高中数学必修一基本初等函数练习题及答案
高中人教A版数学必修1单元测试：第二章 基本初等函数(二)及解析
为幂函数，得 m2－m－
A
1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1.当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3 在
(0，＋∞)上为减函数；当 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)
在(0，＋∞)上为常数函数(舍去)，所以 m＝2，故选 A. 7．D 解析：当 x≤1 时，由 21－x≤2 知，x≥0，即 0≤x≤1；
18．(本小题满分 12 分)
1 2
已知函数 f(x)＝－2x . (1)求 f(x)的定义域； (2)证明：f(x)在定义域内是减函数．
19．(本小题满分 12 分)
3
xx
已知－3≤log0.5x≤－2，求函数 f(x)＝log22·log24的最大值和最小
值．
20．(本小题满分 12 分)
2－x，x∈(－∞，1]， 设 f(x)＝ x x
16．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)
＝lg x，则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分) 计算下列各题：
1 13． 2，4] 解析：由题意知，2≤log2x≤2，即 log2 2≤log2x≤log24， ∴ 2≤x≤4.
1 14.24 解析：∵log23<4， ∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋3)＝f(log224)， ∵log224>4，∴f(log224)＝12log224＝214. 15. 3 3 解析：由图象过点(－2,0)，(0,2)，知
1 当 x>1 时，由 1－log2x≤2 知 x≥2，即 x>1.
2020届高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.2(二) Word版含解析
2．2.2 对数函数及其性质(二)1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5B.15C.1eD.122．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2和y ＝(x )2 B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3 C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a x D ．y ＝x 和y ＝log a a x3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1] B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________．9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)的值等于( )A．4B．8C．16D．2log8413．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．2.2 对数函数及其性质(二)双基演练 1．A2．D [y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．]3．C [由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14.] 4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.] 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1.作业设计1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]2．D [∵－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x≤2，即12≤2x≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.] 3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.]5．B [f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]6．C [由y ＝3x(－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)，故选C.] 7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1. 又2x ≥2，∴b ≤1. 8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1， 变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1， 则有log a 2＝1或log a 2＝－1， ∴a ＝2或a ＝12.要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或12≤a <1.9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数， 则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋x x －1＋12log (x －1)＝12log (1＋x )，当x >1时，12log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1.12．C [∵f (x 1x 2…x 2010)＝log a (x 1x 2…x 2010)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22010)＝log a (x 21x 22…x 22010)＝2log a (x 1x 2…x 2010)＝2×8＝16.]13．解数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.。
(完整版)高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习
1.2.1几个常用函数的导数122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[A 基础达标]①(sin x) '= cos x;1 2②若f(x)= x，则f'⑶=-27；③(e x) ― e x;1④(log4x)、x nr-其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个“ 1 ' - 2解析：选 D.因为(sin x) ' = cos x，所以①正确；f ' (x) = 一2 = (x ) ' =- 2x x2 13,则f '⑶=—27，所以②正确；因为(e x) ' = e x，所以③正确；因为(log 4x) ' = x i n 4,所以④正确.a 1 12. 若幕函数f(x) = mx的图象经过点A4, 2，则它在点A处的切线方程是()A. 2x—y= 0B. 2x+ y = 0C. 4x—4y + 1 = 0D. 4x+ 4y + 1 = 0解析：选C.因为函数f(x) = mf为幕函数，所以m= 1.又幕函数f(x) = x a的图象经过11 1 1 1 1点A4, 2，所以a = 2,所以f(x) = x2, f' (x)=——,f ' 4 = 1，所以f(x)的图象在1 1点A处的切线方程为y—2= x —4，即4X—4y + 1 = 0._ n 1 一_ _ 一3. 过曲线y= cos x上一点P —, 且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为()1. 给出下列结论：— —5.已知点 P 在曲线y = 2sin qcos?上，a 为曲线在点 值范围是()D. 3— + 2y —1 = 0n 1解析：选A.因为y =cos —，所以y'一 sin —，曲线在点Py ，2处的切线斜率是y ，1 — n =— sin 才=—£，所以过点P 且与曲线在点 P 处的切线垂直的直线的斜率为3 ~3, 所以所求的直线方程为 y — 1=冷x —专，即2x — 3y —夺+ 卓 0. y = x + 1(n € N *)在点(1 , 1)处的切线与—轴的交点的横坐标为 x n,则X 1 4•设曲线 X 2 ........... X n 的值为() i A.—n1 B.- n +1nC.n nD. 1解析：选 B.由题意得—n =市， 则 X 1 • X 2 ......... X n = ............ 二n — 12 34n xidh =詁1，故选 B. 3nA. ~~, nB. 71 4' 3n4n 3 n c. 7，-4D. u 3n,n — — 解析：选 D.因为 y = 2sin gcosg h sin x ,所以 y '= cos X , 设P (x o , y o ).由题意，知 切线的斜率存在，则曲线在点 P 处的切线的斜率 k =tan a = cos —o ,所以一1<tan a < 1. n 3 n ,因为0W a Vn ，所以a € 0, — U , n ,故选D. 16.已知函数f (x )=- X且 f ' (a ) — f (a ) = — 2，则 a =1解析：f (x )= -，所以—2即 2a — a — 1 = 0,P 处的切线的倾斜角，则a 的取1解得a = 1或a =- 2. 、1答案：1或一 27.曲线y = x 3在点(1 ,1)处的切线与x 轴、直线x = 2所围成的三角形的面积为 _____________ . 解析：因为y '= 3x 2.所以切线的斜率为 y '|= 1 = 3X12= 3,所以切线方程为y — 1 = 3(x 2 12 8 —1)，与x 轴的交点为3，0，与直线x = 2的交点为(2 , 4).所以S =-X 2 — - X 4 =-.3 2 331&设曲线y = e x在点(0 , 1)处的切线与曲线 y = -(x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的 X坐标为 _________ .解析：设 f (x ) = e x ，则 f '(x ) = e x ,1所以 f ' (0) = 1.设 g (x ) = x (x >0),解得X P = 1. 所以R1 , 1). 答案：(1 , 1)9.求与曲线y = f (x )=扳2在点P (8 , 4)处的切线垂直，且过点(4 , 8)的直线方程.曲线在点R8 , 4)处的切线的斜率为1.所以适合条件的直线的斜率为一 3.从而适合条件的直线方程为 y — 8= — 3(x — 4)，即 3x + y — 20 = 0.10. 点P 是曲线y = e 上任意一点，求点 P 到直线y = x 的最小距离. 解：根据题意设平行于直线 y = x 的直线与曲线 y = e x 相切于点P (x o , y o )，该切点即为与y = x 距离最近的点，如图.则在点P (X 0, y °)处的切线斜率为1, 即 y '| x = x °= 1. 因为 y '= (e x ) ' = e x ,所以e*0= 1,得x ° = 0,代入y = e , 得 y 0= 1,即 P (0 , 1).[B 能力提升]11. 若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则g ' 1(x) =— x ^.由题意可得 g '(x P) =— 1, 解：因为y =习F,所以y '=(守£)'=1 12 2 — 2 - 1 =-x 3.所以 f ' (8) = -X 83 =;,即 3 3 3 3则称y= f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A. y = sin xB. y = In xx 3C. y = eD. y = x解析：选A.设函数y= f (x)的图象上两点Rx i, y i), Qx2, y2)，则由导数的几何意义可知，点P, Q处切线的斜率分别为k i= f'(x i) , k2 = f '(X2),若函数具有T性质，则k i - k2 =f '(x i) • f'(X2) = —i.对于A选项，f' (x) = cos x，显然k i • k2= cos x i • cos X2=—ii i i有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f' (x) =-(x>0)，显然k i • k2=- •x x i X2 =—i无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f' (x) = e x>0,显然k i • k2= e x i • e, =—i无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f' (x) = 3x2>0，显然k i • k= 3x i • 3x2 = —i无解，故该函数不具有T性质.故选A.12. 设f o(x) = sin x，f i(x) = f' o(x)， f 2(x) = f ' i(x)，…，f n+1(x) = f' n(x)，n€N,贝y f 2 oi8 (x) = ________ .解析：由已知f i(x) = cos x，f2(x) = —sin x，f3(x) = —cos x，f4(x) = sin x，f5(x)=cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，贝U f2 oi8(x) = f2(x) = —sin x.答案：—sin x13. 若曲线f(x) = x—2在点(a, a—2)( a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3, 求log 3a的值.T解：由题意，得f '( x) = —2x 3,一 2 一 2 一 3所以曲线f (x)在点(a, a )处的切线方程为y—a = —2a (x—a),一23a令x = 0,得y = 3a，令y = 0,得x =所以3a—2x 3a= 3,2 2解得a= 3 4所以log 3a=2.214. (选做题)已知两条曲线y i= sin x, y2= cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这解：不存在.理由如下：由于y i = sin x, y2= cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x o,一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解：不存在.理由如下：由于y i = sin x, y2= cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x o,y。
基本初等函数-人教A版高中数学必修1课时训练(含答案)
解析 令 x－1＝0，得 x＝1， 此时 y＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(1,3)． 答案 C 8．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( A．(－∞，0] B．[0，＋∞) )．
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞) 解析 要使函数有意义，则 1－2x≥0，即 2x≤1，∴x≤0.
答案 A 5 3 9．已知函数 f(x)是指数函数，且 f－2＝ 25 ，则 f(3)＝________.
1 2x＋1x<－1， ＝ ＋ x≥－1. 2x 1 1 其图象分成两部分，一部分是将 y1＝2x＋1(x<－1)的图象作出，而它的图象可以 1 看作将 y＝2x 的图象沿 x 轴的负方向平移一个单位而得到， 另一部分是将 y＝2x
解析 原式＝ 答案 0
综合提高
7．下列说法中，正确说法的个数为(
限时25分钟
)．
n ① an＝a；②若 a∈R，则(a2－a＋1)0＝1； 3 ③ x4＋y3＝ 3 6 ＋y；④ －5＝ －52. D．3
A．0 B．1 C．2
解析 ①中，若 n 为偶数，则不一定成立，故①是错误的；②中，因为 a2－a＋1 1 3 ＝a－22＋4≠0，所以(a2－a＋1)0＝1 是正确的；③是错误的；④左边为负数， 而右边为正数，是错误的，故选 B. 答案 B
＋1
(x≥－1)的图象作出， 而它的图象可以看作将 y＝2x 的图象沿 x 轴的负方向平移
一个单位而得到，如图所示．
法二 先作出 y＝2x(x≥0)的图象，再关于 y 轴对称即得 y＝2|x|的图象，再将 y＝ 2|x|的图象左移一个单位即可得到 y＝2|x＋1|的图象，如法一中图所示．
2.1.2 指数函数的性质的应用 双基达标
高中数学 必修1 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1.1(一)
本课结束
n
(2)( a)n＝ a (n∈N*，且 n>1)； 的奇数)；
n
a a≥0 (4) an＝|a|＝ (n 为大于 1 的偶数). －a a<0
n
题型探究
类型一 根式的意义
例 1 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
n 为偶数时，a≥0， n
而 a 为任意实数 an均有意义，且 an＝|a|.
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1) －2 ；
7
7
解
4
7
－27＝－2.
(2) 3a－34(a≤1)； 解
3
4
3a－34＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
4
(3) a ＋ 1－a4.
3
解
3
∴( x－1) ＋ x2－4x＋43
4
4
6
＝x－1＋ x－26
＝x－1－(x－2) ＝1.
6
解析
答案
当堂训练
1.已知x5＝6，则x等于
A. 6 C.－ 6
5
√
B. 6 D.± 6
5
5
1
2
3
4
5
答案
2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是
A. m2
4
B. m D. －m
5
3
√
C. m
6
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
－2x－2，－3<x<1， ∴原式＝ －4，1≤x<3.
解答
引申探究
例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？
高中数学基本初等函数练习题
（一）指数运算例1 计算：526743642++--- 例2 求值：238、12100-、31()4-、3416()81- 例3 用分数指数幂表示下列各式（其中各字母均为正数）（1）34a a ⋅；（2）a a a ；（2）3324()a b +；（二）指数函数的性质例1 下列函数是指数函数的是（ ）A ．2y x =B ．2x y =C ．12x y += D ．132x y +=⨯ 例2 函数22(0,1)x y a a a -=->≠ 且的图象恒过定点________________例3 比较下列各组数的大小（1）0.245()6-与145()6- （2）1()ππ-与1 （3）2(0.8)-与125()4- 例4 设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+ （1）证明：不论a 为何实数，()f x 均为增函数；（2）试确定a 的值，使得()f x 为奇函数 例5 已知0a >，且1a ≠，11()12x f x a =--，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．函数的奇偶性与a 有关 例6 若函数221x x y aa =+-(01)a a >≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为14，求a 的值．三、实战演练 1、化简：3322111143342(0,0)()a b ab a b a b a b ->>=_______________2、已知12102a -=，31032b =，则32410=a b +_______________ 3、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为4、函数()x b f x a -=的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、比较大小：①0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =；②01， 2.50.4-，0.22-， 1.62.5； 7、已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数 （1）求a 、b 的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围0,1<>b a 0,1>>b a 0,10><<b a 0,10<<<b a R t ∈0)2()2(22<-+-k t f t t f四、强化训练1、设a =b =c =,,a b c 的大小关系是_______________ 2、设137x =，则（ ） A ．21x -<<- B ．32x -<<- C ．10x -<< D ．01x <<3、求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性4、已知定义在R 上的函数()22x xa f x =+，a 为常数 （1）如果()()f x f x =-，求a 的值；（2）当()f x 满足（1）时，用单调性定义讨论()f x 的单调性二、题型解析（一）对数计算例1 已知732log [log (log )]0x =，那么12x -=______________例2 计算：（1）；（2）；（3）；（4）（二）对数运算例1 计算下列各式的值（1）1324lg 2493-（2（3） ； 例2 已知 ， ，用，表示例3 若3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，则m =______________例4 设3436x y ==，求21x y +的值四、强化训练1、已知2(3)4log 3233x f x =+，则的值等于例1 在(2)log (6)a x a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．6a >或2a <B ．26a <<C ．23a <<或36a <<D ．34a << 例2函数y = ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]3例3 若4log 15a<(01)a a >≠且，求实数a 的取值范围 2121x x y -=+9log27((2log20.4log 10.21log 35-2log 3a =3log 7b =a b 42log 568(2)(4)(8)(2)f f f f ++++例4 比较下列各组数中两个值的大小：（1），；（2），；（3），例5 求函数22log (56)y x x =-+的定义域、值域、单调区间例6 函数在上的最大值比最小值大，求的值；三、实战演练1、求下列函数的定义域（1）2(1)log (23)x y x x -=-++；（2）y =(01)a a >≠且2、已知log (31)a a -恒为正数，求a 的取值范围3、比较下列各题中两个数值的大小： ； ； ；4、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = 5、若log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2,)+∞四、强化训练1、已知函数()f x 满足：4x ≥，则1()()2x f x =；当4x <时()(1)f x f x =+，则2(2log 3)f += A ．124 B ．112 C ．18 D ．382、设01a a >≠且，函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 .3、已知01a a >≠且，21(log )()1a a f x x a x=-- （1）求()f x ；（2）判断()f x 的奇偶性与单调性；（3）对于()f x ，当(1,1)x ∈-时，有2(1)(1)0f m f m -+-<，求m 的集合M4、若x 满足21422(log )14log 30x x -+≤，求2()log 2x f x =最大值和最小值2log 3.42log 8.50.3log 1.80.3log 2.7log 5.1a log 5.2a (0,1)a a >≠log a y x =[2,4]1a 22log 3log 3.5和0.30.2log 4log 0.7和0.70.7log 1.6log 1.8和23log 3log 2和。
高一数学必修一函数各章节测试题4套
函数的性质测试题一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5) 4.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内 （ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根 6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是 （ ）A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（ ）A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．若 函 数()()2212f x x a x =+-+在区间 (]4,∞-上是减 函 数，则 实 数a 的 取值范 围 （ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311. 函数c x x y ++=42，则（ ）A )2()1(-<<f c fB )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则（ ） A ．(10)(13)(15)f f f << B ．(13)(10)(15)f f f << C ．(15)(10)(13)f f f << D ．(15)(13)(10)f f f <<二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f （1）＝ 。
高中数学人教版必修1第二章基本初等函数单元测试卷(B)Word版含答案
第二章 基本初等函数 单元测试卷（B ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．有下列各式：①na n＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43 ＋y ；④3－5＝6(－5)2.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．三个数log 215，20.1,20.2的大小关系是( ) A ．log 215<20.1<20.2B ．log 215<20.2<20.1C ．20.1<20.2<log 215D ．20.1<log 215<20.23．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知2x＝3y，则xy ＝( )A.lg2lg3B.lg3lg2 C ．lg 23 D ．lg 325．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是( )6．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数7．函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1 是幂函数，则m ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－3或1D ．28．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝2－x2B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1D ．y ＝31x +19．已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 ；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x ) (x <1)2x －1 (x ≥1)，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x－1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，138] C ．(－∞，2]D ．[138，2)12．(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，可以是“好点”的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a 12 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (14))＝________. 15．若函数y ＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________.16．(2016·邵阳高一检测)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22 x ，y ＝x 12 ，y ＝(22)x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题满分10分)计算：10.25＋(127)－13 ＋(lg3)2－lg9＋1－lg 13＋810.5log 35.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2). (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1). (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．20．(本小题满分12分)求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1).21．(本小题满分12分)(2016·雅安高一检测)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．第二章 基本初等函数 单元综合测试二 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1．[答案] B [解析] ①na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数(n >1，且n ∈N *)，故①不正确．②a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，所以(a 2－a ＋1)0＝1成立．③3x 4＋y 3无法化简．④3－5<0，6(－5)2>0，故不相等．因此选B. 2．[答案] A[解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2， ∴log 215<20.1<20.2，选A. 3．[答案] C[解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C. 4．[答案] B[解析] 由2x ＝3y 得lg2x ＝lg3y ，∴x lg2＝y lg3， ∴x y ＝lg3lg2. 5．[答案] A[解析] 由f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln|x |＝－f (x )知，函数f (x )是奇函数，故排除C ，D ，又f (1e )＝－1e <0，从而排除B ，故选A.6．[答案] D[解析]因为f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，故选D.7．[答案] B[解析]因为函数y＝(m2＋2m－2)x 1m-1是幂函数，所以m2＋2m－2＝1且m≠1，解得m＝－3.8．[答案] A[解析]A，y＝2－x2＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，y＝1－2x的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，所以y＝1－2x的值域是[0,1)．C，y＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D，因为1x＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y＝31x+1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．9．[答案] D[解析]根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D. 10．[答案] C[解析]f(－2)＝1＋log2(2－(－2))＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，∴f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.11．[答案] B[解析]由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2＜0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B. 12．[答案] C[解析] 设指数函数为y ＝a x (a >0，a ≠1)，显然不过点M 、P ，若设对数函数为y ＝log b x (b >0，b ≠1)，显然不过N 点，选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．[答案] 4[解析] ∵a 12 ＝49(a ＞0)， ∴(a 12)2＝[(23)2]2，即a ＝(23)4， ∴log 23 a ＝log 23 (23)4＝4.14．[答案] 19[解析] ∵14＞0，∴f (14)＝log 214＝－2. 则f (14)＜0，∴f (f (14))＝3－2＝19. 15．[答案] (－8，－6][解析] 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a6，依题意，有⎩⎨⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.∴a ∈(－8，－6]． 16．[答案] (12，14)[解析] 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log 22 x 的图象上，所以2＝log 22 x A ，x A ＝(22)2＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12 的图象上， 所以2＝x B 12 ，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝(22)x的图象上， 所以y C ＝(22)4＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14， 所以点D 的坐标为(12，14)．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．[解析] 原式＝10.5＋(3－1)－13 ＋(lg3－1)2－lg3－1＋(34)0.5log 35 ＝2＋3＋(1－lg3)＋lg3＋32log 35 ＝6＋3log 325＝6＋25＝31.18．[解析] (1)由已知得(12)－a＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝(12)x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝(12)x ，即(14)x －(12)x－2＝0，即[(12)x ]2－(12)x－2＝0，令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1. 19．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )， 在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2. 当x ＝63时f (x )最大值为6. (2)f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x ) 当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1} 0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20．[解析] ∵(1a )x 2－8＝a 8－x 2， ∴原不等式化为a 8－x 2>a －2x . 当a >1时，函数y ＝a x 是增函数， ∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4； 当0<a <1时，函数y ＝a x 是减函数，∴8－x2<－2x，解得x<－2或x>4.故当a>1时，x的集合是{x|－2<x<4}；当0<a<1时，x的集合是{x|x<－2或x>4}．21．[解析](1)∵f(x)＝2x，∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.22．[解析](1)令log a x＝t(t∈R)，则x＝a t，∴f(t)＝aa2－1(a t－a－t)．∴f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－aa2－1(a x－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．当a＞1时，y＝a x为增函数，y＝－a－x为增函数，且a2a2－1＞0，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，y＝－a－x为减函数，且a2a2－1＜0，∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即aa2－1(a2－a－2)≤4.∴aa2－1(a4－1a2)≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－3≤a≤2＋ 3.又a≠1，∴a的取值范围为[2－3，1)∪(1,2＋3]．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.3对数的运算(2)练习(含解析)新人教A版必修1
课时23 对数的运算(2)换底公式的应用a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 4．计算：(1)log 89×log 2732；(2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513； (4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109； (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32； (3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15； (4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.运用换底公式不熟练致误23A.14 B.12C ．2D ．4 易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误． 答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、选择题1.log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32 D.92答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝() A ．a ＋b B ．a －b C ．ab D.ab答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10，选A.4.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C. 5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 D解析 a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，由2a ＋b ＝ab 得2log 2k ＋log 3k ＝log 2k ·log 3k ，即2lg k lg 2＋lg k lg 3＝k2lg 2lg 3，得2lg 3＋lg 2＝lg k ，即k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．答案 81解析 log a b ·log 3a ＝4，即log 3a ·log a b ＝4，即log 3b ＝4，∴34＝b ，∴b ＝81.8．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝1，则A 的值是________．答案 98解析 ∵2x ＝72y ＝A ，∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A .∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1.∴A ＝98.三、解答题9．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06. 解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1； (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y. 解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34. ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.►2.2.2 对数函数及其性质。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.1对数练习(含解析)新人教A版必修1
课时21 对数对数的意义①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与② B ．②与④ C ．② D ．①②③④ 答案 C解析 对于①，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，因此①不正确；对于②，对数值相等，底数相同，因此，真数相等，所以②正确；对于③，有M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但不一定有M ＝N ，③错误；对于④，当M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2无意义，所以④错误，由以上可知，只有②正确．2．求下列各式中x 的取值范围： (1)lg (x －10)； (2)log (x －1)(x ＋2)； (3)log (x ＋1)(x －1)2.解 (1)由题意有x －10>0，即x >10，即为所求； (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2；(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.3答案507解析 因为m ＝log 37，所以3m ＝7，则3m ＋3－m ＝7＋7－1＝507.4．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)13－4＝81；(4)27＝128.对数性质的应用(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 3(2x ＋2)＝1.解 (1)由log 8x ＝－23，得x ＝8－23＝(23)－23＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2－2＝14；(2)由log x 27＝34，得x 34＝27.∴x ＝2743＝(33)43＝34＝81；(3)由log 3(2x ＋2)＝1，得2x ＋2＝3， 所以x ＝12.对数恒等式的应用(2)计算23＋log23＋35－log39.解(1)令t＝10x，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3；(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋353log39＝23×3＋359＝24＋27＝51.一、选择题1．下列四个命题，其中正确的是( )①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a＝1；④若a>0且a≠1，则a log a2＝2.A．①②③ B．②③④C．①③ D．①②③④答案 B解析①对数的真数为正数，①错误；②∵a0＝1，∴log a1＝0，②正确；③∵a1＝a，∴log a a＝1，③正确；④由对数恒等式a log a N＝N，得a log a2＝2，④正确．2．2x＝3化为对数式是( )A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝log x3答案 B解析由2x＝3得x＝log23，选B.3．化简：0.7log 0.78等于( ) A ．2 2 B ．8 C.18 D ．2答案 B解析 由对数恒等式a log aN ＝N ，得0.7log 0.78＝8.∴选B. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C．9 D ．2 答案 A解析 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9， 又∵x >0，∴x ＝3.5．若log a 3＝m ，log a 2＝n ，则a m ＋2n的值是( )A ．15B ．75C ．12D ．18 答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 2＝n ，得a n＝2， ∴am ＋2n＝a m ·(a n )2＝3×22＝12.二、填空题6．已知log 2x ＝2，则x －12＝________.答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝22＝4， 4－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.7．若lg (ln x )＝0，则x ＝________. 答案 e解析 ∵lg (ln x )＝0，∴ln x ＝1，∴x ＝e.8．若集合{x ，xy ，lg xy }＝{0，|x |，y }，则log 8(x 2＋y 2)＝________. 答案 13解析 ∵x ≠0，y ≠0，∴lg xy ＝0，∴xy ＝1， 则{x,1,0}＝{0，|x |，y }，∴x ＝y ＝－1， log 8 (x 2＋y 2)＝log 82＝log 8813＝13.三、解答题9．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解 (1)18a ＝9,18b＝54，182a －b＝a218b＝9254＝8154＝32； (2)∵log x 27＝31×3log 32＝31×2＝6， ∴x 6＝27，∴x ＝2716＝(33)16＝ 3.10．求下列各式中x 的值：(1)log 4(log 3x )＝0；(2)lg (log 2x )＝1； (3)log 2[log 12(log 2x )]＝0.解 (1)∵log 4(log 3x )＝0，∴log 3x ＝40＝1， ∴x ＝31＝3；(2)∵lg (log 2x )＝1，∴log 2x ＝10，∴x ＝210＝1024；(3)由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝ 2.。
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高中数学基本初等函数课后练习题（含答案）人教必修一第二章基本初等函数课后练习题（含答案）2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂1．27的平方根与立方根分别是()A．3 3，3 B．3 3，3C．3 3，3 D．3 3，32. 的运算结果是()A．2 B．－2C．2 D．不确定3．若a2－2a＋1＝a－1，则实数a的取值范围是() A．[1，＋) B．(－，1)C．(1，＋) D．(－，1]4．下列式子中，正确的是()A. ＝2B. ＝－4C. ＝－3D．＝25．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是()A．－x＝ (x0)B. ＝ (y0)C．＝ (x0)D．＝－ (x0)6．设a，bR，下列各式总能成立的是()A．( － )3＝a－bB. ＝a2＋b2C. －＝a－bD. ＝a＋b7．计算：＋ (a0，n1，nN*)．8．化简：6＋4 2＋6－4 2＝__________.9．化简：＋＋＝()A．1 B．－1 C．3 D．－310．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求a－ba＋b的值．2.1.2 指数幂的运算1．化简的结果是()A.35B.53C．3 D．52．计算[(－2)2] 的值为()A.2 B．－2C.22 D．－223．若(1－2x) 有意义，则x的取值范围是()A．xR B．xR，且x12C．x D．x124．设a0，计算( )2( )2的结果是()A．a8 B．a4C．a2 D．a5．的值为()A.103 B．3C．－13 D．66．计算：(－1.8)0＋(1.5)－2 ＋＝________.7．化简： .8．化简：ab3 ba3 a2b＝__________.9．若x0，则(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝__________. 10．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718…)．(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求gx＋ygx－y的值．2.1.3 指数函数及其图象1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)x B．y＝x(1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a0，且a1)2．y＝2x＋2－x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是奇函数也不是偶函数3．函数f(x)＝1－2x的定义域是()A．(－，0] B．[0，＋)C．(－，0) D．(－，＋)4．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．如图K21所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，yR，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x0)}，则A#B为()图K21A．{x|02}B．{x|12}C．{x|01或x2}D．{x|01或x2}6．函数y＝a|x|(a1)的图象是()A B C D7．求函数y＝16－4x的值域．8．已知f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)＝10x，则当x0时，f(x)＝()A．10x B．10－xC．－10x D．－10－x9．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x20；④fx1－1x10)；⑤f(－x1)＝1fx1.当f(x)＝12x时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，求实数a的取值范围；(2)对于任意实数a，函数y＝ax－3＋3的图象恒过哪一点？2.1.4 指数函数的性质及其应用1.13 ，34，13－2的大小关系是()A.13 13－2B.13 －132C.13－234D.13－2132．若122a＋1123－2a，则实数a的取值范围为() A．(1，＋) B.12，＋C．(－，1) D.－，123．下列选项中，函数y＝|2x－2|的图象是()4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y＝3ax－1在[0,1]上的最大值为()A．6 B．1 C．3 D.325．(2019年四川泸州二模)已知在同一直角坐标系中，指数函数y＝ax和y＝bx的图象如图K22，则下列关系中正确的是()图K22A．a＜b＜1 B．b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞16．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋)上单调递增的函数是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|7．已知函数f(x)＝12xx4，fx＋1 x＜4，求f(3)的值．8．设函数f(x)＝2－x， x－，1，x2，x[1，＋.若f(x)4，则x的取值范围是________________．9．函数f(x)＝的值域为__________．10．已知f(x)＝10x－10－x10x＋10－x.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域．2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．下列各组指数式与对数式互化，不正确的是()A．23＝8与log28＝3B．＝13与log2713＝－13C．(－2)5＝－32与log－2(－32)＝5D．100＝1与lg1＝02．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝() A．0 B．1C．2 D．33．以下四个命题：①若logx3＝3，则x＝9；②若log4x＝12，则x＝2；③若＝0，则x＝3；④若＝－3，则x＝125.其中是真命题的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．4个4．方程＝14的解是()A．x＝19 B．x＝33C．x＝3 D．x＝95．若f(ex)＝x，则f(e)＝()A．1 B．eeC．2e D．06．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若PQ＝{0}，则PQ ＝()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}7．求下列各式中x的取值范围：(1)log(x－1)(x＋2)；(2)log(x＋3)(x＋3)．8．设f(x)＝lgx，x0，10x，x0，则f[f(－2)]＝__________. 9．已知＝49(a0) ，则＝__________.10．(1)若f(log2x)＝x，求f12的值；(2)若log2[log3(log4x)]＝0，log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．2.2.2 对数的性质及其应用1．计算log23log32的结果为()A．1 B．－1C．2 D．－22.(2019年陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logablogcb＝logcaB．logablogca＝logcbC．logabc＝logablogacD．loga(b＋c)＝logab＋logac3．(2019年四川泸州一模)2lg2－lg125的值为()A．1 B．2C．3 D．44．lg12.5－lg58＋lg0.5＝()A．－1 B．1C．2 D．－25．若log513log36log6x＝2，则x＝()A．9 B.19C．25 D.1256．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()A.10 B．10C．20 D．1007．计算：lg2lg52＋lg0.2lg40.8．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1245＝______________.9．已知log83＝p，log35＝q，以含p，q的式子表示lg2. 10．已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根．求实数a，b和m的值．2.2.3 对数函数及其性质(1)1．若log2a＜0，12b＞1，则()A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0C．0＜a＜1, b＞0 D．0＜a＜1, b＜02．(2019年广东揭阳一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x＋3)}，B＝{x|x2}，则下列结论正确的是()A．－3A B．3BC．AB＝B D．AB＝B3．函数y＝log2x与y＝log x的图象关于()A．x轴对称 B．y轴对称B．原点对称 D．直线y＝x对称4．函数y＝1log0.54x－3的定义域为()A.34，1B.34，＋C．(1，＋)D.34，1(1，＋)5．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a0，a1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝()A.13B.2C.22 D．26．已知a0，且a1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的()7．若函数y＝loga(x＋b)(a0，a1)的图象过点(－1,0)和(0,1)，求a，b的值．8．已知A＝{x|2}，定义在A上的函数y＝logax(a＞0，且a1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为()A.2B.2C．－2 D.2或29．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．ab B．baC．ac D．bc10．已知函数f(x)＝lnkx－1x－1(k0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间[10，＋)上是增函数，求实数k的取值范围．2.2.4 对数函数及其性质(2)1．已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a1)，下列说法不正确的是()A．两者的图象都关于直线y＝x对称B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C．两函数在各自的定义域内的增减性相同D．y＝ax的图象经过平移可得到y＝logax的图象2．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(1,1) B．(1,5)C．(5,1) D．(5,5)3．点(4,16)在函数y＝logax的反函数的图象上，则a＝() A．2 B．4C．8 D．164．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则() A．ac B．abC．bc D．cb5．若0y1，则()A．3y B．logx3logy3C．log4xlog4y D.14x14y6．设loga23＜1，则实数a的取值范围是()A．0＜a＜23 B.23＜a＜1C．0＜a＜23或a＞1 D．a＞237．在下面函数中，与函数f(x)＝lg1＋x1－x有相同奇偶性的是()A．y＝x3＋1B．y＝e0－1e0＋1C．y＝|2x＋1|＋|2x－1|D．y＝x＋1x8．函数y＝ln(4＋3x－x2)的单调递增区间是___________．9．对于函数f(x)定义域中的任意x1，x2(x1x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)② f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x20；④fx1＋x22fx1＋fx22.当f(x)＝lgx时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．设f(x)＝log 1－axx－1为奇函数，a为常数，(1)求a的值；(2)证明f(x)在(1，＋)上单调递增；(3)若对于[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)＞12x＋m恒成立，求实数m的取值范围．2.2.5 对数函数及其性质(3)1．设a＝log 2，b＝log 3，c＝120.3，则()A．ac B．abC．ba D．bc2．将函数y＝3x－2的图象向左平移2个单位，再将所得图象关于直线y＝x对称后，所得图象的函数解析式为() A．y＝4＋log3x B．y＝log3(x－4)C．y＝log3x D．y＝2＋log3x3．方程log2x＝x2－2的实根有()A．3个 B．2个C．1个 D．0个4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a0，a1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝()A．3 B．4C．5 D．65．如图K21，给出函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2的图象，则与函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a ＋1)x，y＝(a－1)x2依次对应的图象是()图K21A．①②③④ B．①③②④C．②③①④ D．①④③②6．函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是()7．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a1)的图象如图K22，则a，b满足的关系是()图K22A．0a－11B．0a－11C．0b－11D．0a－1b－118．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是()A．y＝2x B．y＝log xC．y＝4x2 D．y＝log21x＋19．若函数f(x)＝loga(x＋x2＋2a2)是奇函数，求a的值．10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(01)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求方程f(x)＝0的解；(3)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．2.3 幂函数1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是()A．(0,0) B．(0,1)C．(1,1) D．(－1，－1)2．下列说法正确的是()A．y＝x4是幂函数，也是偶函数B．y＝－x3是幂函数，也是减函数C．y＝x是增函数，也是偶函数D．y＝x0不是偶函数3．已知幂函数f(x)的图象经过点2，22，则f(4)的值为() A．16 B.116C.12 D．24．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋)上单调递减的函数为()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝x5．当x(1，＋)时，下列函数的图象全在直线y＝x下方的偶函数是()A．y＝x B．y＝x－2C．y＝x2 D．y＝x－16．设a＝0.7 ，b＝0.8 ，c＝log30.7，则()A．ca B．cbC．ac D．bc7．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x 的图象不经过坐标原点，求实数m的取值范围．8．给出函数的一组解析式如下：①y＝；②y＝；③y＝；④y＝；⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝x3；⑨y＝x－3；⑩y＝ .回答下列问题：(1)图象关于y轴对称的函数有__________；(2)图象关于原点对称的函数有__________．9．请把相应的幂函数图象代号填入表格．①y＝；②y＝x－2；③y＝；④y＝x－1；⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝ .函数代号① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧图象代号10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，当m为何值时，f(x)是：(1)幂函数；(2)幂函数，且是(0，＋)上的增函数；(3)正比例函数；(4)反比例函数；(5)二次函数．第二章基本初等函数(Ⅰ)2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂1．B 2.A 3.A4．B 解析：A错，＝2；C错，＝|－3|＝3；D错，( )5＝－2.5．C 解析：A错，－x＝－x (x0)；B错，＝(－y) (y0)；D错，x ＝ (x0)．6．B7．解：当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a；当n为偶数时，原式＝b－a－a－b＝－2a.8．4 解析：原式＝22＋222＋22＋22－222＋22＝2＋22＋2－22＝2＋2＋2－2＝4.9．B 解析：∵3.1410，＝－3.143.14－＝－1，＝10－－10＝－1，而＝1.故原式＝－1＋1－1＝－1.10．解：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，a＋b＝6，ab＝4.∵a＞b＞0，a－ba＋b2＝a＋b2－4aba＋b＋2ab＝2019＝2.a－ba＋b＝2.2．1.2 指数幂的运算1．B2．C 解析：[(－2)2] ＝(2) ＝(2)－1＝22.3．D4．C 解析：原式＝＝a2.5．A 解析：原式＝310 ＝103.6．29 解析：原式＝1＋23232 ＋＝1＋1＋27＝29. 7．解：原式＝＝＝ .8. 解析：原式＝ab3 ba3 a2b＝a b ba3 a2b ＝a b b a a2b＝a b a b ＝a b＝a0b ＝ .9．－23 解析：(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝4x －33－4x ＋4＝－23.10．解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＝2ex(－2e－x)＝－4e0＝－4.(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)＝g(x＋y)－g(x－y)＝4，①同法可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8. ②由①②解方程组gx＋y－gx－y＝4，gx＋y＋gx－y＝8.解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，gx＋ygx－y＝62＝3.2．1.3 指数函数及其图象1．B 2.B 3.A4．A 解析：g(x)＝ax的图象经过一、二象限，f(x)＝ax＋b是将g(x)＝ax的图象向下平移|b|(b＜－1)个单位而得，因而图象不经过第一象限．5．D 解析：A＝{x|y＝2x－x2}＝{x|2x－x20}＝{x|02}，B ＝{y|y＝3x(x0)}＝{y|y1}，则AB＝{x|x0}，AB＝{x|12}，根据新运算，得A#B＝AB(AB)＝{x|01或x2}．故选D. 6．B 解析：函数关于y轴对称．7．解：∵4x0，016－4x16，016－4x4.8．B 解析：设x0，则－x0，f(－x)＝10－x，∵f(x)为偶函数．f(x)＝f(－x)＝10－x.9．①③④⑤解析：因为f(x)＝12x，f(x1＋x2)＝＝＝f(x1)f(x2)，所以①成立，②不成立；显然函数f(x)＝12x单调递减，即fx1－fx2x1－x20，故③成立；当x10时，f(x1)1，fx1－1x10，当x10时，0f(x1)1，fx1－1x10，故④成立；f(－x1)＝12 ＝＝1fx1，故⑤成立．10．解：(1)∵当x＞0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，a2－1＞1.a2＞2.a＞2或a＜－2.(2)∵函数y＝ax－3的图象恒过定点(3,1)，函数y＝ax－3＋3的图象恒过定点(3,4)．2．1.4 指数函数的性质及其应用1．A 2.B3．B 解析：由y＝|2x－2|＝2x－2， x1，－2x＋2， x1，分两部分：一部分为y1＝2x－2(x1)，只须将y＝2x的图象沿y轴的负半轴平移2个单位即可，另一部分为y2＝－2x＋2(x1)，只须将y＝2x的图象对称于x轴的图象y＝－2x，然后再沿y轴的正半轴平移2个单位，即可得到y＝－2x＋2的图象．故选B.4．C 解析：由于函数y＝ax在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝3ax－1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3.5．C 解析：很显然a，b均大于1；且y＝bx函数图象比y ＝ax变化趋势小，故b＜a，综上所述，a＞b＞1.6．B7．解：f(3)＝f(3＋1)＝f(4)＝124＝116.8．(－，－2)(2，＋)9．(0,3] 解析：设y＝13u，u＝x2－2x，∵函数y＝13u是单调减函数，函数y＝f(x)与u＝x2－2x增减性相反．∵u有最小值－1，无最大值，y有最大值13－1＝3，无最小值．又由指数函数值域y0知所求函数的值域为(0,3]．10．(1)解：∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－f(x)，f(x)是奇函数．(2)证法一：f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝102x－1102x＋1＝1－2102x＋1.令x2＞x1，则f(x2)－f(x1)＝－∵y＝10x为增函数，当x2＞x1时，－＞0.又∵ ＋1＞0, ＋1＞0，故当x2＞x1时，f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．f(x)是增函数．证法二：考虑复合函数的增减性．由f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝1－2102x＋1.∵y＝10x为增函数，y＝102x＋1为增函数，y＝2102x＋1为减函数，y＝－2102x＋1为增函数，y＝1－2102x＋1为增函数．f(x)＝10x－10－x10x＋10－x在定义域内是增函数．(3)解：令y＝f(x)．由y＝102x－1102x＋1，解得102x＝1＋y1－y.∵102x＞0，1＋y1－y＞0，解得－1＜y＜1.即f(x)的值域为(－1,1)．2．2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．C 2.B 3.B 4.A5．A 解析：令ex＝t，则x＝lnt，f(t)＝lnt.f(e)＝lne ＝1.6．B 解析：log2a＝0，a＝1.从而b＝0，PQ＝{3,0,1}．7．解：(1)由题意知x＋20，x－10，x－11，解得x1，且x2. 故x的取值范围为(1,2)(2，＋)．(2)由题意知x＋30，x＋31，解得x－3，且x－2.故x的取值范围为(－3，－2)(－2，＋)．8．－2 解析：∵x＝－20，f(－2)＝10－2＝11000，f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f[f(－2)]＝－2.9．3 解析：(a ) ＝232 a＝233log a＝log 233＝3. 10．解：(1)令log2x＝t，则2t＝x.因为f(log2x)＝x，所以f(t)＝2t.所以f12＝2 ＝2.(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1.所以log4x＝3，所以x＝43＝64.又因为log3[log4(log2y)]＝0.所以log4(log2y)＝1.所以log2y＝4.所以y＝24＝16.所以x＋y＝64＋16＝80.2．2.2 对数的性质及其应用1．A 2.B 3.B4．B 解析：方法一：原式＝lg10023－lg1024＋lg12＝lg100－lg23－lg10＋lg24＋lg1－lg2＝lg102－3lg2－1＋4lg2－lg2＝2－1＝1.方法二：原式＝lg12.51258＝lg10＝1.5．D6．A 解析：∵1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10＝2，m2＝10.又∵m0，m＝10.7．解：原式＝lg2lg1022＋lg210lg(2210)＝lg2(1－2lg2)＋(lg2－1)(2lg2＋1)＝lg2－2(lg2)2＋2(lg2)2－2lg2＋lg2－1＝－1.8.2b＋1－a2a＋b 解析：log1245＝lg45lg12＝2lg3＋lg52lg2＋lg3＝2b＋1－a2a＋b.9．解：由log83＝p，得lg3lg8＝p，即lg3＝3lg2p.①由log35＝q，得lg5lg3＝q，即1－lg2＝lg3q.②①代入②中，得1－lg2＝3lg2pq.(3pq＋1)lg2＝1.∵3pq＋10，lg2＝13pq＋1.10．解：∵lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，lga＋lgb＝1，①lgalgb＝m. ②∵关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根，＝(lga)2＋4(1＋lga)＝0.lga＝－2，即a＝1100.将lga＝－2代入①，得lgb＝3.b＝1000.再将lga＝－2，lgb＝3代入②，得m＝－6.综上所述，a＝1100，b＝1000，m＝－6.2．2.3 对数函数及其性质(1)1．D 解析：由log2a0，得01.由12b1，得b0.故选D. 2．D3．A 解析：y＝log x＝－log2x.4．A 解析：由log0.54x－30，4x－30，解得341.5．D6．B 解析：y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．7．a＝2，b＝28．D9．D 解析：∵log45log54log531，(log53)2log54log45.bc.故选D.10．解：(1)由kx－1x－10，得(kx－1)(x－1)0.又∵k0，x－1k(x－1)0.当k＝1时，函数f(x)的定义域为{x|x1}；由01时，函数f(x)的定义域为xx1或x1k，当k1时，函数f(x)的定义域为xx1k或x1.(2)f(x)＝lnkx－1＋k－1x－1＝lnk＋k－1x－1，∵函数f(x)在区间[10，＋)上是增函数，k－10，即k1.又由10k－110－10，得k110.综上所述，实数k的取值范围为1101.2．2.4 对数函数及其性质(2)1．D 2.C 3.A4．B 解析：∵a＝log23.6log22＝1.又∵y＝log4x，x(0，＋)为单调递增函数，log43.2log43.6log44＝1，ba.5．C6．C 解析：由loga23＜1＝logaa，得(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得0＜a＜23；(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得a＞23，a＞1.综合(1)(2)，得0＜a＜23或a＞1.7．D 解析：f(x)的定义域为(－1,1)，且对定义域内任意x，f(－x)＝lg1－x1＋x＝lg1＋x1－x－1＝－lg1＋x1－x＝－f(x)；又可以验证f－12f12，因此，f(x)是奇函数但不是偶函数．用同样的方法可有：y＝x3＋1既不是奇函数又不是偶函数；y＝e0－1e0＋1＝0(xR)既是奇函数又是偶函数；y＝|2x＋1|＋|2x－1|是偶函数而不是奇函数，只有y＝12x－1＋12是奇函数但不是偶函数．故选D.8.－1，32 解析：令u(x)＝4＋3x－x2，又∵4＋3x－x2＞0x2－3x－4＜0，解得－1＜x＜4.又u(x)＝－x2＋3x＋4＝－x－322＋254，对称轴为x＝32，开口向下的抛物线；u(x)在－1， 32上是增函数，在32，4上是减函数，又y＝lnu(x)是定义域上的增函数，根据复合函数的单调性，y＝ln(4＋3x－x2)在－1， 32上是增函数．9．②③10．(1)解：∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)．log 1＋ax－x－1＝－log 1－axx－11＋ax－x－1＝x－11－ax＞01－a2x2＝1－x2a＝1.检验a＝1(舍)，a＝－1.(2)证明：任取x1＞x2＞1，x1－1＞x2－1＞0.0＜2x1－1＜2x2－10＜1＋2x1－1＜1＋2x2－10＜x1＋1x1－1＜x2＋1x2－1log x1＋1x1－1＞log x2＋1x2－1，即f(x1)＞f(x2)．f(x)在(1，＋)内单调递增．(3)解：f(x)－12x＞m恒成立．令g(x)＝f(x)－12x.只需g(x)min＞m，用定义可以证g(x)在[3,4]上是增函数，g(x)min＝g(3)＝－98.当m＜－98时原式恒成立．2．2.5 对数函数及其性质(3)1．D 解析：c＝120.30，a＝log 20，b＝log 30，并且log 2log 3，所以cb.2．C 解析：y＝3x－2的图象向左平移2个单位得到y＝3x 的图象，其反函数为y＝log3x.3．B 4.B 5.B 6.D 7.A8．C 解析：将A项函数沿着直线y＝x对折即可得到函数y ＝log2x.将B沿着x轴对折，将D向下平移1个单位再沿x 轴对折即可．9.22 提示：利用奇函数的定义或f(0)＝0.10．解：(1)要使函数有意义，则有1－x0，x＋30，解得－31.所以函数f(x)的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，x＝－13.∵－13(－3,1)，方程f(x)＝0的解为－13.(3)函数可化为f(x)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，∵－31，0－(x＋1)2＋44.∵01，loga[－(x＋1)2＋4]loga4，即f(x)min＝loga4.由loga4＝－4，得a－4＝4.a＝4－14＝22.2．3 幂函数1．C 2.A3．C 解析：设f(x)＝x，则有2＝22，解得＝－12，即f(x)＝x ，所以f(4)＝4 ＝12.4．A 5.B 6.B7．解：m2－3m＋3＝1，m2－m－20，解得m＝1或m＝2. 8．(1)②④(2)①⑤⑧⑨9．依次是E，C，A，G，B，D，H，F10．解：(1)若f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是幂函数且又是(0，＋)上的增函数，则m2－m－1＝1，－5m－30.所以m＝－1.(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45.此时m2－m－10，故m＝－45.(4)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25，此时m2－m－10，故m＝－25.(5)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－10，故m＝－1.综上所述，当m＝2或m＝－1时，f(x)是幂函数；当m＝－1时，f(x)既是幂函数，又是(0，＋)上的增函数；当m＝－45时，f(x)是正比例函数；当m＝－25时，f(x)是反比例函数；当m＝－1时，f(x)是二次函数．。
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题(含答案)
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题（含答案）1.三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案解析】C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=0.67＜1，b=70.6＞1，c=log0.76＜0，∴c＜a＜b，故选：C．2.已知函数的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，2] D．[2，+∞）【答案解析】B【考点】函数的零点；函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得只要满足直线y=x和射线y=2（x＞m）有一个交点，而且直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的两个交点即可，画图便知，直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象的两个交点为（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣1），由此可得实数m的取值范围．【解答】解：由题意可得射线y=x与函数f（x）=2（x＞m）有且只有一个交点．而直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2，至多两个交点，题目需要三个交点，则只要满足直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象有两个交点即可，画图便知，y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象交点为A（﹣2，﹣2）、B（﹣1，﹣1），故有m≥﹣1．而当m≥2时，直线y=x和射线y=2（x＞m）无交点，故实数m的取值范围是[﹣1，2），故选B．【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．3.若函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（）A．2 B．4 C． D．【答案解析】C【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据同底的指数函数和对数函数有相同的单调性，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=ax与y=loga（x+1）在[0，1]上有相同的单调性，∴函数函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上是单调函数，则最大值与最小值之和为f（0）+f（1）=a，即1+loga1+loga2+a=a，即loga2=﹣1，解得a=，故选：C【点评】本题主要考查函数最值是应用，利用同底的指数函数和对数函数有相同的单调性是解决本题的关键．本题没有对a进行讨论．4.函数f(x)=ln(x-)的图象是（）A． B．C． D．【答案解析】B【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可．【解答】解：因为x-＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f(x)=ln(x-)的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、C不正确．当x∈（﹣1，0）时， g(x)=x-是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x-)是增函数．故选B．【点评】本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．5.函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案解析】B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】把α和﹣α分别代入函数式，可得出答案．【解答】解：∵由f（a）=2∴f（a）=a3+sina+1=2，a3+sina=1，则f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣（a3+sina）+1=﹣1+1=0．故选B【点评】本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.函数f（x）=x3+3x﹣1在以下哪个区间一定有零点（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【答案解析】B【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判定定理将选项中区间的端点值代入验证即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+3x﹣1∴f（﹣1）f（0）=（﹣1﹣3﹣1）（﹣1）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+3﹣1）（8+6﹣1）＞0，排除C．f（0）f（1）=（﹣1）（1+3﹣1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）一定有零点．故选：B．【点评】本题主要考查函数零点的判定定理．属基础题．7.函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（0，2）【答案解析】D【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】已知函数f（x）=ax+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解答】解：∵函数f（x）=ax+1，其中a＞0，a≠1，令x=0，可得y=1+1=2，点的坐标为（0，2），故选：D【点评】本题主要考查指数函数的性质及其特殊点，是一道基础题．8.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B． [，+∞） C．（﹣∞，] D．（﹣∞，1）【答案解析】考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围．解答：解：函数f（x）=，画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），由于（log2x）′=，即切线的斜率为=k，又n=km，n=log2m，解得m=e，k=，则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k，综上，可得实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，考查运用导数求切线的斜率，属于中档题．9.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）【答案解析】考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10.设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个命题：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④【答案解析】考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：既然对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2），那么分别令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根据不等式即可得④解答：解；对于①结论是正确的．∵对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2 令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g（0）﹣1]=0解方程组得对于②结论是不正确的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g（﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1对于③结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于④结论是正确的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|fn（x）|≤f2（x），|gn（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1综上，①③④是正确的．故选：D。
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_24
函数的应用1．题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间．2．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．[典题示例] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得到⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋ln x ＝0，x ＞0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x ＞0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x ＜0时的零点有一个，在x ＞0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 2 [类题通法]确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0有几个根．(2)利用图象找y ＝f (x )的图象与x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数． (3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[题组训练]1．函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9)D ．(9,10)解析：选D ∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0，f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0， ∴f (9) · f (10)＜0.函数的零点问题∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．2．已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2＜0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120＜0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121＞0， ∴x 0∈(2,3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0,1)1．通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．2．函数实际应用的示意图[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p (件)与销售价格x (元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．(1)写出周销售量p (件)与销售价格x (元)的函数关系式； (2)写出利润周利润y (元)与销售价格x (元)的函数关系式；函数的应用(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润． [解] (1)由题设知，当12≤x ≤20时，设p ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝26，20a ＋b ＝10，∴a ＝－2，b ＝50. ∴p ＝－2x ＋50，同理得，当20＜x ≤28时，p ＝－x ＋30，所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋50，12≤x ≤20，－x ＋30，20＜x ≤28.(2)当12≤x ≤20时，y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2＋74x －620； 当20＜x ≤28时，y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2＋42x －380.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋74x －620，12≤x ≤20，－x 2＋42x －380，20＜x ≤28. (3)当12≤x ≤20时，y ＝－2x 2＋74x －620， ∴x ＝372时，y 取得最大值1292. 当20＜x ≤28时，y ＝－x 2＋42x －380， ∴x ＝21时，y 取得最大值61. ∵1292＞61，∴该消费品销售价格为372时，周利润最大，最大周利润为1292. [类题通法]建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[题组训练]1.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速率越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的是序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0＜α＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.3．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：时需上交0.05x 2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．解：(1)由题知y 1＝10x －(20＋ax )＝(10－a )x －20,0≤x ≤200且x ∈N ；y 2＝18x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x ≤120且x ∈N.(2)∵3≤a ≤8，∴10－a ＞0， ∴y 1＝(10－a )x －20为增函数． 又0≤x ≤200，x ∈N ，∴x ＝200时y 1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a )×200－20＝1 980－200a (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N ，∴x ＝100时y 2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则该函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＜0时，令x (x ＋4)＝0，解得x ＝－4；当x ≥0时，令x (x －4)＝0，解得x ＝0或4.综上，该函数的零点有3个．2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选A f (1)＝ln 2－2＝ln 2e 2＜ln 1＝0，f (2)＝ln 3－1＝ln 3e＞ln 1＝0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设该家具的进货价是x 元，由题意得132(1－10%)－x ＝x ·10%，解得x ＝108元．4．下列函数：①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．④解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，选D.5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根解析：选B 由于f (a )f (b )＜0，则f (a )＜0＜f (b )或f (b )＜0＜f (a )，又函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，则至多有一个实数x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝0，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内至多有一实根．6．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A.7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：18．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)套应付a 元， 则a ＝xy .再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)，其中x ＋11＞50.∴xy ＝(x ＋11)(y －30)(39＜x ≤50)．∴3011x ＝y －30.又x ∈N ，y ∈N(因价格为整数)，39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，a ＝44×150＝6 600. 答案：6 6009．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．(1)请写出规定时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域； (2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．解：(1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则规定时间内第x 档次的总利润y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}．(2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．11．A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)求x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003. 则当x ＝1003km 时，y 最小． 故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电费用最小．12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S 元， 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D. 2．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1. ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：选A ∵y ＝x－1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到： y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，则22＝⎝⎛⎭⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 7．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100)D ．(100，＋∞)解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，f (100)＝2－1100＞0， ∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间为(1,10)．8．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) 解析：选C ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C. 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.于是lg a ＋lg b ＝0. 故ab ＝1.因而abc ＝c .由图知10<c <12，故abc ∈(10,12)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |x ＞1}， ∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1. 答案：(－∞，1]14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________． 解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ，∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：216．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：∵要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)．(2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，定义域为(－1,1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)．∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9， 即不等式的解集为(－3,9)．20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300，x ∈N *)，用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1)当60≤x ≤90，x ∈N *时，y ＝750x －1 725；当90＜x ≤300，x ∈N *时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，x ∈N *，－3x 2＋1 020x －1 725，90＜x ≤300，x ∈N *. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，x ∈N *，∵y 在[60,90](x ∈N *)上单调递增，∴当x ＝90时，y max ＝65 775.对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90＜x ≤300，x ∈N *，当x ＝170时，y max ＝84 975.∵84 975＞65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．21．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)；(2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7,3]，求区间A .解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝2－x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0.(3)作出函数f (x )的图象，如图所示．根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0， 解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2；∴区间A 为[－3,2]．22．(本小题满分12分)对于函数f (x )＝a －2b x＋1(a ∈R ，b ＞0，且b ≠1)． (1)探索函数y ＝f (x )的单调性；(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x )为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －2bx 1＋1－⎝⎛⎭⎫a －2bx 2＋1＝2(bx 1－bx 2)(bx 1＋1)(bx 2＋1).当b ＞1时，由x 1＜x 2，得bx 1＜bx 2，从而bx 1－bx 2＜0，于是f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调增函数； 当0＜b ＜1时，由x 1＜x 2，得bx 1＞bx 2，从而bx 1－bx 2＞0，于是f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)， 此时函数f (x )在R 上是单调减函数．(2)函数f (x )的定义域为R ，由f (0)＝0得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－2b x ＋1＝b x －1b x ＋1， f (－x )＝1－2b －x ＋1＝b －x －1b －x ＋1＝1－b x 1＋b x . 满足条件f (－x )＝－f (x )，故a ＝1时，函数f (x )为奇函数．(3)f (x )＝1－22x＋1， ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，2x ＋1∈[2,3]，22x＋1∈⎣⎡⎦⎤23，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，13， 要使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解，则0≤m ≤13，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，13.。
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题及答案
高中数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：1212a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.2．已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a的可能取值是（ ） A ．0 B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =，故1()2f x =-，()f x =()f x =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.3．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>- D．2212log mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++，由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-， 所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ ()332151141x x +≥+⋅-=-①. 令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.4．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ）A ．2a b +=B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>，所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.5．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+6．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.7．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.8．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e-<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e-=-，()2120f e-=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.二、导数及其应用多选题9．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||PQ =2ln 22<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．10．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2ey k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.。
高中数学必修一新课标人教版第二章基本初等函数对数函数换底公式-32页文档
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[例1] 计算log2215·log318·log519.
人
教
[分析] 将底统一成以10为底的常用对数
A 版
数
1 11
学
[解析] 原式＝llgg225·llgg38·llgg59
＝(－2lg5)·l(g－2l3gl3gl2g)5·(－2lg3)＝－12.
[分析] (1)可考虑指对互化后换为都是以 36 为底的对数
人
式，然后利用对数的运算法则求解．
教 A
版
(2)∵4＝22,36＝22×33,2×3＝6.故可考虑将条件式取以 6
数 学
为底的对数，然后利用对数的运算法则求解．
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 解法1：由3a＝4b＝36得log336＝a，log436＝
A．6次
B．7次
人 教
A
C．8次
D．9次
版
数
[答案] C
学
[解析] 设至少要抽n次
(1－60%)n<0.1%，即(25)N<10－3.
∴n>1－32lg2≈7.6.故选C.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[例 3] 设 3a＝4b＝36，求2a＋1b的值．
教
C．3
D．－23
A 版 数
学
[答案] A
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 因为lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278
＝lg2－1－(lg5－lg8)＋lg25－lg2－llgg98·llgg287
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题(含答案)
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题（含答案）1.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A． B．C．pq D．﹣1【答案解析】D【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解出即可．解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解得x＝﹣1，故选：D．2.设函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t）成立，则函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（）A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）【答案解析】B【分析】由题设知，函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝2．a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．解：∵对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t）成立，∴函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．当a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．故选：B．3.函数f（x）＝的定义域是（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥﹣1} D．{x|x≥1}【答案解析】B【分析】根据根式函数，分式函数，对数函数的定义域求函数f（x）的定义域即可．解：方法1：要使函数有意义，则有，即，所以x＞1．所以函数的定义域为{x|x＞1}．方法2：特殊值法当x＝0时，无意义，所以排除A，C．当x＝1时，，则不能当分母，所以排除D．故选：B．4.已知函数f（x）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣）＝2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案解析】B解：∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）＝2，∴f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）﹣＝n，①f（n）＝2，②由①得 f（x）＝n+，③②代入③，得＝2，解得n＝1，因此f（x）＝1+，所以f（）＝6．故选：B．5.已知函数f（x）＝，给出下列三个结论：①当a＝﹣2时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f（x）﹣b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案解析】C解：对于①：当a＝﹣2时，由0＜e﹣2＜1，f（0）＝1＜f（e﹣2）＝|lne﹣2|＝2，所以函数f（x）在区间（﹣∞，1）上不单调递减，故①错误；对于②：若函数可转换为，画出函数的图象，如图所示：所以函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）．故②正确．对于③令y＝f（x）﹣b＝0，结合函数我的图象，不妨设x1＜0＜x2＜1＜x3，则ax1+1＝﹣lnx2＝lnx3＝b，所以，，所以，令＝﹣1，即b＝﹣a+1，当a＜0时，b＝﹣a+1＞1，故y＝f（x）﹣b＝0有三个零点，且x1•x2•x3＝﹣1，符合题意，当0＜a＜1时，0＜b＝﹣a+1＜1，故y＝f（x）﹣b＝0有三个零点，且x1•x2•x3＝﹣1，符合题意，故③正确．故正确答案为：②③，故选：C．6.“lna＞lnb”是“3a＞3b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】A解：“3a＞3b”⇔“a＞b”，“lna＞lnb”⇔“a＞b＞0”，∵“a＞b＞0”是“a＞b”的充分而不必要条件，故“lna＞lnb”是“3a＞3b”的充分而不必要条件，故选：A．7.已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）【答案解析】C解：因为f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log x，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣f（x）＝log（﹣x），所以f（x）＝﹣log（﹣x），又f（0）＝0，则由f（x）＞0可得，或，解可得0＜x＜1或x＜﹣1．故选：C．8.已知a＝3﹣2，b＝log0.42，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【答案解析】D解：0＜3﹣2＜1，log0.42＜log0.41＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．9.（多选题）已知函数f（x）＝，则（）A．f（x）为奇函数 B．f（x）为减函数C．f（x）有且只有一个零点 D．f（x）的值域为（﹣1，1）【答案解析】ACD解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，其定义域为R，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），f（x）为奇函数，A正确；对于B，f（x）＝＝＝1﹣，设t＝2x+1，有t＞0且t＝2x+1在R上为增函数，而y＝1﹣在（0，+∞）为增函数，故f（x）在R上为增函数，B错误；对于C，由B的结论，f（x）在R上为增函数，且f（0）＝0，故f（x）有且只有一个零点，C正确；对于D，y＝，变形可得2x＝，则有＞0，解可得﹣1＜y＜1，即f（x）的值域为（﹣1，1），D正确；故选：ACD．10.已知函数f（x）＝，则不等式f（x+1）＜1的解集为（）A．（1，7） B．（0，7） C．（1，8） D．（﹣∞，7）【答案解析】B解：①当x+1≤1，即x≤0时，∴e2﹣（x+1）＜1，即e1﹣x＜1，∴1﹣x＜0，∴x＞1，又∵x≤0，∴无解．②当x+1＞1，即x＞0时，∴lg（x+1+2）＜1，∴lg（x+3）＜1，∴0＜x+3＜10，∴﹣3＜x＜7，又∵x＞0，∴0＜x＜7，故选：B．。
函数概念与基本初等函数早练专题练习(一)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升
18．已知 ，函数 ．
（1）若 ，写出函数 的单调递增区间（不必证明）；
（2）若 ，当 时，求函数 在区间 上的最小值.（本题满分16分）
19．设二次函数 的最大值为13，且 ，求 的解析式；
20．已知不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围。
A、f(a)＋f(b)≤f(－a)－f(－b)，B、f(a)＋f(b)≥f(－a)－f(－b)
C、f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，D、f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
9．已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 （）(07广东)
A． B． C． D．
C．
10．已知函数 ， ，若对于任一实数 ， 与 至少有一个为正数，则实数 的取值范围是()
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人 Nhomakorabea得分
一、选择题
1．D
解析：本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域.
函数 的定义域为 ,而答案中只有 的定义域为 .故选D.
2．A
3．B
4．A
5．C
6．D
（2020江西卷文）【解析】由 得 或 ,故选D.
7． ;
8．
9．
10．B
13．函数 的值域为_________．
14．函数 的单调区间为____________________
15．已知 ，则 ＝。
16．函数 的值域是____[1，2]____________
[
评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数 （ 为实常数），
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，设 在区间 的最小值为 ，求 的表达式；
人教A版数学必修一第二章基本初等函数(ⅰ)(一)a卷
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高中同步创优单元测评A 卷 数 学班级：________ 姓名：________ 得分：________第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) [名师原创·基础卷](时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算[(－2)2]－ 12的结果是( )A.2 B ．－2 C.22D ．－222.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫278 23的值为( )A ．－13 B.13 C.43 D.733．若a >1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a )x 2的图象可能是下列四个选项中的()4．下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2 23＝a 3；②na n ＝|a |(n ≥2，n ∈N )； ③函数y ＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)； ④6(－2)2＝32.A ．1B ．2C ．3D ．45．指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64 6．函数y ＝21x的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)7．函数y ＝|2x －2|的图象是( )8．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b9．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －110．若函数y ＝a x ＋m －1(a >0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( )A ．a >1B ．a >1，且m <0C ．0<a <1，且m >0D ．0<a <111．函数f (x )＝2x ＋2－4x ，若x 2－x －6≤0，则f (x )的最大值和最小值分别是( )A ．4，－32B ．32，－4 C.23，0D.43，112．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系为________．14．若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ＝0有正数解，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|，则f (x )的单调递增区间是________．16．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式a 2x ＋7<a 3x －2(a >0，a ≠1)．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a )＝2，g (x )＝3ax －4x . (1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 为实数． (1)当a >0，b >0时，判断并证明函数f (x )的单调性； (2)当ab <0时，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．21．(本小题满分12分)设a ∈R ，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )．(1)证明：对任意实数a ，f (x )为增函数； (2)试确定a 的值，使f (x )≤0恒成立．22．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．详解答案第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) [名师原创·基础卷]1．C 解析：[(－2)2]－ 12＝2－12＝12＝22.2．D 解析：原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．C 解析：a >1，∴y ＝a x 在R 上单调递增且过(0,1)点，排除B ，D ，又∵1－a <0，∴y ＝(1－a )x 2的开口向下．4．A 解析：在①中，a <0时，(a 2) 32>0，而a 3<0，∴①不成立．在②中，令a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不成立． 在③中，定义域应为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞，∴③不成立． ④式是正确的，∵6(－2)2＝622＝32，∴④正确． 5．D 解析：设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 由已知得14＝a －2，a 2＝4，所以a ＝2， 于是f (x )＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24·22＝64.解题技巧：已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法，即先把函数设出来，再利用方程或方程组解出系数．6．C 解析：∵1x ≠0，∴21x≠1， ∴函数y ＝21x 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．7．B 解析：找两个特殊点，当x ＝0时，y ＝1，排除A ，C.当x ＝1时，y ＝0，排除D.故选B.8．C 解析：∵0<a <b <1，∴a a >a b ，故A 不成立，同理B 不成立，若a a <b a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a <1，∵0<ab <1,0<a <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a<1成立，故选C. 9．D 解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.解题技巧：函数图象的平移变换，要注意平移的方向和平移量．平移规律为：10．B 解析：由函数y ＝a x ＋m －1(a >0，a ≠1)的图象在第一、三象限知，a >1.知函数在第四象限，∴a 0＋m －1<0，则有m <0.11．A 解析：f (x )＝2x ＋2－4x ＝－(2x )2＋4·2x ＝－(2x －2)2＋4，又∵x 2－x －6≤0，∴－2≤x ≤3，∴14≤2x ≤8.当2x ＝2时，f (x )max ＝4，当2x ＝8时，f (x )min ＝－32. 12．B 解析：因为f (－x )＝3－x ＋3－(－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )， g (－x )＝3－x －3－(－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，所以f (x )为偶函数，g (x )为奇函数．13．c >a >b 解析：由指数函数y ＝a x 当0<a <1时为减函数知， 0．80.7>0.80.9，又1.20.8>1,0.80.7<1， ∴1.20.8>0.80.7>0.80.9，即c >a >b .14．(－3,0) 解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t ，∵方程有正根，∴t ∈(0,1)．方程转化为t 2＋2t ＋a ＝0， ∴a ＝1－(t ＋1)2.∵t ∈(0,1)，∴a ∈(－3,0)．15．(－∞，1] 解析：解法一：由指数函数的性质可知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域上为减函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求y ＝|x －1|的单调递减区间．又y ＝|x －1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1]．解法二：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥1，2x －1，x <1.可画出f (x )的图象，并求其单调递增区间．解题技巧：既可以利用复合函数的“同增异减”法则求解，也可以去绝对值符号，转化为分段函数求解．16．1 解析：作出函数y ＝2|x |的图象(如图所示)．当x ＝0时，y ＝20＝1， 当x ＝－1时，y ＝2|－1|＝2， 当x ＝1时，y ＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a ，b ]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.17．解：当a >1时，a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7<3x －2， ∴x >9；当0<a <1时，a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7>3x －2. ∴x <9.综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >9}； 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <9}． 解题技巧：注意按照底数进行分类讨论． 18．解：(1)由f (a )＝2，得3a ＝2，a ＝log 32， ∴g (x )＝(3a )x －4x ＝(3log 32)x －4x ＝2x －4x ＝－(2x )2＋2x . ∴g (x )＝－(2x )2＋2x . (2)设2x ＝t ，∵x ∈[－2,1]， ∴14≤t ≤2.g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图象可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14； 当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．解：(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0. 又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1. 20．解：(1)函数f (x )在R 上是增函数．证明如下： a >0，b >0，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，(2)∵f (x ＋1)>f (x )，∴f (x ＋1)－f (x )＝(a ·2x ＋1＋b ·3x ＋1)－(a ·2x ＋b ·3x ) ＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ， 当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .综上，当a <0，b >0时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ，＋∞； 当a >0，b <0时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 21．(1)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，故对于任意实数a ，f (x )为增函数．(2)解：f (x )＝a －22x ＋1≤0恒成立，只要a ≤22x ＋1恒成立，问题转化为只要a 不大于22x ＋1的最小值． ∵x ∈R,2x >0恒成立，∴2x ＋1>1.∴0<12x ＋1<1,0<22x ＋1<2，∴a ≤0. 故当a ∈(－∞，0]时，f (x )≤0恒成立．22．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0， 即b －12＋2＝0，解得b ＝1.(3)因为f (x )是奇函数，f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，则f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得，t 2－2t >k －2t 2. 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。
人教B版高中数学必修一第三章《基本初等函数I》讲解与例题+综合测试(7份).docx
3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利 和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。
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高中数学必修一第二章基本初等函数试题
一、选择题：
1
、若()f x =(3)f =（）
A 、2
B 、4 C
、、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有（）
①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（）
①()f x =
()g x =()f x x =
与2
()g x =；③0
()f x x
=与0
1()g x x =
；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A 、①②B 、①③C 、③④D 、①④
4、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为（） A 、7-B 、1 C 、17D 、25 5
、函数y =的值域为（） A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是（）
A 、（1）
B 、（1）、（3）、
（4）C 、（1）、
（2）、（3）D 、（3）、（4）
7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（）
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。
A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个
8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是() A 、()()0f x f x -+=B 、()()2()f x f x f x --=-C 、()()0f x f x -g ≤D 、
()
1()
f x f x =-- 9、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（） A 、3a -≤B 、3a -≥C 、a ≤5D 、a ≥5
10、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有（） A 、12a >
B 、12a <
C 、12a ≥
D 、12
a ≤ 11、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a
b ，总有()()
0f a f b a b
->-成立，则必有（）
A 、函数()f x 是先增加后减少
B 、函数()f x 是先减少后增加
C 、()f x 在R 上是增函数
D 、()f x 在R 上是减函数
12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
A 、（1）（2）（4）
B 、（4）（2）（3）
C 、（4）
（1）（3）D 、（4）（1）（2）
二、填空题：
13、已知(0)1,()(1)()f f n nf n n N +==-∈，则(4)f =。
14、将二次函数22y x =-的顶点移到(3,2)-后，得到的函数的解析式为。
（1）
（2）
（3）
（4）
间
15、已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是。
16、设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩
≤≥，若()3f x =，则x =。
17.设有两个命题：①关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解；②函数22()log a a f x x -=是减函数。
当①与②至少有一个真命题时，实数a 的取值范围是＿＿
18.方程0422=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿。
三、解答题：
19、已知(,)x y 在映射f 的作用下的像是(,)x y xy +，求(2,3)-在f 作用下的像和(2,3)-在f 作用下的原像。
20、证明：函数2()1f x x =+是偶函数，且在[)0,+∞上是增加的。
21、对于二次函数2483y x x =-+-，
（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）画出它的图像，并说明其图像由24y x =-的图像经过怎样平移得来； （3）求函数的最大值或最小值； （4）分析函数的单调性。
22、设函数)(x f y =是定义在R +上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ，
（1）求)1(f 的值，（2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围。
答案
一、选择题：
ABCDABCDABCD
二、填空题：
13、2414、222(3)221216y x x x =-++=--- 15、2
03
a <<
16
17、(]11,8,0,122⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U 18、52,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
三、解答题：
19、(2,3)-在f 作用下的像是(1,6)-；(2,3)-在f 作用下的原像是(3,1)(1,3)--或 20、略
21、（1）开口向下；对称轴为1x =；顶点坐标为(1,1)；
（2）其图像由24y x =-的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到； （3）函数的最大值为1；
（4）函数在(,1)-∞上是增加的，在(1,)+∞上是减少的。
22、解：（1）令1==y x ，则)1()1()1(f f f +=，∴0)1(=f
（2）∵131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ∴23131)3131(91=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f
∴()()[]⎪⎭
⎫
⎝⎛<-=-+91)2(2f x x f x f x f ，又由)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，得：
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>->>-0
209
12x x x x 解之得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈3221,3221x 。