带有反馈的双端重试排队系统

带有 反 馈 的双 端 重试 排 队系 统
朱 翼 隽 ， 净 璇 ， 宗好 单 周
（ 汀 人学 理 学 院 ， ： 镇 ＿ １０３） 苏 ｌ２ ２ １
摘要 ： 在传 统双 端排 队的基 础上 ， 以股 票 交 易为应 用背景 考虑 了带有 反馈 的 双端 重试 排 队 系统 ． 将
ｇ ｎ ｒ ｔｎ ｕ ｏ ｉｎ ｅ ｅ ａｉ ｇ ｆ ｎ ｔｏ
卷
双端 ４－ 模 型 （ ｏ ｂｅｅ ｄ ｄｑ ｅ ｅ／ ｅ ｕｓ 最 ４Ｉ ｂ ｋ ￣ ｄ ｕ ｌ—ｎ ｅ ｕ ｕｓ ｄｑ ｅ ） 早足 Ｉ Ｋ ｎ ａｌ 提 出的 ， 初 步 没想 了双端 排 队在 １ ｅｄｌ Ｊ 他
系统 中去 ， 者认 为 研 究带 有 反 馈 的双 端 重试 排 队 笔
系统有 着积 极 的意 义． 比如对 于买 卖 股 票 这个 由买
∈Ｎ｝ 表示 第 几个顾 客 服 务 完 成 或 因 反馈 离 开 服 务 台时 刻 ， ｛ ＝Ｎ（ ＋） 为 状 态 空 问 ；一，一 ， 则 Ｎ ｔ ｝ ． ２
－ ’荤 大 江
ｊ） ｊ （ Ｌ ＲＮ Ａ Ｌ ０ Ｆ ， ｌ ｊ ＿ Ａ Ｇ Ｓｔ ＵＮＩ ＥＲ Ｓｌ ｊ Ｖ ＴＹｆ ｔ ｉ ｔ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ｊ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ Ｆ ｔ ｎ － ｄ ｉ
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休 假和有 多 个服 务阶段 的情 形 已经被 深人 研究 Ｈ广 ．
泛 心用 于模拟 电话 ， 通讯 系统 等 领域 ．
空问 均有 限的双 端排 队模 型并讨 沦 了出租 分 是
ｋＥｌ ｇ分 仿 的特 殊 情 形 ． ｏｏｌ —ｒｎ ａ Ｃｎｌ ｙ 论 Ｊ带 钉 ， 耐烦顾 客 的双端排 队模 型 ， 年 来 围 际上 主 要 讨 沦 近 了舣 端 排 队 枉 通 讯 网 络 以 及 编 程 语 言 Ｉ 应 的
片 Ｊ
． 国内 小玲 ， 苏健 考 虑 了引入 负顾 客的 等
待 问有 限 的舣端排 队系统 ．
作和无 线 电通 汛 络系统 ， 通过一 些 指标 的研究 ，
收稿 日期 ： ０ ０—０ — ２ ２１ １ ２ 基 金项 目 ：闻 家 臼然 科 牲 会 资助 项 ｆ（ ０ ７ ００ 、 ： ７ ５ ｌ３ ） ｊ 作者 简 介 ：朱 其 隽 （９ ５ ） ， 徽 歙 县人 ， 授 （ｊ｝Ｊ ｕ ｅｕ ｃ ） 丰要 从 。 队 沦和 随 机 网 络 的 研 究 １４ 一 ， 安 教 ｙｚｌ ｄ ． ｎ ， １＠ 排 ｔ 净 璇 （９ ６ ） 女 ，ｉ｝，城 人 ， 、 １８ 一 ， ｆｂ ：ｋ ）ｘ ， － 硕 研 究 （ｈ ｉ ｇｕ ｎ ｌｅ ｃ－， 要从 『 队 沦 的 究 ． ｓａ ｘ ａ ＠ ｉ ．－） 主 ｖ ｒ ＿排 ｌ
带反 馈 的４ １ ４ ￣系统 是在 经典 排 队系统 的服 务机 １
制上 柯所 变化 ， 客 到达 系统 后 并 不 一 定依 次 服 务 顾
就离 开 系统 ， 而足有 可 能经过 多 次 ， 个服 务次数 是 这 山反 馈机 制所 决定 的 ， 样 的实 际模型 很多 ， 中主 这 其 要 的 Ｂ ｒｏ ｌ 反 馈 已被 广 泛 应 用 于 计 算 机 分 时操 ｅ ｕｌ ｎ ｉ
一
方 与卖方 共 同构成 的双 端排 队系 统 ， （ ） 都 有 买 卖 方 可能会 遇到所 下单 Ｆ 于当天 未能 完成交 易 自动撤 单 ｝ １
需 要第 ２天重 试 ， 者 限价 委 托 价格 超 过 涨 跌 幅 度 或
１０，，， ｝×［ ， 上 的嵌 入 马尔可 大链． ， １２ … ０ ∞） 定 理 令 Ｎ （ ≥１ 为第 ｎ个 顾 客 服务 完 成 或 ｎ ）
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｏｎ ｔ ｅ ｂａ ｉ ｆｔ ｅ ｔａ ｔｏ ａ ｏ ｂ ｅ ｅ ｄ ｄ ｑ ｅ ｅ，ａ ｒ ｔｉｌｄ ｕｂｅ—ｎ ｄ ｑ ｅ ｅｎ ｙ ｔｍ ｔ ｔａ ｔ ｈ ｓｓｏ ｈ ｒｄｉ ｎ ｌｄ ｕ ｌ — ｎ ｅ ｕ ｕ ｉ ｅ ｒａ ｏ ｌ ｅ ｄｅ ｕ ｕ ｉ ｇ ｓ ｓｅ ｗｉｈ ｔ ｅ ｂ ｃ ｓ ｓｕ ｉｄ ｆｒ ｔ ｅ ｓｏ ｋ ｅ ｃ ａ ｇ ． Ｗ ｅ ｐ ｏ ｏ ｅ ｔ ａ ｈ ｙ ｒ ｎ ｅｌｒ ｎ ｂｕ ｉｅ ｓ ａ ｅ ａ ｏ ｈ ｅ ｄ ａ ｋ ｉ ｔ ｄ ｅ ｏ ｈ ｔｃ ｘ ｈ ｎ ｅ ｒ ｐ ｓ ｈ ｔｔ ｅ ｂｕ ｅ ｓ ａ ｄ ｓ ｌｅ ｓ ｉ ｓｎ ｓ ｒ ｔｂ ｔ
Ｎ有 限 ， 除有 限个 自然 数外 几 乎 所 有 的 ． Ｎ 且
都 有 Ｘ≤ 一 现在 整数 域上 考虑 函数 ｌ 则有 ｊ ， 厂 ）＝ ， （
Ａ ＋１ ， ＝１ ２ Ｊ ０， １ 一ｇ ｉ ， ， ＝ Ａ ＋１一 — 一 Ｊ ， ３ … ， ｌｌ ｑ一 ， ：ｌ２， ，
雨 试排 队 系统 足一 类 １ 客 到 达 服务 台叫‘发 顺 ， 现 服务 台忙 或者 能 立刻 接受 服务 ， 丌服 务 域 ， 离 进 入重试 组 （ ｒｉ 中继 续 寻找 服 务 的一 类 排 队模 Ｏ ｂｔ ） 一 型， 带行 晕试 的 Ｍ／ Ｉ以及 Ｍ／ ／ Ｍ／ Ｇ １以 及加 入 工 作
乘客 出租 车都 以 ｐｉ ｏ ｏ ｓｎ流到 达车站 时 的ｎ 题 ， ｓ Ｕ 似
设乘 客与 出租 年数 量均 尢 限． 后 被 、 多 小 同 的作 之 午 者研 究过 ， ｏ ｂ 在 ｋ ｎ ａ 础 上 ｉ Ｊ时 间 函 Ｄｂｉ ｅ ｄｌ ｌ 』入 ， 数 的概念 ， ａｈａ 系统研 究 了出租 车 乘 客等 待 Ｋ ｓｙｐ
进 行 交 易的 买卖双方 看成是排 队模 型 的 两端 ， 定两端 到达 均服从 泊松 分 布 ， 过嵌 入马 尔可 夫链 假 通 证 明 了 系统存 在稳 态 的充分 必要 条件 ．． ｔ ｆ 用补 充 变量 法构 造 马 尔可 夫过 程 ， 出微 分 方程 ， ４ 列 最后 借 助概 率母 函数 求 出 系统在 稳 态时 的 系统 队长．
而 自动撤 单需 要 重试 ， 同时 ， （ ） 并 不 是 依 次 买 卖 方 进行 服务 后立 刻离 开系 统 ， 而是 有 可能经 过 多次 ， 这 就要 由反馈 机 制决 定 ． 研 究 拟 采用 补 充 变 最 法构 本 造 马尔可 夫过 程 ， 出微 分 方 程 ， 助 概 率母 函数 ， 列 借
Ｘ ｕＹ ｕ ， ｈ ｎＪ ｇ ｕ ｎ Ｚ ｏ ｏｇ ａ ｈ ｉ ｎ Ｓ ａ ｉ ｘ ａ ， ｈ ｕＺ ｎ ｈ ｏ ｊ ｎ
（ ａ ｕ ｙｏ Ｓ ｉ『 Ｊａ ｇｕ Ｕ ｉｅ ｉ ，Ｚ ｅｊ ｎ ，Ｊ ｎ ｓ １０ ３ ｈｎ ） Ｆ ｃ ｈ ｔ ｃ Ｉ ， ｉ ｓ ｎｖ ｒ ｌ ｔ】 Ｉ ｎ ｓ ｙ ｈ ｎｉ ｇ ｉ ｇ ｕ２ ２ １ ，Ｃ ｉａ ａ ａ
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且 交易 的是 同一 支股 票 来自百度文库 前 往 服务 台服 务． 交 易 可
的股票 数量是 随机 的 ， 可应 用 一 个 服从 一 般 分 布 的 服 务 时 间来 交 易 ， 时 问 间 隔 服 从 一 般 分 布 函 数 该 （ ， 应密度 函数 为 ６ ） Ｌ变换 为 ６ ） Ｌ—Ｓ ） 对 （ ， （ ， 变换 为 Ｂ ） 一 阶矩 、 阶矩 为 ， ． （ 表 示 （ ， 二 ／ ） ｘ
关键 词 ： 重试排 队 ； 馈 ； 端 ；补 充变量 法 ； 率母 函数 反 双 概
中图分类 号 ：０ ２ ２６
文献 标 志码 ： Ａ
文章 编号 ：１７ —７ ７ （０ １ ０ ０ ２ ０ ６ １ ７ ５ ２ １ ） １— １０— ５
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｅ ｒａ ｏ ｂ ｅ ｅ ｅ ｕ ｕ ｉ ｇ ｓ ｓ ｅ ｔ ｅ ｄ ａ ｋ ｔ ｄ ｎ ｒ ｔ ｉ ｌｄ ｕ ｌ ・ ｎｄ ｄ ｑ ｅ ｅ ｎ ｙ ｔ ｍ ｗｉ ｆ ｅ ｂ ｃ ｈ
．
参 数分 别为 Ａ ， 的泊 松 过 程 ， Ａ 如顾 客 到达 发 现 服 务台空 闲且重 试 区域待 交易 的有 同一 支股 票则立 即
占据服 务 台接 受 服 务 ， 则 进 入 重 试 区 （ ｒｉ） 重 否 Ｏ ｂｔ ， 试 中随着顾 客到 达 ， 卖 双 方人 数 只要 达 成 一 致 买
一
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１ 模 型描 述 及 遍 历 性 证 明
考虑单 服务 台 的交 易情 形 ， （ ） 到 达服 从 买 卖 方
可夫链 ， 证 明其遍历 性 ， 由 Ｆｒｔ 准 则 ， 为 可 ｏｓ ｒ ｅ 即一 个 不 叮约 ， 周期 的马 尔可 夫链是 遍历 的 ， 非 当且仅 当存 在 １ 非负 函数 Ｓ Ｊ ， 个 （） ∈Ｎ 及 ＞０ 使 得 条件 均 值 ． 偏 移 量 ， ＝Ｅ［ ＋ ）一 ） ｘ Ｊ 对 所 有 的 ｆ（ ｆ（ ／ ： ］
因反 馈 离 开 服 务 台 时 刻 重 试 区 域 的顾 客 数 ， 么 那
｛ ｎ≥１ 是 遍 历 的 ， Ｎ ｝ 当且 仅 当 不 等 式 Ａ 。＋１一
ｇ＜ — ， ： ， ， 立． ｉ １２ 成
Ａ ＋ 叼
求 出系统 在稳 态下 的一些 性能 指标 ．
证明
充 分性
易见 ｛ ， ｎ １ 为一 个 不 可 约 ， 周期 的 马尔 Ｎ， ≥ ｝ ， 非
１ ２１
＿
可安 排最 合理 的方案 ． 然 而一 直没 有把 重试 以及反 馈 引入 到双端 排 队
可夫 过程 ｛ ｔ ， ｔ ， （） ｔ Ｃ（） Ⅳ（ ） ｔ ，≥０｝ 表示．
下面分 析 系统 稳 态 的充 要 条 件． 虑 在顾 客服 考
务完 成时刻 或 者反 馈 时刻 嵌 入 马尔 可 夫链 ， ｛ 令 ｔ ｎ