椭圆专项练习(提高版)
椭圆强化练(含答案)
椭圆强化练一、单选题1．椭圆：的焦距为A. B. 2 C.D. 1 【答案】B2．椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2， N 是1MF 的中点，则ON 为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 32【答案】B3．已知椭圆的长轴长是8，焦距为6，则此椭圆的标准方程是（ ） A. 221169x y += B. 22167x y +或221716x y += C. 2211625x y += D. 2211625x y +=或2212516x y += 【答案】B4．经过椭圆22221x y a b+=右焦点2F 作与x 轴垂直的直线l ，直线l 与椭圆交于,A B 两点，若A B 、与左焦点构成等边三角形，则椭圆离心率是（ ）A. 12B.C.D. 【答案】C5．已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为（ ）A.B. C. D.【答案】C 6．中心为)00(，, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为21，则该椭圆方程是（ ） A. 125275222=+y x B. 1257522=+y xC. 1752522=+y x D. 175225222=+y x 【答案】C二、填空题 7．如果椭圆上一点到一个焦点的距离为6，那么点到另外一个焦点的距离是__________.【答案】148．设点是椭圆上的动点，为椭圆的左焦点，则的最大值为______. 【答案】 9．已知直线l 交椭圆C ： 22195x y +=于A ， B 两点， 1F 为椭圆的左焦点，当直线l 经过右焦点时， 1ABF ∆周长为__________．【答案】1210．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)11．若方程表示椭圆，则m 的取值范围是_____．【答案】()()1,22,3⋃ 12．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，的左焦点， A 为右顶点， P 是椭圆上的一点， PF x ⊥轴，若34PF AF =，则该椭圆的离心率是__________． 【答案】14三、解答题13．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，焦距为8，且经过点()1,3A -；（2）焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35. 【答案】（1）221182y x +=；（2）2212516x y +=.14．（1）椭圆E ： 22221(0)x y a b a b +=>>经过点()0,1A -，且离心率为2，求椭圆E 的方程；（2）求经过(),M N 两点的椭圆的标准方程. 【答案】(1) 2212x y +=;(2) 22184x y +=.. 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2， )．【答案】（1）221169144y x +=；（2）221128y x +=. 16．求过点（3，﹣2）且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆方程． 【答案】2211510x y += 17．已知是椭圆两个焦点,且椭圆经过点.（1）求此椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且, 求的面积.【答案】(1) ;(2) . 18．如图,设P 是圆2225x y +=上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影，M 为线段PD 上一点,且45MD PD =， (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C 所截线段的长度.【答案】（Ⅰ）2212516x y +=；（Ⅱ）。
椭圆双曲线练习提高版
椭圆双曲线练习提高版（含答案）1．已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为A．B．C．D．2．双曲线的渐近线方程为，则的离心率为A．2B．C．D．3．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（）A．2或B．2或C．或D．或4．如图，在中，，、边上的高分别为、，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A．B．1C．D．25．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是（）A．8B．12C．D．166．已知椭圆C:()的右焦点为F，短轴的一个端点为M,直线l:交椭圆C于A、B 两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆C的离心率的取值范围为()A ．B ．C ．D ．7．已知为椭圆上一个动点，直线过圆的圆心与圆相交于两点，则的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．8．已知分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，当时，则点横坐标的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为，若,，则椭圆的方程为A ．B ．C ．D ．10．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且.若AB ＝6，BC ＝2，则椭圆的焦距为( )A ．B ．C ．D ．11．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线的两个顶点分别为、，点为双曲线上除、外任意一点，且点与点、连线的斜率分别为、，若，则双曲线的渐进线方程为，A ．B ．C ．D ．13．设双曲线 的左、右焦点分别为，，为该双曲线上一点，若与轴垂直，,则该双曲线的离心率为_________．14．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．15．过双曲线的右焦点，且斜率为2的直线与的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．16．已知双曲线，其左右焦点分别为， ，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是__________．17．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．18．已知椭圆的焦距为，长轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于 A ，B 两点．若，求的值．19．已知椭圆过点，离心率. （1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分 ，求的值．答题纸13. 14. 15. 16.17．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．18．已知椭圆的焦距为，长轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于A，B两点．若，求的值．19．已知椭圆过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．参考答案1．D【解析】【分析】根据离心率e=，由a,b,c的关系得到，进而得到渐近线方程.【详解】双曲线的离心率e=,故渐近线方程为：故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是双曲线的几何意义，已知离心率得到a，b，c的关系式，进而得到渐近线方程.2．C【解析】【分析】由双曲线的方程的渐近线方程，求得，再由离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，即，所以双曲线的离心率为，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【解析】【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得：，得双曲线的一条渐近线的方程为∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：①当焦点在x轴上时有：②当焦点在y轴上时有：∴求得双曲线的离心率 2或．故选：A．【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．4．A【解析】若是椭圆，则，，，，而椭圆的离心率，若是双曲线，则，，所以，故选A.【解析】△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，由椭圆的定义可得：△ABC的周长是4a=4×4=16．故答案为：C。
人教A版高中数学选修第一册同步练习3.1.1 椭圆及其标准方程-B提高练(详细解析版)
3.1.1 椭圆的标准方程 -B 提高练一、选择题1．（202010=的化简结果为（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=【正确答案】D10=,所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10,符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b +=>>,其中210a =,所以5a =,4c =,所以3b ==,所以曲线方程的化简结果为221259y x +=.故选D 项.2.如果方程x 24-m +y 2m -3=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) A.(3,4) B.(72,+∞) C.(3,72)D.(72,4)【正确答案】D【详细解析】因为方程x 24-m +y 2m -3=1表示焦点在y 轴上的椭圆,所以4-m>0,m -3>0且m -3>4-m , 解得72<m<4.3．（2020全国高二课时练习）“15m <<”是“方程22215x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详细解析】若方程表示椭圆,则有10,50,15,m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩因此15m <<且3m ≠,故“15m <<”是“方程22215x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件．故选:B4.（2020·东辽县第一高级中学校高二期中）已知在ABC ∆中,点()2,0A -,点()2,0B ,若tan tan 2CAB CBA ∠⋅∠=,则点C 的轨迹方程为（ ）A ．22148x y +=B ．22148x y +=（2x ≠±）C ．22148x y -=D ．22184x y +=（2x ≠±）【正确答案】B【详细解析】设(),C x y 由两点间斜率公式可得,22CA CB y yk k x x ==+- 由斜率与倾斜角关系,结合tan tan 2CAB CBA ∠⋅∠=可得222y y x x ⎛⎫⨯-= ⎪+-⎝⎭,变形可得22148x y +=,当2x =±时,C 与A 或B 重合,不合题意所以点C 的轨迹方程为22148x y +=（2x ≠±）故选:B5．（多选题）已知P 是椭圆22194x y +=上一点,椭圆的左、右焦点分别为12,F F ,且121cos 3F PF ∠=,则（ ）A ．12PF F △的周长为12B ．12PF F S ∆=C ．点P 到xD ．122PF PF ⋅= 【正确答案】BCD【详细解析】由椭圆方程知3,2a b ==,所以c =所以126PF PF +=,于是12PF F △的周长为226a c +=+,故A 选项错误;在12PF F △中,由余弦定理可得 222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠()21212121222cos PF PF PF PF PF PF F PF =+--⋅∠,所以20=121223623PF PF PF PF -⋅-,解得126PF PF =,故1212121sin 2PF F S PF PF F PF =∠=162⨯=故B 选项正确;设点P 到x 轴的距离为d ,则121212PF F S F F d =⋅=12⨯=所以d =故C 选项正确;121212||||cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=1623⨯=,故D 选项正确．故选:BCD.6．（多选题）设P 是椭圆C :x 22+y 2=1上任意一点,F 1,F 2是椭圆C 的左、右焦点,则( )A.|PF 1|+|PF 2|=2√2B.-2<|PF 1|-|PF 2|<2C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2D.0≤PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1 【正确答案】ACD【详细解析】椭圆C :x 22+y 2=1,可得a=√2,b=c=1,P 是椭圆C :x 22+y 2=1上任意一点,F 1,F 2是椭圆C 的左、右焦点,所以|PF 1|+|PF 2|=2√2,A 正确;-2≤|PF 1|-|PF 2|≤2,所以B 错误; 设P 点坐标为(√2cos θ,sin θ),则|PF 1|·|PF 2|=√(√2cosθ-1)2+sin 2θ·√(√2cosθ+1)2+sin 2θ=√2+cos 2θ-2√2cosθ·√2+cos 2θ+2√2cosθ=√(2+cos 2θ)2-8cos 2θ=2-cos 2θ∈[1,2],所以C 正确;因为PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cos θ+1,sin θ)·(√2cos θ-1,sin θ)=2cos 2θ-1+sin 2θ=cos 2θ∈[0,1],所以D 正确.二、填空题7．（2020怀仁市高二月考）在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC 顶点(3,0)A -和(3,0)C ,顶点B 在椭圆2212516x y +=上,则sin sin 2sin A C B+=_ _． 【正确答案】56【详细解析】由椭圆方程得:5a =,4b =,3c =．三角形ABC 顶点(3,0)A -和(3,0)C ,顶点B 在椭圆2212516x y +=上,210BC AB a ∴+==,∴由正弦定理可知sin sin 252sin 246A C BC BA a B AC c ++=== 8. （2020·九江市第三中学期中）已知圆221:(2)36F x y ++=,定点2(20)F ，,A 是圆1F 上的一动点,线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点,则P 点的轨迹C 的方程是_ _．【正确答案】22195x y +=【详细解析】由已知,得2PF |PA |=,所以2111PF PF PA PF FA 6,+=+==又12FF 4,46=<,根据椭圆的定义,点P 的轨迹是12F F ，为焦点,以6为实轴长的椭圆,所以26a =,24c =,所以5b =,所以点P 的轨迹方程为:22195x y +=.9.（2020全国高二课时练）如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|= .【正确答案】35【详细解析】由已知得5a =,如图,E 是椭圆的右焦点,由椭圆的对称性知17FP EP =,26FP EP =,35FP EP =,又45FP =,∴1234567FPFP FP FP FP FP FP ++++++7655675EP EP EP FP FP FP =++++++222535a a a =+++=．故正确答案为35．10．（2020·宁夏银川一中期中）已知椭圆C 的焦点为()11,0F -,()21,0F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若2232AF BF =,122BF BF =,则椭圆C 的方程为 . 【正确答案】22154x y +=【详细解析】设2||2BF m =,则2||3AF m =,1||4BF m =,由椭圆定义知1212||||||||6BF BF AF AF m +=+=,所以1||633AF m m m =-=,所以12||||AF AF =,故点A 为椭圆的上（下）顶点,设()0,A b ±,由2232AF F B =,得52,33B b ⎛⎫± ⎪⎝⎭,点B 在椭圆上,故222254991b a b +=,解得25a =,又由1c =,可得2b =,故椭圆方程为22154x y +=.三、解答题11.（2020全国高二课时练）（2020全国高二课时练）已知椭圆M 与椭圆N :x 216+y 212=1有相同的焦点,且椭圆M 过点(-1,2√55). (1)求椭圆M 的标准方程;(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆M 上,且△PF 1F 2的面积为1,求点P 的坐标. 【详细解析】 (1)由题意,知椭圆N 的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0), 则{a 2-b 2=4,1a 2+45b 2=1,化简并整理得5b 4+11b 2-16=0, 故b 2=1或b 2=-165(舍),a 2=5, 故椭圆M 的标准方程为x 25+y 2=1.(2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0),设P (x 0,y 0),则△PF 1F 2的面积为12×4×|y 0|=1,得y 0=±12. 又x 025+y 02=1,所以x 02=154,x 0=±√152, 所以点P 有4个,它们的坐标分别为(√152,12),(-√152,12),(√152,-12),(-√152,-12). 12．如图,椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点M (43,13),且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若R ,S 是椭圆C 上的两个点,线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ,O 为坐标原点,求证:P ,O ,M 三点共线.【详细解析】(1)∵点M 到椭圆的两焦点的距离之和为2√2,∴2a=2√2,解得a=√2.又椭圆C 经过点M (43,13), ∴(43)2a 2+(13)2b 2=1,解得b 2=1.∴椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)∵线段RS的中垂线l的斜率为12,∴直线RS的斜率为-2,∴可设直线RS的方程为y=-2x+m.联立{y=-2x+m,x22+y2=1,得9x2-8mx+2m2-2=0.设点R(x1,y1),S(x2,y2),P(x0,y0),∴x1+x2=8m9,y1+y2=-2x1+m-2x2+m=-2(x1+x2)+2m=-2·8m9+2m=2m9,则x0=x1+x22=4m9,y0=y1+y22=m9.∵y0x0=14,∴y0=14x0,∴点P在直线y=14x上,又点O(0,0),M(43,13)也在直线y=14x上,∴P,O,M三点共线.。
椭圆提高练习题
椭圆提高练习题在高中数学中，椭圆是一个重要的几何概念。
它是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有许多特性和性质，掌握这些知识对于理解几何关系和解决问题至关重要。
为了帮助读者加深对椭圆的理解，下面将提供一些椭圆的提高练习题，希望能够对读者的学习有所帮助。
1. 设椭圆的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。
已知焦点F1到椭圆上一点P的距离为c，且c^2 = a^2 - b^2。
证明：椭圆上所有点的到焦点F2的距离之和等于2a。
2. 设椭圆的焦点为F1和F2，离心率为e。
已知点P(x, y)在椭圆上，并且角∠F1PF2 = π/2。
证明：点P到椭圆的切线的斜率等于-xy。
3. 设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点为F1和F2。
点P(x, y)在椭圆上，并且∠F1PF2 = π/2。
求证：PF1 * PF2 = a^2 - b^2 。
4. 设椭圆E的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点为F1和F2。
已知直线L过焦点F2且与椭圆E相交于A和B两点。
证明：L的斜率等于y = ±(b/a) * x。
5. 设椭圆的焦点为F1和F2，过焦点F2的直线l与椭圆交于A、B两点。
已知线段AF2和BF2分别与椭圆交于C、D两点。
证明：∠CAD = ∠CBD。
6. 设椭圆的焦点为F1和F2，点A是椭圆上一点，直线l过点A且与椭圆相交于点B、C两点。
那么△AF1B和△AF2C的内心距离相等。
7. 已知椭圆的焦点为F1和F2，点P为椭圆上一点，且PF1与PF2的长度之比为k。
证明：PF1 + PF2 = 2a / (1 - k^2)。
8. 在椭圆上选择一动点P，点P的轨迹为线段PF1与直线l交点的轨迹，其中l过焦点F2。
证明：轨迹是一条直线。
以上是一些椭圆的提高练习题，通过解答这些题目，读者可以深入理解椭圆的性质和关系。
希望这些练习题能够对读者在数学学习中有所帮助。
通过不断练习，掌握椭圆的相关知识，可以更好地解决实际应用问题，并在数学考试中取得更好的成绩。
椭圆的提升练习
1. 已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12yC x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.2. 已知定点1020A(,),F (,)-，定直线12l :x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B C 、两点，直线A B A C 、分别交l 于点M N 、（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段M N 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.3. 椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．(I)当|时，求直线l 的方程；(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P O Q ⋅为定值。
e=,P(0,)最远距离为,的距离为的点的坐标，焦点在轴上，斜率为两点，与为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
7．如图，等腰Rt ΔAPB 的一条直角边AP 在y 轴上，A 点在x 轴下方，B 点在y 轴右方，斜边AB 的边长为3√2，且A 、B 两点均在椭圆C ：x 2/a 2+y 2/b 2=1 (a ＞b ＞0)上。
⑴、若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的方程； ⑵、若点P 的坐标为(0，t)，求t 的取值范围。
8．设F1,F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知F1,F2,P 为一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜>|PF2|，求｜PF1｜/|PF2|的值。
变式: M 是椭圆x^2/9+y^2/4=1上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,I 是△MF1F2的内心,延长MI 交F1F2于N,则|MI| /|IN|=9. 设P(x,y)是椭圆x2/25+y2/16=1上的点且P 的纵坐标y≠0，点A （-5，0）、B （5，0），试判断K PA ²K PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由9．F1是椭圆x2/9+y2/5=1的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1)为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是10. 已知点A 在圆C ：31)2(22=-+y x 上运动，点B 在以)0,3(F 为右焦点的椭圆k kyx =+22上运动，求|AB|的最大值 。
2020-2021学年人教版 高三 数学选修1《椭圆精华专题(基础提高)
第三章《圆锥曲线》一《椭圆》1．基本知识点平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和．等于常数)(的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.2.椭圆的标准方程与几何性质：当椭圆焦点在x 轴上时当椭圆焦点在y 轴上时标准方程图形顶点坐标（标在图上）焦点坐标范围关系c b a ,,离心率（取值范围）对称轴对称中心通径怎么判断焦点在哪轴？把下列方程化为椭圆的标准方程：10025422=+y x 10042522=+y x 87522=+y x一．基础题1.①椭圆13610022=+y x ，画出简图，并求该椭圆的焦点，焦距，顶点坐标，长轴，短轴长，长半轴，短半轴c b a ,,，离心率.②椭圆13610022=+x y ，画出简图，并求该椭圆的焦点，焦距，顶点坐标，长轴，短轴长，长半轴，短半轴c b a ,,，离心率.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出图形及写出焦点坐标①1.3,5==b a ，焦点在x 轴上. 2.3,5==b a ，焦点在y 轴上.3.3,5==b a ，焦点在坐标轴②1.15,4==c a ，焦点在x 轴上. 2.15,4==c a ，焦点在y 轴上.③1.52,10==+c b a 焦点在x 轴上.2.焦点在x 轴上,31,6==e a 4,8.3==+c b a ④若椭圆的两焦点为)0,2(-和)0,2(，且椭圆过点23,25(-⑤1.若椭圆过点)2,0(),0,3(- 2.若椭圆过点)0,2(),30(-，⑥1.椭圆经过点)32(),321(，，-- 2.椭圆经过点)2,3(),1,32(--3.①椭圆13610022=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为4.（1）则P 到另一个焦点的距离为.（2）若过焦点1F 的直线与椭圆交于B A ，两点，则B AF 2∆的周长为.②过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是_______二．选择题1.椭圆63222=+y x 的焦距是（）A．2B．)23(2-C．52D．)23(2+2．①21F F ，是定点，621=F F ，动点M 满足621=+MF MF ,则点M 的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆②21F F ，是定点，621=F F ，动点M 满足1021=+MF MF ，则点M 的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（）A．112814422=+y x 或114412822=+y x B．14622=+y x C．1323622=+y x 或1363222=+y x D．16422=+y x 或14622=+y x4.①若方程112222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围②方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是③若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围5.过椭圆13422=+y x 的焦点的最长弦和最短弦分别是多少？三.求轨迹方程1.①如果点()y x M ,在运动过程中，总满足关系式()()10332222=-++++y x y x ，问点M 的轨迹是什么曲线，写出标准方程②已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为c 2，左右焦点分别是21F F ，，其离心率为23，圆()122=++y c x 与圆()922=+-y c x 相交，且两圆焦点在椭圆E 上，求椭圆E 的方程.2.如图,圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内定点,P 是圆上任意一点.线段AP 的垂直平分线l 和半径交于点Q ,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是什么?为什么?3.①已知动圆P 过定点()0,2-A ,且在定圆()642:22=+-y x B 内部与其内切求动的圆圆心P 的轨迹方程圆②已知一动圆与圆05622=+++x y x 外切,同时与圆091622=--+x y x 内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线4.点M 与定点)04(，F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54,求M 的轨迹5.过椭圆4222=+y x 的左焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则弦AB 的长为.6.已知椭圆192522=+y x 的焦点为21,F F ,P 为椭圆上的一点，已知021=⋅−→−−→−PF PF ，求21PF F ∆的面积7.AB 为过椭圆12222=+by a x 中心的弦，)0,(c F 为椭圆的右焦点，求AFB ∆面积的最大值，并证明？8.设21,F F 为椭圆12036:22=+y x C 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，且21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为_____________9.已知椭圆的方程为1162522=+y x ，若点P 为椭圆上的点，分别求下列条件时，21F PF ∆的面积（1）当︒=∠6021PF F （2）当21F PF ∆最大时（3）当︒=∠12021F PF10.①由直线072=-+y x 上一点P 引圆024222=++-+y x y x 的一条切线，切点为A ，则||P A 最小值为__________②已知动点P 在椭圆1162522=+y x 上，若点A 的坐标点为)0,3(，1||=−→−AM ，且0=⋅−→−−→−AM PM ,则||−→−PM 的最小值为.③设P 为方程12)4()4(2222=+-+++y x y x 表示的曲线上的点，N M ,分别为圆4)4(22=++y x 和圆1)4(22=+-y x 上的点，则||||PN PM +的最小值为________。
(完整版)椭圆练习题(含答案)
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
椭圆专项提高训练
椭圆专项提高训练一． 选择题 1． 已知椭圆=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为A.2B.3C.4D.52.已知方程22212x y m m +=+表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 ( )A.2m >或1m <-B. 2m >-C.12m -<<D. 2m >或21m -<<- 3.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4.椭圆12222=+ny m x )0,0(>>n m 的一个焦点坐标是(2,0), 且椭圆的离心率21=e , 则椭圆的标准方程为 ( ) A.1161222=+y x B.112162=+y C.1644822=+y x D.1486422=+y x 5. 点),(y x P 是椭圆)20(14222<<=+b b y x 上的动点,则y x 22+的最大值为( )A.442b +B.42b C.4 D.2b6. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是（ ）A.54 B.5 C.52 D.517. 椭圆的四个顶点为A 、B 、C 、D,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.8. 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P,2F 为右焦点,若21PF F ∠=60°,则椭圆的离心率为（ ）A.2221 D.31 9.已知椭圆,是椭圆上关于原点对称的两点,是椭圆上任意一点,且直线的斜率分别为,若,则椭圆的离心率为（ ） A.B.C. D.10.已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴, 直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是( )A.B.C. D.11.椭圆22221x y a b +=上一点，1F 、2F 为焦点，若1275PF F ∠=,2115PF F ∠=，则椭圆的离心率为C 12.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )213.已知点P 在椭圆1204022=+y x 上， 21,F F 是椭圆的两个焦点，21PF F ∆是直角三角形，则这样的点P 有A 2个 B4个 C 6个 D8个14. 椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 15.椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，016.若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x 210＝1 17.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形 18.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B .35 C.25 D.1319.P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( ) A ．1 B ．a 2 C ．b 2 D ．c 220.已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π 二．填空题1. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 122.在平面直角坐标系中,已知顶点和,顶点在椭圆上,则____.3.椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F , 过焦点F 1的直线交椭圆于,A B 两点 ,则2ABF ∆的周长是_____.164. 如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等 分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=355. 椭圆的两个焦点为1F 、2F ,短轴的一个端点为,且三角形12F AF 是顶角为120º的等腰三角形形,则此椭圆的离心率为 6. 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦距为2c,以点O 为圆心,a 为半径作圆M,若过点P )0,(2c a 作圆M 的两条切线互相垂直,且切点为A, B, 则|AB|=_____,该椭圆的离心率为,22 7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点使1221sin sin a cPF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为___________.)1,1-8. 椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为__________ .99. 椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________．x ＋2y －4＝010. 对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________．③④ 三． 简答题1. 已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1即为中点M 的轨迹方程．2. (12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，② ①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.3. 在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点． (1)写出C 的方程； (2)若OA ⊥OB ，求k 的值解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.4. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA ＝m FA ，MB ＝n FB ，求m ＋n 的值．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)易求出椭圆C 的右焦点F (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x 25＋y 2＝1，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0.∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2.又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，FA ＝(x 1－2，y 1)，FB ＝(x 2－2，y 2)． ∵MA →＝m FA ，MB →＝n FB ， ∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2，∴m ＋n ＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2，又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k 2＝－101＋5k 2，4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2，∴m ＋n ＝10.5已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右两个交点，椭圆上点1(,)24M 到12,F F 两点的距离之和等于4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过右焦点且垂直于x 轴的直线与团员交于点N （点N 在第一象限），,E F 是椭圆C 上两个动点，如果1EN FN k k +=，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值..6.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,椭圆上一点M(,)满足·=0.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=kx+与椭圆有不同交点A,B,且·>1(O为坐标原点),求实数k的取值范围.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),=(-c-,-),=(c-,-), 因为·=0,所以-c2++=0,所以c2=3.所以a2-b2=3,①又点M在椭圆上,所以+=1.②将①代入②得+=1,整理为a4-6a2+8=0,所以a2=2或a2=4,因为a2>3,所以a2=4,b2=1.所以椭圆方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y解得(+k2)x2+2kx+1=0.x 1+x2=-,x1x2=,Δ>0.则·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+2=>1.所以k2<,又由Δ=4k2-1>0得k2>,所以<k2<,k∈(-,-)∪(,).7.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),根据题意得b=c=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆方程为+y2=1.(2)根据题意得直线l方程为y=x-1,解方程组得P,Q坐标为(0,-1),(,),则|PQ|=,点O到直线PQ的距离为,所以S△POQ=.(3)存在.假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,因为直线l与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).P,Q坐标为(x1,y1),(x2,y2),由得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x 1+x2=,x1x2=,则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),其中x1≠x2,由于以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,所以||=||,计算得m=(k≠0),所以0<m<.即存在点M(m,0)且m的范围为(0,).8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得·=·?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知c=1,又=tan 60°=,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)存在.设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入+=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x,y),则x0==,y=k(x-1)=-,由·=·得·(+)=·(2)=0, 所以直线TR为线段PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+=-(x-),令y=0得T点的横坐标t==,因为k2∈(0,+∞),所以+4∈(4,+∞),所以t∈(0,).所以线段OF上存在点T(t,0)使得·=·,其中t∈(0,).。
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。
2B。
2/3C。
1/2D。
1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。
(x²/81)+(y²/72)=1B。
(x²/81)+(y²/9)=1C。
(x²/81)+(y²/45)=1D。
(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。
3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。
2/3B。
2C。
1/2D。
3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。
2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。
2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。
椭圆能力提升训练题(含详细答案)
椭圆1． 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122． 椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±22 D ．±343． 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,124．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.135．条件p ：动点M 到两定点距离的和等于定长，条件q ：动点M 的轨迹是椭圆，条件p 是条件q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件6．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54 D.3＋147．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定8． 椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3 9．已知M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，左、右焦点为F 1，F 2，点P 是△MF 1F 2的内心，连接MP 并延长交F 1F 2于N ，则|MP ||PN |的值为( )A.aa 2－b 2B.b a 2－b2C.a 2－b 2bD.a 2－b 2a10．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．11． 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________．12．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.13． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________.14．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离的最小值．15．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是曲线C 上的点．直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1、F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1、F 2的坐标；若不存在，说明理由．16．已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝22，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP →⊥OQ →.试探究点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．1．C [解析] 根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.2．A [解析] 不妨设F 1(－3,0)，设P (x 0，y 0)，则－3＋x 0＝0，故x 0＝3，代入椭圆方程得y 0＝±32，故点M 的纵坐标是±34. 3．C [解析] 由题意得最大值2a ＋2、最小值2a －2，a ＝5，故最大值是12、最小值是8.4．B [解析] 因为P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a ，再由∠F 1PF 2＝60°有3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33. 5．B [解析] 设两定点距离2c ，定长为2a .当2a >2c 时，为椭圆；当2a ＝2c 时，为线段；当2a <2c 时，无轨迹．故动点M 到两定点距离的和等于定长时，动点M 的轨迹不一定是椭圆；当动点M 的轨迹是椭圆时，动点M 到两定点距离的和一定等于定长．6．B [解析] 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.7．A [解析] 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r .8．B [解析] 条件MF 1→·MF 2→＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组即可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x |＝263，即点M 到y 轴的距离．9．A [解析] 由于三角形内心是三个内角的平分线的交点，使用三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系．如图，连接PF 1，PF 2.在△MF 1F 2中，F 1P 是∠MF 1N 的平分线，根据三角形内角平分线性质定理，|MP ||PN |＝|MF 1||F 1N |，同理可得|MP ||PN |＝|MF 2||F 2N |，故有|MP ||PN |＝|MF 1||F 1N |＝|MF 2||F 2N |，根据等比定理|MP ||PN |＝|MF 1|＋|MF 2||F 1N |＋|F 2N |＝2a 2a 2－b 2＝aa 2－b 2.10.x 236＋y 29＝1 [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.11.3－1 [解析] 如图所示，设A ，B 是椭圆的两个焦点，P 是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB 是一个直角三角形，且∠BAP ＝30°，所以AP ＝AB cos30°＝3c ，BP ＝c ，根据椭圆定义AP ＋BP ＝2a ，故3c ＋c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1.12．3 [解析] 方法1.设椭圆的焦点坐标为(±c,0)，根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，即b ＝3.方法2.利用本讲【问题思考】问题4的结论，b 2tan 90°2＝9，解得b ＝3.13. 2 [解析] 根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF →＝3FB →，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cmm 2＋4，y 1y 2＝－c 23m 2＋4，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cmm 2＋4，－3y 22＝－c 23m 2＋4，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝± 2.又k >0，故k ＝ 2. 14．[解答] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)， 设点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或－6，由于y >0，故x ＝32，于是y ＝532，∴点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)由(1)得直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝6－m ，又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15，由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.15．[解答] (1)设曲线C 上动点的坐标为(x ，y )，根据已知得x －22＋y 2|x －22|＝22，化简整理这个方程得x 24＋y 22＝1，即为曲线C 的方程．(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得 (x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20， 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因为c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)、F 2(10，0)．【难点突破】16．[解答] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝22，所以c a ＝22，据题意⎝⎛⎭⎪⎫c ，22在椭圆上，则c 2a 2＋12b 2＝1，于是12＋12b 2＝1，解得b ＝1，因为a ＝2c ，a 2－c 2＝b 2＝1，则c ＝1，a ＝2，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－22k 2＋1＋km ·－4km 2k 2＋1＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1. 因为OP →⊥OQ →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1＝3m 2－2k 2－22k 2＋1＝0，即3m 2－2k 2－2＝0，所以m 2＝2k 2＋23.设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |k 2＋1＝m 2k 2＋1＝2k 2＋23k 2＋1＝63. 当直线l 的斜率不存在时，因为OP →⊥OQ →，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP ，OQ 的方程分别为y ＝x ，y ＝－x 可得P ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，－63或者P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63.此时，原点O 到直线l 的距离仍为63. 综上分析，点O 到直线l 的距离为定值63.。
(完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
椭圆练习题1A 组 基础过关一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )．A.12B.22C. 2D.32解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝22. 答案 B2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案 A3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析 先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e ＝c a ＝32. 答案 A4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.答案 D5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 236＋y 29＝1 D.x 29＋y 236＝1解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，∴a ＝6， ∵椭圆的离心率为32. ∴a 2－b 2a ＝32， ∴36－b 26＝32.解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 29＝1. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4. 答案 47．(2011·皖南八校联考)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， ∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 答案 338．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2k x －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5， 故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 答案 x 25＋y 24＝1 三、解答题(共23分)9．(11分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2.试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵P 点在椭圆上， ∴9a 2＋16b 2＝1.① 又PF 1⊥PF 2，∴43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝45，b 2＝20. 椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20.10．(12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝ 4125×41＝415.B 级 提高题一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·丽水模拟)若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.12解析 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1，则|PF 2|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53. 答案 A2．(2011·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·镇江调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，224．(2011·浙江)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．解析 根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )，∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案 (0，±1) 三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·大连模拟)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距． (1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．(1)解 (1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)，知A (－2,0)，B (2,0)，设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2， BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2， BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．6．(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB→＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.椭圆练习题2一、填空题1．椭圆63222=+y x 的焦距为______________。
椭圆练习及参考答案
椭圆练习及参考答案一、单选题(共 50 分)1.椭圆x 29+y28=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为（）A.8B.10C.16D.22【详解】因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4√9−8=4,所以ΔMF1N的周长为12+4=16.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1，C2:(x−5)2+y2=225，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A.x 264+y239=1 B.x239+y264=1 C.x2256+y2241=1 D.x2241+y2256=1【详解】解：设动圆圆心C的坐标为(x,y)，半径为r，则|CC1|=r+1,|CC2|=15−r，∴|CC1|+|CC2|=r+1+15−r=16>|C1C2|=10，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，则2a=16,a=8,c=5，b2=82−52=39，椭圆的方程为：x264+y239=1【点睛】考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，中档题．3.设F1、F2是椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45试题分析：如下图所示，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30∘所以∠PF2A=60∘,∠F2PA=30∘，所以|PF2|=2|AF2|=2(32a−c)=3a−2c又因为|F1F2|=2c，所以，2c=3a−2c，所以e=ca =34所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4.椭圆x 29+y26=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则ΔPF1F2的面积为（）A.2√3B.3√2C.√32D.√23【详解】解：∵椭圆x29+y26=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，∴F1（−√3，0），F2（√3，0），|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2√3，则△PF1F2是直角三角形，∴△PF1F2的面积为S=12×2×2√3=2√3．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5.已知椭圆x 24+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果F1M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F2M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么点M到y轴的距离是()A.√2B.2√63C.3√22D.1【详解】设M（x，y），则椭圆x24+y2=1…①，∵椭圆x24+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（−√3，0），F2（√3，0）∵F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −√3，y)，F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +√3，y)， F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴x 2+y 2=3…②由①②得x 2=83，x =±2√63， ∴点M 到y 轴的距离为2√63，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 7.已知直线l 与椭圆x 216+y 22=1交于A,B 两点，AB 中点是M (−2,1)，则直线l 的斜率为（ ）A.-4B.-14C.14D.4【详解】设交点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 1216+y 122=1x 2216+y 222=1，两式相减得，(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0 ，故y 1−y2x 1−x 2=−2(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=−2×(−2×2)16×(1×2)=14 ，故选C【点睛】本题考查了直线与椭圆的相交弦问题，一般涉及弦的中点和直线斜率问题时，可采用“点差法”，建立中点坐标与斜率的关系求解.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B,C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.√63B.2√33C.12D.√22【详解】将y =b2代入椭圆方程得：B (−√32a,b2)，C (√32a,b2)又椭圆焦点F (c,0) ∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c +√32a,−b 2)，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c −√32a,−b 2) ∵∠BFC =90∘∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2−34a 2+b 24=c 2−34a 2+a 2−c 24=34c 2−12a 2=0∴e 2=c 2a 2=23 ∴e =√63，故选A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于a,c 的齐次方程，从而根据e =ca 求得离心率.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为（） A.13B.15C.16D.25【详解】如图所示，由椭圆x 225+y 216=1，可得a =5,b =4,c =√a 2−b 2=3，所以F 1(−3,0),F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10，所以|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+√32+42=15,则|PM |+|PF 1|的最大值15．故选B ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，以及三角形三边大小关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ •PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A.(−16,−10)B.(−10,−394)C.(−16,−394]D.(−∞,−394]【详解】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F(3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16=−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 ，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题． 二、填空题(共 25 分) 11.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____． 【详解】椭圆x 24+y 23=1，可得a ＝2，b =√3，则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e =c a =12．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|=b 2a=32，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝4−32=52．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出a,b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．12.如果椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是______． 【详解】由椭圆x 2144+y 236=1，可得a =12，由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a =24，因为椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是：24-10=14．故答案为14．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________． 【详解】解：已知{a =2b,c =2√3a 2−b 2=c 2∴{b 2=4a 2=162a =8则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．14.已知P 是椭圆x 210+y 2=1上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2=2π3时，则ΔPF 1F 2的面积为_____．【详解】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m +n =2a =2√10在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 22=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2即：36=(m +n )2−2mn −2mncos2π3=40−mn ，解得：mn =4∴S ΔPF 1F 2=12mnsin 2π3=√3 【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.15.已知P 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于点A(−a,0)，B(a,0)的一点，E 的离心率为√32，则直线AP 与BP 的斜率之积为__________．【解析】设P (x 0,y 0)，有x 02a 2+y 02b 2=1，且c a =√32，得b a =12，k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a=y 02x 02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14．点睛：本题考查椭圆的几何性质．由离心率，得到a,b,c 的比例关系．本题中由题意可知，题目由点P 的位置决定，所以设P (x 0,y 0)，得到斜率关系k AP k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x0−a=y 02x02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14，为定值．三、解答题(共 34 分)16.已知点A(0,−2)，椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点P(0，√3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值.【详解】解：（1）由离心率e=ca =√22，则a=√2c，直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c＝1，a=√2，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设直线l：y＝kx﹣√3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则{y=kx−√3x22+y2=1，整理得：（1+2k2）x2﹣4√3kx+4＝0，△＝（﹣4√3k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，∴x1+x2=4√3k1+2k2，x1x2=41+2k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(k2−1)1+2k2=8√27，即17k4−32k2−57=0,解得：k2=3或−1917（舍去）∴k＝±√3，【点睛】考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．17.设O为坐标原点，动点M在椭圆E:x 24+y22=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.【详解】（1）设P(x,y)，M(x1,y1)，则N(x1,0)∵M 在椭圆E 上 ∴x 124+y 122=1…①由NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 知：{x =x 1y =√2y 1 ，即：{x 1=x y 1=√22y ，代入①得：x 2+y 2=4即点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=4…② （2）假设存在点B (m,0)满足条件，设P (x,y )由|BP |=2|AP |得：√(x −m )2+y 2=2√(x −1)2+y 2 即：3x 2+3y 2+(2m −8)x =m 2−4此方程与(1)中②表示同一方程，故：{2m −8=0m 2−4=12，解得：m =4∴存在点B (4,0)满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.18.已知点M (2√33,√33)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2.（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.【详解】（1）由条件知43a 2+13b 2=1，2a =2√2，所以a =√2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设点A 、B 的坐标为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则AB 中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在线段OM 上，且k OM =12，∴x 1+x 2=2(y 1+y 2)，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，易知x 1−x 2≠0，y 1+y 2≠0，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x22(y 1+y 2)=−1，即k AB =−1. 设AB 方程为y =−x +m ，代入x 22+y 2=1并整理得3x 2−4mx +2m 2−2=0.由Δ=8(3−m 2)>0解得m 2<3，又由x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴0<m <√3.由韦达定理得x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2(m 2−1)3，故OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+m )(−x 2+m ) =2x 1x 2−m (x 1+x 2)+m 2=4(m 2−1)3−4m 23+m 2 =m 2−43.而0<m <√3，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是(−43,53). 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知Q 为圆x 2+y 2=1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(0,−35)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）设Q(x 0,y 0)，P (x,y)，则x 02+y 02=1，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得{x 0=x2y 0=−y，代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1； （2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为H(0,m)， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −35，联立{y =kx −35x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−245kx −6425=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=24k5(1+4k 2)，x 1x 2=−6425(1+4k 2)，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−65=−65(1+4k 2)，y 1y 2=(kx 1−35)(kx 2−35)=k 2x 1x 2−35k(x 1+x 2)+925=9−100k 225(1+4k 2)， 因为HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1−m)，HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−m)，所以HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=100(m 2−1)k 2+25m 2+30m−5525(1+4k 2)=0，对任意的k 恒成立，所以{100(m 2−1)=025m 2+30m −55=0 ，解得m =1，即定点为H(0,1)， 当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点(0,1)， 故以MN 为直径的圆过定点(0,1).【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线bx −y +√2a =0经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线bx −y +4=0与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，∠APB的平分线在y 轴上，|PA |≠|PB ||，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】（1）在直线方程bx −y +√2a =0中令y =0，则x =−√2ab ，故c =√2ab ，又c a=√22，故b =2，所以a =4，所以椭圆标准方程为：x 28+y 24=1.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在， 设AB 的方程为y =kx +b ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 因为P 在y 轴上且P 在直线2x −y +4=0，故P (0,4). 因为∠APB 的平分线在y 轴上，所以y 1−4x 1+y 2−4x 2=0，而y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+b ，代入整理得到：2kx 1x 2+(b −4)(x 1+x 2)=0. 由{y =kx +b x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，所以x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−81+2k2，所以2k×2b 2−81+2k2+(b−4)(−4kb1+2k2)=0，化简得到k(b−1)=0，所以对任意的k，总有b=1，故直线AB过定点(0,1).【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2,x1+x2或y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得{a=2ca=√32，解得{a=2c=√3，………2分所以b2=a2−c2=4−3=1，故所求椭圆C的方程为．…………..4分（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程代入，并整理，得．（*）………………………………….6分则，．………………………………………8分因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即．又,于是，…………….10分解得k =±√112，………………………………..11分经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．………………12分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程22.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意{2a =42c =2 ，即{a =2c =1，∴b =√a 2−c 2=√3， ∴椭圆E 的方程是x 24+y 23=1.（2）由（1）可知D (−2,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 23=1 ，得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，Δ=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3m 2−12k 23+4k 2，∵|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，∴DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k 2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0， 解得m 1=2k ，m 2=27k ，且均满足即3+4k 2−m 2>0，当m 1=2k 时，l 的方程为y =kx +2k =k (x +2)，直线恒过(−2,0)，与已知矛盾；当m 2=27k ，l 的方程为y =kx +27k =k (x +27)，直线恒过(−27,0).【点睛】考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题、椭圆中直线过定点问题．对直线与椭圆相交问题，一般设交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理得x 1+x 2,x 1x 2，再把这个结论代入题中另一条件可得参数k,m 的关系，求得定点．23.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上一动点，当ΔMF 1F 2的面积最大时，其内切圆半径为b 3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l ⊥x 轴时，|RS |=3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，P,Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=−14，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得12⋅2c ⋅b =12(2a +2c)⋅b 3，得c a =12① 将x =c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2②，得y =±b 2a ，所以2b 2a =3③，由①②③得a =2,b =√3故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1（2）设点P,Q 的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得P （1，32），Q （1，−32）或P （1，−32），Q （1，32）， 直线PQ 的方程为x =1②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立得{x24+y23=1y=kx+m，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2−12=0，由Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，得4k2+3>m2x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3.(1)）由k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14,可得4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，得4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理得(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,(2)由（1）和（2）得m2−km−2k2=0，解得m=2k或m=−k当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k，过定点(−2,0)，不合题意；当m=−k时，直线PQ的方程为y=kx−k，过定点(1,0)，综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0).【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题以及直线过定点问题，属于综合题．。
高二数学椭圆专项训练_提高(含解析)
（3）求 AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）
y
O A
Bx
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
答案与解析
选择菁英高中，成就名校梦想
1、方法一：设所求椭圆方程为
y2 a2
x2 b2
1 a
b
0
因为点 M
2,
6
在椭圆上，所以
0
，得
k2
3 2
；
设 P( x1,
y1 ),Q( x2 ,
y2 ) ，则有
x1
x2
8k 1 2k2
, x1
x2
6 1 2k2
，因为 OP
OQ
所以
OP
OQ
x1
x2
y1
y2
(1
k 2 )x1
x2
2k( x1
x2 )
4
6 10k2 1 2k2
4
0
所以 k2 5 ，满足 k 2 3 所以 k 5 2
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
高二数学椭圆专项训练（提高）
1、求以椭圆 9x2 5y2 45 的焦点为焦点，且经过点 M 2, 6 的椭圆的标准方程.
2、设点 M (m,0) 在椭圆 x2 y 2 1的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点. 当 MP 的模最小时， 16 12
2c 1
16 12
（2）设过 P 的直线为 y k( x 8) 交椭圆 E 于 P1( x1, y1 ), P2( x2 , y2 )
y k( x 8)
由
x
2
椭圆提高练习题
基础训练A 组1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆3．P 是椭圆1422=+y x 上一点，P 到右焦点F 2的距离为1，则P 到相应左焦点的准线距离为（ ）A ．63 B ．332 C ．23 D ．324．若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（ ）A ．43B ．32 C ．21 D ．41 4．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为3，这个椭圆方程为（ ）A ．191222=+y xB ．112922=+y xC ．112919122222=+=+y x y x 或 D ．以上都不对6．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ . 7．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．8.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于_____________9.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=________10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程． 11．已知A 、B 为椭圆22a x +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 22221x y a b-=22:12x C y +=F l A l ∈AF C B 3FA FB =||AF中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．12.求椭圆13.已知圆＝１，从这个圆上任意一点P 向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M 的轨迹.14.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）（Ⅰ）求a,b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
人教版数学四年级下册：椭圆提高练习题
人教版数学四年级下册：椭圆提高练习题1. 找出图中的椭圆并标出它们的中心点和焦点。
中心点：(3, 2)
焦点：(3, 4), (3, 0)
2. 根据给定的椭圆方程，求出图形的长轴和短轴长度。
椭圆方程：$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+3)^2}{25} = 1$
长轴长度：8
短轴长度：10
3. 判断以下说法是否正确：
a. 椭圆的离心率大于1。
b. 在椭圆上的所有点到焦点的距离之和等于椭圆的直径。
a. 错误。
椭圆的离心率小于1。
b. 正确。
在椭圆上的每个点到焦点的距离之和等于椭圆的直径。
4. 画出以下椭圆的示意图，并标出它们的中心点和焦点。
a. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$
中心点：(0, 0)
焦点：(-3, 0), (3, 0)
b. $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1$
中心点：(1, -2)
焦点：(1, -4), (1, 0)
5. 在椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 上取一点 $(x, y)$，使得 $x^2 + y^2$ 最小。
当 $x = 0$，$y = -4$ 时，$x^2 + y^2$ 最小。
以上是本次椭圆提高练习题的答案，如有疑问，请随时向我提问。
高三数学提升训练(椭圆)
高中数学提升训练（椭圆)一、填空题 1．已知椭圆C:x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与C 的焦点不重合，若F 1,F 2分别为线段AM,BM 的中点，线段MN 的中点在C 上，则|AN |+|BN |__________．2．已知点102A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ．3．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点(4,0),(4,0)A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，sin sin sin A C B +=_____________4．1F 、2F 分别为椭圆C ： 22195x y +=的左、右焦点，P 是C 上的任意一点. 则12•PF PF 的最大值为___________，若(0,A ，则2AP PF -的最小值为____________.5．已知直线l 的普通方程为10x y ++=，点P 是曲线22:13x C y +=上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为_______．6．已知AB 为圆O ：x 2+y 2=1的直径，点P 为椭圆x 24+y 23=1上一动点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．二、解答题7．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点()2,0A -,且离心率为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
8．已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的上下两个焦点分别为F 1,F 2，过点F 1与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 M,N 两点，ΔMNF 2的面积为√3，椭圆C 的离心率为√32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线l:y =kx +m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得OA⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m 的取值范围.参考答案1．12 【解析】 【分析】由题意作出图象，设线段MN 的中点为D ，连结DF 1，DF 2，用椭圆的定义解答即可． 【详解】如图，设线段MN 的中点为D ， 连结DF 1 ，DF 2，则DF 1 ，DF 2分别是ΔAMN ，ΔBMN 的中位线， 则|AN |+|BN |=2|DF 1|+2|DF 2|=2(|DF 1|+|DF 2|)=2×2a =2×6=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，考查三角形的中位线的性质，属于中档题． 2．22413x y += 【解析】 【详解】依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA| ∴|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为以A ，F 为焦点的椭圆，a=1，c=12，则有 故点P 的轨迹方程为22413x y +=,故答案为22413x y +=. 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质，求轨迹方程的基本方法. 点评：利用定义法求轨迹方程的问题. 3．54【解析】由题意椭圆221259x y +=中．534a b c ===，，，故()()4,0,4,0A C -是椭圆的两个焦点，2108AB BC a AC ，∴+=== ，由正弦定理得2sin sin sin a b cr A B C===， sin sin ? 105 sin 84A C a c AB BC B b AC +++∴====【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义以及正弦定理的应用．其中合理转化 椭圆定义进而应用正弦定理是解题的关键 4．9 4 【解析】 【分析】通过椭圆定义表示出216PF PF =-，进而将12PF PF 变为二次函数问题，通过1PF 的范围得到最大值；再将2AP PF -表示为16AP PF +-，通过图形可知当P 在线段1AF 上时取得最小值，求解得到结果. 【详解】由22195x y +=可得：3a =，2c = 由椭圆定义可知1226PF PF a +== 216PFPF ⇒=- ()212111166PF PF PF PF PF PF ∴=-=-又1a c PF a c -≤≤+，即115PF ≤≤∴当13PF =时，12PF PF 取最大值，最大值为：1899-=()21126AP PF AP a PF AP PF -=--=+-又11AP PF AF +≥（当且仅当P 在线段1AF上时取等号） ()21min664AP PF AF ∴-=-==【点睛】本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从而变成函数和几何问题来进行求解. 5．2【解析】 【分析】作直线l 的平行线0x y t ++=，使得平移后的直线与椭圆C 相切，然后将直线方程与椭圆方程联立，由0∆=得出t 的值，将点P 到直线l 的距离的最大值转化为直线0x y t ++=()0t <与直线l 之间的距离.【详解】作直线l 的平行线0x y t ++=，使得该直线与椭圆C 相切，联立22013x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2246310x tx t ++-=， ()22236443148120t t t ∆=-⨯⨯-=-=，解得2t =±.因此，点P 到直线l 的距离的最大值等于直线20x y +-=与直线l 之间的距离2d ==，故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，可以利用平移直线与椭圆相切，转化为平行线之间的距离来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6．2 【解析】【分析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P 的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可． 方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可． 【详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，P(2cos x ，√3sin x)，A(−1,0)，B(1,0)． 从而PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cos x −1)(2cos x +1)+3sin 2x =2+cos 2x ≥2． 故答案为：2．方法二：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )24=4PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−44=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1=|PO|2−1，而|PO|min =√3，则答案为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质.考查转化思想以及计算能力．7．（I ）22142x y +=（II ）存在点()1,0Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=o . 【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程和几何性质，即可求解,a b 的值，得到椭圆的标准方程；（2）若存在点(),0Q m ，由题意，当直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k ， 等价于120k k +=，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()4y k x =-.由()224{142y k x x y =-+= ，得()222221163240k x k x k +-+-=，得1212,x x x x +，由120k k +=，即可求得m 的值。
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椭圆专题编辑：秋耳（南京金石可镂教育培训中心QQ:2832787514）1、给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为3. （I ）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；(II )点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l 分别交其“准圆”于点M ，N .（1）当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求12,l l 的方程； （2）求证：|MN |为定值.解：（I ）因为3,2==a c ，所以1=b 所以椭圆的方程为2213x y +=， 准圆的方程为422=+y x .（II ）（1）因为准圆422=+y x 与y 轴正半轴的交点为P （0，2）, 设过点P （0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为2+=kx y ,所以22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得到0912)31(22=+++kx x k , 因为椭圆与2+=kx y 只有一个公共点,所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+= ，解得1±=k . 所以12,l l 方程为2,2+-=+=x y x y .（2）①当12,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率， 因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3=x 或3-=x ，当1l 方程为3=x 时，此时1l 与准圆交于点)1,3(),1,3(-，此时经过点)1,3((或)1,3(-)且与椭圆只有一个公共点的直线是1=y (或1-=y )，即2l 为1=y (或1-=y )，显然直线12,l l 垂直；同理可证 1l 方程为3-=x 时，直线12,l l 垂直. ② 当12,l l 都有斜率时，设点),(00y x P ，其中42020=+y x ，设经过点),(00y x P 与椭圆只有一个公共点的直线为00)(y x x t y +-=,则0022()13y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到03))((32002=--++tx y tx x ， 即03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t ,0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+⋅--=∆tx y t tx y t ，经过化简得到:012)3(2000220=-++-y t y x t x ,因为42020=+y x ，所以有0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x ,设12,l l 的斜率分别为21,t t ,因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点，[来源:学科网] 所以21,t t 满足上述方程0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x , 所以121-=⋅t t ，即12,l l 垂直.综合①②知：因为12,l l 经过点),(00y x P ，又分别交其准圆于点M ，N ，且12,l l 垂直， 所以线段MN 为准圆422=+y x 的直径，所以|ＭＮ|＝４. 2、已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为22x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点（1）求椭圆的方程 （2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点（4）求OPQ 的最大面积【解】（1）)0,3(,6,2,2A a b c === 椭圆方程为：126x 22=+y （2）设直线l 的方程为：ky x =-3，且设）（）（2211,x ,,y Q y x P ，联立221623x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 消去x ，得：()223630k y ky +++=则12122263,33k y y y y k k -+==++从而求得：212122218627,33k x x x x k k -++==++ 由0OP OQ ⋅= 得 ：12120x x y y += ，求得k =所以l的方程为：30x ±-=（3）有已知及（2）知：()22,Q x y '-。
设直线PQ '与x 轴交于点(),0M m则有1212211212y y x y x y m x m x m y y -+=⇒=--+ 由（2）可知：112233x ky x ky =+=+所以 ()12121212122323ky y y y ky y m y y y y ++==+++又由（2）知：121212y y y y k =-+ ， 所以 132m =-+= ，即()2,0M 故直线PQ '过定点()2,0，即为椭圆的右焦点（4）由（1）得：2302k ∆>⇒>1212OPQSOA y y =-==令()0tt =>， 则92OPQSt t =≤+当且仅当2t =±，即k =时，取“=”所以OPQ ∆3、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=（1）求椭圆离心率e 的取值范围 （2）当离心率e 取最小值时，12PF F 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
①求椭圆的方程；②求直线AB 的斜率k 的取值范围。
【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得：0121290F BF F PF ∠≥∠=所以0245OBF ∠≥，从而2tan 1OBF ∠≥，即221cc b b ≥⇒≥，又222b a c =-，所以222c a c ≥-，得：2212c a ≥，所以,12e ⎫∈⎪⎣⎭。
（2）①当e取得最小值2时，P 在短轴顶点，所以1216PF F S bc ∆==，又222,2c a b c a ==+，故求得：4,4a b c ===。
所以椭圆方程为：2213216x y +=②【法一：点差法】设()()1122,,,A x y B x y ，设AB 的中点为()00,M x y ，则()()()() 221112121212 2222132160321613216x yx x x x y y y yx y⎧+=⎪+-+-⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩()121212122y y x xx x y y-+⇒=--+即2xky=-①由已知AB的垂直平分线方程为：1y xk=--易知点()00,M x y在该直线上，所以001y xk=--②由①，②可求得：xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩即(,M-由已知：点M在椭圆内部，所以()221321666k-+<⇒-<<【法二：联立方程法】设()() 1122,,,A x yB x y，设直线AB的方程为y kx b=+，AB的垂直平分线方程为：1y xk=--联立2213216y kx bx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y去得：()2221242320k x kbx b+++-=则有()()2222164122320k b k b∆=-+->即()221612b k<+①又有:122412kbx xk-+=+从而122212by yk+=+所以AB的中点为222,1212kb bMk k-⎛⎫⎪++⎝⎭。
又M在AB的垂直平分线上，所以22121212b kb k k k -⎛⎫=-⋅- ⎪++⎝⎭， 即)212b k =+②将②代人①求得：66k -<<。