哈工大断裂力学讲义(第三章)
第三章 第一部分 断裂分类及微观机制
•世界载人航天史上的悲剧 ——“挑战者”号航天飞机升空失事
1986年 1月28日，“挑 战者”号第10次飞行中， 升空73秒后起火爆炸。 造成直接经济损失近20亿 美元，7名航天员死亡， 航天飞机飞行被迫中断近 2年，直到1988年9月29日 才恢复“发现号”的飞行。
事故原因：“挑战者”号右侧助推火箭连接处的 O形 密封圈在火箭点火后破裂，燃烧火焰热流外逸，波及 燃料箱，引起爆炸。
2011 年 7 月 14 日上午 8 点 50 分左右， 福建武夷山市的武夷山公馆大桥北 端发生垮塌事故，牌号为闽 H30953 的一辆旅游大巴车坠入桥 下，当场造成1人死亡，22人受伤
2011年7月15号，通车仅14 年的杭州钱江三桥引桥坍塌。
2011年7月19号，零点40分，一辆重 达160吨的严重超载货车，通过北京 市宝山寺白河桥时，造成桥梁塌毁。
• 脆性断裂
——在断裂前几乎不产生明显的宏观塑性变形或塑性 变形量极小，难以察觉，断裂突然发生，而且有时伴随 产生大量碎片，其危害性极大，经常导致灾难性的后果。
80℃
-30℃
此种分类方法只具有相对意义：
• 同一种材料，条件改变（如应力、温度、环境等变 化），其变形量也可能发生显著的变化； • 在某些情况下，宏观范围内是脆性断裂，但在局部 范围或微观范围内却存在着大量的塑性变形。
断口上观察到韧窝并不意味该材料发生了韧性断裂 ——韧窝的存在，只说明材料在局部微小区域内曾发生过剪切 变形，变形可能只局限于断裂路径所经过的很小体积内，即断 口两侧的微观区域内，至于在宏观区域内材料是否表现为有很 大的塑性并不能由此而定。 沿晶断裂的断口表面 上虽然存在微观塑性变形 所形成的韧窝，但是宏观 表现仍然为脆性断裂。
2、微孔聚合型断裂的裂纹长大 ——微孔形成后，依靠第二相粒子周围金属的塑性变形而长大。
断裂力学第三讲断裂力学理论
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )
断裂力学IIIIII裂尖场
V a
1 F2 2
c a
临界应变能释放率：
Gcr
1 2
Fc2r b
c a
工程断裂问题与材料断裂韧性
材料的断裂韧性 KIC
临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。 是一个材料常数。
断裂准则：
当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度 因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全； 反之，裂纹扩展，构件不安全。
是描述裂尖场强度的参数。
线弹性裂尖场特点
④ 裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅
与角 有关，而与r 无关，对于同一种变形模
式，角分布函数是相同的。所以，无论构件 的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何，裂尖场 都是相同的。
对于一般的二维平面裂纹情况，裂纹尖端场是Ⅰ型和Ⅱ型K场的 线性叠加。而对于三维裂纹，裂纹前缘任意一点的奇异场，都
K与G之间有简单的换算关系
平面应力
GI
1
0
KI
2π
4(1
E
2
)
KI
2π
d
12
E
K
2 I
GI
K
2 I
E
KI EGI
KI
EG I
12
线弹性断裂力学
K I ——I型裂纹的应力强度因子
K
——II型裂纹的应力强度因子
z
K II
2
r
sin
2
1
sin
2
sin
3
2
zy
KIII cos 2 r 2
zy
工程断裂力学课件3弹塑性断裂力学(EPFM)简要
第三章弹塑性断裂力学（EPFM）简要§3-1 Dugdale方法（D－M模型）§3-2 裂纹尖端张开位移CTOD（COD）定义及准则§3-3 COD 与K1的一致性§3-4 COD准则的应用34COD§3-5 J 积分的定义及守恒性§3-5-1 J 积分的定义§3-5-2 J 积分的守恒性§3-6 线弹性条件下J 与K的关系§3-7 在弹塑性条件下J 与CTOD的关系常见的定义有以下几种：（1）弹塑性交界线与裂纹表面的交界点处的张开位移看作CTOD。
对D－M模型描述的裂纹，经Paris等人的工作，Well 在1965年用大量试验得出，可以用裂纹尖端的CTOD （）作为表征裂纹δ弹塑性应力应变场的单一参数，当此参数值达到材料的临界值，材料就会发生开裂。
即为开裂准则。
使用这一准则必须解决两个问题：（1）使用小试样能方便准确地测量出材料稳定（与外载荷裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即cδδ=的开裂参数；（2）建立裂纹尖端的与外载荷、裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即的表达式）。
c δδ(,,)f p a Y δ=试验表明用TPB 、CT 等小试样可以实现，试验证明开裂点的是材料常数，但失稳扩展点的不是常数！换句话说，CTOD 只是开裂判据，不是破坏判据！c δc δδGB/T 2358-1994对的测试方法做了详尽的说明，本课不讲实验测试（大家要c c δ用时，严格按标准的要求技术细节做即可，不用讲了就忘了）。
CTOD 方法在中低强度钢压力容器和管道，即焊接结构等方面在工程上有广泛应用它的优点是方法简单直观易测缺点是定义不明确理论依据不足用。
它的优点是方法简单、直观，易测，缺点是定义不明确，理论依据不足。
§3-5 J 积分的定义及守恒性3-5JJ 积分是J.R .Rice在1968年提出的，并由此建立了弹塑性断裂力学的另一个方法。
第三章 第二部分 断裂力学与断裂韧性
a
0
A
B
A
B
Figure1 Atomistic model of theoretical tensile fracture
A
FNmax rmax
FN = FA + FR
B
Force vs. interatomic separation
理论断裂强度
f
th
E S a0
Table 1 Estimated theoretical fracture strengths for several materials
裂纹扩展导致系统总能量变化
U
c 2
E
2 4c S
dU d2c
系统能量随裂纹尺寸的变化
2 cc
0
1 2
c
E
2 2 S 0
1 2
2 S E 这一常数反映了材 c 料抵抗断裂的能力 ——不管应力与裂纹尺寸如何配合，只要应力同裂纹半长平 方根的乘积达到并超过某个常数，材料就会发生断裂。
………………………
问题3：为什么会发生低应力断裂？ 问题4：如何才能避免发生低应力断裂？
问题5：如何才能提高构件的断裂抗力？ ——传统强度设计理论无法回答！
？
大量断裂事故分析表明，上述低应力脆断事故是 由于构件中宏观裂纹失稳扩展造成的。
传统强度设计理论的困境： ——以宏观强度理论为基础，把材料看成均匀连续介质。 ——材料的强度指标σ s、σ b仅能代表无裂纹构件强度 如果构件中没有宏观裂纹，按传统设计理论可以保 证构件的安全服役。 在实际工程应用中，构件中裂纹存在是不可避免的。
——高强度及超高强度材料的低应力断裂 二战后，高强度、超高强度材料的应用日益广泛，低应力断 裂事故层出不穷：
断裂力学讲义ch3-线弹性断裂力学_821005759
复数的三角表示法： z r cos i sin i 利用 Euler 公式： e cos i sin ， 可得 复数的指数表示法
z rei
复变函数基础知识回顾（续） 复变函数： w ux, y ivx, y f z f x iy 复变函数的导数：如果
可以进一步将平面问题分解为关于裂纹延长线的对称（I 型）和反 对称（II 型）问题， 为什么能这样分解？为什么要这样分解？
分别为 I,II,III 型裂纹 标量的对称： s( x1 , x2 ) sx1 , x2 ，反对称： s( x1 , x2 ) sx1 , x2 矢量的对称：经过一个镜像对称，完全吻合时。反对称定义 但是如果将对称矢量的分量视为标量时，则有的对称有的反对称
f z 0 z f z 0 lim 存在， z 0 z 称为 f z 在 z0 可导。
解析函数的概念：如果函数 f z 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导，那么称 f z 在 z0 解析。如果 f z 在区域 D 内每一点 解析，那么称 f z 在 D 内解析，或称 f z 是 D 内的一个 解析函数。如果 f z 在 z0 不解析，那么称 z0 为 f z 的奇 点。
整理可得调和方程
2u3 0
由复变函数中解析函数的性质可知， u3 若由解析函数的实 部或虚部表示，则上式自动满足
z u3 i 3
其中 3 为应力函数。
将各个场量采用解析函数 z u3 i 3 表示
由 3
u v u v u3, 和 Cauchy-Riemann 条件 x y ， y x
第三章 线弹性裂纹场分析
哈工大断裂力学讲义(第三章 裂纹的断裂准则 )
S 2a [(k 1)(1 cos ) (1 cos )(3cos 1)]
16G
S 0
2S
2
0
0 0
0
arccos(k 1) 6
0
arccos(k
1) 6
S 0
2a 16G
(14k
k2
1) 1 12
SC
19
KII a KIIC
K2 IIC
16G
(14k
k2
1) 1 12
裂纹扩展
R
GⅠ
KⅠ E
1 E
a
2Y 2
测定ai i
计算 R R a 阻力曲线
3.临界条件
只有 A3 点是失稳的扩展条件
G R G R
a a
3
二.能量判据
GⅠ GⅠC
三.应力强度因子判据
KⅠ KⅠC
4
§3.2 最大周向正应力理论 一.复合型裂纹断裂判据需要解决的问题
➢ 裂纹沿什么方向扩展 确定开裂角;
r
(
r
3 2
)]
0
0
12
r 0
r
3 2
0
( r
3 2
|
0
0
KⅠcos
0
2
KⅡ
sin
0
2
0 0
2
arctan
KⅠ ) KⅡ
G0
1 2 E
(
KⅡ4 KⅠ2 KⅡ2
)
G0
1 2 E
(KⅠ2
KⅡ2 )
G0 G0 根不是解
起始裂纹方向取于
2 3
| 0
| 0 0
周向应力取平稳值的方向与能量释放率取平稳值的方向
哈工大(七)第三章空间力系
根据合力矩定理
解法二 力F在x、y、z轴的投影为
力作用点D的坐标为
3．力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 ．
力对点的矩矢 在三个坐标轴上的投影 又
即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该 轴的矩。
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴的矩。 证明： 设有力F和任意点O，力对点O 的矩 力F对z轴的矩
空间力偶理论 只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体 刚体的作用效果决定于下列三个因素 刚体 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示：
矢的长度 长度表示力偶矩的大小 长度 方位与力偶作用面的法线 矢的方位 方位 方位相同， 矢的指向 指向与力偶转向的关系服 指向 从右手螺旋规则 右手螺旋规则。 右手螺旋规则 注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。 力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
且
空间任意力系的合力矩定理 空间任意力系的合力矩定理 空间任意力系的合力对于任一点的矩等于各分力对同一点的 矩的矢量和。 证明： 合力 对点O的矩 空间任意力系对简化中心O的主矩 所以得证 根据力对点的矩与力对轴的矩的关系，把上式投影到通过点 O的任一轴上，可得 即空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于各分力对同一轴 的矩的代数和。
四边形ACED与平行四边形Aced相似 ACED为平行四边形
对n个空间力偶，按上法逐次 合成，最后得
合力偶矩矢的解析表达式为
合力偶矩矢的大小
方向余弦
例3—5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔 所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x、y、 z轴上的投影 、 、 ，并求合力偶矩矢的大小和方向。 解：先将作用在四个面上的力偶用力偶 矩矢量表示，并将它们平行移到点A
材料物理-材料的脆性断裂与强度
脆性断裂 发生明显的塑性变形”。
效
腐蚀
变形失效
实际应用中，材料的屈服、断裂是最值得引起注意的两个问题.
3.1 理论断裂强度
理论断裂强度：完整晶体在正应力作用下沿某一晶面 拉断的强度。
两相邻原子面在拉力σ作用下，克 服原子间键合力作用 ，使原子面分开 的应力。
要推导材料的理论强度，应从原子间的结合力入手，只有克 服了原子间的结合力，材料才能断裂。
2．裂纹扩展的阻力
对于脆性材料 ， Gc 2
由此得
K 2E
c
（平面应力状态）
2E
K c
2
1
（平面应变状态）
Kc 与材料本征参数 E、、 等物理量有关，它 反映了具有
裂纹的材料对外界作用的一种抵抗能力，也可以说是阻止 裂纹扩展的能力，是材料的固有性质。
3.5 裂纹的起源与快速扩展
3.5.1裂纹的起源
th
设材料形成新表面的表面能为
U 2
（注意：这里是断裂表面能，不是自由表面能）
th
2
th
2
E a
＝ 2 th
式（4）
1
理想晶体得理论断裂强度公式：
th
E
a
2
可见，理论结合强度只与弹性模量，表面能和晶格距离等材
料常数有关。要得到高强度的固体，就要求E和 大，a小。
一般地，理论断裂强度
经典强度理论：在设计构件时，断裂准则是 []
允许应力 s
n
或 f
n
n 安全系数 f 断裂强度
这种设计方法和选材的准则没有反映断裂的本质。
断裂力学强度理论
按断裂力学的观点，裂纹是否扩展取决于应力场 强度因子的大小，当K值达到某一极限值时，裂纹就 扩展，即构件发生脆性断裂的条件：
哈工大断裂力学讲义
处
τ xy = 0
在 z →∞处
Z1 ( z ) =
能够满足全部边界条件 我们可以考察一下
σz
z −a
2 2
25
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
无穷远处
lim Z 1 ( z ) = lim
z →∞ '
σz
z −a − σa 2
2 2 2
z →∞
=σ =0
lim Z 1 ( z ) = lim
对于平面应力问题， dA = 2 Bda
U=
πσ 2 a 2 B
E
dU σ 2π a = dA E
临界条件
dS = 2γ dA
或
σ πa
2 c
E
= 2γ
σ 2π ac
E
= 2γ
临界应力：
2 Eγ 1 )2 σc = ( πa
表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展 时，拉应力的临界值——剩余强度。
∂2 ∂ 2ϕ ∂2 Re Z y Im Z1 + ＝ 1 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2
(
)
(
)
σ x＝Re Z1 − y Im Z
同理(自行推导)可得：
' 1
∂ 2ϕ ‘ σ y＝ 2 ＝Re Z 1 + y Im Z 1 ∂x 2 ∂ϕ ‘ τ xy＝ − ＝ − y Re Z1
∂x∂y
23
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能
金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为P 剩余强度和临界裂纹长度
9
1 能量释放率与G准则
例如：设裂纹扩展单位面积所需要的塑性变形能为P ,则 对金属p比
断裂力学讲义第三章： 弹性力学的平面问题
第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。
在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。
§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。
平衡方程(2.40)可简化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yyxy x xyxx f y x f y x σσσσ (3.1)变形协调方程(2.63)只余下yx x y xy yyxx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂222222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。
根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。
平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε,)(yy xx zz Eσσνε+-= (3.3)利用(2.95)式，虎克定律可以写成⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。
此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。