用空间向量求直线与平面所成的角

O

2
P

n
思考：
设平面 的法向量为 n 则
n

A

O
n, AP 与 的关系？
n



2
- n, AP


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结论：
sin cos n, AP
n
n, AP -

2
例：正方体 ABCD A B C D
角的正弦值。
1 1 1 1
在立体几何中涉及的角有异面直线所成的 角、直线与平面所成的角、二面角等。用几何 法求这些角，需要经过“找（作）”、“证”、 “算” 等步骤，过程较为繁琐，若归结为求两 个向量的夹角问题，可将问题简单化。本节课， 我们主要探讨“直线与平面所成的角”也即 “线面角” 的求法。
C1
D
A 设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z ) B 则n AB1 0， n AC 0 x z 0 所以 ，取x = 1， x x y 0 0 1 0 3 得y = z = -1，故n = (1， -1， -1)， cos n， B1C1 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
y
C
向量法求线面角的一般步骤
(1) 恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，直线的方向 向量的坐标及平面的法向量的坐标；
(3)求直线的方向向量与平面的法向量的夹 角的余弦值； (4)取步骤(3)中两向量夹角的余弦值的绝 对值，其对应于线面角的正弦值；
(5) 根据题意，转化为几何结论.
的棱长为1. 求直线 B1C1 与平面 AB1C 所成
z
A1 B1
D1
解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz ， ，， 0) C1 (111) A(0， 0，， 0) B1 (1 ， ，， ， 0，， 1) C (11 则B1C1 (0， 1 ，， 0) AB1 (101) ， ，， AC (110) ， ，
一条直线 l 与一个平面 相交但不垂直，这条直线 叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点 A 叫做斜足， 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO ，过垂足和斜 足的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条 斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角。 l 特别地，若 l ,则 P l 与 所成的角是直角，若 l // 或 l ，则 l 与 所 成的角是零角。 0, A 斜线与平面所成角的范围：