9 第九章 力矩分配法(渐近法)
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09渐进法与近似法
E BC杆件看作：一端固定一端滑动单元。
i
C
A
B
其中：
AB
i 3i i
0.25
AD AB BA
0.75 0.25 0.2
BE
0.6
C BC CB
0.2
BC
i 3iii
0.2
FBgC
2FPL16kN 2
9.6
-8.0 -8.0 -4.8 4.8 3.2 -3.2
-16.0 -16.0
对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。 因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静 定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。
FP B
D
E
A
C
§9-4 无剪力分配法
例1：用力矩分配法计算图示刚架。Fra bibliotek4kN
i
A
i
4kN
i B
D 图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的， 因此可以采用无剪力分配法计算，即把AB
2）支座沉降而非载荷因素问题时，将其视为“广义载 荷”求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静 定梁的杆端内力表求得）。
3）对于对称结构，取半结构计算。 4）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常
宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。
§9-4 无剪力分配法
1、概述 1）两类刚架的区别
在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移 刚架两类，它们的区别在位移法的基本未知量。 无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移；
对其它层杆件的影响很小。 为了简化计算，由此作如下假设： 1）在竖向荷载作用下，忽略刚架的侧移； 2）作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。
§9-5 近似法
i
C
A
B
其中：
AB
i 3i i
0.25
AD AB BA
0.75 0.25 0.2
BE
0.6
C BC CB
0.2
BC
i 3iii
0.2
FBgC
2FPL16kN 2
9.6
-8.0 -8.0 -4.8 4.8 3.2 -3.2
-16.0 -16.0
对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。 因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静 定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。
FP B
D
E
A
C
§9-4 无剪力分配法
例1：用力矩分配法计算图示刚架。Fra bibliotek4kN
i
A
i
4kN
i B
D 图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的， 因此可以采用无剪力分配法计算，即把AB
2）支座沉降而非载荷因素问题时，将其视为“广义载 荷”求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静 定梁的杆端内力表求得）。
3）对于对称结构，取半结构计算。 4）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常
宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。
§9-4 无剪力分配法
1、概述 1）两类刚架的区别
在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移 刚架两类，它们的区别在位移法的基本未知量。 无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移；
对其它层杆件的影响很小。 为了简化计算，由此作如下假设： 1）在竖向荷载作用下，忽略刚架的侧移； 2）作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。
§9-5 近似法
09第九章_力矩分配法
09第九章_力矩分配法第九章力矩分配法本章的问题：A.力矩分配法的适用条件是什么？B.什么叫固端弯矩？约束力矩如何计算？C.什么是转动刚度、分配系数和传递系数？D.什么是不平衡力矩？如何分配？E.力矩分配法的计算步骤如何？F.对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的？力矩分配法是位移法的渐近法。
适用于连续梁和无结点线位移的刚架。
§ 9－1力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，属于位移法的渐近方法。
适用范围：是连续梁和无结点线位移的刚架。
针对本方法，下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。
1、名词解释（1）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
杆端的转动刚度以S表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
图9－1给出了等截面杆件在A端的转动刚度S AB的数值。
关于S AB 应当（1）在S AB（2）S AB在图9－1中，由图9－1远端固定：远端简支：远端滑动：远端自由：i图9－1各种结构的转动刚度（2）分配系数图9－2所示三杆AB 、AD 、AC 在刚结点A 连接在一起。
远端B 、C 、D 端分别为固定端，滑动支座，铰支座。
假设有外荷载M 作用在A 端，使结点A 产生转角θA ，然后达到平衡。
试求杆端弯矩 M AB 、 M AC 、 M AD 。
由转动刚度的定义可知：M AB = S AB θA = 4i AB θA M AC = S AC θA = i AC θA M AD= S AD θA = 3i AD aθM A θ=式中将A θ即：杆AB的转动刚度与交于A点的各杆的转动刚度之和的比值。
注意：同一结点各杆分配系数之和应等于零。
即Σμ=μAB+μAC+μAD=1总之：作用于结点A的力偶荷载M，按各杆端的分配系数分配于各杆的A端。
（3）传递系数在图9－2中，力偶荷载M作用于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。
由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：M AB = 4i ABθA M B A = 2i ABθAM AC = i ACθA M CA =－i ACθAM AD =3i ADθA M DA = 0由上式可看出，远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数用C AB表示。
9 Eng 第九章 渐近法
Section 2 Basic concepts and principles of successive approximation methods
I. Sign convention（符号规定） Sign convention adopted in this chapter is the same as that adopted for the displacement method： clockwise member end moments are considered positive; counterclockwise member end moments are negative.
所谓力矩分配过程就是将结点固定时出现在结点处的不平衡力矩加反号相对于放松结点并按照汇交于该结点的各杆的分配系数分配
结构力学讲稿
Course of Structural Mechanics 第九章 渐近法 Chapter 9 Method of successive approximation method
Table 9.1 Bending stiffness 抗弯刚度
Fraend restraint conditions远端支撑条件
Models 模型图
Bending stiffness抗弯 刚度
The farend is fixed 远端为固定
S AB
S AB
EI 4 4i l
EI 3 3i l
2、 And at the same time the nearend moments will be carryovered to the farends of the members, the carryovered moment of the farends is named farend bending moment, which equals to the multiplication of the nearend moment and the carryover factor. This method of analysis is called moment distribution method. 同时近端弯矩将会传到远端，称为远端弯矩， 大小为近端弯矩乘以传递系数。这种方法称为 力矩分配法。
结构力学 第九章07 渐近法
j =1
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
力矩分配法
iAB=EI/8=3i iBC=EI/6=4i
4(3i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2
, 3(4i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2 BC
BA
将分配系数写在B结点下方的方框内。
(2) 计算各杆端的固端弯矩MF(查表8-1)。
ql2 1282
MF
64kN m
AB
12
图见图9-4(b)所示 。
为了计算更加简单起见,分配弯矩Mμ,及传递弯矩MC的具体 算式可不必另写,而直接在图9-4表格上进行即可. 例9-2 计算图9-5(a)所示刚架的M图。
解: (1) 计算分配系数 。
设i=EI/4, iAB=EI/4=i, iAC=EI/4=i, iAD=2EI/4=2i。
BA
BA
BA
AB
AB
AB
以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加 刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩 MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉
附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求 出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续 梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。 用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格 式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。
第一步放松C结点。
C结点的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，将其反号分配：
M 283/ 7 12kN m M 28 4 / 7 12kN m
CD
CB
80kN
60kN
11kN/m
(a)
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
结构力学第9章渐进法
EI
1 6m
EI
2
EI
3
12 m
6m
12 m
解:
(1) 首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。 结点2的分配系数为
21
(2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。 结点1的分配系数为
10 12
S S
S12
S10
(1)
4i 1 4i 4i 2
S
S 21
( 2)
4i 4 4i 3i 7 3i 3 4i 3i 7
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
结点２分配传递 +3.4
+0.2
-13.8
+0.5
-27.5 -20.7 +3.4
-1.9 -1.5
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
9
A
B
C
1 6m
EI
2
EI
3
12 m
6m
12 m
解:
(1) 首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。 结点2的分配系数为
21
(2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。 结点1的分配系数为
10 12
S S
S12
S10
(1)
4i 1 4i 4i 2
S
S 21
( 2)
4i 4 4i 3i 7 3i 3 4i 3i 7
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
结点２分配传递 +3.4
+0.2
-13.8
+0.5
-27.5 -20.7 +3.4
-1.9 -1.5
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
9
A
B
C
第九章 力矩分配法3-2
9.4 无剪力分配法
一、两个概念
1、有侧移杆与无侧移杆
杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆
杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆
2、剪力静定杆 杆件内的各截面剪力可以 由静力平衡条件唯一确定 的杆称为剪力静定杆
B
A C
A
图（A）
二、无剪力分配法
1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A水平移动时，竖杆除 受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。 位移法解题：一般A处加刚臂，C点加支杆，基本结构如右下图 力矩分配法：通常只适用于计算仅以节点角位移为基本未知量
B
SBA
SBC 1
B C
i2
1
i2
0.2 0.8
3i1
-2.67 -3.75 1.28 5.14
-1.39 1.39 -5.33
i2 A
CBA 1
1.39
1.39 5.70
-1.28 -6.61
S BA i2 3 S BC 3i1 12 3 BA 3 12 0.2 12 0.8 BC 3 12
A
图（C）
B
A
A
图（D）
B
A
加刚臂阻止转动 放松节点使产生真实转角 A
A
C
A
C
SAC= 3iAC
SAB= iAB
A
B
A
(节点A处产生 不平衡力矩) B
(A处不平衡力矩 反号后待分配) MAB A
B 右1图因节点A,C 同时 水平移动，AC 杆作 刚体平 移不引起内力
SAB=iAB A 右2图A处实际转角时， 水平杆在A端有转动 Q=0 CAB=-1 刚度，AB杆受弯 B -MAB （参与A节点不平衡 力矩的分配）
9力矩分配法
CB 1
CD 0
③传递系数
1 CCB 2
CBC 0
第9章 力矩分配法
§9-3 对称结构的计算
取一半结构进行计算，注意杆件截半后，线刚度增倍。 例9-3-1 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
q
A EI1 F
B
EI2
K
l2
C
解：设梁的线刚度为i1=EI1/l1 柱的线刚度为i2=EI2/l2
⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。
第9章 力矩分配法
⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）， 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
A
B
C
D
E
B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循 环。
A
B
C
D
E
F
B、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、 D传递，如此循环。
A
B
15.86 3m 3m
C M (kNm) 6m
结点
A
B
C
解：① 不平衡力矩
m
g AB
Pl 8
20 6 8
15
m
g BA
Pl 8
15
mBgC
ql2 8
9
mBg
m
g BA
mBgC
6
杆端
AB
BA BC CB ②分配系数
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -15
15
-9 0
平衡
分配传递 -1.72 -3.43 -2.57 0
第9章 力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
第9章 渐近法和近似法
C
求和反号后 分配
-0.9
④最后杆端弯矩
M AB 28.2kN m , M AD 26.4kN m , M AC 1.8kN m , M BA 0
-0.9 MCA
M DA 34.8kN m M CA 0.9kN m
例3
B q i A l i C l
杆端弯矩
22.9
45.7 54.3
40.3 40.3
100
-100
45.7
100 40.3 100
22.9
54.3
练习2
5m 100kN 5m B
100kN 结点 C 杆端 分配 系数 D 5m 固端 弯矩 分配
-125
A AB BA
0.5 125
B BC
0.5
C
D
CB CD DC
0.5 0.5
M
D
A
A
B
C
传递系数 远端弯矩称传递弯矩 M远= C · M近
远端弯矩 传递系数 近端弯矩
远端约束 固定 滑动 简支 近端弯矩
MAB=4iABA MAC=iACA MAD=3iADA
M
D
A
A
B
C
远端弯矩
MBA=2iABA MCA= - iACA MDA= 0
传递系数 C 1/2 -1 0
另：自由端传递系数为0
2. 单结点的力矩分配
计算目标：确定各杆端弯矩 计算目标：
P A MAB MBA P A MFAB MFBA B MBC MB 阻止转动约束 C (b) B MFBC=0 C
(a)
力矩分配法基本结构
P A MAB MBA P A MFAB A M’AB M’BA MFBA
9力矩分配法
21.4
6.1
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
1.8 3.5 2.6
… … ...
14
q 12kN / m
A
EI
1 EI
10m
10m
2 EI
10m
BA
q 12kN / m
1
B 2
q 12kN / m
A
M
u 1
ql2 / 8
1
ql2 / 12
M
u 2
2
B MF 0
28.6
100
-28.6 -57.1 -42.9
分0
配
21.4
6.1
传 递
0.429 0.571 0.571 0.429 150 -100 100 0 0 -28.6 -57.1 -42.9 0 -9.2 -12.2 -6.1 1.8 3.5 2.6 0 -0.8 -1.0
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
SAB 4i
AiB SAB 3i
对等直杆，SAB只与B端的
支撑条件有关。
A端一般称为近端（本端），
AiB
B端一般称为远端（它端）。
SAB i
4
M
d BA
SBA B
M
d BC
SBC B
M
u B
M
d BA
M
d BC
0
B
S BA
1 SBC
(
M
u B
)
M
d BA
S BA SBA SBC
q 12kN / m B
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第9章 渐近法【圣才出品】
9.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、力矩分配法（见表9-1-1） ★★★★图9-1-1二、无剪力分配法（见表9-1-2） ★★表9-1-2 无剪力分配法表9-1-3 剪力分配法9.2 课后习题详解复习思考题1．什么是转动刚度？什么是分配系数？为什么一刚结点处各杆端的分配系数之和等于1？答：（1）转动刚度的定义杆端的转动刚度是指当杆件的近端转动单位角时，在该近端产生的弯矩。
（2）分配系数的定义分配系数是指结点某一杆端的劲度系数与该结点处所有杆端的劲度系数的比值。
（3）刚结点处各杆端的分配系数之和等于1的原因：因为分配系数的计算公式，在刚节点处各杆端分配系数之和应为1ijij n ijj S Sμ==∑111n ij j ij n ijj SSμ====∑∑2．单跨超静定梁的劲度系数和传递系数与杆件的线刚度有何关系？答：单跨超静定梁的劲度系数不仅与杆件线刚度i＝EI/l相关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承情况有关；传递系数与杆件的线刚度无关，只与远端支承形式有关。
3．图9-2-1所示三个单跨梁，仅B端约束不同。
它们的劲度系数S AB和传递系数C AB 是否相同，为什么？图9-2-1答：不考虑杆件轴向变形，（a）、（b）、（c）三个单跨梁的劲度系数均相同，即S AB＝4i，其中i为杆件的线刚度；（a）、（b）、（c）三个图的传递系数均相同，即C AB＝0.5。
因为虽然B端约束表面上形式各异，但在不考虑杆件轴向变形的条件下，（a）、（b）、（c）三个单跨梁在B端的最终约束效果上均可以当成固定端来处理。
若考虑杆件轴向变形，（a）、（c）的劲度系数相同，（b）远端可在水平向自由收缩，A端转到相同的转角需要的力更小，因此劲度系数略小于（a）、（c）。
4．什么是不平衡力矩？如何计算不平衡力矩？为什么要将它反号才能进行分配？答：（1）不平衡力矩的定义不平衡力矩是指在附加约束结点处各固端弯矩所不能平衡的差额。
04-讲义：9.1 力矩分配法的基本原理
)
式(9-6e)中，AB、AC、AD 为各杆端的分配系数。公式右端的第一项为荷载单独作用在基本
结构上产生的杆端弯距，即固端弯距；第二项为结点 A 转动角度 1 时在近端所产生的弯距，这相
当于把 A 结点的不平衡力矩(
M
F Aj
)反号后按各杆端的分配系数分配给各近端，因此第二项称为该
点（A 结点）各杆端的分配弯矩。所以各杆近端的最终杆端弯矩为杆端固端弯矩和分配弯矩的代数
249
为近端，另一端称为远端。
各近端弯距为：
MAB
M
F AB
S AB
M
F Aj
S Aj
M
F AB
AB
(
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F Aj
)
MAC
M
F AC
S AC
M
F Aj
S Aj
M
F AC
AC
(
M
F Aj
)
(9-6e)
MAD
M
F AD
S AD
M
F Aj
S Aj
M
F AD
AD
(
M
F Aj
以上即为力矩分配法的基本运算过程。为了与杆端最后弯矩有所区别，运算过程中可以在分配
250
弯矩上加右上标“ ”，在传递弯矩上加右上标“ C ”。 【例 9-1】用力矩分配法计算图 9-4(a)所示连续梁，并绘 M 图和 FS 图。已知 EI 为常数。
图 9-4 例 9-1 图
(a)连续梁计算简图 (b)力矩分配法计算过程 (c) M 图(kN.m) (d) FS 图(kN)
转动刚度 SAB 与杆件线刚度 i（与材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长有关）及远端支承 情况有关，而与近端支承情况无关。如图 9-1(f)所示，是将图 9-1(a)中近端改成铰支座，转动刚度 SAB 的数值不变。此时 SAB 就代表使 A 端产生单位转角时所需要施加的力矩值。因此，在确定杆端转动
第九章 渐进法
第九章 渐进法
(successive appoximation method)
渐进法又称为力矩分配法是基于位 移法的逐步逼近精确解的近似方法。 从数学上说，是一种异步迭代法。 力矩分配法单独使用时只能用于无 侧移（线位移）的结构。
力矩分配法基本思想
以图示具体例子加以说明 按位移法求解时，可得下页所示结果
解: 3 EI S BA = 3 × = EI 10 10 EI S BC = 5 0.3 EI μ BA = = 0.6 (0.3 + 0.2) EI 0.2 EI μ BC = = 0.4 (0.3 + 0.2) EI
100kN .m
A
100kN .m
EI
B
EI
C
10m
5m
100
50
μ
M F − 100
M
A
EI1 l1
C
EI 2 l2
B
r11 = 4i1 + 3i2
R1P = − M
M
i1 = EI1 / l1 i2 = EI 2 / l 2 B A C l2 l1
Z 1 = M /( 4i1 + 3i2 )
M CA = M × 4i1 /( 4i1 + 3i2 ) M CB = M × 3i2 /( 4i1 + 3i2 ) M AC = M CA × 2i1 / 4i1
M
例3
20kN / m 40kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20kN / m
4m
40kN .m
60
A
60
B
40kN.m
u MB
(successive appoximation method)
渐进法又称为力矩分配法是基于位 移法的逐步逼近精确解的近似方法。 从数学上说，是一种异步迭代法。 力矩分配法单独使用时只能用于无 侧移（线位移）的结构。
力矩分配法基本思想
以图示具体例子加以说明 按位移法求解时，可得下页所示结果
解: 3 EI S BA = 3 × = EI 10 10 EI S BC = 5 0.3 EI μ BA = = 0.6 (0.3 + 0.2) EI 0.2 EI μ BC = = 0.4 (0.3 + 0.2) EI
100kN .m
A
100kN .m
EI
B
EI
C
10m
5m
100
50
μ
M F − 100
M
A
EI1 l1
C
EI 2 l2
B
r11 = 4i1 + 3i2
R1P = − M
M
i1 = EI1 / l1 i2 = EI 2 / l 2 B A C l2 l1
Z 1 = M /( 4i1 + 3i2 )
M CA = M × 4i1 /( 4i1 + 3i2 ) M CB = M × 3i2 /( 4i1 + 3i2 ) M AC = M CA × 2i1 / 4i1
M
例3
20kN / m 40kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20kN / m
4m
40kN .m
60
A
60
B
40kN.m
u MB
结构力学完整：第九章《渐近法》ppt课件
.
2
§9—1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计
1
A
MAB =4i
EI
L SAB=MAB=4i
的弯矩按一定比例传到远端一样，
1
故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由
A
A端向B端的传递系数，用CAB表示。M=3AiB
即
CAB
M BA M AB
或 MBA=CABMAB
由右图或表(10—1)可得
1
A
MAB =i
EI
SAB=MAB=3i
EI
SAB=MAB=i
远端固定时： CAB=0.5 远端铰支时： CAB=0 远端滑动支撑： CAB=－1
然后可按叠加法 MMPM1Z1计算各杆端的最后弯
矩。
返回
.
7
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M
F 12
S 12 S1
j
(M1Fj )
M1F2
12 (M1Fj)
M13=M1F3SS113j (M1Fj) M 1F313 (M 1Fj)
M14=M1F4SS114j (M1Fj)M 1F414(M 1Fj)
算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，
易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求
得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
返回
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M
例题
ii 4/7 3/7
ii
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2M/7 2M/7 ←
-M 4M/7 3M/7 4M/7 3M/7 → 0 0
4M/7
M图
2012-9-7
2M/7
3M/7
11
q
例题 i
l 4/7 3/7 固端弯矩 -ql2/8 l
i
分配、传递 2ql2/56 杆端弯矩 2ql2/56
2
AC
M AB
2 4 0.4 2 3 2 4 1.5 4 1 30 16 60kNm 8 100 2 3 2 5
2
M AD
48kNm
AB AC AD 0.3 0.4 0.3 A 60 -48 -3.6 -4.8 -3.6
M DA
2i
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩
0
M图
2012-9-7
Pl/2
15
例题
100kN 30kN/m D B 4m i=2 A i=2 C 4m i=1.5
3m
2m
2012-9-7
16
AB AD
23 0.3 2 3 2 4 1.5 4 1.5 4 0.3 2 3 2 4 1.5 4 100 2 2 5
Fs图（kN）
求支座反力
2012-9-7
28
上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：
10 B 3 C 240 0 (1) B 3 C 200 0
将上式改写成
第一次 近似值
B
24
C
-66.67 -8 -6.67
20
2.4
B 24 0.3C C 66.67 0.334 B
三、传递系数 MAB = 4 iAB A
近端 A A l
MBA = 2 iAB A
远端 B
C AB
M BA 1 M AB 2
MAB = 3iABA
A
A
MAB= iABA
B
C AB
M BA 0 M AB
MBA = - iAB A
B
A
A
C AB
M BA 1 M AB
l l
ql2/60
ql2/60
M图
7ql2/60
2012-9-7
-ql2/12 -2ql2/60 -7ql2/60 A
19
练习
i k
Sik=4iik
k
i
k
Sik=3iik Sik=0
Sik=Kl2
i
Sik=4iik
k
i
k
i
Sik=4iik
i K l
k
i
k
Sik=4iik
2012-9-7
20
q
Mik=-ql2/12
2 F B
2 2 M F C C
2 M C D M
M
C 2 B C
2 C B
(f) 开C锁B
F B P
F C P
(g)
2012-9-7 26
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 100kN 20kN/m A EI=1 6m B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 0.3 4.4 -0.7 0.4 EI=2 4m 4m 0.667 0.333 100 C EI=1 6m
M BC
B
-MB A
M AB
B M BC M BA
BA ( M B ) M BA
最后杆端弯矩：
MBA = MBAP+ M BA
MBC = MBCP+ M BC
BC ( M B ) M BC
MAB= MABP+ M 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 AB 2012-9-7 6
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
2012-9-7 5
§9-3 单结点的力矩分配
B A MAB MBA MB A MABP MBAP MBCP C MBC
——基本运算
固端弯矩带本身符号
C
MB MBA MBC
=
+
0 C
M BA
MB= MBA+ MBC -MB
一、转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=3i
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及 远端支承有关， 而与近端支承无关(不对)。
2012-9-7 3
二、分配系数
D M A
设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD B
M 31 M 13 M 41 0 M 14
9
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
4iik 远端为固定端 3iik 远端为铰支端 S ik iik 远端为平行支链杆 0 远端为自由端
M ik S ik 1
2 分配系数：与转动刚度成正比
8
根据平衡条件
M 0
1
M 12 M 13 M 14 M 1 M i13 3i14
M 21 1 M 12 2
4i12
M 12 M 13 M 14
2012-9-7
4i12 4i12 4i12
4i12 M i13 3i14 i13 M i13 3i14 3i12 M i13 3i14
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 200kN 150kN m MAB= 20kN/m 90 8 300 150kN m EI EI C MBA= B A 20 62 90kN m MBC= 3m 6m 3m 8 MB= MBA+ MBC= 60kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 -17.2 -167.2
21.9
B
1 0.667 CB 1 1 227 CD 0.333
20kN/m A EI=1 6m 92.6 43.6 A
100kN
B
EI=2 4m 4m
C
EI=1 6m
D
41.3
21.9
56.4
B 133.1
C
D
M图（kN· m）
51.8 A
6.9 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 C D
(c)开B锁C
1 F B
C 1 M B C
1 1 M ( F F ) C C P C
1 M C B
1 M C D
(d) 开C锁B
2012-9-7
25Βιβλιοθήκη 2 1 M F B B C 2 2 M A B M 2 B A M B C
2 F C
C 2 M C B
(e) 开B锁C
ik
S ik S ik
i
i
ik
1
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
M ki Cik M ik
2012-9-7
1 2 远端为固定端 0 远端为铰支端 1 远端为平行支链杆
10
9.2 单结点的力矩分配——基本运算
2012-9-7
0.429 B -90 -25.7 -115.7
BC
150
-34.3 115.7
分配力矩: C 0.571 (60) 34.3 M BA 0 0
3i 0.429 7i
=
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
4、不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
2012-9-7
它们都属于位移法的渐近解法。
2
§9-2 力矩分配法
力矩分配法的基本原理
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
i l k
Mki=ql2/12
2012-9-7
21
练习
4m
100kNm
i i 12kN/m i i
50kNm
4m
4m i 2Δ l
2012-9-7
4m i Δ l
22
练习
§9-4
A MAB
多结点的力矩分配
B MBA MB mBA mBC -MB mCB MC’ MBC
B
C MCB MC
C
MCD
← 4ql2/56 ← 4ql2/56
3ql2/56 -4ql2/56
4ql2/56
→ →
0 0
M图
2012-9-7
4ql2/56
12
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数， 分配给每一个杆端。
③各杆按各自的传递系数向远端传递。
例题
ii 4/7 3/7
ii
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2M/7 2M/7 ←
-M 4M/7 3M/7 4M/7 3M/7 → 0 0
4M/7
M图
2012-9-7
2M/7
3M/7
11
q
例题 i
l 4/7 3/7 固端弯矩 -ql2/8 l
i
分配、传递 2ql2/56 杆端弯矩 2ql2/56
2
AC
M AB
2 4 0.4 2 3 2 4 1.5 4 1 30 16 60kNm 8 100 2 3 2 5
2
M AD
48kNm
AB AC AD 0.3 0.4 0.3 A 60 -48 -3.6 -4.8 -3.6
M DA
2i
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩
0
M图
2012-9-7
Pl/2
15
例题
100kN 30kN/m D B 4m i=2 A i=2 C 4m i=1.5
3m
2m
2012-9-7
16
AB AD
23 0.3 2 3 2 4 1.5 4 1.5 4 0.3 2 3 2 4 1.5 4 100 2 2 5
Fs图（kN）
求支座反力
2012-9-7
28
上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：
10 B 3 C 240 0 (1) B 3 C 200 0
将上式改写成
第一次 近似值
B
24
C
-66.67 -8 -6.67
20
2.4
B 24 0.3C C 66.67 0.334 B
三、传递系数 MAB = 4 iAB A
近端 A A l
MBA = 2 iAB A
远端 B
C AB
M BA 1 M AB 2
MAB = 3iABA
A
A
MAB= iABA
B
C AB
M BA 0 M AB
MBA = - iAB A
B
A
A
C AB
M BA 1 M AB
l l
ql2/60
ql2/60
M图
7ql2/60
2012-9-7
-ql2/12 -2ql2/60 -7ql2/60 A
19
练习
i k
Sik=4iik
k
i
k
Sik=3iik Sik=0
Sik=Kl2
i
Sik=4iik
k
i
k
i
Sik=4iik
i K l
k
i
k
Sik=4iik
2012-9-7
20
q
Mik=-ql2/12
2 F B
2 2 M F C C
2 M C D M
M
C 2 B C
2 C B
(f) 开C锁B
F B P
F C P
(g)
2012-9-7 26
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 100kN 20kN/m A EI=1 6m B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 0.3 4.4 -0.7 0.4 EI=2 4m 4m 0.667 0.333 100 C EI=1 6m
M BC
B
-MB A
M AB
B M BC M BA
BA ( M B ) M BA
最后杆端弯矩：
MBA = MBAP+ M BA
MBC = MBCP+ M BC
BC ( M B ) M BC
MAB= MABP+ M 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 AB 2012-9-7 6
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
2012-9-7 5
§9-3 单结点的力矩分配
B A MAB MBA MB A MABP MBAP MBCP C MBC
——基本运算
固端弯矩带本身符号
C
MB MBA MBC
=
+
0 C
M BA
MB= MBA+ MBC -MB
一、转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=3i
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及 远端支承有关， 而与近端支承无关(不对)。
2012-9-7 3
二、分配系数
D M A
设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD B
M 31 M 13 M 41 0 M 14
9
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
4iik 远端为固定端 3iik 远端为铰支端 S ik iik 远端为平行支链杆 0 远端为自由端
M ik S ik 1
2 分配系数：与转动刚度成正比
8
根据平衡条件
M 0
1
M 12 M 13 M 14 M 1 M i13 3i14
M 21 1 M 12 2
4i12
M 12 M 13 M 14
2012-9-7
4i12 4i12 4i12
4i12 M i13 3i14 i13 M i13 3i14 3i12 M i13 3i14
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 200kN 150kN m MAB= 20kN/m 90 8 300 150kN m EI EI C MBA= B A 20 62 90kN m MBC= 3m 6m 3m 8 MB= MBA+ MBC= 60kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 -17.2 -167.2
21.9
B
1 0.667 CB 1 1 227 CD 0.333
20kN/m A EI=1 6m 92.6 43.6 A
100kN
B
EI=2 4m 4m
C
EI=1 6m
D
41.3
21.9
56.4
B 133.1
C
D
M图（kN· m）
51.8 A
6.9 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 C D
(c)开B锁C
1 F B
C 1 M B C
1 1 M ( F F ) C C P C
1 M C B
1 M C D
(d) 开C锁B
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25Βιβλιοθήκη 2 1 M F B B C 2 2 M A B M 2 B A M B C
2 F C
C 2 M C B
(e) 开B锁C
ik
S ik S ik
i
i
ik
1
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
M ki Cik M ik
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1 2 远端为固定端 0 远端为铰支端 1 远端为平行支链杆
10
9.2 单结点的力矩分配——基本运算
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0.429 B -90 -25.7 -115.7
BC
150
-34.3 115.7
分配力矩: C 0.571 (60) 34.3 M BA 0 0
3i 0.429 7i
=
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
4、不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
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它们都属于位移法的渐近解法。
2
§9-2 力矩分配法
力矩分配法的基本原理
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
i l k
Mki=ql2/12
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21
练习
4m
100kNm
i i 12kN/m i i
50kNm
4m
4m i 2Δ l
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4m i Δ l
22
练习
§9-4
A MAB
多结点的力矩分配
B MBA MB mBA mBC -MB mCB MC’ MBC
B
C MCB MC
C
MCD
← 4ql2/56 ← 4ql2/56
3ql2/56 -4ql2/56
4ql2/56
→ →
0 0
M图
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4ql2/56
12
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数， 分配给每一个杆端。
③各杆按各自的传递系数向远端传递。