直线方程的五种形式之
斜坐标系直线方程
斜坐标系直线方程在斜坐标系中，直线方程有多种表达形式。
以下是关于斜坐标系直线方程的五种形式：斜截式、点斜式、两点式、参数方程和极坐标方程。
1. 斜截式方程定义：斜截式方程是表示直线在x轴上的截距（y=0时）与斜率的关系的一种方程形式。
形式：y = kx + b其中，k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
推导过程：斜截式方程由直线的斜率和截距确定。
首先，我们需要找到一个点（x0，y0）在直线上，然后使用点斜式方程求出直线的斜率k。
接下来，将点（x0，y0）的坐标代入点斜式方程，求解得到b的值。
最后，将斜率和截距代入斜截式方程，即可得到直线的一般形式。
2. 点斜式方程定义：点斜式方程是表示直线在某一点上的斜率与该点坐标的关系的一种方程形式。
形式：y - y1 = k(x - x1)其中，(x1，y1)表示直线上的一个定点，k表示直线的斜率。
推导过程：点斜式方程由直线上的一点和该点处的斜率确定。
首先，我们需要找到两个点（x1，y1）和（x2，y2）在直线上，然后使用两点式方程求出直线的斜率k。
接下来，将定点（x1，y1）的坐标代入点斜式方程，求解得到直线的一般形式。
3. 两点式方程定义：两点式方程是表示直线在两个已知点之间的任意一点上的斜率与这两点坐标的关系的一种方程形式。
形式：(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)其中，(x1，y1)和(x2，y2)表示直线上的两个已知点。
推导过程：两点式方程由直线上两已知点的坐标确定。
首先，将两个已知点的坐标代入两点式方程中。
接下来，求解方程得到直线的一般形式。
4. 参数方程定义：参数方程是表示直线的一般形式中包含参数的方程形式。
这些参数通常表示直线的方向或长度等特征。
形式：x = x0 + atcosθ ，y = y0 + btsinθ其中，a和b表示直线的长度特征，θ表示直线的方向特征。
推导过程：参数方程可以通过一系列数学变换从其他形式的直线方程得出。
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
直线方程五种形式教师
1．直线的点斜式方程 1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0. （3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化. 直线点斜式方程的理解1．由于点斜式方程是由斜率公式00y y k x x -=-推出的，因此00y y k x x -=- 表示的直线上缺少一个点P (x 0，y 0)，y －y 0=k (x －x 0)才是整条直线；2．经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：①斜率存在时，直线方程y －y 0=k (x －x 0)； ②斜率不存在时，直线方程为x =x 0.3．直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4．从函数的角度来看，当斜率k 存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k 不存在时，直线方程为x =x 0，它不是函数解析式。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。
一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。
点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。
点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。
二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。
参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。
参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。
三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。
设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。
直线方程几种形式
2.直线的斜截式方程：
练习: 已知直线l的斜率是k，与 y 轴的交点
是 P(0 , b) ，求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l 的直线方程： (0,b)
y b k(x 0) 即 y kx b (2)
O
x
直线l 与 y 轴交点 (0 , b) 的纵坐标 b 叫做直线
l在 y轴上的截距。
方程(2)是由直线的斜率 k与它在 y轴上的截距 b确
P0（x0,y0)
O
x
可化为y y0 kx x0
• 可以验证: 直线l上的每个点（包括点P0）的坐标 都是这个方程的解;反过来，以这个方程的解为 坐标的点都在直线l上
• 由此，这个方程 y y0 kx x0 就是过点P0，
斜率为k的直线l的方程
(1)当直线 l与 x轴平行或重合时
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程 呢？
经过一点, 且已知斜率的直线, 可以写出它 的点斜式方程.
可以先求出斜率, 再选择一点, 得到点斜式 方程.
根据两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
斜率 k y2 y1
x a
y b
1
y lB
说明:（1）直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距,
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
截距确定,所以叫做直线方程的截距 式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例5. 说出下列直线的方程，并画出图形. ⑴倾斜角为450，在轴上的截距为0； ⑵在x轴上的截距为－5， 在y轴上的截距为6； ⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行； ⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.
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优质参考文档学案2：直线方程的五种形式班级 姓名1、直线斜率： k= = 。
（倾斜角α的范围000180α≤<.） 2.直线倾斜角与斜率的关系： 3.直线方程的五种形式及适用的条件：4．(1) 两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d= (3)两平行线1:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=间的距离d= 例1：下列命题正确的有 :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②在G 轴、P 轴上截距相等的直线可表示为1x y a a+=③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线AG+BP+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式.⑥过两点(G 1，P 1)，(G 2，P 2)的所有直线可表示为112121()()()()y y x x y y x x --=-- 例2：(1) 已知直线的点斜式方程为)1(32+=+x y ，则该直线的斜率为______，纵截距为_____（2）已知直线l 经过两点12(1,2),(3,6)P P ,则直线l 的方程为 （3）一条光线经过点)3,2(-P 射到x 轴上，反射后经过点)1,1(Q ，求反射光线所在的直线的方程.例3：求经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程； 变式3：如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交G 、P 轴正半轴于A 、B 两点。
（1）当⊿AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；（2）当｜PA ｜·｜PB ｜取最小值时，求直线l 的方程。
例4：已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围. 巩固练习1.下列四个命题中的真命题是 （ ）A.经过定点),(000y x P 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示；B.过两个不同点),(),,(222111y x P y x P 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+by ax 表示；D.经过定点的直线都可以用b kx y +=表示 2．若)1,2(--A ,)3,(a B ,且|AB|=5,则a=( ) A.1B.5-C. 1或5-D.1-或53.已知集合M={(G,P )∣G + P =2}，N={(G,P )∣G –P =4},那么集合M∩N 为( )A. {3,–1}B. 3,–1C. (3,–1)D.{(3,–1)} 4．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y b x l b y a x l ≠≠≠=+-=+-在同一坐标系中的图形大致（ ）.60<c =通过（A C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限7.直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率是( ) A) －2B) －21 C) －2 D) －21 8.直线3G －2P=4的截距式方程为( ) A 、43x －2y =1 B 、12131=+yx C 、 43x －2-y =1 D 、1234=-+yx9．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）A ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m10．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.11.求两平行线0832:1=-+y x l ，01032:2=-+y x l 间的距离为A1212. 直线方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 在两轴上的截距相等，则a 的值 ；13.三角形的三个顶点(4,0)(0,2)A B C -、、（3，-3），则AB 边上中线所在直线的方程14.直线l 通过两直线02457=-+y x 和0-=y x 的交点，且点()1,5到l 的距离为10，则l 的方程为__________. 15.求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），且倾斜角等于直线P= 3G 的倾斜角的2倍.16.已知直线l 过点（1,2），且与G ，P 轴正半轴分别交于点A 、B （1）求△AOB 面积为4时l 的方程； （2）求l 在两轴上截距之和为+3时l 的方程。
三维直线方程的五种形式
三维直线方程的五种形式在数学中，三维直线是指具有三个坐标轴上的点的集合。
三维直线也是建立立体几何体系的基础，因为绝大多数物体都是由直线和曲线组成的。
本文将详细介绍三维直线方程的五种形式。
形式一：点向式点向式是求解三维直线方程最简单的方法之一。
它利用一个点和一个方向向量来表示直线。
不妨设三维空间中的直线为L，点为P，方向向量为V，则点向式可以表示为：L: P + tV其中，t是一个实数。
通过改变t的值，可以获得L上的所有点。
如果只想求得直线上的一个点，则可以取t=0。
形式二：参数式参数式是我们在学习二维平面直线的时候就已经了解的一种方法。
具体来说，参数式是通过一组参数方程来表示直线上的所有点。
设直线 L 的参数方程为x = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct则L可以表示为：L: (x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c其中，a、b、c均不为零。
参数式可以表示L上的所有点，但需要满足一个限制条件，即a、b、c不能同时为零。
形式三：标准式标准式是指利用两个点来表示直线的方程式。
设L过点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则L可以表示为：L: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z -z1)/(z2 - z1)标准式可以用来快速确定直线所在的位置。
然而，需要注意的是，标准式只有在点A和点B坐标都已知的情况下才适用。
形式四：一般式一般式是指将参数a、b、c以及点(x0,y0,z0)转换成系数A、B、C、D的式子。
具体来说，L的一般式可以表示成:Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C、D的计算公式如下：A = y1z2 - y2z1B = z1x2 - z2x1C = x1y2 - x2y1D = -A*x1 - B*y1 - C*z1利用一般式，可以将直线转换为平面，方便后续计算。
2.2.2直线方程的五种形式
理论迁移
例1 已知三角形的三个顶点 A（-5，0），B（3，-3），C（0， 2），求BC边所在直线的方程，以及 该边上中线所在直线的方程.
y C A o M x
B
例2 求经过点P(-5，4)，且在两 坐标轴上的截距相等的直线方程.
y
P o
x
思考3:能否用截距式方程表示直角坐标平面 内的所有直线?
知识探究（五）直线方程的一般式 思考1:直线的点斜式、斜截式、两点式、 截距式方程都是关于x，y的方程，这些 方程所属的类型是什么？ 一般式：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
思考2:能否用一般式方程表示直角坐标平面 内的所有直线? 思考3:当A，B，C分别为何值时，直线 Ax+By+C=0平行于x轴？平行于y轴？与x轴重 合？与y轴重合？过原点？
知识探究（一）直线的点斜式方程
思考1:已知两点坐标,斜率公式是什么？ 什么样的直线没有斜率？
y 2 y1 k (x1 x 2 ) x 2 x1
思考2:在直角坐标系中，斜率相等的直 线是一组平行线，再附加一个什么条 件，直线的位置就确定了？
思考3:已知直线l经过点P0(x0,y0)，且 斜率为k，设点P(x,y)是直线l上不同于 点P0的任意一点，那么x,y应满足什么 关系？ y y0 y l k x x0 P(x,y) y y k ( x x ) 0 0 P (x ,y )
思考2:设直线l经过两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则 直线l斜率是什么？结合点斜式直线l 的方程如何？
y2 y1 ( x x1 )写成 思考3:方程 y y1 x2 x1 y y1 x x1 比例式可化为 ，此方程叫 y2 y1 x2 x1
直线方程五种形式之
⑶如直线l过P1且平行于x轴，则它的斜率k=0，由点斜式 知方程为y=y0; 如果直线l过P1且平行于Y轴，此时它的 倾斜角是900，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜 式表示，但这时直线上任一点的横坐标x都等于P1的横坐 标所以方程为x=x1
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应用：
例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这
3
）
（C）y－2= 3 （x＋ ②已知直线方程y3－3= 3
2 ）（D）y－2=3 （x＋2 ）
（x－4），则这条直线经过的已知
点，倾斜角分别是
（A）（4，3）；π/ 3
（B）（－3，－4）；π/ 6
（C）（4，3）；π/ 6
（D）（－4，－3）；π/ 3
③直线方程可表示成点斜式方程的条件是
（A）直线的斜率存在
O
x
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②直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，b），求 求这条直线的方程。
代入点斜式方程，得l的直线方程：y - b =k （ x - 0）
Байду номын сангаас
即
y = kx + b。
(2)
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例3：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
解：由已知得k =5， b= 4，代入斜截式方程 y= 5x + 4 即5 x - y + 4 = 0
4
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例5：求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点（1，2）代入点斜式方程得
y- 2 = x - 1 或y－２＝－（ｘ－１）
即ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－１＝0
直线方程
直线方程直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 （一）点斜式：已知点A ),(00y x ，斜率k ，则k=),(0x xy x x y ≠--直线方程为)(00x yx k y -=-（二）斜截式：已知斜率k ，直线经过点A （0，b ）即y 轴上的截距为b ， 直线方程为y=kx+b（三）两点式：已知两个点),(),,(2211y x y x B A 且xx 21≠，)(112121x yy yx y ---=-，直线方程为x x x yy y x y 121121--=--（四）截距式：过（a ，0），（0，b ）即直线在x 、y 轴的截距分别为a ，b （a ≠0，b ≠0），直线方程为1bya x =+（五）一般式：Ax+By+C=0(A ，B 不全为0) k=BA-点斜式例1求过点（2,1）的倾斜角α满足54cos =α的直线方程练习 1.直线经过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，求直线方程2.直线经过点（-1,1）且斜率是直线222-=x y 的斜率的2倍，求直线方程3.已知一条直线与y 轴交于点（0,2），它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的直线方程例2已知过一点（-4,3）的直线，与两坐标轴围城的三角形的面积为3，求这条直线的直线方程练习1.已知直线的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线的方程2.直线的倾斜角为45度，且过点（4，-1），则这条直线被坐标轴所截得的线段长是例3求过点（2，-1）且倾斜角为直线x-3y+4=0的倾斜角的2倍的直线方程练习1.求过点（2，-1）且倾斜角是直线4x-3y+4=0的倾斜角的一半的直线方程斜截式例4已知直线0322=++y x ，求直线的斜率及直线在y 轴的截距练习1.方程aax y 1+=表示的直线可能为下图中的（ ）A ． B. C.例5求经过点P（3,2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程练习1. 直线2x-3y+6=0在x，y两轴的截距分别为2.求经过（2，-1），在坐标轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b的直线方程3.经过点A（1,4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有多少条？4.直线经过（-2,3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线方程两点式例6已知直线经过（1,1）和（m，2）两点，求直线方程练习1.已知三角形三个顶点的坐标为A（-3,0）B(2,1)C(-2,3)（1）求BC边所在的直线方程（2）求BC边上的中线AD所在的直线方程（3）求BC边上的垂直平分线DE的方程例7（1）当a为何值时，直线x+2ay+1=0和直线（3a-1）x-ay+1=0平行？（2）当a为何值时，直线l1：（a+2）x+(1-a)y-1=0与直线l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？例8已知直线kx-y+1+2k=0（k为实数）（1）求证直线恒过定点（2）若直线与x轴负半轴交于点A，交于y轴正半轴于点B，三角形AOB 的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线的方程练习1.直线x+2ay-1=0与直线（a-1）x-ay+1=0平行，则a的值为2.已知直线l1的倾斜角为43 ，直线l1经过点A（3,2）和B（a，-1），且直线l1与直线l垂直，直线l2：2x+by+1=0有直线l1平行，则a+b的值为3.直线x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是4.已知直线的方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0（1）求证直线过定点（2）若直线分别与x，y轴的负半轴交于A，B两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程平行直线系和垂直直线系与Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+c1=0(C≠c1)与Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+c1=0A.y=-2x+4B.y=x+4C.y=-2x-D.y=x-A.2B.C.-2D.--2 D.( ) A.- B.1 C.1- D.-1一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解，熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.。
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程的五种形式，从不同的侧面反映了直线的几何与数量特性.由于它们有各自不同的适用范畴和隐性约束，因此，我们在根据条件求直线方程时，要特别注意不同形式直线方程的适用性，千万不要漏掉了特殊情形.【直线方程的五种基本形式】①点斜式方程：y-y0=k(x-x0).适用于点P(x0，y0)和斜率k为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴的直线.当斜率不存在时，直线方程应为x=x0.②斜截式方程：y=kx+b.适用于点(0，b)和斜率k为已知.其中b叫做直线l在y轴上的截距.截距不是距离，它可以取任意实数.斜截式是点斜式过点(0，b)时的特例. 此种形式也不包含垂直于x轴的直线.③两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2，y1≠y2).适用于两点(x1，y1)，(x2，y2)的坐标为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴的直线.③截矩式：xa +yb=1.适用于直线l与x轴、y轴的交点(a，0)和(0，b)为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴及过原点的直线.③一般式：Ax+By+c=0 (A，B不全为0).例1(1)设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足( ).A.a+b=1.B.a-b=1.C.a+b=0.D.a-b=0.(2)已知ab<0，bc<0.则直线ax+by=c通过( ).A.第一，二，三象限.B.第一，二，四象限.C.第一，三，四象限.D.第二，三，四象限.(3)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足( ).A.m≠0.B.m≠−32. C. m≠1. D. m≠1且m≠−32.解:(1)③ 直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0③ k=tanα=-1，又③直线ax+by+c=0的斜率为k= −ab，③ a-b=0. 故应选D.(2)将直线ax+by=c化为截距式y= −ab x+cb，③ ab<0，bc<0，③ 此直线的斜率k>0,在y轴上的截距为负，故应选C.(3)要方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则必须满足m2+m-3与m2-m不能同时为0. ③ m≠1. 故应选C.例2.(1)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.(2)已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求l的方程.解:(1)当截距为0时，设y=kx，过点A(1，2)，则得k=2，即y=2x；当截距不为0时，设x+y=a或x-y=a.将点A(1，2)代入所设方程中，得a=3，或a= -1，故这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.(2)由已知可设直线l的方程为xa +y−4=1.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，③ 12|a ||−4|=8，解得a=±4，故x -y -4=0或x+y+4=0为所求.想一想①：1.过点(1，5)且在两轴上截距相等的直线有几条？分别是怎样的？2.求在x 轴上的截距为1，且倾斜角的正弦为45的直线方程.3.过点A(-5，-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．说明：求满足一定条件的直线方程时，若条件中含有“在两坐标轴上的截距相等、互为相反数、绝对值相等或与两坐标轴围成的三角形面积有关”时，均可将直线方程设为截距式，且不要忽略了特例——过原点的直线y=kx.例3(1)已知两点A(3，0)、B(0，4)，动点P 在线段AB 上运动，求xy 的最大值.(2)过点P(4，3)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l 的方程.解:(1)设线段AB 所对应的直线方程为x a +yb =1，∵ 点A 、B 在其上， ∴ x3+y4=1 (x>0，y>0).由均值不等式可得1≥2√xy 12,⇒xy ≤3.∴ (xy)max =3.(2)设直线l 的方程为xa +yb =1，∵ 直线l 过点P(4，3)，∴ 4a +3b =1. 又∵ (a+b)(4a +3b)=7+4b a+3a b≥7+4√3，∴ (a+b)max =7+4√3.当且仅当{4b a=3ab,4a +3b=1,即{a =4+2√3,b =3+2√3.时|OA|+|OB|最小. 此时直线l 的方程为√3x +2y −6=0.例4.(1)若方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则m= ． (2)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ).A.两条直线.B.两条射线.C.两条线段.D.一条直线和一条射线. 解:(1)法1.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则关于x 的一元二次方程：x 2+2x+(-my 2+2y)=0根的判别式4842+-=∆y my 一定是完全平方式， ③ .1,06482=⇒=-=∆'m m法2.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，③x 2-my 2+2x+2y ))((b my x a y x +++-≡.即x 2-my 2+2x+2y=x 2-my 2+(m -1)xy+(a+b)x+(am -b)y+ab=0，比较对应项的系数可得，m=1，a=2，b=0.(2)∵ (2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，∴ {2x +3y −1=0,√x −3有意义,或√x −3−1=0.解得2x+3y -1=0(x≥3)或x=4，故应选D.想一想①：1.过点P(2，1)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，求当|PA||PB|最 小时直线l 的方程.2.方程x 2-xy -2y 2+x+y=0表示的两条直线方程分别是 .习题3.2.1.已知集合M={(x ，y)|123+=--a x y }，N={(x ，y)|y -3=(a+1)(x -2)}.则有( ).A.M=N.B.M③N=M.C. M∩N=ND.M ⊆N. 2.若方程x+y -4√x +y +2m=0表示一条直线，则实数m 满足( ) ． A.m=0. B.m=2. C.m=2或m ＜0.D.m≥2.3.直线l 与两直线y=1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，-1)，则直线l 的斜率为( ).A.32. B. 23. C.− 32. D.−23.4.一直线过点M(-3，4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_ .5.已知关于x ，y 的方程x 2-4xy+my 2-x+(3m -10)y -2=0表示两条直线，则m= ．6.当a 为何值时，直线(a -1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上的截距相等.7.把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a ≤c ≤b ， 证明：f(c)≈f (a )+c−ab−a [f (b )−f(a)].8.求经过点A(-2，2) 被两坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.【参考答案】想一想①：1.两条；5x-y=0，x+y-6=0.2.4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.3.2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.想一想①：1.x+y-3=0.如图D4.2—1.设∠BAO=θ,θ∈(0,π2).则|PA|=1sinθ,|PB|=2cos θ,⇒|PA||PB|=4sin2θ,当且仅当θ=π4,即k=-1时，|PA||PB|取得最小值4.2.x+y=0或x-2y+1=0.习题3.2.1.D.2.C.令√x+y=t，则问题转换为t2-4t+2m=0的两根相等且非负，或有一正根和一负根.3.A.4.4x-y+16=0或x+3y-9=0.5.3或4.6.若直线过原点，则a=0；直线不过原点，则a=2.7.A，B，C三点共线，∴k AC=k AB, 即y c−f(a)c−a =f(b)−f(a)b−a,∴y c−f(a)=c−ab−a [f(b)−f(a)], 即y c=f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)],∴f(c)≈f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)].8. x+3y-2=0或2x+y+2=0.x yO ABP(2.1)图D3.2—1。
直线方程与直线间的关系.docx
直线方程与直线间的关系一、直线方程的五种形式：点斜式方程是 __________ ;不能表示的直线为______________斜截式方程为 ____________ :不能表示的直线为 ______________两点式方程为 ____________ ;不能表示的直线为 ______________截距式方程为 ____________ ;不能表示的直线为 ______________与X轴垂直的直线方程 ______ ；与X轴平行的直线方程______________般式方程为 ______________ .适用范围： ________________二、几种特殊直线的方程：①__________________________________________ 已知直线的纵截距为b,可设其方程为 ______________________________________ ;③已知直线的横截距为Q,可设其方程为_____________ ；④过原点的直线冃斜率是k的直线方程为____________ o三、两条直线的平行与垂直关系（分斜率存在与不存在两种情况讨论）①若两条不重合的直线的斜率都不存在，则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.②已知直线厶:y = k}x + b}, /2: y = k1x-i rb1,若厶，与厶相交，则 _____ ；若人丄匚，则 _________若/, // /2,则_________ ；若厶与厶重合，则___________若两直线的方程是一般式，上而位置关系如何描述：四、有关距离问题1.几个公式①已知两点人（州,）［）,笃（兀2，九），则丨片马I二____②设点A（x0,儿），直线l:Ax + By + C = 0,点A到直线/的距离为d = __________③设直线厶：Ar + By + C = 0, 12: Ax +By+ C = 0（C C f\则厶与厶间的距离d= _______________2、点到几种特殊直线的距离①点P（x0,儿）到x轴的距离_____ ②点P（x0,儿）到y轴的距离______③点戶（心,y（））到与x轴平行的直线y=a的距离___ ④点P（x0, y（））到与y轴平行的直线x=b的距离五、直线系①与直线山+ 〃y + C = O平行的直线系方程为_______________ ;②与直线Ax + By + C = 0垂直的直线系方程为_______________ ；③过两直线厶：％x + b/+ C[ =0,厶\a2x + b2y + c2 =0的交点的直线系方程为 ___ 已知直线A :ox + 2y + 6 = 0和直线厶：x + (o-l)y+ / -1 = 0 , (1)试判断厶与厶是否平行；(2)厶丄厶时，求a的值。
【原创】2.2直线的方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义
2.2 直线的方程1、直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b与x 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式 过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线2、直线与x 轴的交点),(0a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，与y 轴的交点),(b 0的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。
截距不是距离3、两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0).4、两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.知识梳理题型一 直线方程例 1 求适合下列条件的直线方程：()1经过点()1,3A --，倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍； ()2经过点()3,4B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）3330x y -+-=（2）10x y -+=或70.x y +-= 【分析】（1）根据倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线． （2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为±1. 【详解】 （1）已知3tan =α，22tan tan 231tan k ααα===- 直线方程为33(1)y x +=+化简得3330x y -+-= （2）由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点()3,4，由点斜式得()43y x -=±-， 所求直线的方程为10x y -+=或70.x y +-=求下列直线方程：(1)求过点()1,3A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程. (2)求经过点()5,2A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. (3)求过()2,1A ，(),3B m 两点的直线l 的方程.知识典例巩固练习【答案】（1）43130x y +-=；（2）250x y +=或210x y ++=；（3）2(2)60x m y m --+-=. 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解； （3）按照2m =、2m ≠分类，结合两点式方程即可得解. 【详解】（1）设所求直线的斜率为k ，依题意14433k =-⨯=-， 又直线经过点(1,3)A ，∴所求直线方程为43(1)3y x -=--，即43130x y +-=； （2）当直线不过原点时，设所求直线方程为12x ya a+=， 将(5,2)-代入可得5212a a -+=，解得12a =-， ∴直线方程为210x y ++=；当直线过原点时，设直线方程为y kx =， 则52k -=，解得25k =-， ∴直线方程为25y x =-，即250x y +=； 故所求直线方程为250x y +=或210x y ++=； （3）①当2m =时，直线l 的方程为2x =； ②当2m ≠时，直线l 的方程为12312y x m --=--，即2(2)60x m y m --+-=， ∵2m =时，代入方程2(2)60x m y m --+-=，即为2x =， ∴直线l 的方程为2(2)60x m y m --+-=.题型二 截距例 2 已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】21 【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积. 【详解】令0x =可得1y =-； 令0y =可得1x =， 故所求三角形的面积为111122⨯⨯=题型三 两直线位置关系例 3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求下列直线l ′的方程，l ′满足： （1）过点(－1,3)，且与l 平行； （2）过点(－1,3)，且与l 垂直；【答案】(1)3x ＋4y －9＝0; （2）4x -3y +13＝0.巩固练习（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解. 【详解】(1)∵l ∥l ′，∴l ′的斜率为－34∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. （2）l ′的斜率为43， ∴直线l′的方程为：y －3＝43(x ＋1)，即4x-3y+13＝0.已知点()4,2P －和直线370l x y --=：．求： (1)过点P 与直线l 平行的直线方程； (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程．【答案】（1）3140x y -+=； （2）320x y +-=. 【分析】(1) 由所求直线与直线l 平行，先设所求直线的方程是30x y m -+=，再将点P 坐标代入即可求出结果； (2)由所求直线与直线l 垂直，先设出所求直线方程为30x y n ++=，再将点P 坐标代入即可求出结果. 【详解】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-，点()4,2P －在直线上，()342m 0∴⨯-+－＝，m 14∴=，即所求直线方程是3140x y -+=．(2)设所求直线的方程是30x y n ++=，点()4,2P －在直线上， ∴432n 0+⨯+=－，巩固练习n 2∴=－，即所求直线方程是320x y +-=．题型四 中线所在的直线例 4 已知ABC 的三个顶点分别为()2,8A ，()4,0B -，()6,0C ，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线方程为（ ）． A ．240x y -+= B ．240x y ++= C ．240x y +-= D ．240x y -+=【答案】D 【分析】由中点坐标公式先求,A C 的中点坐标为()44D ,，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由()2,8A ，()6,0C，则,A C 的中点坐标为()44D ,，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线过点()44D ,， 则所求直线方程为40(4)4(4)y x -=+--，即 240x y -+=， 故选D.已知ABC 的三个顶点(1,1)A ，(2,0)B ，(4,4)C .（1）求AB 边所在直线的方程；巩固练习（2）求BC 边上中线所在直线的方程. 【答案】（1）20x y +-= （2）210x y -+= 【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出BC 中点D 的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可. 【详解】（1）因为(1,1)A ，(2,0)B ，由直线的两点式方程可得：AB 边所在直线的方程021012y x --=--， 化简可得20x y +-=； （2）由(2,0)B ，(4,4)C ， 则BC 中点2404(,)22D ++，即(3,2)D ， 则BC 边上中线AD 所在直线的方程为231213y x --=--， 化简可得210x y -+=.题型五 定点问题例 5 直线方程kx －y +2－3k =0恒过定点（ ） A ．（3，2） B ．（2，3）C ．（－3，2）D ．（－2，3）【答案】A 【分析】将直线方程kx －y +2－3 k =0，转化为()320k x y --+= 求解. 【详解】因为直线方程kx －y +2－3 k =0， 即为()320k x y --+=所以3020x y -=⎧⎨-+=⎩ ，解得32 xy=⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点（3，2）.故选：A直线kx－y＋1－3k＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点【答案】),(13【解析】【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组3010xy-=⎧⎨-=⎩即得直线所经过的定点.【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以3010xy-=⎧⎨-=⎩，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.题型六对称问题例6已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋3)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程．【答案】x＋3y－(1＋3)＝0【分析】根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线l的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线y＝x（过Q与直线l垂直的直线）的对称点P′(3＋1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求．【详解】如图，设入射光线与l交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，巩固练习由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－3 ， 又入射光线过点P(0,1＋3)，∴入射光线所在的直线方程为()133y x -+=－， 即3x ＋y －(1＋3)＝0．解方程组()313020x y x y ⎧+-+=⎪⎨+-=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩,所以点Q 的坐标为(1,1)． 过点Q 作垂直于l 的直线l′， 显然l′的方程为y ＝x ．由反射原理知，点P(0,1＋3)关于l′的对称点P′(3＋1,0)必在反射光线所在的直线上． 所以反射光线所在直线P Q '的方程为0(31)101(31)y x --+=--+， 即x ＋3y －(1＋3)＝0．一束光线从0(1)A ，点处射到y 轴上一点(0)B ，2后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A ．220x y +-= B ．220x y -+= C ．220x yD ．220x y +-=【答案】B 【分析】由反射定律得点A 关于y 轴的对称点，又因为B 点也在直线上，根据截距式可得直线方程． 【详解】由题得点(1,0)A 关于y 轴的对称点(1,0)A '-在反射光线所在的直线上，再根据点(0,2)B 也在反射光线所巩固练习在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为112x y+=-，即220x y -+=，故选B.1、若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B 【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =. 故答案为B.2、经过点（3-，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A ．23)y x +=-B ．2(3)3y x -=+ C ．23)y x -=+ D ．23)3y x +=- 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点()32-，，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可 【详解】由直线的倾斜角为60︒，得到直线的斜率tan60k =︒=又直线过点()32-，则直线的方程为)23y x -=+ 故选C3、设直线53150x y +-=在x 轴上截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）巩固提升A ．5,3a b ==B ．3,5a b ==C ．3,5a b =-=D ．3,5a b =-=-【答案】B【分析】 由截距的定义，分别求出直线在x 轴和y 轴的截距即可.【详解】由直线53150x y +-=令0,3y x ==令0,5x y ==即3,5a b ==故选B4、下面说法正确的是（ ）.A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示【答案】D【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1x y a b+=表示，所以B 错； 经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错；当12x x ≠时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程()211121y y y y x x x x --=--，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，当12x x =时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程1x x =，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对；故选：D5、若直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，则k =( )A ．3-或1-B ．3或1C ．3-或1D ．1-或3【答案】C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，所以(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，解方程可得1k =或3k =-，故选C.6、（多选）下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【答案】ABD【分析】将方程化为点斜式，即可判断A ；令0x =，得出在y 轴上的截距，进而判断B ；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C ；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D .【详解】 32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确； 310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD7、若直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m 的取值范围为________．【答案】2m ≥，或2m ≤-【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：令0x =,得2y m =，令0y =,得2x m =-，由直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则2216m m ⨯-≥，解得2m ≥或2m ≤-，故实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.8、倾斜角为直线31y x =-+的倾斜角的一半且经过点(4,1)-的直线方程为_____．【答案】13(4)y x -=+【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．【详解】直线y ＝－x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为)134y x -=+9、已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点__________【答案】21(,)77.【分析】利用（ax+by+c ）+λ（mx+ny+p ）=0 过定点即ax+by+c =0和mx+ny+p =0的交点，解方程组求得定点的坐标．【详解】直线（3k ﹣1）x +（k+2）y ﹣k=0即﹣x +2y+k （3x+y ﹣1）=0， 由20310x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得 x=27，y=17， 故定点的坐标为（27，17）， 故答案为：（27，17）．10、直线320x y k -+=在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k =______.【答案】12【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于k 的方程，解方程后可得实数k 的值.【详解】令0x =，则2k y =；令0y =，则3k x =-， 故223k k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12k =. 故答案为：12.11、设光线l 从点(A -出发，经过x 轴反射后经过点0,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则光线l 与x 轴交点的横坐标为______，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为______．【答案】()1,0-【分析】首先，根据光线从点(A -射向x 轴，得到其关于x 轴的对称点(4,A '-，然后根据反射光线的反向延长线经过(4,A '-和B ⎛⎝⎭，得到直线A B '，即得光线与x 轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过()1,0-，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.【详解】点(A -关于x轴的对称点为(4,A '-，则直线A B ':33y x =+ 与x 轴交于点(1,0)- ，所以光线与x 轴的交点为()1,0-;由入射角是60,得折射角是30，且光线经过(1,0)-,得出折射光线所在直线方程为y =12、根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点()2,1且与直线230x y +=平行；（2）与直线y x =垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4-.【答案】（1）2370x y +-=（2）20x y ++=【分析】（1）根据平行关系可设直线为：230x y c ++=，代入点()2,1可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.【详解】（1）设所求直线方程为：230x y c ++=则430c ++= 7c ∴=-∴所求直线方程为：2370x y +-=（2）设直线方程为：1x y a b+= 由题意可得：41a b b a+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：22a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求直线方程为：122x y +=--，即：20x y ++=。
直线方程
3。已知直线ax y 2 a 0在x轴和y轴上的截距相等 ，则a的值为（） A.1 B.-1 C.-1或-2 D.-2或1
求适合下列条件的直线方程：
1 (1)过点 A(－1,－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－ ； 4
(2)经过点P(3,
2),且在两坐标轴上的截距相等；
(3)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程
别求满足下列条件的直线 l 的方程： 1 (1)过定点 A(－3,4)；(2)斜率为 . 6
8.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分
3 (4)过点 A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是 ； 5 (5)过点 A(2,1),它的倾斜角是直线 l1:3x＋4y＋5＝0 的倾斜角的一半; (6)过点 A(2,1)和直线 x－2y－3＝0 与 2x－3y－2＝0 的交点．
9. 1 直线mx y 2m 1 0过定点（）
2 直线kx 2k y 2 0恒多定点（）
要点梳理
忆一忆知识要点
2 . 直线方程的五种形式
方程
点斜式
斜截式 两点式
适用范围
y－y0=k(x－x0) 不垂直于x 轴的直线 y = kx + b
y y1 x x1 y 2 y1 x 2 x 1
不垂直于x 轴的直线 不垂直于坐标轴的直线
不垂直于坐标轴且 截距式 不过原点的直线 一般式 Ax + By + C = 0 任何直线(|A|+|B|≠0)
x y 1 a b
1．(2011· 龙岩月考)已知直线l经过点P(－2,5)，
3 且斜率为 4 .则直线l的方程为(
直线方程公式
直线方程公式直线方程是一种表达直线位置的方式，根据直线的特征不同，可以求出各种形式的直线方程。
本文将介绍直线方程的一些公式和推导过程。
一、一般式直线方程一般式直线方程是一条直线在平面直角坐标系中的一般表达式，形式为Ax+By+c=0 （其中A、B、C为实数，且A和B不同时为零），是求解直线方程的一种基本形式。
公式推导过程：设过点（x1，y1）和（x2，y2）的直线方程为 Ax+By+C=0由于点（x1，y1）在直线上，所以有：Ax1+By1+C=0同理，另一个点（x2，y2）也在直线上，所以有：Ax2+By2+C=0将上面两个式子联立，得到：Ax1+By1+C=Ax2+By2+C移项可得：Ax1+By1-Ax2-By2=0即 A(x1-x2)+B(y1-y2)=0这个式子可以进一步化简，得到一般式直线方程：Ax+By+C=0其中，A=(y2-y1)，B=(x1-x2)，C=(x2y1-x1y2)二、点斜式直线方程点斜式是直线方程的一种简单表达形式，针对一条直线上已知一点和该点处直线的斜率，我们可以使用点斜式求解直线方程。
公式推导过程：设过（x1，y1）的直线斜率为k，则该直线方程可以表示为：y-y1=k(x-x1)将等式两边展开并整理，可得点斜式直线方程：y-kx+(kx1-y1)=0化简得y=kx+(y1-kx1)三、截距式直线方程截距式是直线方程的另一种常见形式，它以直线在x和y轴上的截距为基础来进行表达。
公式推导过程：假设一条直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b，斜率为k，那么它的一般式方程可以表示为：y=kx+b当x=0时，y=b，故截距b为该直线在y轴上的截距；当y=0时，x=-b/k，故截距a为该直线在x轴上的截距。
所以，截距式直线方程可以表示为：y=kx+b （或 x=a/b*y-a，y=b/a*x-b）其中a和b为x轴和y轴上直线截距。
四、斜截式直线方程针对一条直线已知斜率k和截距b的情况，我们可以使用斜截式公式快速求解直线方程。
直线方程的五种形式是什么 包括哪五种
直线方程的五种形式是什么包括哪五种
直线方程主要包括一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式五种，详细形式如下，一起来看吧！
直线方程的五种形式
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y －y0＝k(x－x0)。
2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
直线方程相关学问点
求对称图形
⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)
⑴点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：
( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )
⑴直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-2x0)-b
⑴直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法
求对称轴
⑴两点的对称点：①求中点坐标
⑴两点的对称轴：①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式
⑴两条平行线的对称轴：①设P（x,y）在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)
⑴两条相交且不垂直的直线的对称轴：①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点④点斜式。
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2：一条直线经过点A（0，5），倾斜角为00， ），倾斜角为 例2：一条直线经过点A（0，5），倾斜角为00，求这直线 方程 y
解：这条直线经过点A（0，5） 斜率是k=tan00=0 代入点斜式，得 y - 5 = 0 O x 5
②直线的斜截式方程： 直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是 ， 轴的交点是P（ ， ）， ），求 已知直线 的斜率是k，与y轴的交点是 （0，b），求 的斜率是 轴的交点是 求这条直线的方程。 求这条直线的方程。 代入点斜式方程， 的直线方程 的直线方程： 代入点斜式方程，得l的直线方程：y - b =k （ x - 0） ） 即 y = kx + b。 (2)
3
BP95
㈣总结： ①直线的点斜式，斜截式方程在 直线斜率存在时才可以应用。 ②直线方程的最后形式应表示成 二元一次方程的一般形式。
③两种形式都有限制条件
直线方程的五种形式之： 直线方程的五种形式之： 点斜式方程和 斜截式方程
新课： 新课： 1、直线的点斜式方程：
已知直线l经过已知点 ），并且它的斜率是 并且它的斜率是k 已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是 求直线l的方程 的方程。 求直线 的方程。 设点P（ ， ）是直线l上 设点 （x，y）是直线 上 不同于P 的任意一点。 不同于 1的任意一点。 l 根据经过两点的直线斜率 y P 公式， 公式，得
k
=
可化为
y y 1 = k (x x 1 )
y y1 x x1
. .
P1
O
x
由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直 由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程， 线的点斜式方程。 线的点斜式方程。
小结： 小结： 为直线上的任意一点， ⑴P为直线上的任意一点，它的 为直线上的任意一点 位置与方程无关 直线上任意一点P与这条直线上 直线上任意一点 与这条直线上 一个定点P 所确定的斜率都相等。 一个定点 1所确定的斜率都相等。
∴ k
L
=
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) ,即 2x + y －1 = 0
5 ( 5 2 3
)
= 2
㈢巩固： 巩固： 经过点（ ①经过点（- 2，2）倾斜角是 0的直线的方程是 ）倾斜角是30 （A）y＋ 2 = 3 （ x－2） （B）y+2= 3 （x－ 2 ） ） ＋ － ） ） － 3 （C）y－2= ） － （x＋ 2）（D）y－2= 3 x＋ 2） ＋ ）（ ） － （ ＋ 3 已知直线方程y－ ），则这条直线经过的已知 ②已知直线方程 －3= 3（x－4），则这条直线经过的已知 － ）， 点，倾斜角分别是 ）（4， ）； ）；π/ ）（－3，－ ）；π/ （A）（ ，3）； 3 ）（ （B）（－ ，－ ）； 6 ）（－ ，－4）； ）（4， ）； ）；π/ ）（－4，－ ）；π/ （C）（ ，3）； 6 ）（ （D）（－ ，－ ）； 3 ）（－ ，－3）； ③直线方程可表示成点斜式方程的条件是 （A）直线的斜率存在 ） （B）直线的斜率不存在 ） （C）直线不过原点 ） （D）不同于上述答案 ）
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点（1，2）代入点斜式方程得 y- 2 = x - 1 或y－２＝－（ｘ－１） 即ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－１＝0
例6：已知直线 过A（3，-5）和B（-2，5），求直 ），求直 ：已知直线l过 （ ， ） （ ， ）， 线l的方程 的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
y
° °P ° ° ° ° ° ° ° P1
° O x ° ° 点与P 此时满足y-y （ ⑵当P点与 1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足 1=k（x 点与 重合时， -x1），所以直线 上所有点的坐标都满足 1=k（x-x1）， ），所以直线 上所有点的坐标都满足y-y （ 所以直线l上所有点的坐标都满足 而不在直线l上的点 显然不满足（ 上的点， 而不在直线 上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即 （ 即 不满足y-y （ ），因此 因此y-y （ 是直线l的方程 的方程。 不满足 1=k（x-x1），因此 1=k（x-x1）是直线 的方程。 ⑶如直线l过P1且平行于 轴，则它的斜率 如直线 过 且平行于x轴 则它的斜率k=0，由点斜式 ， 知方程为y=y0; 如果直线 过P1且平行于 轴，此时它的 知方程为 如果直线l过 且平行于Y轴 倾斜角是90 而它的斜率不存在， 倾斜角是 0，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜 式表示，但这时直线上任一点的横坐标x都等于 都等于P 式表示，但这时直线上任一点的横坐标 都等于 1的横坐 标所以方程为x=x1 标所以方程为
应用： 应用： ），倾斜角 例1：一条直线经过点 1（-2，3），倾斜角 ：一条直线经过点P ， ），倾斜角α=450，求这 yபைடு நூலகம்条直线的方程，并画出图形。 条直线的方程，并画出图形。
解：这条直线经过点P1（-2，3）， 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y－3 = x + 2， 即x－y + 5 = 0 P1 ° ° 5 x ° -5 O
轴上的截距是4的直线方程 例3：斜率是 ，在y轴上的截距是 的直线方程。 ：斜率是5， 轴上的截距是 的直线方程。
解：由已知得k =5， b= 4，代入斜截式方程 y= 5x + 4 即5 x - y + 4 = 0
4
例5：求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角 ：求过点（ ， ） 三角形的直线方程。 三角形的直线方程。