专题一 三角函数与平面向量

[核心知识提炼]

提炼1 三角函数的图象问题

(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ. (2)三角函数图象的两种常见变换

提炼2 三角函数奇偶性与对称性

(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π

2

(k ∈

Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π，(k ∈Z )解得．

(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π

2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心

的横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )解得．

y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；对称中心的横坐标可

由ωx ＋φ＝k π

2(k ∈Z )解得，无对称轴． 提炼3 三角函数最值问题

(1)y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 型函数的最值：可将y 转化为y ＝a 2＋b 2

sin(x ＋φ)＋c ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫其中tan φ＝b a 的形式，这样通过引入辅助角φ可将此

类函数的最值问题转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．

(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin 2x ＝1－cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2

，将y ＝a sin 2x ＋b sin

x cos x ＋c cos 2x 转化整理为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C ，这样就可将其转

化为(1)的类型来求最值． [高考真题回访 1．(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图1­1所示，则( )

图1­1

A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6

B ．y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π3

C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6

D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π3

2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所

得图象对应的函数为( )

A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4

B ．y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π3

C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4

D ．y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π3

回访2 三角函数的性质问题

3．(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－x 的最大值为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π6，

④y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )

A ．②④

B ．①③④ C.①②③ D ．①③

5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．

回访3 三角恒等变换

6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π4＝________.

7．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ－π4＝

________.热点题型1 三角函数的图象问题 【例1】(1)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )

A.π6 B ．π12 C.π3 D ．5π6

(2)(2017·深圳二模)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤

－π12，2π3的图象如图1­2所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)＝( )

图1­2

A ．1 B. 2 C. 3 D ．2

[变式训练1](1)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x

的图象

( )

A ．向右平移π6个单位长度

B ．向右平移π

3个单位长度

C ．向左平移π6个单位长度

D ．向左平移π

3个单位长度

(2)函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的部分图象如图1­3所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为( )

图1­3

A ．0

B ．32

C ．6 2

D ．－2

热点题型2 三角函数的性质问题 ．

【例2】 已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －π3－ 3.

(1)求f (x )的定义域与最小正周期；

(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π4，π4上的单调性．

[变式训练2] (1)(名师押题)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象