x − y = . dx y − z
令 F ( x , y ) = x − y + sin y， Fx = 1， F y = −1 + cos y，
从而
dy Fx ∴ =− dx Fy
1 =− ． cos y − 1
dy y 例 2 已知ln x + y = arctan ，求 . x dx
Baidu Nhomakorabea2 2
y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x
∂ z ∂u ∂u ∂z ∂v ∂v = ( dx + dy ) + ( dx + dy ) ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y
∂z ∂z = du + dv ∂u ∂v
全微分形式不变性
全微分的四则运算性质: (1) d(cu) = cdu (2) d ( u ± v ) = du ± dv (3) d ( uv ) = vdu + udv
因为 F [ x , y , z ( x , y )] ≡ 0
两边分别对 x,y 求偏导:
∂z Fx + Fz ⋅ =0 ∂x
∂z F y + Fz ⋅ =0 ∂y
Fy F x ∂z ∂z ∴ , =− =− Fz ∂y Fz ∂x
F
x y z
x y
例3
设 x + y + z − 4z =
2 2 2
U w v X y z
∂ w ∂ w ∂ u + ∂w ⋅ ∂ v ⋅ . = ∂ u ∂ y ∂v ∂ y ∂y ∂ w ∂ w ∂ u ∂w ∂ v = + ⋅ . ⋅ ∂v ∂ z ∂z ∂ u ∂ z
例
设 w = f ( x + y + z , xyz )， f 具有一阶
∂w ∂w ∂w , 连续偏导数，求 ∂ x 和 ∂ y ∂ z .
z
u v w
x
y
例
x ∂z ∂z z = f ( x ϕ ( xy ) , x − y , ) , 设 求 , y ∂x ∂y
x 解 设 u = xϕ ( xy ) , v = x − y , w = , y
利用链式法则有 ∂z ∂u ∂v ∂w = f1 + f2 + f3 ∂x ∂x ∂x ∂x
故
2、方程组的情形
F ( x , y, z ) = 0 (1) 设 在满足一定条件下， 可将 y , z 确定为 x 的函数， G ( x , y , z ) = 0 d y dz 求 ， ． 即 y = y( x )，z = z ( x )， dx dx
F [ x , y( x ), z ( x )] = 0 Q G[ x , y ( x ), z ( x )] = 0
u x v
推广： z = f ( u, v , w ), u = ϕ ( x ), v = ψ ( x ), w = h( x )
dz ∂f du ∂f dv ∂f dw = ⋅ + ⋅ + ⋅ dx ∂u dx ∂v dx ∂w dx du dv dw = f1 ⋅ + f2 ⋅ + f3 ⋅ dx dx dx
若 u = ϕ ( x , y ) v = ψ ( x , y ) 则对z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )] :
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
∂z ∂ u ∂z ∂ v ∂z ∂u ∂z ∂ v + ⋅ )dy =( ⋅ + ⋅ )dx + ( ⋅ ∂ u ∂y ∂ v ∂ y ∂u ∂x ∂v ∂x
1 = f1[ϕ ( xy ) + xϕ ' ( xy ) y ] + f 2 + f 3 y 1 = f1[ϕ ( xy ) + xyϕ ' ( xy )] + f 2 + f 3 y
( 3).w = f [ϕ ( x , y , z ),ψ ( x , y , z )]
∂ w ∂ w ⋅ ∂ u ∂w ∂ v , ⋅ + = ∂ u ∂ x ∂v ∂ x ∂x
解法一 F x
= F1 + F2 ⋅ ( y + z )，
Fz = F1 + F2 ⋅ ( x + y )，
∂z F ∴ = − x = − F1 + F2 ( y + z ) ． ∂x Fz F1 + F2 ( x + y )
解法二
(方程两边取全微分也是常用方法) 把dz看作未知量解方程 ．
F1 (dx + dy + dz ) + F2 ( xdy + ydx + zdy + ydz + zdx + xdz ) = 0 解得 dz = −1 [( F1 + ( y + z )F2 )dx + ( F1 + ( x + z )F2 )dy ] F1 + F2 ( x + y ) F + F2 ( y + z ) ∂z =− 1 ． ∂x F1 + F2 ( x + y )
dy Fx =− . dx Fy
隐函数的求导公式
(1).F ( x , y ) = 0 → y = y( x )
因为 F [ x , f ( x )] ≡ 0 两边对x求导:
dy Fx ∴ =− dx Fy
dy Fx + F y ⋅ =0 dx
隐函数的求导公式
dy 例如：x − y + sin y = 0，求 ． dx
以上两式同时对 x 求导，得
dy dz Fx + F y ⋅ dx + Fz dx = 0 dy dz G x + G y ⋅ + Gz =0 dx dx
dy 解二元方程组即得 dx
dz dx
x 2 + y 2 + z 2 = 1 dy dz 例. 求 dx , dx . x+ y+z =0 解：各方程两边对x求偏导:
2 2
z
x u
x y
解
引入 u = x 2 + y 2，则 z = x ⋅ f ( u)，
∂z = f ( u ) + x f ' ( u ) ⋅ 2 x ∂x
= f ( x 2 + y2 ) + 2 x 2 ⋅ f '( x 2 + y2 )
∂z = x f ' ( u) ⋅ 2 y ∂y
= 2 xy ⋅ f ' ( x 2 + y 2 )
u vdu − udv (4) d ( ) = v v2 ( v ≠ 0)
例 设 u = f ( xy , xyz ) , 求 ux , u y , uz
解 du = f1d ( xy ) + f 2 d ( xyz )
= f1 ( ydx + xdy ) + f 2 ( yzdx + xzdy + xydz ) = ( yf 1 + yzf 2 ) dx + ( xf 1 + xzf 2 ) dy + xyf 2 dz ⇒ u x = yf 1 + yzf 2
∂z 0，求 ∂x .
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z = + + − 4z, 解 令
则 Fx = 2 x , Fz = 2 z − 4, ∂z Fx x =− = , ∂x Fz 2 − z
例
∂z 由 F ( x + y + z , xy + yz + xz ) = 0 确定 z = z ( x , y )，求 ． ∂x
二. 全微分形式不变性
∂z ∂z dz = du + dv . ∂u ∂v
设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数，则有全微分
全微分形式不变性：
无论 z是自变量 u、 v的函数或中间变量 u、 v 的函数，它的全微分形式是一样的.
u,v为自变量
z = f ( u, v )
∂z ∂z dz = du + dv ∂u ∂v
2 2
x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y
dy Fx x+ y =− . =− y− x dx Fy
可推广到二元隐函数.
( 2).F ( x , y , z ) = 0 所确定的隐函数:
z = z( x , y )
解
令 u = x + y + z,
v = xyz;
∂w ∂f ∂u ∂f ∂v = f1 + yzf 2 ; = ⋅ + ⋅ ∂ x ∂u ∂x ∂ v ∂x ∂f ∂u ∂f ∂v ⋅ + ⋅ = f1 + xzf 2 ; ∂u ∂y ∂v ∂y ∂f ∂u ∂f ∂v = f1 + xyf 2 ; ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z
u y = xf 1 + xzf 2 u z = xyf 2
隐函数微分法
1 一个方程确定的隐函数 2 两个方程确定的隐函数
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， F y ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x ) ，它满足条件 y0 = f ( x0 ) ，并 有