2017-2018年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二（上）期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p ：x R ∀∈，210x +>则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∉，2010x +≤B ．0x R ∃∈，2010x +≤C ．x R ∀∉，210x +>D ．x R ∀∈，210x +≤2.设a 、b 实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题，其中真命题的个数为（ ）①若//m α，n α⊂，则//m n ②若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ ③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ ④若//αβ，m α⊂，则//m βA ．0B ．1C ．2D ．34.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值等于（ ）A ．8B ．9 C.27 D ．365.函数()x f x e x =⋅的单调递增区间为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(,1)-∞- C.(,0)-∞ D ．(0,)+∞6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为34y x =±，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．43B ．53 C. 54 D ．4777.关于函数ln ()x f x x=的极值的说法正确的是（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e C.()f x 有极大值e D ．()f x 有极小e 值8.已知命题p ：平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆；命题q ：空间内若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨ C.p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝9.已知函数()2ln x f x e x =-，2()4g x x x m =-+，若对任意1[1,]x e ∈，都存在2[1,]x e ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,3)e -∞+B ．(,4)e -∞+ C.2(,5)e e -∞- D ．(,2)e e -∞+10.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 右支上的点，线段1PF 交C 的左支于点Q ，若2PQF ∆是边长等于4的等边三角形，则双曲线的标准方程为（ ）A ．2216y x -= B ．2217y x -= C.22126x y -= D ．22127x y -= 11.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件，已知原球形工件的半径为2，则张师傅的材料利用率的最大值等于（注：材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ） A ．22 B ．328 C.33 D ．331612.已知双曲线1C ：2y tx =(0,0)y t >>在点4(,2)M t 处的切线与曲线2C ：x y e =相切，若动直线y a =分别与曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．ln 313+B ．ln 313- C.1ln 22+ D ．1ln 22- 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1(3,0)F -和2(3,0)F ，且其图像过定点(0,4)M ，则C 的离心率e = ．14.如图所示，某几何体的三视图都是直角三角形，则该几何体的体积等于 ．15.如图：在三棱锥S ABC -中，已知底面ABC ∆是以23AB =为斜边的等腰直角三角形，且侧棱长23SA SB SC ===，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积等于 ．16.已知斜率34k =的直线l 过抛物线24x y =的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，分别过点A 、B 若作抛物线的两条切线相交于点M ，则MAB ∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知1111ABCD A BC D -为棱长2AB =的正方体，E 为棱1D D 的中点.（1）求三棱锥E ACD -的体积；（2）求证：1//BD 平面ACE .18. 已知抛物线C ：22(2)y py p =>的焦点F 为圆2220x y x +-=的圆心.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若斜率1k =的直线l 过抛物线的焦点F 与抛物线相交于AB 两点，求弦长AB .19.已知函数2()ln 1f x a x x bx =+++在点(1,(1))f 处的切线方程为4120x y --=.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间和极值.20.如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ︒∠=，PA ⊥底面ABCD ，23AC =，2PA =，E 是PC 上点，且PC ⊥平面BDE .（1）求证：BD PC ⊥；（2）求三棱锥P BED -的体积.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率22e =，且其的短轴长等于4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，记圆O ：222x y b +=，过定点(0,)M b -作相互垂直的直线l 和'l ，直线l （斜率(0)k >）与圆O 和椭圆C 分别交于A 、E 两点，直线'l 与圆O 和椭圆C 分别交于F 、B 两点，若MAB ∆与MEF ∆面积之比等于32，求直线l 的方程. 22.已知函数()ln f x x =.（1）若函数()()21()2g x a f x x x =⋅-+有两个极值点，求实数a 的取值范围； （2）若关于x 的方程()2(1)x f x m x ⋅=⋅+()m Z ∈有实数解，求整数m 的最小值.。
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二上期末数学(理)试题(解析版)
【解析】如图所示，先通过已知求出 ,再根据二面角求出 ，再解直角三角形求出外接球半径，即得解.
【详解】
如图所示，点E为AD的中点，连接PE,则PE⊥AD,设矩形ABCD的中心为 ,四棱锥的外接球的球心为O,由题得球心O在过点 且与平面ABCD垂直的直线上，
由题得O-PAD为正三棱锥，所以点O在底面△PAD的射影为底面△PAD的重心 ，
（1）当 时， ；当 时， ；
,
所以曲线C的直角坐标方程为 .
（2）将 代入 得 ，
∴ ，∴ ，
所以 ，∴ ， ，∴ .
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 的中点， ．
①方程必有实数解；
②当 时，方程有且只有一个实根；
③若方程存在两个不同的实根 和 ，则有 ．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
①,当k=0时，原方程为 ，所以原方程无实数解，所以该命题错误；
②，当 时，原命题等价于函数 与函数 的图象有且只有一个交点，两函数的图象如图所示，它们的图象有且只有一个交点，所以该命题正确；
【详解】
由题意可得 ， 的中点为 ， ，
直线 的斜率为 ，可得 的垂直平分线的斜率为 ，
即直线 的垂直平分线方程为 ，即为 ．
由双曲线 上存在点 满足 ，
可得 的垂直平分线与双曲线有交点，
由双曲线的渐近线方程为 ，
即有 ，即 ，可得 ，
可得 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围的求法，以及线段的垂直平分线方程的求法，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系．
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项,请将正确选项填到答题卡处1。
设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<， {|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线经过点(－1,1),则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．（1,0）C ．（0，－1)D ．（0,1）3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列｛a n }的公差为d （d ≠0）,且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图,若输入的n ＝10，则输出的S 等于A .错误!B .错误!C 。
错误!D .错误!6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40),[40,60)，［60,80），［80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为A .318B 。
315C .3824+D 。
31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0,｜a |＝2，|b |＝3，｜c ｜＝4，则向量a 与b 之间的夹角<a ,b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是A .错误!B 。
2017-2018年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x+1＞0 B．∃x0∈R，x+1≤0C．∃x 0∈R，x+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤02．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题，其中真命题的个数为（）①若m∥α，n⊂α，则m∥n ②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n ③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β ④若α∥β，m⊂α，则m∥βA．0 B．1 C．2 D．34．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．365．（5分）函数f（x）=e x•x的单调递增区间为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）关于函数f（x）=的极值的说法正确的是（）A．f（x）有极大值B．f（x）有极小值C．f（x）有极大值e D．f（x）有极小值e8．（5分）已知命题p：平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆；命题q：空间内若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．￢p∧q D．p∨￢q9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2lnx，g（x）=x2﹣4x+m，若对任意x1∈[1，e]，都存在x2∈[1，e]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e+3）B．（﹣∞，e+4）C．（﹣∞，5e﹣e2）D．（﹣∞，e e+2）10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的点，线段PF1交C的左支于点Q，若△PQF2是边长等于4的等边三角形，则双曲线的标准方程为（）A．x2=1 B．x2C．D．11．（5分）张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件，已知原球形工件的半径为2，则张师傅的材料利用率的最大值等于（注：材料利用率=）（）A．B．C．D．12．（5分）已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x相切，若动直线y=a分别与曲线C1、C2相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）和F2（3，0），且其图象过定点M（0，4），则C的离心率e=．14．（5分）如图所示，某几何体的三视图都是直角三角形，则该几何体的体积等于．15．（5分）如图：在三棱锥S﹣ABC中，已知底面△ABC是以AB=2为斜边的等腰直角三角形，且侧棱长SA=SB=SC=2，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积等于．16．（5分）已知斜率k=的直线l过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B若作抛物线的两条切线相交于点M，则△MAB的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为棱长AB=2的正方体，E为棱D1D的中点．（1）求三棱锥E﹣ACD的体积；（2）求证：BD1∥平面ACE．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F为圆x2+y2﹣2x=0的圆心．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若斜率k=1的直线l过抛物线的焦点F与抛物线相交于AB两点，求弦长|AB|．19．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x ﹣y﹣12=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．20．（12分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上点，且PC⊥平面BDE．（1）求证：BD⊥PC；（2）求三棱锥P﹣BED的体积．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，且其的短轴长等于4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，记圆O：x2+y2=b2，过定点M（0，﹣b）作相互垂直的直线l和l′，直线l（斜率（k＞0）与圆O和椭圆C分别交于A、E两点，直线l′与圆O和椭圆C分别交于F、B两点，若△MAB与△MEF面积之比等于，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）若函数g（x）=a•（f（x）﹣x）+x2有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程2x•f（x）=m•（x+1）（m∈Z）有实数解，求整数m的最小值．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x+1＞0 B．∃x0∈R，x+1≤0C．∃x0∈R，x+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为：∃x0∈R，x+1≤0．故选：B．2．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题，其中真命题的个数为（）①若m∥α，n⊂α，则m∥n ②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n ③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β ④若α∥β，m⊂α，则m∥βA．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①，当m∥α，n⊂α时，由线面平行的性质定理，不能得出m ∥n，①错误；对于②，当m⊥α，n⊂α时，由线面垂直的定义知，m⊥n成立，②正确；对于③，当α⊥β，m⊂α时，由面面垂直的性质定理，不能得出m⊥β，③错误；对于④，若α∥β，m⊂α时，由面面平行的性质知，m∥β成立，④正确．综上，正确的命题序号是②③．故选：C．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．5．（5分）函数f（x）=e x•x的单调递增区间为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=e x•x的导函数为：f′（x）=e x•（x+1），由e x•（x+1）＞0，解得x＞﹣1．所以函数的单调增区间为：（﹣1，+∞）．故选：A．6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得：，即：，可得e==．则双曲线的离心率为：．故选：C．7．（5分）关于函数f（x）=的极值的说法正确的是（）A．f（x）有极大值B．f（x）有极小值C．f（x）有极大值e D．f（x）有极小值e【解答】解：∵f（x）=，∴x＞0，f′（x）=，∴由f′（x）＞0，得0＜x＜e，由f′（x）＜0，得x＜e，∴函数f（x）=有极大值f（e）==．故选：A．8．（5分）已知命题p：平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆；命题q：空间内若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．￢p∧q D．p∨￢q【解答】解：平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆或线段，故p为假命题；空间内若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行或异面，故q为假命题．则￢p为真命题，￢q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，￢p∧q为假命题，p∨￢q为真命题．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2lnx，g（x）=x2﹣4x+m，若对任意x1∈[1，e]，都存在x2∈[1，e]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e+3）B．（﹣∞，e+4）C．（﹣∞，5e﹣e2）D．（﹣∞，e e+2）【解答】解：∵f（x）=e x﹣2lnx，x∈[1，e]，∴f′（x）=e x﹣，∴f′（x）=e x+＞0恒成立，∴f′（x）min=f′（1）=e2﹣2＞0恒成立，∴f（x）min=f（1）=e，∵g（x）=（x﹣2）2+m﹣4，x∈[1，e]，∴g（x）max=g（1）=m﹣3，∵对任意x1∈[1，e]，都存在x2∈[1，e]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，∴m﹣3＜e，∴m＜e+3，故选：A．10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的点，线段PF1交C的左支于点Q，若△PQF2是边长等于4的等边三角形，则双曲线的标准方程为（）A．x2=1 B．x2C．D．【解答】解：∵△PQF2是边长等于4的等边三角形，∴|PF2|=|PQ|=|QF2|=4∵|QF2|﹣|QF1|=2a，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|QF1|=4﹣2a，|PF1|=4+2a，∴|PQ|=|PF1|﹣|QF1|=4a=4，解得a=1，∴|PF1|=4+2a=6，在△PF1F2中．4c2=16+36﹣2×4×6×cos60°=28，可得：c2=7，∴b2=c2﹣a2=6，∴双曲线的方程为x2﹣=1，故选：A．11．（5分）张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件，已知原球形工件的半径为2，则张师傅的材料利用率的最大值等于（注：材料利用率=）（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱形的新工件的高为2h，底面的半径为r，则：，所以新工件的体积为V（h）=π•（4﹣h2）•2h=8πh﹣2πh3．则V′（h）=8π﹣6πh2，令V′（h）=0，解得h=，当，V′（h）＞0，①函数V（h）为单调递增函数．当h，V′（h）＜0，②函数V（h）为单调递减函数．故当h=时，新工件取得最大值．即V1==球的体积，利用率的最大值．故选：C．12．（5分）已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x相切，若动直线y=a分别与曲线C1、C2相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），曲线C2：y=e x，导数为y′=e x，e m=，∴m=ln，n=m•+1，n=e m，可得=ln+1，解得t=4，C1：y2=4x，C2：y=e x，由y=a可得x1=，x2=lna，即有|AB|=﹣lna，由f（a）=﹣lna的导数为f′（a）=a﹣，可得a＞，f（a）递增；0＜a＜时，f（x）递减，即有f（）取得极小值，且为最小值﹣ln2，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）和F2（3，0），且其图象过定点M（0，4），则C的离心率e=．【解答】解：椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）和F2（3，0），且其图象过定点M（0，4），可得c=3，b=4，所以a==5．所以椭圆的离心率为：e=．故答案为：．14．（5分）如图所示，某几何体的三视图都是直角三角形，则该几何体的体积等于10．【解答】解：由题意可知几何体是长方体的一个角，即三棱锥，如图：所以三棱锥的体积为：=10．故答案为：10．15．（5分）如图：在三棱锥S﹣ABC中，已知底面△ABC是以AB=2为斜边的等腰直角三角形，且侧棱长SA=SB=SC=2，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积等于12π．【解答】解：求解底面△ABC的外接圆，可得圆心在AB的中点上．r=，侧棱长SA=SB=SC=2，即高的投影也在AB的中点上，可得三棱锥的高为，球心与圆心构造直接三角形，设球半径为R，即：，R=，解得：R=，∴外接球的表面积S=4πR2=12π．故答案为：12π．16．（5分）已知斜率k=的直线l过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B若作抛物线的两条切线相交于点M，则△MAB的面积为．【解答】解：焦点F（0，1），设直线AB：y=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，可得x2﹣3x﹣4=0，则x1=﹣1，x2=4，y1=，y2=4，抛物线方程为y=，求导得y′=x，AB的距离为：=．切线的向量为：k A=﹣，k B=2，则过抛物线上A、B两点的切线方程分别是：y﹣=﹣（x+1），y﹣4=2（x﹣4），即2x+4y+1=0，2x﹣y﹣4=0，解出两条切线的交点M的坐标为：（，﹣1），点M到直线AB的距离：=，所以，S==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知ABCD﹣A1B1C1D1为棱长AB=2的正方体，E为棱D1D的中点．（1）求三棱锥E﹣ACD的体积；（2）求证：BD1∥平面ACE．【解答】（1）解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由棱长为2，且E为棱D1D的中点，∴三棱锥E﹣ACD的体积；（2）证明：连接BD交AC与点O，则OE为△BDD1的中位线，即OE∥BD1，又OE⊂面ACE，BD1⊄面ACE，∴BD1∥平面ACE．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F为圆x2+y2﹣2x=0的圆心．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若斜率k=1的直线l过抛物线的焦点F与抛物线相交于AB两点，求弦长|AB|．【解答】解：（1）圆x2+y2﹣2x=0的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），即焦点坐标为F（1，0），得到抛物线C的方程：y2=4x；（2）直线l：y=x﹣1，联立抛物线的方程y2=4x；得到x2﹣6x+1=0，x1+x2=6，x1x2=1，弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=•=8．19．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x ﹣y﹣12=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：（1）求导f′（x）=+2x+b，由题意得：f′（1）=4，f（1）=﹣8，则，解得，所以f（x）=12lnx+x2﹣10x+1；（2）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，故f（x）极大值=f（2）=12ln2﹣15，f（x）极小值=f（3）=12ln3﹣20．20．（12分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上点，且PC⊥平面BDE．（1）求证：BD⊥PC；（2）求三棱锥P﹣BED的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）解：记AC与BD的交点为O，连接OE，由PC⊥平面BDE，得PC⊥OE，在Rt△PAC中，PA=2，AC=，PA⊥AC，可得PC=4，∠ACP=30°．在Rt△PAC中，有OC=，EC=OC，则，即，则=．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，且其的短轴长等于4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，记圆O：x2+y2=b2，过定点M（0，﹣b）作相互垂直的直线l和l′，直线l（斜率（k＞0）与圆O和椭圆C分别交于A、E两点，直线l′与圆O和椭圆C分别交于F、B两点，若△MAB与△MEF面积之比等于，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，且其的短轴长等于4．∴，解得a=2，b=2，∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）直线l的方程为：y=kx﹣2，联立，得到（1+2k2）x2﹣8kx=0，得到，用﹣取代k，得到x B==，联立，得到（1+k2）x2﹣4kx=0，得到x A=，用﹣取代k得到x F==，∴=====，解得k2=4，即k=2，∴直线l的方程为：y=2x﹣2．22．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）若函数g（x）=a•（f（x）﹣x）+x2有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程2x•f（x）=m•（x+1）（m∈Z）有实数解，求整数m的最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx，函数g（x）=a•（f（x）﹣x）+x2，∴g（x）=alnx+﹣ax，则+x﹣a=，得到方程x2﹣ax+a=0有两个不等正根，∴，解得a＞4，∴实数a的取值范围是（4，+∞）．（2）方程2x•lnx=m（x+1），即m=，记函数h（x）=，则=，分子μ（x）=2lnx+2x+2单调递增，且μ（）=﹣2++2=＞0，λμ（）=﹣4++2=﹣2＜0，则必然存在x0∈（，），使得μ（e0）=2lnx0+2x0+2=0，即lnx0+x0+1=0，并且当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，即h （x ）在区间（0，x 0）单减，在（x 0，+∞）单调递增， ∴h （x ）min =g （x 0）===﹣2x 0∈（﹣，﹣），解得m ≥﹣2x 0，∴整数m 的最小值为0．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义yxo①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
重庆市巴蜀中学2019级高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数321()13f x x bx =++在2x =处取得极值，则b =（ ） A. 1- B. 1C.54D. 54-【答案】A 【解析】22f x x bx '=+（）， f x Q （）在2x =处取得极值，4401b b ∴+=∴=-，．故选A ．2.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 15B. 20C. 30D. 60【答案】C 【解析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为5，底面是直角边长分别为3，4的直角三角形，∴三棱柱的体积1345302V =⨯⨯⨯=． 故选C ．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量． 3.命题“(,0)x ∀∈-∞，均有1x e x >+”的否定形式是（ ） A. (,0)x ∀∈-∞，均有1x e x ≤+ B. (,0)x ∃∈-∞，使得1x e x ≤+C. [,0)x ∀∈-∞，均有1x e x >+D. [,0)x ∃∈-∞，使得1x e x >+ 【答案】B 【解析】由命题的否定可知命题“(),0x ∀∈-∞，均有1x e x >+”的否定形式是“(),0x ∃∈-∞，使得1x e x ≤+”.故选B4.“2x x <”是“11x≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由“2x x <”可得“01x <<”，由“11x ≥”可得“01x <≤ ”，故“2x x <”是“11x≥”的充分不必要条件 故选A.5.我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S 的值为（ ）A. 4B. 5-C. 14D. 23-【答案】C 【解析】模拟程序的运行，可得11S i ==，；满足条件4i ≤，执行循环体，12S i =-=，； 满足条件4i ≤，执行循环体，43S i ==，； 满足条件4i ≤，执行循环体，54S i =-=，； 满足条件4i ≤，执行循环体，145S i ==， ； 不满足条件4i ≤，退出循环，输出S 的值为14． 故选C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论. 6.已知函数()f x 的导函数2()f x ax bx c '=++的图象如下图，则()f x 的图象可能是 ( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象判断原函数的单调性与极值点，利用排除法即可.【详解】由2()f x ax bx c '=++的图象可得2()f x ax bx c '=++的符号先负再正、再负， 所以()f x 的单调性是先减再增、再减，可排除A 、B ；由2()f x ax bx c '=++的图象过原点可得()f x 的一个极值点为0，排除C ，故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与均值，考查了数形结合思想，属于基础题.7.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ B. 若αβ⊥，m α⊄，m β⊥，则//m α C .若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】选项A 中，由于,//m m n α⊥，故n α⊥，又//n β，故αβ⊥，A 正确；选项B 中，由,m αββ⊥⊥得//m α或m α⊂，又m α⊄，故只有//m α，故B 正确． 选项C 中，由面面垂直的判定定理可得C 正确．选项D 中，由题意得,m n 的关系可能平行、相交、垂直．故D 不正确． 综上可知选项D 不正确．选D ．8.已知函数()ln f x ax x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 1a ≥C. 1a <D. 1a ≤【答案】B 【解析】∵函数函数()ln f x ax x =-在区间()1,+∞上单调递增，∴当1x ＞时，10y a x'=-≥ 恒成立，即11a a x≥∴≥，， 即a 的取值范围为 1.a ≥ 故选B9.如图所示程序框图输出的结果是720S =，则判断框内应填的条件是（ ）A. 7i >B. 7i ≤C. 9i >D. 9i ≤【答案】A 【解析】第一次运行，10i =，满足条件，101109;S i =⨯==， 第二次运行，9i =，满足条件，109908S i =⨯==，， 第三次运行，8i =，满足条件，9087207S i =⨯==，， 此时不满足条件，输出720S =，故条件应为，8，9，10满足，7i =不满足， 故条件为7i ＞ ， 故选A ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键．10.已知点P 为椭圆22143x y +=上第一象限上的任意一点，点A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA 与y 交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则AN BM ⋅的值为（ ）A. 4B.C.43【答案】B 【解析】如图所示：设P 的坐标为2cos θθ（），由200A B （，），（ 则直线AP 的方程为222y x cos θθ=--（），令0x =时，则1y cos θθ=-，即01M cos θθ-（，），BM ∴== 则直线BP 的方程为y x =，令0y =，则21cos x sin θθ=-，即221022111cos cos sin cos N AN sin sin sin θθθθθθθ--∴=-=---（，），，1123?(1)(1)sin cos sin cos AN BM sin cos θθθθθθ--⋅--∴⋅=--(1)(1)23243(1)(1)sin cos sin cos θθθθ--=⋅⨯=--，故选B11.已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的线段1BD 上，则cos APC ∠最小值为（ ） A. 13- B. 12-C.19D. 19-【答案】B 【解析】如图，连接AC 交BD 于O ，连接PO ，则2AOAPC APO tan APO PO∠=∠∠=Q ，， ∴当PO 最小时，APO ∠最大，APC ∠最大，cos APC ∠最小. 即1PO BD ⊥时，APO ∠最大，如图，作PE BD ⊥于E ， 设正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，11123BD BD OP BD PE BD BDD BPO PEO ∴=⊥⊥∴Q V V V ，，，，∽∽，111OP OB PE OPDD BD BD BD ∴＝，＝， 1121623OB DD OP BD ⨯∴=== 2123,cos 266AO tan APO APO PO ∠===∠=Q21cos cos 22cos 12APC APO APO ∴∠=∠=∠-=-故选B12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12·e e 的取值范围是（ ） A. 1(0,)3B. 1(0,)2C. 1(,)3+∞D. 11(,)32【答案】C 【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为12c PF m PF n m n ==，，，（＞）， 由于12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若18PF =， 即有82m n c ==，， 由椭圆的定义可得12m n a +=， 由双曲线的定义可得22m n a -=， 即有12444a c a c c =+=-，，（＜），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2248c c c +=＞，则2c ＞，即有24c ＜＜．由离心率公式可得2122122116161c c c e e a a c c ⋅=⋅==--，由于21614c ＜＜ ，则有2111631c >- ，即121·,3e e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故选C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若双曲线2221(0)x y m m-=>的离心率为2，则m =__________．【解析】双曲线2221(0)x y m m -=>的离心率2,c e m a ===∴=即答案为3. 14.已知抛物线216y x =，焦点为F ，(8,2)A 为平面上的一定点，P 为抛物线上的一动点，则PA PF +的最小值为__________． 【答案】12【解析】抛物线的准线方程为：4x =-，焦点为40F （，），过A 向准线作垂线，垂足为B ，12PA PF AB ∴+≥=． 故答案为12．15.三棱锥P ABC -中，PA 垂直平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，3PA =的表面积为__________． 【答案】5π 【解析】由题，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，BC PAC PB ∴⊥平面， 是三棱锥P ABC -的外接球直径；235Rt PBA AB PA PB ==∴=Q V 中，，，， 可得外接球半径152R PB == ∴外接球的表面积245S R ππ== ． 即答案为5π ．16.已知函数2()(21)f x ax a x =-+，()1x g x e x =--，若对于任意的1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由1xg x e x =--（），则1x g x e '=-（）， 令0g x '（）＞，解得0x ＞；令0g x '（）＜，解得0x ＜．()g x ∴在0-∞（，）是减函数，在∞（0，+）是增函数，即min 00g x g==（）（）． 对于任意的()10,x ∈+∞，2x R ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则有10f x g ≤（）（） 即可．即不等式0f x ≤（）对于任意的0x ∈+∞（，）恒成立，()221f x ax a '=-+（）， 当0a =时，10f x '=-<（），f x ∴（）在∞（0，+）是减函数，00max f x f ∴==（）（） ，0a ∴= 符合题意．当0a ＜时，()221f x ax a '=-+（），， 令'0f x （）＞ ，解得212a x a +> ；令0f x '（）＜，解得212a x a +<．当2102a a+< 即12a <-时，f x （）在∞（0，+） 是减函数， 00max f x f ∴==（）（） ，0a ∴= （舍去）． 当2102a a +≥ 即102a -≤<时，f x （）在2102a a +（，）是增函数，在21,2a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭是减函数， ()()22121211212102222max a a a f x f a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+=+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） ，恒成立．得102a -≤< 102a ∴-≤<符合题意．当0a ＞ 时，当x →+∞时，f x →+∞（），这与对于任意的0x ∈+∞（，）时0f x ≤（） 矛盾．故不成立综上所述a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 即答案为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题 （本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：AEC PDB ⊥平面平面； （Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.【答案】(1)见解析 (2)4π 【解析】 【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC ⊥平面PDB ，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC 内一直线与平面PDB 垂直，而根据题意可得AC ⊥平面PDB ；（Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ，根据线面所成角的定义可知∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，在Rt △AOE 中求出此角即可．【详解】（1）证明：∵底面ABCD 是正方形 ∴AC ⊥BD 又PD ⊥底面ABCD PD ⊥AC所以AC ⊥面PDB 因此面AEC ⊥面PDB（2）解：设AC 与BD 交于O 点，连接EO 则易得∠AEO 为AE 与面PDB 所成的角 ∵E 、O中点 ∴EO ＝12PD ∴EO ⊥AO ∴在Rt △AEO 中 OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ∴∠AEO ＝45° 即AE 与面PDB 所成角的大小为45°本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．18.已知焦点为F 的抛物线C ：22(0)x py p =>过点(2,)M m ，且2MF =.（1）求,p m ；（2）过点M 作抛物线C 的切线l ，交y 轴于点N ，求MFN ∆的面积.【答案】（1）2p =1m =（2）1【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，结合抛物线C ：22(0)x py p =>过点()2,M m ，且2MF =. 列出方程组，即可求出,p m ；（2）由24x y =得'2x y =所以斜率为1，进而求得直线方程为1y x =-得()0,1N -，由此可求MFN ∆的面积.试题解析：（1）由4222pm p m =⎧⎪⎨=+⎪⎩得2p = 1m =，； （2）由24x y =得'2x y =所以斜率为1 直线方程为1y x =-得()0,1N -，所以MFN ∆的面积是1.19.已知函数21()23ln 2f x ax ax x b =--+在1x =处切线为420x y +-=. （1）求,a b ；（2）求()f x 在[1,7]x ∈上的值域．【答案】（1）12b =-（2）[23ln 3,103ln 7]--- 【解析】试题分析：（1）求导()3'2f x ax a x =--，由直线斜率为4-，即()'14f =-可求a ；由()12f =-可求b ； （2）由()()()31'x x f x x -+=可知()f x 在[]1,3递减，在(]3,7递增，比较()1f ，()7f ，()3f 的函数值可得()f x 在[]1,7x ∈上的值域.试题解析：（1）()3'2f x ax a x =--，直线斜率为4-，由()'14f =-得1a =；由()12f =-得12b =- （2）()3'2f x x x =-- ()()31x x x-+=得()f x 在[]1,3递减，在(]3,7递增，又()12f =-，()7103ln72f =->-，()323ln3f =--，所以值域是[]23ln3,103ln7---20.在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，1DE EF ==，2DC BF ==，30EAD ︒∠=.（Ⅰ） 求证：AE ⊥平面CDEF ；（Ⅱ）在线段BD 上确定一点G ，使得平面EAD 与平面FAG 所成的角为30︒.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当点G 满足13DG DB =u u u r u u u r 时，平面EAD 与平面FAG 所成角的大小为30︒. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在ADE ∆中，由正弦定理得得sin 1AED ∠=即90AED ︒=∠即AE DE ⊥，在Rt ADE ∆中，可得222AE AP EP +=即AE AB ⊥，即AE EF ⊥，由此可证明AE ⊥平面CDEF . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，DC ∴⊥平面AED ，则平面ABCD ⊥平面AED如图，过D 点作平面ABCD 的垂线DH ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出相应点及向量的坐标，设平面FAG 的一个法向量()1,,n x y z =u r ，令3x λ=-，得)()1331,25n λλλ=---u r . 易知平面EAD 的一个法向量()20,1,0n =u u r .由向量的夹角公式()()()2223133125λλλλ-+-+-3= 化简得29610λλ-+=，13λ∴=. 即当点G 满足13DG DB =u u u r u u u r 时，平面EAD 与平面FAG 所成角的大小为30︒. 试题解析：（Ⅰ）Q 四边形ABCD 是正方形，2AD DC ∴==.在ADE ∆中，sin sin ADDE AED EAD =∠∠，即21sin sin30AED ︒=∠得sin 1AED ∠= 90AED ︒∴∠=，即AE DE ⊥，在梯形ABFE 中，过E 点作//EP BF ，交AB 于点P .//EF AB Q ，2EP BF ∴==，1PB EF ==，1AP AB PB ∴===在Rt ADE ∆中，可求3AE =，224AE AP +=，24EP =∴ 222AE AP EP +=AE AB ∴⊥，AE EF ∴⊥.又EF DE E ⋂=Q ，AE ∴⊥平面CDEF ，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，AE DC ⊥，AD DC ⊥DC ∴⊥平面AED ，又DC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AED如图，过D 点作平面ABCD 的垂线DH ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，132F ⎛ ⎝⎭，()2,0,0A ，332AF ⎛=- ⎝⎭u u u r ()2,2,0DB =u u u r ，.设()2,2,0DG DB λλλ==u u u r u u u r ，[]0,1λ∈，则()22,2,0AG λλ=-u u u r .设平面FAG 的一个法向量()1,,n x y z =u r ，则1n AF ⊥u r u u u r ，1AG n ⊥u r u u u r1100n AF n AG ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即()330,222220,x y z x y λλ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩令3x λ=-，得 )()1331,25n λλλ=---u r . 易知平面EAD 的一个法向量()20,1,0n =u u r .由已知得2112·cos30·n n n n ︒=u r u u r u r u u r ()()()2223133125λλλλ-=+-+- 32=， 化简得29610λλ-+=，13λ∴=. ∴当点G 满足13DG DB =u u u r u u u r 时，平面EAD 与平面FAG 所成角的大小为30︒.21.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2MNF ∆的面积为3，椭圆C 的离心率为3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若3AP PB =u u u r u u u r ，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214y x +=；（Ⅱ）21m -<<-或12m <<． 【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程与几何意义，可利用三角形面积与离心率建立关于,,a b c 的方程，解得,,a b c ；（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，利用根与系数的关系，可得,A B 两点坐标间关系式，据3AP PB =u u u r u u u r，可得斜率k 与m 间关系，利用方程组有解，得出关于m 的不等式，解之得m 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，， 由题意的面积为，由已知得，∴，∴， ∴椭圆的标准方程为． （Ⅱ）显然，设，，由得， 由已知得，即， 且，， 由，得，即，∴， ∴，即． 当时，不成立，∴， ∵，∴，即， ∴，解得或． 综上所述，的取值范围为或.22.已知函数1()2x f x e ax a +=--（其中e 是自然对数的底数.）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当函数()f x 有两个零点1x ，2x 时，证明：122x x +>-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对a 进行分类讨论，确定x 在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（2）先求出221122x x x ln x +-=+，，令2122x t x +=+，求出12411lnt tlnt x x t t +=+---，，问题转化为证明2(1)1t lnt t -+＞，，构造函数2(1)1t F t lnt t -=-+（），，通过函数的单调性证明即可． 试题解析：（1）解：因为()1'x f x e a +=-，当0a >时，令()'0f x =得ln 1x a =-，所以当(),ln 1x a ∈-∞-时，()'0f x <， 当()ln 1,x a ∈-+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在区间(),ln 1a -∞-上单调递减， 在区间()ln 1,a -+∞上单调递增；当0a ≤时，()1'0x f x e a +=->恒成立，故此时函数()f x 在R 上单调递增.（2）证明：当0a ≤时，由（1）知函数()f x 单调递增，不存两个零点，所以0a >， 设函数()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x >. 由题意得：()()1211122 2x x e a x e a x ＝＝++⎧+⎪⎨+⎪⎩，1122ln 21? ln 21? x a ln x x a ln x ∴=++-=++-（）①，（）②，②-①得：221122x x x ln x +-=+③， 令2122x t x +=+ ，则21122t x t x =+-＞，（）， ∴③可化为：1112222211lnt tlnt t x x lnt x x t t +--=∴+=+=--（），，， 12411lnt tlnt x x t t ∴+=+---， 要证：122x x +-＞， 只需证：211lnt tlnt t t +--＞， 即证：2(1)1t lnt t -+＞， 构造函数2(1)1t F t lnt t -=-+（）， ，则()222212(1)1(1)0(1)(1)t t t F t t t t t +---'=-=≥++（）， F t ∴（）在1（，）+∞单调递增， 12102F t F x x ∴=∴+-（）＞（），＞．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用及转化思想.其中（2）求出12x x +， 问题转化为构造新函数，通过求导得到新函数单调性是解题的关键．。
2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)
2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)2017-2018学年度高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.考生必须在答题卡、纸的规定位置上填涂姓名、准考证号、考试科目和试卷类型。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，先用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
答案不能写在试题卷上。
3.第Ⅱ卷答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不按以上要求作答的答案无效。
D。
存在两条异面直线a和b，a在面α上，b在面β上，且a//面β，b//面α。
6.圆心在直线x-y+2=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为A。
x^2+y^2+2x-2y+1=0B。
x^2+y^2-2x+2y+1=0C。
x^2+y^2+2x-2y=0D。
x^2+y^2-2x-2y=07.如图，ABCD是正方体，下面结论错误。
A。
BD//平面CBB。
AC⊥BDC。
AC⊥平面CBD。
异面直线AD与CB的角为60°8.设椭圆C1的离心率为5，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A。
(x^2/2^2) - (y^2/2^2) = 1B。
(x^2/3^2) - (y^2/2^2) = 1C。
(x^2/2^2) - (y^2/3^2) = 1D。
(x^2/3^2) - (y^2/3^2) = 19.正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是A。
πa^3B。
πa^2C。
2πaD。
3πa^210.已知命题p：对于所有的x∈R，sinx≤1，则命题“非p”为A。
存在x∈R，使得sinx≥1B。
对于所有的x∈R，sinx≥1C。
存在x∈R，使得sinx>1D。
重庆市巴蜀中学高二数学上学期期末试题 理(含解析)
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．从集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，则函数y=kx为单调递增的概率为（）A．B．C．D．2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，设圆弧x2+y2=1（x≥0，y≥0）与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M，过圆弧上中点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N．现随机在区域N内投一点B，若设点B落在区域M内的概率为P，则P的值为（）A．B．C．D．4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 是异面直线的一个图是（）A．B．C．D．5．设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，96．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α7．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若，线段AB 的中点到直线的距离为1，则p的值为（）A．1 B．1或3 C．2 D．2或68．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到面对角线BC1的距离相等，则点P的轨迹是（）A．线段 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．若直线mx+ny﹣5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或211．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直12．设（x﹣1）﹣ax+2a恰有小于1两个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．14．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣3.2x+，则a= ．价格x（元）9 9.5 10 10.5 11销售量y（件）11 10 8 6 515．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．双曲线关于两坐标对称，且与圆x2+y2=10相交于点P（3，﹣1），若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，此双曲线的方程为．三、解答题17． 2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（1）求证：DA1⊥ED1；（2）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值．19．已知动圆C过点（1，0），且于直线x=﹣1相切．（1）求圆心C的轨迹M的方程；（2）A，B是M上的动点，O是坐标原点，且，求证：直线AB过定点，并求出该点坐标．20．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=，AB∥CD，∠ADC=90°．（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD；（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21．已知平面上的动点P（x，y）及两个定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别为K1，K2且K1K2=﹣（1）求动点P的轨迹C方程；（2）设直线L：y=kx+m与曲线 C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距离（O为坐标原点）．22．已知函数f（x）=x2+2x+a•lnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．从集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，则函数y=kx为单调递增的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】集合思想；综合法；概率与统计．【分析】列举基本事件，运用公式计算即可．【解答】解：∵集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，∴函数y=kx，即为；y=2x，y=3x，y=﹣4x，共三个函数，∵单调递增的概率为；y=2x，y=3x，共两个函数，∴概率为，故选：D．【点评】本题考查了古典概率的题目，关键是确定基本事件，利用古典概率的计算公式计算即可．2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．3．如图，设圆弧x2+y2=1（x≥0，y≥0）与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M，过圆弧上中点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N．现随机在区域N内投一点B，若设点B落在区域M内的概率为P，则P的值为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据条件求出A的坐标，以及过A的直线方程，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵A是圆弧上的中点，∴A（1，1），则OA的斜率为k=1，则过A的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，则直线y=﹣x+2与坐标轴的交点为（2，0），（0，2）对应三角形的面积S==2，M的面积S==，则点B落在区域M内的概率为P==，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据直线和圆的位置关系求出切线方程，以及对应的区域面积是解决本题的关键．4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 是异面直线的一个图是（）A．B．C．D．【考点】异面直线的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来．【解答】解：A 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件．B 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件．D 中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件．C 中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件．故选 C【点评】本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断2条直线的位置关系，属于基础题．5．设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题．【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，r3，球半径为R，则：∴r12：r22：r32=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9故选D【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力．6．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由直线与平面垂直的性质定理知m⊥n，故B正确；若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊂β或m与β相交，故C错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：B．【点评】本题考是命题的真假判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若，线段AB 的中点到直线的距离为1，则p的值为（）A．1 B．1或3 C．2 D．2或6【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图，设AB中点为M，A、B、M在准线l上的射影分别为C、D、N，连接AC、BD、MN．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据抛物线定义和梯形的中位线定理，列式并化简整理可得|2﹣p|=1，解之得p=1或3．【解答】解：分别过A、B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得∴梯形ACDB中，中位线MN=（）=2，可得x0+=2，x0=2﹣，∵线段AB的中点M到直线的距离为1，可得|x0﹣|=1∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3故选：B．【点评】本题给出抛物线的弦AB中点到直线的距离为1，并且F到A、B的距离之和为4的情况下求抛物线的解析式．着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．8．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．【点评】若，则有0＜b＜a．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到面对角线BC1的距离相等，则点P的轨迹是（）A．线段 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC1，连接PF，由线面垂直的判定定理、定义可得：PF是P到BC1的距离，以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系，利用条件建立方程，化简后判断出点P的轨迹．【解答】解：假设正方体边长为1，作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC1，连接PF，因为PE⊥CC1，BC∩CC1=C，所以PE⊥平面BCB1C1，则PE⊥BC1，又EF⊥BC1，PE∩EF=E，所以BC1⊥平面PEF，则BC1⊥PF，所以PF是P到对角线BC1的距离，以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系；设任意一点P（x，y），到直线AD距离为|y|，到BC的距离PE=1﹣y，在RT△BEF中，BE=1﹣x，EF=，在RT△PEF中，PF==，因为P到棱AD的距离与到对角线BC1的距离相等，所以|y|=，化简得，（x﹣1）2=﹣4y+2（y），所以点P的轨迹是抛物线的一部分，故选：D．【点评】本题考查轨迹方程以及轨迹，线面垂直的判定定理、定义，考查学生分析解决问题的能力，确定轨迹方程是关键．10．若直线mx+ny﹣5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】先根据题意可知原点到直线mx+ny﹣5=0的距离大于等于求得m和n的范围可推断点P（m，n）是以原点为圆心，为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=5内切于椭圆，进而可知点P是椭圆内的点，进而判断可得答案．【解答】解：原点到直线mx+ny﹣5=0的距离d=＞∴m2+n2＜5∴点P（m，n）是以原点为圆心，为半径的圆内的点∵椭圆的长半轴，短半轴为∴圆x2+y2=5内含于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2故选C【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．可采用数形结合的方法较为直观．11．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD 取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B【点评】本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题12．设（x﹣1）﹣ax+2a恰有小于1两个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【专题】证明题；数形结合；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=0，使用分离参数法得a=，则令g（x）=，求出g（x）在（﹣∞，1）上的值域．则根据a=g（x）有两解得出a的范围．【解答】解：令f（x）=0得e（x﹣1）=ax﹣2a，∴a=．令g（x）=．则g′（x）==e•（x﹣3）．令g′（x）=0，得x=0或x=3．当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，1]上是减函数，∵，g（0）=，g（1）=0，∴g（x）在（﹣∞，1）上的值域为（0，]．作出g（x）在（﹣∞，1）上函数的大致图象如图：∵（x﹣1）﹣ax+2a恰有小于1两个零点，∴a=g（x）在（﹣∞，1）上有两解．∴0＜a．故选A．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的值域，零点的个数判断，借助函数图象可比较方便的得出结论．二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为6+2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】由几何体的三视图得到该几何体是三棱锥S﹣ABC，其中SA⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，SA=AB=AC=2，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是三棱锥S﹣ABC，其中SA⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，SA=AB=AC=2，∴SA=SC=BC==2，△SAC≌△SAB≌△ABC，∴该几何体的表面积：S=3S△SAB+S△SBC=3××=6+2．故答案为：6+2．【点评】本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．14．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣3.2x+，则a= 40 ．价格x（元）9 9.5 10 10.5 11销售量y（件）11 10 8 6 5【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】先计算平均数，再利用线性回归直线方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意， =10， =8∵线性回归直线方程是，∴8=﹣3.2×10+a∴a=40故答案为：40【点评】本题考查线性回归方程，利用线性回归直线方程恒过样本中心点是解题的关键．15．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 2 ．【考点】点到直线的距离公式；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为2【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．16．双曲线关于两坐标对称，且与圆x2+y2=10相交于点P（3，﹣1），若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，此双曲线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出圆在P处的切线斜率，根据焦点的位置不同分情况讨论，使用待定系数法列方程解出．【解答】解：圆x2+y2=10在P（3，﹣1）处的切线斜率为3．（1）若焦点在x轴上，设双曲线方程为，∴，解得a2=，b2=80．∴双曲线方程为．（2）若焦点在y轴上，设双曲线方程为，∴，方程无解．故答案为．【点评】本题考查了双曲线的方程，渐近线方程，曲线的切线，属于中档题．三、解答题17．2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．【考点】等可能事件的概率；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】概率与统计．【分析】（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14种所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．【点评】解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（1）求证：DA1⊥ED1；（2）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据已知条件中的垂直关系，建立空间直角坐标系，要证明DA1⊥ED1，只需证明=0即可，建立空间直角坐标系后，写出有关点的坐标，得到向量和的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算．（2）先利用求平面法向量的计算公式，求出平面CED1的法向量，由已知直线与平面成角为45°，利用夹角公式得到方程，解出的值．【解答】证明：（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1），•=﹣1+0+1=0，所以DA1⊥ED1．解：（2）设平面CED1的一个法向量为=（x，y，z），∵， =（1，m﹣1，0），∴，取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．∵直线DA1与平面CED1成角为45o，∴sin45°===，解得m=．∴的值为．【点评】本题主要以正方体为几何背景考查线线垂直、线面角、点到直线的距离、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、计算能力．19．已知动圆C过点（1，0），且于直线x=﹣1相切．（1）求圆心C的轨迹M的方程；（2）A，B是M上的动点，O是坐标原点，且，求证：直线AB过定点，并求出该点坐标．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）利用动圆C过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，可得圆心C的轨迹M是以（1，0）为焦点的抛物线，即可得到动点M的轨迹方程．（2）先设点A，BD的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），因为A，B两点在抛物线y2=4x上，代入抛物线方程，找出每个点横纵坐标的关系式，再因为，得到x1x2+y1y2=﹣4，设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，可求t的值，即可求出该定点P的坐标．【解答】解：（1）动圆C过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，∴圆心C的轨迹M是以（1，0）为焦点的抛物线，∴圆心C的轨迹M的方程为y2=4x；（2）设点A，B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．∵A，B在抛物线y2=4x上，∴y12=4x1，y22=4x2，即x1+x2=，x1x2=．又，∴x1x2+y1y2=﹣4，∴+y1y2=﹣4，∴y1y2=﹣8．设直线AB的方程为x=my+n，联立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，∴﹣4n=﹣8⇒n=2，∴直线AB的方程为x=my+2，∴直线AB恒过定点，且定点坐标为（2，0）．【点评】本题主要考查了直接法求轨迹方程，以及直线与抛物线相交关系的判断，关键在于若何找到各参数之间的关系，减少参数的个数．20．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=，AB∥CD，∠ADC=90°．（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD；（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题；综合题；转化思想．【分析】（1）当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．取PD的中点E，连AE、EQ．只需证明平面PAD外的直线BQ平行于平面PAD内的直线AE，即可．（2）要证平面PBC⊥平面PCD，只需证明AE垂直平面PAD内的两条相交直线CD、PD，BQ∥AE，BQ⊂平面PBC即可；（3）法一，说明∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，然后求平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值．法二：建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，平面PAD的法向量，利用向量的数量积求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）解：当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．证明如下：如图，取PD的中点E，连AE、EQ．∵Q为PC中点，则EQ为△PCD的中位线，∴EQ∥CD且．∵AB∥CD且，∴EQ∥AB且EQ=AB，∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．∵BQ⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BQ∥平面PAD．（2）证：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．∵BQ⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．（3）解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．∵BQ∥平面PAD，BQ⊂平面PBC，∴BQ∥l．∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．设，则，，故．∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．解法二：如图建立直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），则，．设平面PBC的法向量为，则由，取．由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量为．设所求锐二面角的大小为θ，则．∴所求锐二面角的余弦值为．【点评】本题主要考查四棱锥的有关知识，涉及线面、面面位置关系的判定与证明，还有二面角的计算．高考立体几何综合题大都以棱柱和棱锥为载体，综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力．空间角的计算一般有传统法和坐标向量法两种基本方法，前者着重思维，后者重在向量的坐标运算，各有优点，解题时既要具体问题具体分析，又要考虑到考生本人对这两种方法掌握的熟练程度而定．21．已知平面上的动点P（x，y）及两个定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别为K1，K2且K1K2=﹣（1）求动点P的轨迹C方程；（2）设直线L：y=kx+m与曲线 C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距离（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直接由直线PA，PB的斜率乘积等于﹣列式求解；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，再由OM⊥ON，得到两线段对应的向量的数量积等于0，列式求得k与m的关系，然后由点到直线的距离公式整体计算求得O点到直线L的距离．【解答】解：（1）设P（x，y），由已知得，整理得x2+4y2=4，即（x≠±2）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，得4k2+1﹣m2＞0．，∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=，∴．∴，满足4k2+1﹣m2＞0．∴O点到l的距离为，即．∴．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了点到直线的距离公式，体现了整体运算思想方法，是高考试卷中的压轴题．22．已知函数f（x）=x2+2x+a•lnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．【专题】综合题．【分析】（1）由f（x）=x2+2x+a•lnx，得，要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．由此能求出实数a 的取值范围．。
2017-2018年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=12．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x03．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1 6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．197．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+128．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q 两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=1【解答】解：双曲线的标准方程为﹣y2=1，可得a=2，b=1，由于渐近线方程为y=±x，即为y=±x．即x±2y=0．故选：A．2．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为：￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0．故选：D．3．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，a=3，b=4，c=5，则|PF2|≥a+c=8，则|PF2|的长度不可能为：7．故选：A．4．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1），a∥b，c∥b⇒a∥b，根据空间平行线的传递性，可判定（1）正确；对于（2），a⊥c，b⊥c⇒a与b可能相交、平行、异面，故（2）错；对于（3），a∥α，α∩β=b⇒a∥b或a、b异面，故（3）错；对于（4），a⊥α，b⊥α⇒a∥b，根据线面垂直的性质，可判定（4）正确；故选：B．5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1【解答】解：由，得3x2+4mx+2m2﹣2=0，结合题意△=16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，解得：﹣＜m＜，故﹣＜m＜的一个充分不必要条件是：0≤m＜1，故选：D．6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．19【解答】解：当m=187，n=85时，r=17，m=85，n=17，不满足退出循环的条件；当m=85，n=17时，r=0，m=17，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为17，故选：C．7．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+12【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个下底边长为4，上底边长为2，高为2的正四棱台，故下底面面积为：16，上底面面积为：4，棱台的侧高为=，故侧面积为：4×（2+4）×=12，故该几何体的表面积为20+12，故选：C．8．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点O，连结OC，∵在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，∴OC⊥AB，设AD=1，则OC=OA=OB=1，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣1，0），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，，），=（1，﹣1，0），设折叠后直线AD，BC所成角为θ，则cosθ===．∴折叠后直线AD，BC所成的余弦值为．故选：B．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）【解答】解：∵椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，利用椭圆的定义，∴椭圆C上存在点M使得|MF2|=，又∵|MF2|∈[a﹣c，a+c]，∴a﹣c≤≤a+c，解得，则C的离心率e的范围是[），故选：B．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆【解答】解：由题意可得过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，所有动直线构成以直线A1A为轴线的圆锥面，且半锥角为，如图轴线与平面BDC1所成的角为∠CC1H，设正方体的边长为1，可得CH=，C1H=，可得sin∠CC1H=＞，可得∠CC1H大于半锥角，则这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为椭圆．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：如图：四棱锥C﹣EFD1B1的体积为：=8﹣﹣=3．故选：C．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）【解答】解：圆O：x2+y2=1，圆心（0，0），半径为1．设AB的中点为M，切点为N，连OM，则|NM|=|MA|=|MB|，|OM|﹣|MN|=|ON|=1，可得M的轨迹是双曲线的右支，a=，c=1，则b=，双曲线的中心（1，0），实轴在x轴上，双曲线方程为：，x＞0动点B（x，y），则M（，），可得，即x2﹣=1（x＞0）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为31．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，k=2，s=3；当k=2时，满足进行循环的条件，k=4，s=7；当k=4时，满足进行循环的条件，k=6，s=13；当k=6时，满足进行循环的条件，k=8，s=21；当k=8时，满足进行循环的条件，k=10，s=31；当k=10时，不满足进行循环的条件，故输出的k值为31，故答案为：31．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为（9，25] ．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，可得，解得：9＜k≤25．则k的范围为：（9，25]．故答案为：（9，25]．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，∠BAC=，由余弦定理可得BC==，设底面ABC的小圆半径为r，则，可得r=连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R，则R=∴外接球的表面积S=4πR2=故答案为：．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．【解答】解：如图，l为该双曲线的左准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵=，|QF1|=2|PF1|，∴=，|QQ1|=2d；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：==；∴解得d=（c﹣）∵根据双曲线的定义，|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF1|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，=，整理成：（e﹣1）（3e﹣5）=0∴双曲线的离心率为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题P是真命题时，可得：（a﹣2）2﹣4≤0，解得a∈[0，4]；x∈[2，3]，x﹣1≥1，x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x=2时取等号，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．可得a＞3．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，可得两个命题一真一假，依题意p为真，q为假时：可得a∈[0，3]；q真p假时，a∈（4，+∞）实数a的取值范围：[0，3]∪（4，+∞）．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m≠n．m＞0，n＞0），∵椭圆C过点A（，），B（﹣1，﹣）．∴，解得m=，n=，∴该椭圆的标准方程为．（2）椭圆的左焦点F（﹣1，0），过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣1，则A（﹣1，），B（﹣1，﹣），|AB|=3，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），联立，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，∴=，解得k=±1，∴直线l的方程为y=±（x+1），即x+y+1=0或x﹣y+1=0．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AC，∵六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，∴AC⊥BD，AF⊥BD，∵AC∩AF=A，∴BD⊥平面ACF，∵CF⊂平面ACF，∴DB⊥CF．（法二：向量法）：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），F（0，0，3），=（2，﹣2，0），=（﹣2，﹣2，3），=﹣4+4+0=0，∴BD⊥CF．解：（2）E（0，2，2），=（﹣2，2，2），=（﹣2，0，3），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（3，1，2），设直线CF与平面DEF所成角为θ，则sinθ===．∴直线CF与平面DEF所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AB 1，交A1B于点O，连结OD，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1的中点，∵D是棱CC1的中点，∴OD∥PB1，∵OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（法二：向量法）：以A1为原点，A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=1，AC=AA1=2，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，∴P（0，4，0），B1（1，0，0），A1（0，0，0），B（1，0，2），D（0，2，1），=（1，﹣4，0），=（1，0，2），=（0，2，1），设平面BDA1的法向量=（x，y，z），则，取z=﹣2，得=（4，1，﹣2），∵•=0，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．解：（2）=（1，0，0），=（0，2，1），设平面A1B1D的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，﹣2），平面BDA1的法向量=（4，1，﹣2），设二面角B1﹣A1D﹣B的平面角为θ．则cosθ===．∴二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值为．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB：y=﹣（x﹣c），代入椭圆方程，化简得（a2+4b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣4a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=﹣+c∵+=（x1+x2，y1+y2）与=（2，1）平行，∴2（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，∴2（﹣+c）﹣=0，∴3a2=4b2=4（a2﹣c2），∴4c2=a2，∴2c=a，∴e==；（2）由（I）知a2=b2，所以椭圆可化为3x2+4y2=4b2，F（c，0），设M（x，y），由已知=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），∴∵M（x，y）在椭圆上，即（λ﹣μ）2（3x12+4y12）+2（λ2﹣μ2）（3x1x2+4y1y2）+（λ+μ）2（3x22+4y22）=4b2．①由（1）知a2=4c2，b2=3c2．∴x1+x2=，x1x2=﹣c2，∴y1y2=（﹣x1+c）（﹣x2+c）=（x1x2﹣c（x1+x2）+c2）=﹣c2，∴3x1x2+4y1y2=﹣c2﹣c2=﹣c2，又3x12+4y12=4b2=12c2，3x22+4y22=4b2=12c2，代入①得λ2+47μ2=12．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q 两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0，得（x﹣2）2+y2=36，∵|CM|=|CN|，MC∥DP，∴∠CMN=∠CNM=∠PDN，|PD|=|PN|，故|PD|+|PC|=|PN|+|PC|=|CN|=6，由题设得D（﹣2，0），C（2，0），|PD|+|PC|=6＞|CD|=4，由椭圆定义可得点P的轨迹方程为：（y≠0）；（2）由题意可设l1的方程为y=k（x+2）（k≠0），E（x1，y1），F（x2，y2），联立，得（9k2+5）x2+36k2x+36k2﹣45=0，则x1+x2=，x1x2=，∴|EF|===．直线l2的方程为y=，联立，解得，．不妨取k＞0，则∴P（﹣，+），Q（，﹣），则P到直线kx﹣y+2k=0的距离=．Q到直线kx﹣y+2k=0的距离=．∴四边形PEQF面积：S=====∈（10，）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知函数f（x）=3+bx2+1在x=2处取得极值，则b=（）A．﹣1 B．1 C．D．2．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．603．（5分）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有e x＞x+1”的否定形式是（）A．∀x∈（﹣∞，0），均有e x≤x+1 B．∃x∈（﹣∞，0），使得e x≤x+1C．∀x∈[﹣∞，0），均有e x＞x+1 D．∃x∈[﹣∞，0），使得e x＞x+14．（5分）“x2＜x”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）A．4 B．﹣5 C．14 D．﹣236．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n8．（5分）已知函数f（x）=ax﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤19．（5分）如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞910．（5分）已知点P为椭圆+=1上的一点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（）A．4 B．4 C．D．11．（5分）已知点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的线段BD1上，则cos∠APC最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若双曲线=1（m＞0）的离心率为2，则m=．14．（5分）已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x，g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．18．（12分）已知焦点为F的抛物线C：x2=2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|=2．（1）求p，m；（2）过点M作抛物线C的切线l，交y轴于点N，求△MFN的面积．19．（12分）已知函数f（x）=﹣2ax﹣3lnx+b在x=1处切线为4x+y﹣2=0．（1）求a，b；（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．20．（12分）在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，DE=EF=1，DC=BF=2，∠EAD=30°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=e x+1﹣kx﹣2k（其中e是自然对数的底数，k∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2时．证明：x1+x2＞﹣2．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知函数f（x）=3+bx2+1在x=2处取得极值，则b=（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=3+bx2+1，可得f′（x）=x2+2bx，∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4+4b=0，解得：b=﹣1；故选：A．2．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．60【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．∴==30．故选：C．3．（5分）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有e x＞x+1”的否定形式是（）A．∀x∈（﹣∞，0），均有e x≤x+1 B．∃x∈（﹣∞，0），使得e x≤x+1C．∀x∈[﹣∞，0），均有e x＞x+1 D．∃x∈[﹣∞，0），使得e x＞x+1【解答】解：命题“∀x∈（﹣∞，0），均有e x＞x+1”的否定形式是：∃x∈（﹣∞，0），使得e x≤x+1．故选：B．4．（5分）“x2＜x”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“x2＜x”解得0＜x＜1，由“”解得0＜x≤1，故“x2＜x”是“”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）A．4 B．﹣5 C．14 D．﹣23【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，i=1满足条件i≤4，执行循环体，S=﹣1，i=2满足条件i≤4，执行循环体，S=4，i=3满足条件i≤4，执行循环体，S=﹣5，i=4满足条件i≤4，执行循环体，S=14，i=5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为14．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分，第一部分导数小于零，第二部分导数大于零，第三部分导数小于零，则相应的，第一部分原函数为减函数，第二部分原函数为增函数，第三部分原函数为减函数；满足题意只有D．故选：D．7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=ax﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1【解答】解：∵函数y=ax﹣lnx在（1，+∞）内单调递增，∴当x＞1时，y′=a﹣≥0恒成立，即a≥，∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞），故选：B．9．（5分）如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞9【解答】解：第一次运行，i=10，满足条件，S=10×1=10，i=9第二次运行，i=9，满足条件，S=10×9=90，i=8，第三次运行，i=8，满足条件，S=90×8=720，i=7，此时不满足条件，输出S=720，故条件应为，8，9，10满足，i=7不满足，故条件为：i＞7，故选：B．10．（5分）已知点P为椭圆+=1上的一点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（）A．4 B．4 C．D．【解答】解：如图所示：设P的坐标为（2cosθ，sinθ），由A（2，0），B（0，），则直线AP的方程为y=（x﹣2），令x=0时，则y=，即M（0，），∴|BM|=|+|=||，则直线BP的方程为y﹣=x，令y=0，则x=，即N（，0），∴|AN|=|2﹣|=2||，∴|AN|•|BM|=2=2•2×=4，故选：B．11．（5分）已知点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的线段BD1上，则cos∠APC最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AP，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则D1（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），设P（a，b，c），=，0≤λ≤1，∴（a，b，c﹣1）=（λ，λ，0），∴P（λ，λ，1﹣λ），=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）．∴cos∠APC=cos＜＞===．∵0≤λ≤1，∴3λ2﹣4λ+2∈[]，则cos∠APC∈[]．∴cos∠APC最小值为．故选：B．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=8，即有m=8，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞8，则c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞，则e1•e2＞，∴e1•e2的取值范围为（，+∞）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若双曲线=1（m＞0）的离心率为2，则m=．【解答】解：双曲线=1（m＞0）的a=m，b=1，c=，则e===2，解得，m=．故答案为：．14．（5分）已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为12．【解答】解：抛物线的准线方程为：x=﹣4，焦点为F（4，0），过A向准线作垂线，垂足为B，∴|PA|+|PF|≥|AB|=12．故答案为：12．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为5π．【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=，PA=，∴PB=，可得外接球半径R=PB=，∴外接球的表面积S=4πR2=5π．故答案为5π．16．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x，g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为[﹣，0] ．【解答】解：由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）=g（0）=0．最小值对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，（1）当a=0时，f（x）=﹣x，对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，∴a=0符合题意；（2）当a＜0时，f（x）=ax2﹣（2a+1）x的图象是开口向下的抛物线，且f（0）=0，要使不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则对称轴x=，即2a+1≥0，a，得﹣≤a＜0；（3）当a＞0时，f（x）=ax2﹣（2a+1）x的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=＞0，而f（x）=0，∴当a＞时，f（x）＞0，不合题意．综上，a的取值范围为[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．18．（12分）已知焦点为F的抛物线C：x2=2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|=2．（1）求p，m；（2）过点M作抛物线C的切线l，交y轴于点N，求△MFN的面积．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，由题意可得4=2pm，2=m+得m=1，p=2；（2）由y=得y′=，所以切线的斜率为1，切线方程为y=x﹣1，得N（0，﹣1），由M（2，1），F（0，1），所以△MFN的面积是×2×1=1．19．（12分）已知函数f（x）=﹣2ax﹣3lnx+b在x=1处切线为4x+y﹣2=0．（1）求a，b；（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣2ax﹣3lnx+b在x=1处切线为4x+y﹣2=0．∴f′（x）=ax﹣2a﹣，x＞0，直线4x+y﹣2=0斜率为﹣4，由f′（1）=a﹣2a﹣3=﹣4，解得a=1，由f（1）==﹣2，解得b=﹣．（2）=，由f′（x）＞0，得0＜x＜3，由f′（x）＜0，得x＞3，∵x∈[1，7]，∴f（x）的减区间是（1，3），减区间是（3，7]，又f（1）=﹣2，f（7）=10﹣3ln7＞﹣2，f（3）=﹣2﹣3ln3，∴f（x）在x∈[1，7]上的值域是[﹣2﹣3ln3，10﹣3ln7]．20．（12分）在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，DE=EF=1，DC=BF=2，∠EAD=30°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=2．在△ADE中，=，即，得sin∠AED=1，∴∠AED=90°，即AE⊥DE，在梯形ABEF中，过E点作EF∥BF，交AB于点P．∵EF∥AB，∴EP=BF=2，PB=EF=1，∴AP=AB=PB=1，在Rt△ADE中，AE=，AE2+AP2=4，EP2=4，∴AE2+AP2=EP2，∴AE⊥AB，∴AE⊥EF．又∵EF∩DE=E，∴AE⊥平面CDEF．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AE⊥DC，AD⊥DC，∴DC⊥平面AED，又DC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AED，如图，过D点作平面ABCD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D（），0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（），A（2，0，0），=（﹣，1，），=（2，2，0），设==（2λ，2λ，0），λ∈[0，1]，则=（2λ﹣2，2λ，0）．设平面FAG的一个法向量=（x，y，z），则，令x=﹣，得=（﹣）．平面EAD的一个法向量=（0，1，0）．由已知得cos30°===，化简得9λ2﹣6λ+1=0，解得．∴当点G满足=时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30°．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y=c时，，由题意△MNF2的面积为，由已知得，∴b2=1，∴a2=4，∴椭圆C的标准方程为=1．﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，∴，，﹣﹣﹣（6分）由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，由，得﹣x1=3x2，即x1=﹣3x2，∴，﹣﹣﹣（8分）∴，即m2k2+m2﹣k2﹣4=0．当m2=1时，m2k2+m2﹣k2﹣4=0不成立，∴，﹣﹣﹣（10分）∵k2﹣m2+4＞0，∴＞0，即，∴1＜m2＜4，解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为{m|﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2}．﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知函数f（x）=e x+1﹣kx﹣2k（其中e是自然对数的底数，k∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2时．证明：x1+x2＞﹣2．【解答】解：（1）由f（x）=e x+1﹣kx﹣2k，x∈R，得f'（x）=e x+1﹣k，①当k≤0时，则f'（x）=e x+1﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；②当k＞0时，由f'（x）=e x+1﹣k＞0，得到x+1＞lnk，即x＞lnk﹣1，由f'（x）=e x﹣1﹣k＜0，得到x+1＜lnk，即x＜lnk﹣1所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk﹣1）；综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk ﹣1）；（2）设x2＞x1，由题意得：，∴x1=lnk+ln（x1+2）﹣1①，x2=lnk+ln（x2+2）﹣1②，②﹣①得：x2﹣x1=ln③，令t=，则t＞1，x2=t（x1+2）﹣2，∴③可化为：t（x1+2）﹣2﹣x1=lnt，∴x1+2=，x2+2=，∴x1+x2=+﹣4，要证：x 1+x2＞﹣2，只需证：+＞2，即证：lnt＞，构造函数F（t）=lnt﹣，则F′（t）=﹣=≥0，∴F（t）在（1，+∞）递增，∴F （t ）＞F （1）=0， ∴x 1+x 2＞﹣2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。