河北省邯郸市2020届高三上学期摸底考试数学理试题版含答案
2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()13z i i -=+（i 为虚数单位),则复数z =（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】B【解析】运用复数的除法运算法则求出复数z ,在根据共轭复数的定义求出复数z . 【详解】由题意()13z i i -=+,可变形为()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+-+-. 则复数12z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义,属于基础题.2．已知全集{}{},40,2U R A x x B x x ==->=<,则()U A B ⋃=ð（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)4,+∞ D ．()4,+∞【答案】A【解析】根据集合补集的定义和并集的定义,结合数轴即可求出. 【详解】因为{},2U R B x x ==<,所以{}2U C B x x =≥,又{}4A x x =>， 所以(){}2U A C B x x ⋃=≥， 故选：A 【点睛】本题考查了集合补集和并集的运算,利用数轴是常用的方法. 3．曲线()3f x x x =-在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ）A ．220x y ++=B ．220x y +-=C ．220x y -+=D ．220x y --=【答案】C【解析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可. 【详解】()2 '31x f x =-,故切线的斜率为()'12f -=.又()10f -=.所以曲线()3f x x x=--在点()()1,1f --处的切线方程为21)(y x =+.即220x y -+=. 故选:C 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.4．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()()22:129C x y ++-=相切，则p =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】求出抛物线的准线方程,根据直线与圆的相切关系即可求出p 的值. 【详解】抛物线()220y px p =>的准线为2Px =-. 由题意2P x =-与圆()()22:1 2 =9C x y -=+相切.所以132P -=--解得8P =. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程,考查了直线与圆的相切关系,考查了数学运算能力. 5．《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A ．甲付的税钱最多 B ．乙、丙两人付的税钱超过甲 C ．乙应出的税钱约为32 D ．丙付的税钱最少【答案】B【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性. 【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
河北省邯郸市2020届高三年级第二次模拟考试数学(理科)试卷含答案
邯郸市2020届高三年级第二次模拟考试高三理科数学注意事项：1．考试时间120分钟，总共150分．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考场填写在答题卡上，并把条形码贴在答题卡的指定位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}13log >=a a A ，{}93>=a a B ，则)(B C A R =A ．（0，3）B ．（1，3）C ．（0，2]D ．（1，2]2．已知复数ii z 328+-=（i 为虚数单位），下列说法： ①复数z 在复平面内对应的点在第四象限；②5=z ；③z 的虛部为i 2-；④i z 21-=．其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人4．已知f （x ）是R 上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有 ①)(x f y =；②)(2x x f y +=；③)(x f y =；④)()(x f x f e ey -+=A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④5．设实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-,0,03,04y y x y x ，若z=ax+y 的最大值为1，则a=A ．41-B ．41 C ．2- D ．2 6．已知函数ϕϕsin 2cos cos 2sin )(x x x f +=图象的一个对称中心为)03(，π-．则ϕ的一个可能值为A ．3π-B ．3πC ．65π-D ．65π 7．设直线0:=++c by ax l 与圆C ：422=+y x 相交于A ，B 两点，且32=AB ，则“222=+b a ”是“2=c ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件，8．已知α为锐角，且42cos tan 22+-==m m m αα，，则)4(sin 2πα+= A ．32 B ．2132+ C ．54 D ．59 9．已知直线)41(0)14(:>=+--a m y a abx l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 为直角三角形，则双曲线的离心率e 的最大值为A ．2B ．3C ．2D ．510．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为A ．36种B ．48种C ．56种D ．72种11．在直三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC 是下底面．M 是BB 1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC 1=7，过三点 A 、M 、C 1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为A ．109B ．910C ．1110D ．1011 12．如图，在△ABC 中，tanC=4．CD 是AB 边上的高，若32=⋅-AD BD CD ，则△ABC 的面积为A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线y=2x 2上的点A （1，2）到焦点F 的距离为 ．14．曲线()n x y f x x e ==在x=1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为23e ，则n= ． 15．在△ABC 中，4AB =，8AC AB ⋅=，则AB BC ⋅= ．16．已知三棱锥P —ABC 中，PA=AB=AC=2，PA ⊥平面ABC ，A 到平面PBC ，则三棱锥外接球的表面积为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步票．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足数列{}2log n a 的前n 项和为1(1)2n A n n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求8n n S T -的最小值．18．（本小题满分12分）2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情．但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A 、B 、C 三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A 、B 、C 三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床接种的概率分别为34，23，12，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立． （1）求六个月后A ，B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率；（2）设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BB 12BC ，D 是CC 1的中点。
河北省邯郸市大名一中2020届高三上学期第三周周测数学(理)试卷 Word版含答案
高三理科数学周测试题2019年9月19日一、单选题（每小题6分） 1．已知集合，，则为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数iz +=11，则复数i z ⋅在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知命题P ：，则命题为（ ） A ．B ．C ．D ．4．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．B ．C ．D ．5．设ABC ∆中，三个角,,A B C 对应的三边分别是,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 6．已知数列为等比数列，其前项和，则的值为（ ）A ．30B ．35C ．40D ．457．已知,a b R +∈，函数2()log f x a x b =+的图像经过点(4,1)，则12a b+的最小值为A．6-B ．6 C ．4+ D ．88． 已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：()(4)f x f x =-，且20x -≤<时，()(1)f x x x =-，则(3)f 等于（ ）A ． 0 B.-6 C. 2 D ． -29．2,ABC AB AC BC ∆===在中，若,D E 分别是,AC AB 的中点，则CE BD 的值为（ ） A ．132B ．2C ．132-D ．-210．函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π=D ．12x π= 11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处测得公路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上；行驶后到达处，测得此山顶在西偏北（即）的方向上，且仰角为．则此山的高度＝( )A ．m B ．m C ．m D ．m12．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时， ()()()21'20x f x xf x ++<，且()20f =，则不等式()0f x <的解集是( )A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．()()2,00,2-⋃C ．()()2,02,-⋃+∞D ．()(),20,2-∞-⋃二、填空题（每小题6分）13．设数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，n S ，n T 分别为数列{}lg n a 与{}lg n b 的前n 项和，且21n n S n T n =+，则55log b a ＝ 14．若函数21()11x a f x x e ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，则a =_________15．如图，在ABC △中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为_______16．对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间上单调递增，在区间上单调递减．其中是真命题的是________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题17（12分）．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*N ()n S n ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和*()N n ∈．18（14分）．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若为的中点，且，求二面角的大小.19（14分）．大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表()1所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表()2所示．（Ⅰ）将表()1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表()2中成功完成时间在[)20,30和[]30,40这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20（14分）．已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =+-+（其中0a >）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若21()()2a g x x f x -+=+，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围.周测理数答案1—5 CBBCC 6-10 DDCCD 11-12 CC 13．919 14．1615. 1或-1 16.①④ 17．(1) 32n a n =-；2nn b = (2)1328433n n +-⨯+ 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=．而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，所以解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b ＝，可得1516a d +=②． 联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =． （2）设数列{}221n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯， 有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯．上述两式相减，得23112(14)324343434(31)414n nn n T n +⨯--=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯--⨯=- 114(31)4(32)48n n n n ++=---⨯--⨯-．得1328433n n n T +-=⨯+． 所以，数列{}221n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． 18.（1）证明：∵，∴，∴，∴. 又∵底面，∴. ∵，∴平面. 而平面，∴平面平面. （2）解：由（1）知，平面，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，令，则，，，，，∴，.∴，∴.故，. 设平面的法向量为，则，即，令，得.易知平面的一个法向量为，则，∴二面角的大小为.19解：(Ⅰ)依题意，补充完整的表1如下：由表中数据计算2K 的观测值为()2250231179 5.223 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关．(Ⅱ)从成功完成时间在[)20,30和[]30,40这两组内的6名男生中任意抽取2人，基本事件总数为2615(C =种)，这2人恰好在同一组内的基本事件为2242617(C C +=+=种)，故所求的概率为715P =． 20．（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()(1)x ax f x ax a x x'--=+-+= （i ）若01a <<，则11a>.由()0f x '>得01x <<或1x a >；由()0f x '<得11x a <<∴()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； （ii ）若1a =，则()0f x '≥，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；（iii ）若1a >，则101a<<，由()0f x '>得10x a <<或1x >；由()0f x '<得11x a <<∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+，21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=，由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x =∵32a ≥ ∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤∴()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭设2211()2ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 102x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴152ln 28k ≤-。
2020届河北省高三新时代NT教育模拟自测联考数学(理)试卷参考答案
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2
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y=kx与 y=f(x)
2020届河北省高三新时代NT教育模拟自测联考数学（理）试卷
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2020届河北省高三新时代NT教育模拟自测联考数学（理）试卷
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2019-2020学年人教A版河北省邯郸市高三上学期期末数学试卷(理科) 解析版
2019-2020学年高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题）1．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．已知全集U＝R，A＝{x|x﹣4＞0}，B＝{x|x＜2}，则A∪（∁U B）＝（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[4，+∞）D．（4，+∞）3．曲线f（x）＝x3﹣x在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．2x+y+2＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9相切，则p＝（）A．2 B．4 C．8 D．165．《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是（）A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．D．7．如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，则＝（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3 B．C．D．29．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为4，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝（x﹣2e）lnx．若函数g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点，则m的取值范围为（）A．（﹣e，e）B．[﹣e，e] C．（﹣1，1）D．[﹣1，1] 11．已知正六棱锥P﹣ABCDEF的所有顶点在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥的体积最大值为（）A．B．C．D．12．已知，将f（x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法中正确的个数为（）①函数g（x）的周期为；②函数g（x）的值域为[﹣2，2]；③函数g（x）的图象关于对称；④函数g（x）的图象关于对称．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．已知等差数列{a n}中，a3＝4，a6＝10，则a10﹣a7＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是．15．现有排成一排的5个不同的盒子，将红、黄、蓝色的3个小球全部放人这5个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻的不同放法共有种．（结果用数字表示）16．已知点P为双曲线右支上一点，双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，∠F1PF1＝60°且∠F1PF2的角平分线与x轴的交点为Q，满足，则双曲线C的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3c2＝16S+3（b2﹣a2）．（1）求tan B的值；（2）若S＝42，a＝10，求b的值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝3a n+2n﹣4（1）求证：数列{a n﹣2}为等比数列；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是正三角形，AB＝AA1＝3，AE＝（1）求证：A1E∥平面BCF；（2）求直线AA1与平面BCF所成角的正弦值．20．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10°C的天气现象出现增多．陡然降温幅度大于10°C容易引起幼儿伤风感冒疾病．为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查，得到了如下的列联表，若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为（1）请将下面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中，有2名又患黄痘病．现在从患伤风感冒疾病的20名女性中，选出2名进行其他方面的排查，记选出患黄痘病的女性人数为X，求X的分布列以及数学期望．下面的临界值表供参考：参考公式：，其中n＝a+b+c+d．21．已知椭圆上的一点P（2，3）到其左顶点A的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N与点A不重合），若以MN为直径的圆经过点A，试证明：直线l过定点．22．已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＞0，当函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点时，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．解：由题意，∴．则复数z＝1﹣2i．故选：B．2．已知全集U＝R，A＝{x|x﹣4＞0}，B＝{x|x＜2}，则A∪（∁U B）＝（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[4，+∞）D．（4，+∞）【分析】先利用补集的定义求出∁U B，再利用集合并集的运算即可求出A∪（∁U B）．解：因为U＝R，B＝{x|x＜2}，所以∁U B＝{x|x≥2}，又A＝{x|x＞4}，所以：A∪（∁U B）＝{x|x≥2}，故选：A．3．曲线f（x）＝x3﹣x在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．2x+y+2＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0 【分析】求出原函数的导函数，求得函数在x＝﹣1处的导数，再求得f（﹣1）的值，利用直线方程点斜式得答案．解：由f（x）＝x3﹣x，得f′（x）＝3x2﹣1，故切线的斜率为f'（﹣1）＝2．又f（﹣1）＝0，∴曲线f（x）＝﹣x3﹣x在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0．故选：C．4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9相切，则p＝（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】求出抛物线的准线方程，通过准线与圆相切，列出方程求解即可．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为．由题意与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9相切．所以解得p＝8．故选：C．5．《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是（）A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32D．丙付的税钱最少【分析】本题根据题意对甲、乙、丙三个人根据自己所有的钱数按比例进行交税，根据比例的性质特点即可得到正确选项．解：由题意，按比例，甲钱最多，付的税钱最多；丙钱最少，付的税钱最少；可知A，D 正确．乙、丙两人共持钱350+180＝530＜560，故乙、丙两人付的税钱不超过甲，可知B错误．乙应出的税钱为．可知C正确．故选：B．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果．解：由题意．该几何体的直观图是一个四棱锥A﹣BCC1B1．如图所示．其中AC1为最长棱．由勾股定理得．故选：C．7．如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用向量的运算，与向量的几何运算，求出即可．解：如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，+＝，故选：A．8．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3 B．C．D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当i＝1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝2；当i＝2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣，i＝3；当i＝3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝，i＝4；当i＝4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝2，i＝5；当i＝5时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝6；a的值是以4为周期的循环，由2020÷4＝505，故当i＝2021时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，故选：D．9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为4，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出阴影部分的面积，利用几何概型公式求出即可．解：上方阴影部分的面积等于△AOB的面积，下方阴影部分面积等于，所以根据几何概型，得所求概率，故选：B．10．已知函数f（x）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝（x﹣2e）lnx．若函数g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点，则m的取值范围为（）A．（﹣e，e）B．[﹣e，e] C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【分析】由函数为奇函数，画出x＞0的图象，由奇函数的性质画出x＜0的图象，四个零点既是两个函数有四个交点的情况，根据单调性求出m的范围．解：A当x＞0时，，故f'（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f'（e）＝0．故ff（x）在（0，e）上单调递战，在（e，+∞）上单调递增．如图为f（x）大致图象．由g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点知y＝m与y＝f（x）的图象有四个不同交点，故m∈（﹣e，e），故选：A．11．已知正六棱锥P﹣ABCDEF的所有顶点在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥的体积最大值为（）A．B．C．D．【分析】过P作PM⊥平面ABCDEF，取O为球心，设AB＝a，PM＝h，推导出a2＝2h﹣h2，正六棱锥的体积＝＝≤＝．由此能求出该正六棱锥的体积最大值．解：过P作PM⊥平面ABCDEF，取O为球心，设AB＝a，PM＝h，在Rt△AOM中，（h﹣1）2+a2＝1，∴a2＝2h﹣h2，∴正六棱锥的体积：＝＝＝≤＝．当且仅当h＝时，取等号．故选：B．12．已知，将f（x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法中正确的个数为（）①函数g（x）的周期为；②函数g（x）的值域为[﹣2，2]；③函数g（x）的图象关于对称；④函数g（x）的图象关于对称．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】f（x）可化为2cos2x，进而可得到g（x）的周期，自变量范围，对称轴及对称中心．解：因为，且，故函数g（x）的周期为．因此①正确；因为．故g（x）≠﹣2．因此②错误；令．得．故③正确：因为．故g（x）图象不是中心对称图形，故④错误．综上，正确的个数为2．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知等差数列{a n}中，a3＝4，a6＝10，则a10﹣a7＝ 6 ．【分析】结合等差数列的通项公式可求公差d，进而可求．解：设等差数列{a n}的公差为d．则3d＝a6﹣a3＝6．解得d＝2．所以a10﹣a7＝3d＝6．故答案为：614．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是 1 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．解：作出不等式组，表示的可行域如图所示，平移直线x+2y＝0．易知当直线z＝x+2y经过可行域内的点M（﹣1.1）时，目标函数z＝x+2y取得最大值，且Z最大值＝﹣1+2×1＝1，故答案为：1．15．现有排成一排的5个不同的盒子，将红、黄、蓝色的3个小球全部放人这5个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻的不同放法共有24 种．（结果用数字表示）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，分析有两个空盒相邻的情况，②，每种相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，要求有两个空盒相邻，其排法有4种，②，每种相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球有种排法．则恰有两个空盒相邻的不同放法共有种；故答案为：24．16．已知点P为双曲线右支上一点，双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，∠F1PF1＝60°且∠F1PF2的角平分线与x轴的交点为Q，满足，则双曲线C的离心率为．【分析】利用向量关系，结合双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，∠F1PF1＝60°，推出三角形的面积关系，通过余弦定理转化求解即可．解：由，得|F1Q|＝2|QF2|，故，又•|PF2|•|PQ|sin30°，故|PF1|＝2|PF2|，再根据双曲线定义知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，在△PF1F2中，由余弦定理知4c2＝16a2+4a2﹣8a2＝12a2，故c2＝3，即．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3c2＝16S+3（b2﹣a2）．（1）求tan B的值；（2）若S＝42，a＝10，求b的值．【分析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得3cos B﹣4sin B＝4sin B，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tan B的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据三角形的面积公式可求c的值，即可求解b的值．解：（1）由題意得：8ac sin B＝3（a2+c2﹣b2）．即：，整理可得：3cos B﹣4sin B＝4sin B，又sin B＞0．所以cos B＞0，所以：．（2）由，得，又S＝42，a＝10，则，解得c＝14．将S＝42，a＝10，c＝14，代入6c2＝16S+3（62+c2﹣a2）中，得：6×142＝16×42+3（b2+142﹣102），解得：．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝3a n+2n﹣4（1）求证：数列{a n﹣2}为等比数列；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n【分析】（1）当n＝1时，解得a1＝1，通过S n＝3a n+2n﹣4①，S n+1＝3a n+1+2（n+1）﹣4②，②﹣①推出{a n﹣2}为等比数列；（2）由（1）求出，故．利用错位相减法求解数列的和即可．解：（1）当n＝1时，S4＝3a1﹣2．解得a1＝1，由S n＝3a n+2n﹣4，①得S n+1＝3a n+1+2（n+1）﹣4．②②﹣①得．a n+1＝3a n+1﹣3a n+2即故{a n﹣2}为等比数列，公比为，首项a1﹣2＝﹣1．（2）由（1）知．故，故．故①，②，①﹣②得＝＝＝＝所以．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面△ABC是正三角形，AB＝AA1＝3，AE＝（1）求证：A1E∥平面BCF；（2）求直线AA1与平面BCF所成角的正弦值．【分析】（1）在线段BC上取一点G．使．连结EG．FG．证明EG∥AC，推出EG ∥A1F，得到四边形A1FGE为平行四边形，推出A1E∥FG，然后证明A1E∥平面BCF．（2）以B为坐标原点，Bx，BC，BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量，求出，直线AA1与平面BCF所成角的大小为θ．利用斜率的数量积求解即可．解：（1）证明：在线段BC上取一点G．使．连结EG．FG．在△ABC中．因为所以所以所以，EG∥AC且因为．所以所以EG∥A1F且EG＝A1F故四边形A1FGE为平行四边形，所以A1E∥FG又A1E⊄平面BCF，FG⊂平面BCF．所以A1E∥平面BCF．（2）以B为坐标原点，Bx，BC，BB所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面△ABC是正三角形，AB＝AA1＝3．AE＝＝所以点则设平面BCF的法向量为＝（x，y，z）．由令．得平面BCF的一个法向量为．又设直线AA1与平面BCF所成角的大小为θ．则所以直线AA1与平面BCF所成角的正弦值为．20．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10°C的天气现象出现增多．陡然降温幅度大于10°C容易引起幼儿伤风感冒疾病．为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查，得到了如下的列联表，若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为（1）请将下面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中，有2名又患黄痘病．现在从患伤风感冒疾病的20名女性中，选出2名进行其他方面的排查，记选出患黄痘病的女性人数为X，求X的分布列以及数学期望．下面的临界值表供参考：参考公式：，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）由题设条件能补充完整列联表．（2）求出K2≈0.6734＜2.706，从而不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美．（3）根据题意，X的值可能为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）列联表补充如下；（2）计算K2的观测值为＝所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美．（3）根据题意，X的值可能为0，1，2．则，，故X的分布列如下：故X的数学期望：．21．已知椭圆上的一点P（2，3）到其左顶点A的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N与点A不重合），若以MN为直径的圆经过点A，试证明：直线l过定点．【分析】（1）由椭圆过的点及它到左顶点的距离求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）以MN为直径的圆经过点A，既是MA⊥NA，即＝0，分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，求出参数之间的关系，即求出过的定点，证明完成．解：（1）易知左顶点A的坐标为（﹣a，0）．由已知可得，解得，所以椭圆C的方程为；（2）证明：若以MN为直径的圆经过点A．则∠MAN＝90°，即AM⊥AN，故AM⊥AN．当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x＝n（﹣4＜n＜4），由题意得△AMN 为等腹直角三角形，设直线MN与椭圆在x轴上方的交点为M，则M的坐标为．所以有，解得n＝﹣4（舍去）或，所以此时直线MN的方程为，当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为．y＝kx+m．M（x1，y），N（x2，y2）联立：消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，则△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣48）＝48（16k2﹣m2+12）＞0，，由题意A（﹣4，0），则，则＝x1x2+4（x1+x2）+16+（kx1+m）（kx2+m）＝，所以，化简得7m2﹣32km+16k2＝0，所以（7m﹣4k）（m﹣4k）＝0，解得7m＝4k或m＝4k，当7m＝4k时，满足△＞0．此时直线方程为．过定点：当m＝4k时，满足△＞0．此时直线方程为．过定点（﹣4，0），不合题意．综上．直线l经过定点．22．已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＞0，当函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点时，求实数a的取值范围．【分析】（1）求导，分a的正负讨论函数的单调性；（2）令函数h（x）＝f（x）﹣g（x），由题意知，h（x）由3个零点时的a的取值范围．用求导的方法，求出函数h（x）的单调性，求出函数h（x）与x轴由3个交点的a 的范围．解：（1）的定义域是（0，+∞），当a≤0时．f（x）＞0．两数f（x）在（0．+∞）上单调递增；当a＞0时，令f'（x）＞0，得；令f'（x）＜0，得．故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）由f（x）＝g（x），得．得设，则f（x）＝g（x）有三个不同的根等价于函数h（x）存在三个不同的零点.当△＝1﹣16a2≤0．即时，h'（x）≤0，h（x）单调递减，不可能有三个不同的零点，当△＝1﹣16a2＞0．即，k（x）＝﹣ax2+x﹣4a有两个零点，，又k（x）＝﹣ax2+x﹣4a开口向下，当0＜x＜x1时，k（x）＜0，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，x1）上单调递诫：当x1＜x＜x2时．k（x）＞0，h'（x）＞0．函数h（x）在（x1+x2）上单调递增：当x＞x2时．k（x）＜0，h'（x）＜0，函数h（x）在（x2，+∞）上单调递减．因为，又x1x2＝4，有x1＜2＜x2所以h（x1）＜h（2）＝0＜h（x2）.令．则．令n（a）＝12a4﹣2a+1．则n'（a）﹣48a2﹣2单调递增．由n'（a）＝48a2﹣2＝0，求得当时，n（a）单调递减，．，显然在上单调递增，故由零点存在性定理知h（x）在区间上有一个根．设为x0…又．得．所以．所以是h（x）的另一个零点．故当时，h（x）存在三个不同的零点，故实数a的取值范围是．。
2020年河北省邯郸市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(有解析)
2020年河北省邯郸市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z =1−i 2+i 在复平面上对应的点的坐标为( ) A. (1,−3) B. (15,−35) C. (3,−3) D. (35,−35) 2. 已知集合M ={x|x 2≤4}，N ={−2,3}，则M ∩N =( )A. ⌀B. {−2}C. {3}D. {−2,3}3. (1+x)7的展开式中x 2的系数是( )A. 42B. 35C. 28D. 21 4. 函数y =e |x|4x 的图象可能是( )A. B.C. D.5. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤4，则z =2x +y 的最小值为 ( )A. 14B. 8C. 6D. 46. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数．他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，…；等等．下图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为A. 35B. 51C. 70D. 92 7. 双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为3x −2y =0，则b =( )A. 2B. 4C. 3D. 98. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=3f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=x 2−2x +2，则x ∈[−4,−2]时，f(x)的最小值为( )A. −19B. −13C. 19D. −1 9. 设a >0，b >0，且a +b =2，则1a +1b 的最小值为( )A. 1B. 2C. 4D. 4.510. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=( ) A. 3B. 6C. 9D. 12 11. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y =g(x)的图象关于直线x =π2对称D. y =g(x)的周期为π12. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四面体A −B 1CD 1在面AA 1D 1D上的正投影图形为( ) A.B.C.D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）a3，a2成等差数列，则a10=______．13.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，且2a1，1214.读如图所示的程序框图，若输入的值为−5，则输出的结果是______ ．15.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)=(1)，P(B|A)=(2)四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且bcosC+√3bsinC−a−c=0．(1)求B；(2)若b=2，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥E−ABCD中，底面为菱形，已知∠DAB=∠EAB=60°，AD=AE=2，DE=√6．(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD；(2)求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．19.为了检测某果林树苗的高度，需要抽检一批树苗(共10棵树苗)，已知这批树苗的高度数据如下：(单位：cm)195，194，196，193，194，197，196，195，193，197．(Ⅰ)求这批树苗高度的平均值；(Ⅱ)现将这批树苗送去质检部进行抽检，抽检方案是：从这批树苗中任取5棵作检验，这5棵树苗的高度都在[194,196]内，则称这批树苗合格，如果抽检不合格，就要重新再抽检一次，若还是不合格，这批树苗就认定不合格．①求这批树苗第一次抽检就合格的概率；②记X为这批树苗的抽检次数，求X的分布列及数学期望．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．21. 已知函数f(x)=1+1x +lnx +lnx x ． (1)判断函数f(x)的单调性；(2)求证：当x >1时，f(x)e+1>2e x−1xe x +1．22. 在直角坐标系中xoy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cost y =2sint ，(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ>0)．(Ⅰ)把曲线C 1的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 3与曲线C 1交于O 、P 两点，与曲线C 2交于O 、Q 两点，若点A 的直角坐标为(4,0)，求△APQ 的面积．23. 已知函数f(x)=|x −a 2|+|x +2|，其中a ∈R ．(1)当a =−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x∈R，使得f(x)>3a恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由复数z=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i．∴复数z=1−i2+i 在复平面上对应的点的坐标为(15,−35).故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi(a,b∈R)的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：B解析：解：M={x|−2≤x≤2}，且N={−2,3}；∴M∩N={−2}．故选：B．容易求出集合M={x|−2≤x≤2}，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．3.答案：D解析：解：由题意，二项式(1+x)7的展开式通项是T r+1=C7r x r故展开式中x2的系数是C72=21故选：D．由题设，二项式(1+x)7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是C72，计算出答案即可得出正确选项本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键4.答案：C解析：解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=e4<1，排除A；当x →+∞时，e |x|4x →+∞，排除D ．故选：C ． 判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值和极限思想进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及利用排除法是解决本题的关键． 5.答案：C解析：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，{y =2x +y =4⇒{x =2y =2； 由图可知，当直线y =−2x +z 过A(2,2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小，为2×2+2=6，故选：C ．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：C解析：本题主要考查了类比推理，属于基础题．通过观察可以得到公式五边形数的第n 项=3n 2−n2，进而求得答案．解：观察图形可得五边形数为1，5，12，...，因为1=3×12−12;5=3×22−22;12=3×32−32，......，通过观察可得：五边形数的第n 项=3n 2−n 2，故第7项为3×72−72=70;故选C ． 7.答案：C解析：解：双曲线x24−y2b2=1的渐近线方程为y=±b2x，由于一条渐近线方程为3x−2y=0，则32=b2，即b=3．故选C．求出双曲线x24−y2b2=1的渐近线方程为y=±b2x，结合已知渐近线方程，即可得到b．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程，属于基础题．8.答案：C解析：∵f(x+2)=3f(x)，∴f(x+4)=3f(x+2)=9f(x)，设x∈[−4,−2]，则x+4∈[0,2]，，即x∈[−4,−2]时，f(x)=19(x2+6x+10)，∴x∈[−4,−2]时，f(x)的最小值为19.|9.答案：B解析：【试题解析】解：∵a>0，b>0，且a+b=2，∴1+1=1(1+1)(a+b)=12(2+ba+ab)≥12(2+2√ba⋅ab)=2当且仅当ba =ab即a=b=1时取等号，故选：B．由题意可得1a +1b=12(1a+1b)(a+b)=12(2+ba+ab)，由基本不等式求最值可得．本题考查基本不等式，属基础题．10.答案：C解析：解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1,0)和准线l ：x =−1，设A(−1,a)，B(m,n)，∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|FA|：|AB|=2：3，|FD|：|BC|=2：3，|BC|=3，∴m =2，n 2=4×2，n =2√2，a =−4√2，AB =√32+(6√2)2=9， 故选：C ． 利用FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求解AB 坐标，利用两点间距离公式求得|AB|．本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 11.答案：B解析：解：∵若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点， ∴若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的对称轴，则函数的周期T =2×(7π6−π6)=2π，即2πω=2π，则ω=1，即f(x)=cos(x +φ)，①若x =π6时，函数取得极大值，则f(π6)=cos(π6+φ)=1，则π6+φ=2kπ，即φ=2kπ−π6，当k =0时，φ=−π6，此时f(x)=cos(x −π6)， 将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，即g(x)=)=cos[(x +π6)−π6]=cosx ，此时函数g(x)是偶函数不是奇函数，故A 错误，g(−π2)=cos(−π2)=0，即函数y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称，故B 正确， g(π2)=cos(π2)=0，即函数y =g(x)的图象关于关于直线x =π2不对称，故C 错误， y =g(x)的周期为2π，故D 错误，②若x =π6时，函数取得极小值，则f(π6)=cos(π6+φ)=cos(π6+φ)=−1， 则π6+φ=2kπ−π，即φ=2kπ−7π6，当k =1时，φ=5π6，∵|φ|<π2，∴此时φ不存在．综上故选：B．根据x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g(x)，结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，根据条件求出ω和φ的值，以及根据三角函数的图象关系求出g(x)的解析式是解决本题的关键．综合考查三角函数的奇偶性，对称性，周期的性质，综合性较强，有一定的难度．12.答案：A解析：本题考查了平面投影的定义与应用问题，是基础题．根据平行投影的定义，得出四面体A−B1CD1在面AA1D1D上的正投影图形即可．解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，A在平面AA1D1D中的正投影是A，B1在面AA1D1D上的正投影是A1，C在面AA1D1D上的正投影是D，D1在面AA1D1D上的正投影是D1，∴四面体A−B1CD1在面AA1D1D上的正投影图形是AA1D1D.其中B1C的投影A1D为实线，AD1的投影AD1为虚线．故选：A．13.答案：1024解析：解：数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，且2a1，12a3，a2成等差数列，可知a3=2a1+a2，∴a1q2=2a1+a1q，整理求得q=2或−1(舍去)，则a10=a1q9=210=1024．故答案为：1024．先根据等差数列的性质建立等式求得公比q，进而代入通项公式求得答案．本题主要考查了等比数列和等差数列性质的运用．等差中项是解决等差数列问题的常用性质．14.答案：−1解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下x=−5，−5≤0？，是，x=2−5，y=4+log22−5=4−5=−1；输出y：−1．故答案为：−1．模拟程序框图的运行过程，得出输出的结果是什么．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出输出的结果，是基础题．15.答案：124解析：解：由|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ =(2a⃗ +3b⃗)224−(2a⃗ −3b⃗)224=124−(2a⃗ −3b⃗)224≤124，当且仅当2a⃗=3b⃗ ，即|a⃗|=14时，上式等号成立．∴a⃗⋅b⃗ 最大值为124．故答案为：124．16.答案：609112解析：本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，P(A|B)其含义为在B发生的情况下，A发生的概率．根据条件概率的含义，P(A|B)其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个6点”与“三个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．解：根据条件概率的含义，P(A|B)其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，事件A 三个点数各部相同的情况数目为A 63=120，事件B “至少出现一个6点”的情况数目为6×6×6−5×5×5=91，“事件AB 为三个点数都不相同”且至少有一个6点，则只有一个6点，共C 31×5×4=60种，故P(A|B)=Ω(AB)Ω(B)=6091，P(B|A)=Ω(AB)Ω(A)=60120=12， 故答案为6091；12．17.答案：解：(1)由bcosC +√3bsinC −a −c =0，则sinBcosC +√3sinBsinC =sinA +sinC ，sinBcosC +√3sinBsinC =sin(B +C)+sinC ，√3sinBsinC =sinCcosB +sinC ，而sinC >0，√3sinB −cosB =1，所以2sin(B −π6)=1，可得sin(B −π6)=12，而B ∈(0,π)，又B −π6∈(−π6,5π6)， 所以B −π6=π6，故B =π3．(2)由sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且b =2，所以2sinB =sinA +sinC ，可得a +c =2b =4，又a 2+c 2−2accosB =b 2，则(a +c)2−2ac −2accos π3=4，可得：16−3ac =4，所以ac =4，则S =12acsinB =12×4×√32=√3．解析：(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sinC >0，可得sin(B −π6)=12，又根据范围B −π6∈(−π6,5π6)，可求B 的值．(2)由等差数列的性质，正弦定理可得a +c =2b =4，又根据余弦定理可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：证明：(1)如图，过D 作DO ⊥AB ，连结EO ，∵∠DAB =∠EAB =60°，AD =AE =2，AO =AO ，∴△DAO≌△EAO ，∴∠DOA =∠EOA =90°，DO =EO =√3，∵DE =√6，∴DO 2+EO 2=DE 2，由勾股定理逆定理得∠DOE =90°，∴DO ⊥EO ，∵DO ⊥AB ，AB ∩EO =O ，AB ⊂面ABE ，EO ⊂面ABE ，∴DO ⊥面ABE ，∵DO ⊂面ABCD ，∴平面ABE ⊥平面ABCD ．解：(2)由(1)知DO ⊥EO ，DO ⊥AB ，EO ⊥AB ，如图，以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 由已知得E(√3,0，0)，A(0,−1,0)，D(0,0，√3)，C(0,2，√3)，∵CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−2,−√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)， 设面CED 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3x −2y −√3z =0CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,0，1)， 设直线AE 与平面CED 所成角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|−√3|√2×2=√64， ∴直线AE 与平面CED 的所成角的正弦值为√64．解析：(1)过D 作DO ⊥AB ，连结EO ，推导出△DAO≌△EAO ，DO ⊥EO ，DO ⊥AB ，从而DO ⊥面ABE ，由此能证明平面ABE ⊥平面ABCD ．(2)由DO ⊥EO ，DO ⊥AB ，EO ⊥AB ，以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与平面CED 的所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：(Ⅰ)这批树苗高度的平均值为195+194+196+193+194+197+196+195+193+19710=195( cm )．(Ⅱ)①这批树苗高度都在[194,196]内的个数为6，故这批树苗第一次抽检就合格的概率为P 0=C 65C 105=142． ②易知X 的所有可能取值为1，2，则P (X =1)=P 0=142．P (X =2)=1−P 0=4142．则X 的分布列为故X 的数学期望E (X )=1×142+2×4142=8342．解析：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差，属于中档题． (Ⅰ)直接根据表中的数据代入即可求解；(Ⅱ)根据古典概型的概率公式即可求出 ①X 的可能取值为1，2，即可写出X 的分布列及数学期望．②写出X 的分布列即可得到X 的数学期望．20.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由c a =√32及c 2=a 2−b 2， 可得a 2=4，b 2=1．则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0，解得k >√32或k <−√32， 则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题． 21.答案：解：(1)f′(x)=−1x 2+1x +1−lnx x 2=x−lnx x 2． 令ϕ(x)=x −lnx ，则ϕ′(x)=1−1x =x−1x ．当x >1时，ϕ′(x)>0，ϕ(x)在区间(1,+∞)上单调递增；当0<x <1时，ϕ′(x)<0，ϕ(x)在区间(0,1)上单调递减．∴ϕ(x)在x =1处取得唯一的极小值，即为最小值．即ϕ(x)≥ϕ(1)=1>0，∴f′(x)>0，∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数．(2)由(1)知，当x >1时，f(x)为增函数，故f(x)>f(1)=2，故f(x)e+1>2e+1．令ℎ(x)=2e x−1xe x +1，则ℎ′(x)=2e x−1(xe x +1)−(xe x +1)′e x−1(xe x +1)2=2e x−1(1−e x )(xe x +1)2，∵x >1，∴1−e x <0.∴ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在区间(1,+∞)上是减函数．∴x >1时，ℎ(x)<ℎ(1)=2e+1．∴f(x)e+1>2e+1>ℎ(x)，即f(x)e+1>2e x−1xe x +1．解析：(1)令f′(x)=0得出x −lnx =0，再判断y =x −lnx 的单调性得出最小值得出f′(x)>0，得出结论；(2)求出右侧函数ℎ(x)=2e x−1xe x +1的最大值，再根据f(x)的单调性比较f(x)e+1与ℎmax (x)的大小关系即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)C 1的普通方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0，故ρ2−4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ，∴C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ；(Ⅱ)依题意，设点P ，Q 的极坐标分别为(ρ1,π6),(ρ2,π6)，把θ=π6代入ρ=4cosθ，得ρ1=2√3，把θ=π6代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，∴|PQ|=|ρ1−ρ2|=2√3−1，依题意，点A(4,0)到曲线θ=π6(ρ>0)的距离d =|OA|sin π6=2，∴S △APQ =12|PQ|⋅d =2√3−1．解析：本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，属于中档题． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (Ⅱ)将曲线C 3的方程分别代入C 1和C 2，利用极径的意义可得|PQ |，在求出点A 到曲线C 3的距离d 可得面积．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥6，即为|x +2|+|x −1|≥6，当x ≥1时，x +2+x −1≥6，可得x ≥52，即x ≥52；当x ≤−2时，−2−x −x +1≥6，解得x ≤−72，即x ≤−72；当−2<x <1时，2+x −x +1≥6，解得x ∈⌀．综上可得原不等式的解集为{x|x ≥52或x ≤−72}；(2)∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，即有f (x )min >3a ，由|x −a 2|+|x +2|≥|x −a 2−x −2|=a 2+2，当且仅当−2≤x ≤a 2时，等号成立， 可得a 2+2>3a ，解得a >2或a <1．即实数a 的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(1)讨论当x≥1时，当x≤−2时，当−2<x<1时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min>3a，运用绝对值不等式的性质可得最小值，由二次不等式的解法可得a的范围．。
2020年河北邯郸高三一模数学试卷(理科)
2020年河北邯郸高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.3.的展开式第三项为（ ）．A. B. C. D.4.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.5.设变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.6.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算数和几何的纽带．图为五角形数的前个，则第个五角形数为（ ）．A.B.C.D.7.若双曲线（，）的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）．A.B.C.D.8.已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当时，的最小值为（ ）．A.B.C.D.9.设，为正数，且，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，交准线于点．若，，则为（ ）．A.B.C.D.11.已知点，，在函数 （，）的图象上，且，给出关于的如下命题：：的最小正周期为∶的对称轴为（）︰：方程有个实数根其中真命题的个数是（ ）．A.B.C.D.12.已知三棱柱各棱长均为，平面，有一个过点且平行于平面的平面，则该三棱柱在平面内的正投影面积是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知是首项为的等比数列，若，，成等差数列，则．开始输入输出结束否否是14.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则可输入的所有值组成的集合为 ．15.若，，三点满足，且对任意都有，则的最小值为 ．16.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为 ， ，，，其中），约定：每天他首先从号外卖店取单，叫做第次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第次取单，依此类推．假设从第次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件{第次取单恰好是从号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则，与的关系式为 ．（）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.的内角，，的对边分别是，，，，．（1）（2）求．若，，成等差数列，求的面积．（1）（2）18.如图，在四棱锥中，底面，，，，点为的中点．平面交侧棱于点，四边形为平行四边形．求证：平面平面．若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．（1）19.中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广．某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失．公司管理人员依据往年猕猴桃生长期个周降雨量（单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）．0123456910504036413002700428005550500050另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示．周降雨量（单位：）猕猴桃灾害等级轻灾正常轻灾重灾根据上述信息，解答如下问题．根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数．12（2）以收集数据的频率作为概率．估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率．若无灾害影响，每亩果树获利元；若受轻灾害影响，则每亩损失元；若受重灾害影响则每亩损失元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用元．方案2：防控到重灾害，每亩防控费用元．方案3：不采取防控措施．问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好?说明理由．（1）（2）20.已知椭圆过点且离心率为．求椭圆的标准方程．若椭圆上存在三个不同的点，，，满足，求弦长的取值范围．（1）（2）21.已知函数．当时，判断的单调性．求证：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，点是曲线（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线．求曲线，的极坐标方程．在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线，分别交于，两点，求的面积．（1）（2）23.已知函数．当时，求的解集．若在上恒成立，求的取值范围．【答案】解析:，所以在复平面内对应的点位于第二象限．解析:或，，∴．故选．解析:．解析:因为，所以为奇函数，排除，当时，，排除、．故选．解析:画出变量，满足约束条件的可行域，B 1.B 2.C 3.A 4.D 5.可发现的最小值是到距离的平方．取得最小值：．解析:记第个五角形数为，由题意知：，，，，易知，由累加法得，所以．故选．解析:因为双曲线的渐近线过原点，且方程为．函数图象也过原点，结合图形可知切点就是，，∴．解析:∵关于对称，∴，∴，∴的周期为，∴时的最小值为时的最小值，∵，，∵，∴，∴，，选．解析:B 6.A 7.A 8.D 9.当时，，因为，当且仅当，即，时取等号，则．故选.解析:过，作准线的垂线，垂足为，，轴与准线交点为，，设，则，，，因为，得，．xyOA BF F 1B 1A 1M解析:x–2–11234567891011121314y–2–1123456O∵，C 10.C 11.∴ ，∴ ，∵，∴，∴ ，∴ ,∴，所以为假命题，对称轴为（），所以为真命题，，，所以为假命题，方程有个根，所以为真命题，故选：．解析:如图，投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以我们就以平面为投影面，然后构造四棱柱，得到投影为五边形，通过计算可得正投影的面积为．故选．解析:，，∴，∴．A 12.．13.14.（1）解析:当时，得，．当时，得，所以答案为：．解析:因为对任意都有，故点到所在直线的距离为，设中点为，则．当且仅当时等号成立．解析:{第次取单恰好是从号店取单}，由于每天第次取单都是从号店开始，根据题意，第次不可能从号店取单，所以，{第次取单恰好是从号店取单}，因此，解析:∵，∴．又∵，15. ;16.（1）或．（2）．17.（2）（1）∴，∴，∴．又∵，∴或．∵，，成等差数列，∴，由（）知，∴，∴．解析:∵四边形为平行四边形，∴，又∵，∴，又∵点为的中点，∴，∴在直角梯形中，，可得，连接，易得，，∴，又∵底面，平面，平面，平面，∴平面平面．（1）证明见解析．（2）．18.（2）由（）知，∴在直角梯形中可得，又底面，∴以为原点，为轴，过且与垂直的位于底面的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设，∴，，，，∵平面，∴平面的法向量可取，设平面法向量为，由，得，∴可取，∴，∴，∴，，，∴与平面所成角的正弦值为．（1）中位数，众数．19.1（2）发生重、轻害的概率分别 和，无灾害概率为 ．（1）12（2）（1）解析:根据茎叶图，可得中位数为，众数为．根据图中的数据，可得该地区周降雨量（单位：）的概率：，，，， （轻灾），（重灾），因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别 和，无灾害概率为．方案：设每亩的获利为（元），则的可能取值为，，则的分布列如下：则（元），则每亩净利润为（元）．方案：设每亩的获利为（元），则的可能取值为元，于是，，净利润为（元）；方案：设每亩的获利为（元），则的可能取值为，，，则的分布列如下：则 （元），于是每亩亏损为（元）．由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好．解析:由题意知，，2方案一的获利最多，所以选择方案一比较好．证明见解析．（1）．（2）．20.（2）又因为，解得，．则椭圆标准方程为．因为，则由向量加法的意义知四边形为平行四边形．设直线过、两点，①若直线垂直于轴，易得：，，或者，，，此时．②若直线不垂直于轴，设，，，，将直线代入的方程得：，故，，因为，所以，，则，，即，因为在椭圆上，有，化简得．验证，．所以，，所以，因为，则，即，得．综上可得，弦长的取值范围为．（1）（2）（1）（2）解析:当时，，，令，则在上为减函数，且，∴当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，故递增区间为；递减区间为．，，只需证，即，易证成立．记，则令，得，并且，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，即，命题得证．解析:由题意可得的直角坐标方程为，其极坐标方程为，设点的极坐标为，则对应的点的极坐标为．又点在上，所以．即的极坐标方程为．由题意知点到射线的距离为，（1）当时，单调递增；当时，单调递减．（2）证明见解析．21.（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为．（2）．22.（1）（2）由（）知的极坐标方程为，，所以．解析:当时，，当时，，此时的解集为；当时，，此时的解集为；当时，，此时的解集为．综上所述的解集为．由（）可知当时，在内恒立，当时，在内恒成立；当时，在内，不满足在上恒成立的条件，综上所述．（1）．（2）．23.。
2020邯郸市高三理科数学二模模拟试题+答案
高三理科数学参考答案题号答案一、选择题l .D 在集合A 中，注意到a>1,log a 3>log a a, ..A —(1,3),E —CZ,+=)'C R B —(—=,zJ, :.A n cC R E )— (1,2]'故选D.l 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12D B D B D A B B D D D B 2. B z = (8—i ) (2—3i) 13—26i /n I n•, /n n 、=13 =l —2i, 故CD@正确，＠＠错误．故选B.3.D 在抽取的100名学生中，只能说出第一旬“春”或一旬也说不出的有100—45—32=23人，设全校三年23 X 级学生中对“二十四节气“歌只能说出第一旬“春”或一旬也说不出的有x 人，所以，X 115人，100 500故选D.4. B•: f(x)是R上的奇函数且单调递增，．二＄＠＠是偶函数且在(0,十=)上单调递增，故选B.5.D不等式组满足区域是由三点(1,3),( 4,0),(0,0)所构成的三角形内部及其边界，当O<a冬3或当—l 冬a <O时，直线ax+y —z =O过点(—1,3)时，z 取最大值1,解得a =2;当a>3时，过(0,0)取得最大值，无解；当a <1时，直线过(4,0)取得最大值，解得a =—（舍）；当a =O时，最大值为3'不符合题意．选D.6.A 由f(x)—sin(2x飞得sin (—气+cp )—o,即—气＋中飞(k E Z), 即厂抎＋气(k E Z), 令K ——1,则中＝—千，故选A.7. B 由半径r 2和弦长ABI凶5可得圆心(0,0)到直线l的距离为d 1 c l'即a z +b z c 2,:.勹当a 2+b2=2时，c =士迈，而当c =及时，矿+b 2=2, 故选B.8. B —ta n a1—m 2 m cos 2a = =— 2 '解得m 2=2 立.2亢1 +ta n 飞1+mz m +4':. c os 2a =—了,sin 2a = 3 , s m (a 勹）＝1—c os (纭十互2 2) =』+sin 2仪＝吾上2 2 3十，故选B.2 9. D 当双曲线为等轴双曲线时，e =迈．当双曲线为非等轴双曲线时，直线l与渐近线中的一条垂直，a b b c 2 矿十矿 1 4 1 2 :. X ——1, :. 矿—4a —l ,e 2——————+—+1————24a —1 a a a a ( ) +5<5, .. e 冬石，故选D.10. D 领导和队长站两端有A�种排法，其余5人分两种情况讨论：BC 相邻且与D相邻：凡A;种排法，BC相邻且与D不相邻：A�A�A;种排法，所以共有A仅A�A;+ A �A�A;) = 7 2种，故选D.11. D 将平面ABB 1A 1与平面BCC 1且放在一个平面内，连接AC 1,与B凡的交点即为M,此时BM =3,设1 1 四棱锥A —BCC 1M的体积为V 1,V 1=—X —X (3+7)X4X 3=20,三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V =32 V —V —X4X 3X7—42, :. 1 11 V 1 ——，故选D.10高三理科数学参考答案第1页（共4页）。
河北省邯郸市2020届高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)
河北省邯郸市 2020 届高三数学第一次模拟考试一试题理（含分析）一、选择题：本大题共12 个小题 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 设会合，则会合能够为（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】先解会合A, 比较选项即可求解【详解】因为，因此当时，应选： C【点睛】此题观察会合的交集，观察运算求解能力与推理论证能力，是基础题2.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】 B【分析】【剖析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确立象限即可【详解】应选： B【点睛】此题观察复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）散布状况汇总以下：身高频数535302010有此表预计这名小学生身高的中位数为（结果保存 4 位有效数字）（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】由表格数据确立每组的频次，由中位数左右频次相同求解即可.【详解】由题身高在,的频次挨次为0.05 ，频次和为0.4 ，组距为10，设中位数为x, 则, 解应选： C【点睛】此题观察中位数计算，熟记中位数意义，正确计算是重点，是基础题， 0.3,.前两组4. 若函数有最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】剖析函数每段的单一性确立其最值，列【详解】由题a 的不等式即可求解 , 单一递加，故.单一递减，故, 因为函数存在最大值，因此解.应选： B.【点睛】此题观察分段函数最值，函数单一性，确立每段函数单一性及最值是重点，是基础题.5.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（以下图）有“仙境之桥”之称，它的桥形能够近似地当作抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴成立直角坐标系设抛物线，点在抛物线上求出P 即可【详解】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴成立直角坐标系，联合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.应选： D【点睛】此题观察抛物线的标准方程及其基天性质，观察抽象归纳能力与建模的数学思想，是基础题6. 汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16 等于．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C.D.【答案】 C【分析】【剖析】将三视图复原，即可求组合体体积【详解】将三视图复原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得应选： C【点睛】此题观察三视图，正确复原，熟记圆柱圆锥的体积是重点，是基础题7. 已知函数，则以下判断错误的选项是（）A.为偶函数C.的值域为B.的图像对于直线D.的图像对于点对称对称【答案】 D【分析】【剖析】化简 f （ x）＝ 1+2cos4x 后，依据函数的性质可得．【详解】 f （ x）＝ 1+cos（ 4x）sin （ 4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f （ x）为偶函数，A正确；4x得, 当k=0 时， B 正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．应选：D．【点睛】此题观察三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基天性质，准确计算是重点，是基础题8. 如图，在直角坐标系中，边长为的正方形的两个极点在座标轴上，点分别在线段上运动，设，函数，则与的图像为（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】【剖析】由题，将向量坐标化即可求解f(x)和 g(x) 的表达式，比较选项即可判断【详解】由已知得，则，所以，由图知 A 正确应选 .【点睛】此题观察函数的图像的应用，观察向量坐标运算，正确计算向量坐标是重点, 是基础题9. 已知，设知足拘束条件的最大值与最小值的比值为，则（）A.为定值B.不是定值，且C.为定值D.不是定值，且【答案】 C【分析】【剖析】由拘束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形联合获得最优解，组求得最优解的坐标，进一步求出最值，联合最大值与最小值的差为 3 求得实数【详解】画出m＞ 0， x， y 知足拘束条件的可行域如图：联立方程m的值． .当直线 z＝x+y 经过点 A（2， m+4）， z 获得最大值，当直线经过B（﹣ 1，﹣2）时，z取得最小值，故k 2 为定值．应选： C．【点睛】此题观察简单的线性规划，观察了数形联合的解题思想方法，是中档题．10. 设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】【剖析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】∵解得∴当0<x<7时，当x>7时，, 故设的最小值为f(7)=-343.应选： A.【点睛】此题观察等差数列通项及乞降，观察函数的思想，正确记忆公式，娴熟转变为导数求最值是重点，是中档题.11. 过点引曲线的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】设切点坐标为，求出切线方程，进一步求出切点横坐标，由，解 a 即可【详解】设切点坐标为，，即.解得或，，即.故.应选： B【点睛】此题观察导数的几何意义，观察数形联合以及化归与转变的数学思想, 熟记切线方程的求法，正确转变是重点，是中档题12. 正方体的棱上(除掉棱AD)到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】【剖析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B 与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1E， B1C1的四平分点（凑近B1）为F，的四平分点（凑近B1），假定D1与G重合，BC的中点为以 D 为坐标原点， DA， DC，DD1所在直线分别为 x， y， z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AC1与平面 EFG所成角的正弦值．【详解】解：正方体ABCD﹣ A1B1C1D1的棱上到直线A1B 与 CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点， B1C1的四平分点（凑近B1），假定 D1与 G重合， BC的中点为 E， B1C1的四平分点（凑近B1）为 F，以 D为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为x， y， z 轴，成立空间直角坐标系，设＝ 2，则（ 1，2， 0），（， 2， 2），（ 0， 0， 2），（ 2， 0， 0），1（ 0，2， 2），AB E F G A C∴（），（），（﹣ 2， 2， 2），设平面 EFG的法向量（x， y， z），则，即，取x＝4，得（4，﹣3，﹣1）．设直线 AC1与平面 EFG所成角为θ，则直线 AC1与平面 EFG所成角的正弦值为sin θ＝ |cos|．应选： D．【点睛】此题观察线面角的正弦值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，观察运算求解能力，是中档题．二、填空题：本大题共 4 个小题，把答案填在答题卡中的横线上.13.的睁开式的第项为 _______．【答案】【分析】【剖析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题睁开式的第 2 项为【点睛】此题观察二项式定理，熟记公式，正确计算是重点，是基础题.14. 若函数则_____．【答案】 6【分析】【剖析】确立【详, 再由对数的运算性质代入求值即可解】由题-故答案为6【点睛】此题观察对数运算 , 函数的综合应用，观察抽象归纳能力与计算能力，是中档题15. 若存在等比数列，使得，则公比的取值范围为 ___．.【答案】【分析】【剖析】由题得知足题意，当【详解】，，看做对于的方程，议论二次项系数：当不时，方程有解，利用鉴别式得 q 的不等式，解不等式即可求解但；当，时，. 当，解得时，易知知足题意，，综上，.故答案为【点睛】此题观察等比数列，观察函数与方程的数学思想以及运算求解能力，注意转变为的方程是重点，注意等比数列公比q≠0, 是易错题16. 已知分别是双曲线的左、右极点，为上一点，且在第一象限.记直线的斜率分别为，当获得最小值时，的垂心到轴的距离为______．【分析】【剖析】易证，利用基本不等式求解取最小值时，从而得的方程为，与双曲线联立解得的坐标为由，得=0，向量坐标化解得 y 即可【详解】易证，则，当且仅当，即时，等号成立，此时直线的方程为，与联立，得，解得或（舍去），则的坐标为，设的垂心的坐标为，由，得，解得，则到轴的距离为.故答案为2【点睛】此题观察双曲线的综合，观察抽象归纳能力与运算求解能力，掌握双曲线的常有二级结论，转变垂心为垂直关系是重点，是中档题三、解答题：本大题共 6 小题 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，.证明：为等腰三角形 .若的面积为，为边上一点，且求线段的长.【答案】（ 1）详看法析；（ 2）.【分析】【剖析】由正弦定理得，由得，利用余弦定理求得b=c 即可证明；由的面积求a, 设，在中运用余弦定理求得x，即为所求【详解】（ 1）证明：，，设的内角的对边分别为，，，由余弦定理可得即，则为等腰三角形.（2），则的面积解得.设，则，由余弦定理可得，解得（负根舍去），从而线段的长为.【点睛】此题观察正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形状，娴熟运用定理及三角公式，正确计算是重点，是中档题18. 某厂销售部以箱为单位销售某种部件，每箱的订价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②经过两方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.甲、乙两单位都要在该厂购置箱这类部件，两单位都选择方案②，且各自完成的成交价钱互相独立，求甲单位优惠比率不低于乙单位优惠比率的概率；某单位需要这类部件箱，以购置总价的数学希望为决议依照，试问该单位选择哪一种优惠方案更划算？【答案】（ 1）；（2）选择方案①更划算．【分析】【剖析】（1）利用对峙事件概率公式即可获得结果；（2）设在折扣优惠中每箱部件的价钱为X 元，则 X＝ 184 或 188．获得相应的散布列及希望值，计算两种方案购置总价的数学希望从而作出判断.【详解】 (1) 因为甲单位优惠比率低于乙单位优惠比率的概率为0.4 ×0.6=0.24 ，因此甲单位优惠比率不低于乙单位优惠比率的概率．(2) 设在折扣优惠中每箱部件的价钱为X 元，则 X＝ 184 或 188．X 的散布列为X184188P则 EX＝184×0.6+188×0.4 ＝ 185.6 ．若选择方案②，则购置总价的数学希望为185.6 ×650＝ 120640 元．若选择方案①，因为购置600 箱能获赠50 箱，因此该单位只要要购置600 箱，从而购置总价为200×600＝ 120000 元．因为 120640>120000，因此选择方案①更划算．评分细则：第(1) 问中，分三种状况求概率，即所求概率为0.6 ×22＝相同得分；第(2) 问中，在方案②直接计算购置总价的数学希望也是能够的，分析过程作以下相应的调整：设在折扣优惠中购置总价为X 元，则 X＝184×650 或 188×650．X的散布列为X184×650188×650P则 EX＝184×650×0.6+188×650×0.4 ＝ 120640．【点睛】此题观察了失散型随机变量的希望，概率的计算，观察推理能力与计算能力，属于中档题 .19. 如图，在多面体中，四边形为正方形，，，.（1）证明：平面平面.（2）若平面，二面角为，三棱锥的外接球的球心为，求二面角的余弦值 .【答案】（ 1）详看法析；（ 2）.【分析】【剖析】证明平面即可证明平面平面（ 2 ）由题确立二面角的平面角为，从而推出为线段的中点，以为坐标原点成立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（ 1）证明：因为四边形为正方形，因此，又，，因此平面.因为平面，因此平面平面.（2）解：由（ 1）知平面又，因此二面角以为坐标原点成立空间直角坐标系，又，则平面，从而的平面角为.，以下图，，则，，.因为三棱锥的外接球的球心为则的坐标为，设平面的法向量为，则.，因此为线段，的中点，即令，得.易知平面的一个法向量为则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.，【点睛】此题观察面面垂直的判断，空间向量计算线面角，第二问确立球心O的地点是重点，是中档题 .20. 已知椭圆的左、右焦点分别为为上的一个动点，且的最大值为，的离心率与椭圆的离心率相等.求的方程；直线与交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值.【答案】 (1)(2)2【分析】【剖析】依题意可知解得a,c即可延长交于点，由可知，设，设的方程为，与椭圆联立得，①设与的距离为，转变S 为，进一步列出，将①的韦达定理代入得面积表达式，利用基本不等式求最值即可【详解】依题意可知解得则，故的方程为.延伸交于点，由可知，设，设的方程为，由得，故设与的距离为，则四边形的面积为S，当且仅当，即故四边形面积的最大值为.时，等号成立，【点睛】此题观察椭圆的综合，观察直线与椭圆的地点关系，面积公式，转变与化归思想，第二问利用椭圆对称性，将面积转变是重点，是中档题21. 已知函数判断函数若【答案】（ 1）的导函数，求在知足对在上的单一性，并说明原因的取值范围 .上单一递加；（ 2）..恒成立.【分析】【剖析】（1）对求导利用已知条件即可判断单一性；（2）将转变为恒陈立，求，议论代入条件，的正负求解即可【详解】（ 1）由，，得.，则，故在上单一递加.（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单一递加，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意.综上，的取值范围为.【点睛】此题观察导数与函数的单一性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类议论的标准是重点，是中档题 .22.[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴成立极坐标系，圆的极坐标方程为若与订交于两点，，求；圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径【答案】（ 1） 6；（ 2） 13.【分析】【剖析】（1）将代入, 利用t 的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为一般方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（ 1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的一般方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，因为，因此，解得（舍去），则圆的半径为13.【点睛】此题观察直线参数方程，圆的弦长公式，娴熟运用直线与圆的地点关系，正确计算是重点，是中档题.23.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]设函数求不等式的解集；证明：【答案】（ 1）；（ 2）详看法析 .【分析】【剖析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（ 2）零点分段分状况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（ 1）∵，∴，即，当时，明显不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】此题观察绝对值不等式的解法，证明不等式，娴熟运算是重点，是中档题。
2020届河北省邯郸市高三第一次模拟数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届河北省邯郸市高三第一次模拟数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合{}4A x a x =<<，{}2|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，则a 的值不可能为（ ）A B CD ．3答案：A求出{2B x x =<或}3x >，利用{|34}A B x x ⋂=<<，得23a ≤≤. 解：Q 集合{}4A x a x =<<，{}{25602B x x x x x =-+=<或}3x >，{|34}A B x x ⋂=<<， ∴23a ≤≤， ∴a.故选：A. 点评：本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.2．设复数z 在复平面内对应的点为(),x y ，若x ，y 满足22(2)3x y ++=，则有（ ）A ．|z+2|=3B ．|2|z +=C ．|z+2i|=3D ．|2|z i +=答案：D利用复数模的计算公式即可得出结果. 解：Q 复数z 在复平面内对应的点为(),x y ，∴z x yi =+，z =∴2z i +=又x ，y 满足22(2)3x y ++=，则|2|z i +=，故选：D. 点评：本题主要考查复数模的计算以及复数所对应的点的坐标，熟记复数模的计算公式是本题的解题关键，属于基础题.3．函数()2()lg 1lg(1)f x x x =---在[]2,9上的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B化简函数的解析式，利用函数的单调性即可得解. 解：函数()()2()lg 1lg(1)lg 1f x x x x =---=+，函数在区间[]2,9上是增函数，所以函数的最大值为：(9)lg(91)1f =+=. 故选：B. 点评：本题考查了函数单调性的应用，对数的运算法则以及函数最值的求法，属于基础题. 4．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =u u u r u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．45AB AD -+u u ur u u u rB ．45AB AD -u u ur u u u rC ．45AB AD -+u u u r u u u rD ．34AB AD -+u u ur u u u r答案：A由4,CE ED u u u r u u u r=得45CE CD u u u r u u u r =，在BEC △中，利用向量加法可得.解：44,,5CE ED CE CD u u u r u u u r u u u r u u u r Q =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ∴=+=+=-+故选：A. 点评：本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（）A．甲、乙成绩的中位数均为7B．乙的成绩的平均分为6.8C．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差答案：D在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B中，求出乙的成绩的平均分为7；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.解：在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，∴中位数为787.52+=，故A错误；在B中，乙的成绩的平均分为：110（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B错误；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，故C错误；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D正确.故选：D.点评：本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6．我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆22:(2)(1)2C x y -+-=，直线22:10l a x b y +-=，若圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，则点(),a b 必在（ ） A ．一个离心率为12的椭圆上 B ．一条离心率为2的双曲线上C ．一个离心率为2的椭圆上 D 的双曲线上答案：C由题意得直线l 必过点()2,1，可得(),a b 必在椭圆2221x y +=上，进而求出离心率e .解：根据条件可知圆心()2,1C ，Q 圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，∴直线l 过点()2,1，则2221a b +=， ∴点(),a b 必在椭圆2221x y +=上，则离心率e =. 故选：C. 点评：本题考查了椭圆离心率的求法以及直线与圆的位置关系，属于中档题.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且106a =，若32824mS S S =+，则m =（ ） A ．715B ．12C ．815D ．716答案：C由106a =求出4q =n 项和公式化简32824mS S S =+可得.解：因为106a =，所以4q =由32824mS S S =+，得()32824111m q q q -=-+-，即(116)1218m -=-+-，解得815m =.故选：C. 点评：本题考查等比数列基本量.等比数列基本量涉及五个量：1n n a n S q a ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．8．已知x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为（ ）A ．23∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， B ．203⎛⎤⎥⎝⎦，C ．12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D ．102⎛⎤⎥⎝⎦，答案：B利用可行域，判断目标函数的最大值的最优解的位置，然后利用直线的斜率推出结果即可. 解：x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，的可行域如图：由26x y x y =⎧⎨+=⎩解得（2,2）；又1yx λ=+， 数形结合可知正数λ的最大值为：22213=+， 所以实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为：（0,23]. 故选：B. 点评：本题考查斜率型目标函数的值域问题，是中档题.9．已知函数241,0,()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩…若关于x 的方程(()2)(())0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(2,5){1}⋃C ．{1,5}D ．[2,5){1}⋃答案：D作出分段函数的图象，由[()2][()]0f x f x m --=得()2f x =或()f x m =，由图可得方程()f x m =有2个实根.求出m 的取值范围. 解：由[()2][()]0f x f x m --=，得()2f x =或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程()2f x =有3个实根，故方程()f x m =有2个实根，故m 的取值范围为[2,5){1}⋃.故选：D 点评：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.10．已知三棱锥P ABC -每对异面的棱长度都相等，且ABC ∆，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．18πD ．36π答案：B，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，可求得22218a b c ++=，进而得出三棱锥外接球的直径，从而可求出三棱锥外接球的体积. 解：Q 三棱锥P ABC -每对异面的棱长度相等，∴，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，且不妨设22211a b +==，22239b c +==，222416a c +==，22218a b c ++=∴，∴=∴外接球的体积为343π⨯=⎝⎭. 故选：B. 点评：本题考查了球的体积的计算，解题的关键是将三棱锥补成一个长方体，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题.11．已知定义域为R 的函数()f x 满足11(),()4022f f x x '=+>，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式(sin )cos 20f x x -…的解集为（ ） A ．[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ B ．[2,2],66k k k Z ππππ-++∈C ．2[2,2],33k k k Z ππππ++∈ D ．5[2,2],66k k k Z ππππ++∈ 答案：D构造函数2()()21g x f x x =+-，由题知 ()()40g x f x x ''=+>得到()g x 在R 上单调递增， (sin )cos 20f x x -…等价于1(sin )()2g x g …，利用单调性可解. 解：令2()()21g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调递增.又2(sin )cos 2(sin )2sin 1f x x f x x -=+-，且1()02g =，故原不等式可转化为1(sin )()2g x g …，所以1sin 2x …，解得522,66k x k k ππππ++∈Z 剟. 故选：D. 点评：利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)()()()()()f x g x F x f x g x >?＝－ )；(2)()()[()]xf x f x xf x ；(3)()()()[]f x xf x f x x ；(4)()+()[()]x f x f x e f x ；(5)()()()[]x f x f x f x e. 12．过点P 作抛物线2:2C x y =的切线1l ，2l ，切点分别为M ，N ，若PMN V 的重心坐标为(1,1)，且P 在抛物线2:D y mx =上，则D 的焦点坐标为（ ）A ．104⎛⎫⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫⎪⎝⎭， C ．0⎫⎪⎪⎝⎭ D ．0⎫⎪⎪⎝⎭答案：A由已知设切点坐标为211,2x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x N x ⎛⎫⎪⎝⎭，利用导数写出切线1l ，2l 的方程，联立求出交点P 坐标122x x x +=，122x x y =，代入重心坐标公式利用已知条件可求出P 的坐标为()1,1-，再代入抛物线2:D y mx =方程，求出m ，进而求D 的焦点坐标． 解：设切点坐标为211,2x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x N x ⎛⎫⎪⎝⎭，由22x y =，得22x y =，所以y x '=，故直线1l 的方程为()21112x y x x x -=-，即2112x y x x =-，同理直线2l 的方程为2222x y x x =-，联立1l ，2l 的方程可得122x x x +=，122x xy =，设PMN V 的重心坐标为()00,x y ，则12120213x x x x x +++==，221212022213x x x x y ++==， 即1222121226x x x x x x +=⎧⎨++=⎩所以121222x x x x +=⎧⎨=-⎩，则P 的坐标为()1,1-， 将P 点坐标代入抛物线2:D y mx =，得到2(1)1m -=⨯，解得1m =，故D 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 点评：本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 二、填空题13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若72910a a a -=-，则7S =_____． 答案：70由等差数列的定义与性质，求出4a 的值，再利用等差中项公式即可求得结果. 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由72910a a a -=-，得9510d a =-， 所以49510a a d =-=， 所以()1747477277022a a a S a +⨯====. 故答案为：70. 点评：本题考查了等差数列的定义与前n 项和公式，其中涉及到等差中项公式的应用，属于基础题.如果{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(),,,*m n p q N ∈.14．已知函数()222a f x sin x cos x =+的图象关于直线12x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_____.由题意利用三角函数的图象对称性的性质，求得f （4π）的值. 解： ∵函数()222af x sin x cos x =+的周期为π，它的图象关于直线12x π=对称，∴f （0）＝f （6π）＝112=+，∴a =，∴f （4π）2a ==，故答案为：3. 点评：本题主要考查三角函数的图象对称性的性质，属于中档题.15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，若1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线1C E 与1BD 所成角的余弦值为_________.答案：5由题知正四棱柱为正方体，.取11B C 的中点F ，则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角，求出三角形1FBD 三边，用余弦定理求解可得. 解：因为1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 所以该正四棱柱为正方体.取11B C 的中点F ， 则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角.设2AB =，则11BF D F BD ==故115cos 52235FBD ∠==⨯⨯. 故答案为：15．点评：本题考查利用集合法求异面直线所成角.两条异面直线所成角的求法:几何法：作、证、求进行求解，通常利用平行线把两条异面直线转换为共面直线. 向量法：(1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b r r，其夹角为θ，(3)代入公式cos sin a b a bj q ==r r g r r 求解(其中ϕ为异面直线,a b 所成的角)．16．《周礼•夏官•马质》中记载“马量三物：一日戎马，二日田马，三日驽马”，其意思为马按照品种可以分为三个等级，一等马为戎马，二等马为田马，三等马为驽马．假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田马、驽马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人，每人至少2匹，则甲和乙都得到一等马的分法总数为_____． 答案：348通过对甲、乙二人分得一等马的匹数进行分类，分两种情况讨论：①甲、乙每人分得一匹一等马；②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案. 解：由题设条件可知甲、乙二人都分得一等马的情况有如下两类：①甲、乙每人分得一匹一等马，有1133433322216C C A A A =种； ②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马，有()21132221112314342341322132C C C C C C C C C C C ⎡⎤++=⎣⎦种，因此，满足题意的分法总数为216+132=348. 故答案为：348. 点评：本题主要考查的是排列与组合的问题，属于中档题.解答排列、组合中的一些较复杂的问题，常用分类讨论思想，讨论时，要注意不重复不遗漏.对于排列、组合问题中的分组与分配问题，可以分组后再分配.常见的分组问题有三种：（1）完全均匀分组，每组的元素个数均相等；（2）部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以!n ；（3）完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. 三、解答题17．ABC V 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2sin tanA tanB B C +=.（1）求A ；（2）若a =，ABC S =V ，且sin sin B C <，求sin B ．答案：（1）A 3π=；（2． （1）将正切转化为正余弦，借助两角和的正弦公式及sin()sin A B C +=，可求出cos A 的值，再根据A 的范围即可得解；（2）利用面积公式求出bc 的值，再由余弦定理求出b c +的值，借助sin sin B C <即可得出b ，c 的值，最后根据正弦定理即可得解. 解：（1）由()cos 2sin tanA tanB B C +=，得sin sin cos 2sin cos cos A B B C A B ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即sin cos cos sin cos 2sin cos cos A B A B B C A B +⋅=，所以sin 2sin cos CC A=，因为在三角形中，sin 0C ≠，所以1cos 2A =，由(0,)A π∈， 所以3A π=.（2）1sin 2ABC S bc A ∆===12bc =，由余弦定理可得：222222cos ()2()36a b c bc A b c bc bc b c =+-=+--=+-， 所以213()36b c =+-， 所以b+c=7，且12bc =， 因为sin sin C B >，所以c b >， 解得：3b =，4c =， 由正弦定理sin sin a b A B = ，得3339sin sin 22613b B A a ==⋅=. 点评：本题考查的是解三角形问题，涉及的知识点包括三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式等，熟记公式并准确计算是解题关键，属于基础题.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱11A B ，BC 的中点，E 是棱11B C 上一点，且DE P 平面11A BC .（1）证明：CE P 平面1AB F .（2）求直线CE 与平面1BC D 所成角的正弦值． 答案：（1）见解析（2）35． （1）由DE P 平面11A BC ，利用线面平行的性质定理可得11DE A C ∥，又D 是棱11A B 的中点，可得E 是棱11B C 的中点，进而得到四边形1B ECF 是平行四边形，1EC B F P ，利用线面平行的判定定理即可证得CE P 平面1AB F ；（2）以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系．设2BC =，求出平面1BC D 的法向量n r和CE u u u r ，利用||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n θ⋅=<>=u u u r ru u u r ru u u r r 即可得出. 解：（1）证明：Q DE P 平面11A BC ，DE ⊂平面111A B C ， 平面11A BC ⋂平面11111A B C A C =，∴11DE A C ∥，又D 是棱11A B 的中点， ∴E 是棱11B C 的中点．又F 是BC 的中点，∴1B E FC P ，1B E FC =，∴四边形1B ECF 是平行四边形． ∴1EC B F P ，又EC ⊄平面1AB F ，1B F ⊂平面1AB F ，∴CE P 平面1AB F .（2）以F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC =，则()0,1,0B ，()0,1,0C -，31,,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10,1,2C -，()0,0,2E ， 31,,222BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，133,,022C D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，(0,1,2)CE =u u u r，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =r ，则10n BD n C D ⋅=⋅=u u ur u u u u r r r ， ∴31202x y z -+=，3302x y +=， 令1y =，得(3,1,1)n =-r，∴||3sin |cos ,|5||||55CE n CE n CE n θ⋅=<>===⨯u u u r ru u u r r u u u r r ，∴直线CE 与平面1BC D 所成角的正弦值为35.点评：本题考查了线面平行的判定定理与性质定理以及线面所成角的正弦值，其中涉及到三角形中位线定理、数量积运算性质、法向量的应用、向量夹角公式的应用等知识，考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19．已知函数3()xf x x e =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式2()f x mx …对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 答案：（1）单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-；（2）1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦（1）求函数求导，根据导数的正负，即可容易求得函数单调性； （2）分离参数，构造函数()xg x xe =，利用导数求其最值，则问题得解.解：（1）232()3e e e (3)x x xf x x x x x '=+=+，令()0f x '≥，得3x ≥-，则()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞； 令()0f x '<，得3x <-，则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-.综上所述：()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-.（2）当0x =时，不等式2()f x mx …即0x …，显然成立. 当0x ≠时，不等式2()f x mx …对x ∈R 恒成立，等价于x m xe …对x ∈R 恒成立. 设()(0),()(1)xxg x xe x g x x e '=≠=+， 令()0g x '<，得1x <-； 令()0g x '>，得1x >-且0x ≠. 所以min 1()(1)g x g e=-=-. 所以1m e -…，即m 的取值范围为1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.点评：本题考查具体函数单调区间的求解，利用导数由恒成立问题求参数范围，属综合基础题.20．已知椭圆2212x C y ：+=的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）若l 过点F ，点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，且12143d d +=，求l 的方程；（2）若点M 的坐标为（0，1），直线m 过点M 交C 于另一点N ′，当直线l 与m 的斜率之和为2时，证明：直线NN ′过定点.答案：（1）x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0（2）证明见解析；（1）由若l 过椭圆的右焦点F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，消去x ，得交点M ，N 的纵坐标关系，因为点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）143=，转化为m 的方程，求得m 即可. （2）分类讨论，当直线NN '的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出N ，N '的坐标的关系式，再由当直线l 与m 的斜率之和为2，列出方程，求出直线方程，即可得直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 解：（1）易知F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（m 2+2）y 2+2my ﹣1＝0.则y M +y N 222m m =-+. 因为d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）＝4221423m m +=+. 所以m ＝1或m ＝2.故l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0.（2）证明：当直线NN '的斜率不存在时，设N （x 0,y 0），则N '（x 0,﹣y 0）. 由k l +k m ＝2，得000011y y x x ---+=2，解得x 0＝﹣1. 当直线NN '的斜率存在时，设直线NN '的方程为y ＝kx +t （t ≠1），N （x 1,y 1），N '（x 2,y 2）.由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0. 所以x 1+x 22412kt k =-+，x 1x 2222212t k -=+；因为k l +k m ＝2. 所以()()21121212121111kx t x kx t x y y x x x x +-++---+==2k ()()12121t x x x x -++=2k 22(1)1t kt t --=-2k21ktt -=+ 2. 所以t ＝k ﹣1，所以直线NN '的方程为y ＝kx +k ﹣1，即y +1＝k （x +1）. 故直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 综上，直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类讨论的思想方法，转化的思想，方程思想以及运算能力，属于中档题.21．某总公司在A ，B 两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售.产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场.检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示： 表1表2表3（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）.（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望.答案：（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：79%；（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大；详见解析；（3）分布列见详解，数学期望为70万元.（1）计算正品数与产品总数的比值即可；（2）分别计算利润，比较即可；（3）计算X（单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150的概率，由期望的定义可得答案.解：（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：5080401050100⨯+⨯=⨯88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：50704510100⨯+⨯=79%.（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大理由如下：甲公司这100天生产的产品的总利润为（50×80+40×10）×2+（50×100﹣50×80﹣40×10）×（﹣3）＝7000（万元），乙公司这100天生产的产品的总利润为（50×70+45×10）×3+（50×100﹣50×70﹣45×10）×（﹣3.5）＝8175（万元），因为7000万＜8175万，所以乙公司这100天生产的产品的总利润更大，（3）X（单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150，P（X＝100）80100==0.8.P（X＝50）10100==0.1，P（X＝150）10100==0.1，则X的分布列为故EX ＝100×0.8+50×0.1+（﹣150）×0.1＝70（万元）， 点评：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查计算能力，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为276(cos 2sin )ρθθρ+=+.（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围. 答案：（1）22(3)(6)18x y -+-=；（2）(1,)+∞ （1）化简276(cos 2sin )ρθθρ+=+为26cos 12sin 270ρρθρθ--+=再用极直互化公式求解直角坐标方程.（2）:|3|C y k x =-图象是关于直线3x =对称，曲线E 与C 恰有4个公共点等价于3x …时，曲线C ：3y kx k =-与圆有两个交点，则利用圆心到直线的距离小于半径求出k 范围. 解：解：（1）276(cos 2sin )ρθθρ+=+Q ，26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=.22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=Q ，E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=.（2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形，又曲线E 为以(3,6)为圆心，0k ∴>.当3x …时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=，则圆心(3,6)到直线的距离d ==<解得21k >，又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞. 点评：本题考查极坐标方程直角坐标方程相互转换及利用两曲线有公共点，求参数的取值范围.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．已知函数()|25||21|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.答案：（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ (1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分组讨论求求并集()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++…得到6|4|m m >++求解解：解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩…或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩…即12x -…或1324x -<<所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++.令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=…， 所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++…， 所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.点评：本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b １?－＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。
【附加15套高考模拟试卷】河北省邯郸市2020届高三第一次模拟考试(数学理科)试卷含答案
附：参考公式和数据：
，
.临界值表：
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
18．（12
分）已知数列 {an } 满足
a1
1， an1
an (n an 1
N*)
bn
，且
1 an
(n
N*)
．求证：数列 {bn } 为
等差数列；设数列
，得到如图所示的频率分布直方图：
请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一
组中的数据用该组区间中点作代表）．若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果达人”． 填 写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？
水果达人 非水果达人 合计
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并
推出山村游等旅游项目．为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客
的购买金额．分组如下： ，
，
13 D．
13
13
5．沈老师告知高三文数周考的附加题只有 6 名同学 A，B，C，D，E，F 尝试做了，并且这 6 人中只有 1
人答对了．同学甲猜测：D 或 E 答对了；同学乙猜测：C 不可能答对；同学丙猜测：A，B，F 当中必有 1 人答对了；同学丁猜测：D，E，F 都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对，则此人是( )
1
r b
22
3
ar
1
2020届河北省邯郸市高三(理科)数学第一次模拟试卷(解析版)2
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|a＜x＜4}，B＝{x|x2﹣5x+6＞0}，若A∩B＝{x|3＜x＜4}，则a的值不可能为（）A．√2B．√5C．√6D．32．设复数z在复平面内对应的点为（x，y），若x，y满足x2+（y+2）2＝3，则有（）A．|z+2|＝3B．|z+2|=√3C．|z+2i|＝3D．|z+2i|=√33．函数f（x）＝lg（x2﹣1）﹣lg（x﹣1）在[2，9]上的最大值为（）A．0B．1C．2D．34．在平行四边形ABCD中，若CE→=4ED→，则BE→=（）A．−45AB→+AD→B．45AB→−AD→C．−AB→+45AD→D．−34AB→+AD→5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下面结论正确的是（）A．甲、乙成绩的中位数均为7B ．乙的成绩的平均分为6.8C ．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差6．我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝2，直线l ：a 2x +b 2y ﹣1＝0，若圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，则点（a ，b ）必在（ ）A ．一个离心率为12的椭圆上 B ．一条离心率为2的双曲线上 C ．一个离心率为√22的椭圆上D ．一条离心率为√2的双曲线上7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 10=√2a 6，若mS 32＝S 8+S 24，则m ＝（ ） A ．715B ．12C ．815D ．7168．已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，2x +y ≤6x +y ≥2，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为（ ）A ．[23，+∞) B ．(0，23]C ．[12，+∞)D ．(0，12]9．已知函数f(x)={−x 2−4x +1，x ≤02−2−x ，x ＞0，，若关于x 的方程(f(x)−√2)(f(x)−m)=0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．（1，2）B ．（2，5）∪{1}C ．{1，5}D ．[2，5）∪{1}10．已知三棱锥P ﹣ABC 每对异面的棱长度都相等，且△ABC 的边长分别为√11，3，4，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A．6√2πB．9√2πC．18πD．36π11．已知定义域为R的函数f（x）满足f(12)=12，f′(x)+4x＞0，其中f′（x）为f（x）的导函数，则不等式f（sin x）﹣cos2x≥0的解集为（）A．[−π3+2kπ，π3+2kπ]，k∈Z B．[−π6+2kπ，π6+2kπ]，k∈ZC．[π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z D．[π6+2kπ，5π6+2kπ]，k∈Z12．过点P作抛物线C：x2＝2y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若△PMN的重心坐标为（1，1），且P在抛物线D：y2＝mx上，则D的焦点坐标为（）A．(14，0)B．(12，0)C．(√24，0)D．(√22，0)二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．等差数列{a n}的前n项和为S n．若a7﹣a2＝a9﹣10，则S7＝．14．已知函数f(x)=a2sin2x+cos2x的图象关于直线x=π12对称，则f(π4)=．15．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，若BD1与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线C1E与BD1所成角的余弦值为．16．《周礼•夏官•马质》中记载“马量三物：一日戎马，二日田马，三日驽马”，其意思为马按照品种可以分为三个等级，一等马为戎马，二等马为田马，三等马为驽马．假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田马、驽马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人，每人至少2匹，则甲和乙都得到一等马的分法总数为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（tan A+tan B）cos B＝2sin C．（1）求A；（2）若a=√13，S△ABC=3√3，且sin B＜sin C，求sin B．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的每条棱的长度都相等，D，F分别是棱A1B1，BC的中点，E是棱B1C1上一点，且DE∥平面A1BC1．（1）证明：CE∥平面AB1F．（2）求直线CE与平面BC1D所成角的正弦值．19．已知函数f（x）＝x3e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，求m的取值范围．20．已知椭圆C：x2+y2=1的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点．2（1）若l过点F，点M，N到直线y＝2的距离分别为d1，d2，且d1+d2=143，求l的方程；（2）若点M的坐标为（0，1），直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点．21．某总公司在A，B两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售．产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场．检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示：表1甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数1010404050天数1010101080表2甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数105404550天数2010201070表3每件正品每件次品甲公司盈2万元亏3万元乙公司盈3万元亏3.5万元（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）．（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝k|x﹣3|．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ+27ρ=6(cosθ+2sinθ)．（1）求E的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E与C恰有4个公共点，求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣5|﹣|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m对任意x∈R，任意t∈R恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{x|a＜x＜4}，B＝{x|x2﹣5x+6＞0}，若A∩B＝{x|3＜x＜4}，则a的值不可能为（）A．√2B．√5C．√6D．3【分析】求出集合A＝{x|a＜x＜4}，B＝{x|x＜2或x＞3}，利用A∩B＝{x|3＜x＜4}，得2≤a≤3．解：∵集合A＝{x|a＜x＜4}，B＝{x|x2﹣5x+6＞0}＝{x|x＜2或x＞3}，A∩B＝{x|3＜x＜4}，∴2≤a≤3．∴a的值不可能为√2．故选：A．2．设复数z在复平面内对应的点为（x，y），若x，y满足x2+（y+2）2＝3，则有（）A．|z+2|＝3B．|z+2|=√3C．|z+2i|＝3D．|z+2i|=√3【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．解：x，y满足x2+（y+2）2＝3，则|z+2i|=√3，故选：D．3．函数f（x）＝lg（x2﹣1）﹣lg（x﹣1）在[2，9]上的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】化简函数的解析式，利用函数的单调性转化求解函数的最值即可． 解：x ∈[2，9]，函数f （x ）＝lg （x 2﹣1）﹣lg （x ﹣1）＝lg （x +1）， 函数是增函数，所以函数的最大值为：f （9）＝lg （9+1）＝1． 故选：B ．4．在平行四边形ABCD 中，若CE →=4ED →，则BE →=（ ） A ．−45AB →+AD →B ．45AB →−AD →C ．−AB →+45AD →D ．−34AB →+AD →【分析】直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果．解：在平行四边形ABCD 中，若CE →=4ED →，所以CE →=45CD →，则BE →=BC →+CE →=AD →+45CD →=−45AB →+AD →．故选：A ．5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下面结论正确的是（ ）A ．甲、乙成绩的中位数均为7B ．乙的成绩的平均分为6.8C ．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差【分析】在A 中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B 中，求出乙的成绩的平均分为7；在C 中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差． 解：在A 中，将乙十次的成绩从小到大排列， 为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，∴中位数为7+82=7.5，故A 错误；在B 中，乙的成绩的平均分为：110（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B 错误；在C 中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，故C 错误；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大， ∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D 正确． 故选：D ．6．我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝2，直线l ：a 2x +b 2y ﹣1＝0，若圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，则点（a ，b ）必在（ ）A ．一个离心率为12的椭圆上 B ．一条离心率为2的双曲线上 C ．一个离心率为√22的椭圆上D ．一条离心率为√2的双曲线上【分析】由条件可得直线l 必经过点（2，1），则可得（a ，b ）必在椭圆2x 2+y 2＝1上，即可求出离心率e ．解：根据条件可知圆心C （2，1），因为圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上， 所以直线l 过点（2，1），则2a 2+b 2＝1，即有点（a ，b ）必在椭圆2x 2+y 2＝1上，所以a ＝1，b =√22，所以c =√1−12=√22，则离心率e =c a =√22．故选：C ．7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 10=√2a 6，若mS 32＝S 8+S 24，则m ＝（ ） A ．715B ．12C ．815D ．716【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q 4=a10a 6=√2，进而结合等比数列的前n 项和公式可得m ×a 1(1−q 32)1−q =a 1(1−q 8)1−q +a 1(1−q 24)1−q，解可得m 的值，即可得答案． 解：根据题意，等比数列{a n }中a 10=√2a 6，则q 4=a10a 6=√2，则有q 8＝2；若mS 32＝S 8+S 24，则有m ×a 1(1−q 32)1−q =a 1(1−q 8)1−q +a 1(1−q 24)1−q， 变形可得：m （1﹣16）＝（1﹣2）+（1﹣8），即15m ＝8，解可得m =815； 故选：C ．8．已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，2x +y ≤6x +y ≥2，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为（ ） A ．[23，+∞)B ．(0，23]C ．[12，+∞)D ．(0，12]【分析】利用可行域，判断目标函数的最大值的最优解的位置，然后利用直线的斜率推出结果即可．解：x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，2x +y ≤6x +y ≥2，，的可行域如图：实数λ满足y ＝λx +λ，恒过（﹣1，0），目标函数取得最大值，由{x =y2x +y =6解得B （2，2）； 正数λ的最大值为：22+1=23，所以实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为：（0，23]． 故选：B ．9．已知函数f(x)={−x 2−4x +1，x ≤02−2−x ，x ＞0，，若关于x 的方程(f(x)−√2)(f(x)−m)=0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．（1，2）B ．（2，5）∪{1}C ．{1，5}D ．[2，5）∪{1}【分析】化简方程，求出函数的值，画出函数的图象，利用数形结合，求解函数的实数根，推出m 的范围即可．解：函数f(x)={−x 2−4x +1，x ≤02−2−x ，x ＞0，，关于x 的方程(f(x)−√2)(f(x)−m)=0可得：2f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣m]＝0可得f（x）=12或f（x）＝m．作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：方程f（x）=12只有一个实数根，所以方程f（x）＝m有2个实数根，故m的取值范围：[2，5）∪{1}．故选：D．10．已知三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为√11，3，4，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．6√2πB．9√2πC．18πD．36π【分析】先将三棱锥补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线上分别为√11，3，4，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，可求得a2+b2+c2＝18，从而确定三棱锥外接球的直径，进而得其体积．解：∵三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度相等，∴该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线上分别为√11，3，4，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且不妨设a2+b2=(√11)2=11，b2+c2＝32＝9，a2+c2＝42＝16，∴a2+b2+c2＝18，∴三棱锥外接球的直径为√a2+b2+c2=3√2，∴外接球的体积为4π3×(3√22)3=9√2π． 故选：B ．11．已知定义域为R 的函数f （x ）满足f(12)=12，f′(x)+4x ＞0，其中f ′（x ）为f （x ）的导函数，则不等式f （sin x ）﹣cos2x ≥0的解集为（ ） A ．[−π3+2kπ，π3+2kπ]，k ∈Z B ．[−π6+2kπ，π6+2kπ]，k ∈ZC ．[π3+2kπ，2π3+2kπ]，k ∈ZD ．[π6+2kπ，5π6+2kπ]，k ∈Z【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解：设g （x ）＝f （x ）+2x 2﹣1，∴g ′（x ）＝f ′（x ）+4x ＞0在R 上恒成立，∴g （x ）在R 上单调递增，不等式f （sin x ）﹣cos2x ＝f （sin x ）+2sin 2x ﹣1，且g （12）＝0，不等式f （sin x ）﹣cos2x ≥0∴g （sin x ）≥g （12），sin x ≥12，∴π6+2kx ≤x ≤5π6+2kπ，k ∈Z ． 故选：D ．12．过点P 作抛物线C ：x 2＝2y 的切线l 1，l 2，切点分别为M ，N ，若△PMN 的重心坐标为（1，1），且P 在抛物线D ：y 2＝mx 上，则D 的焦点坐标为（ ） A ．(14，0)B ．(12，0)C ．(√24，0)D ．(√22，0)【分析】由已知设切点坐标设M （x 1，x 122），N （x 2，x 222），利用导数写出切线L 1，L 2的方程，联立求出交点P 坐标x =x 1+x 22，y =x 1x 22，代入重心坐标公式利用已知条件可求出P 的坐标为（1，﹣1），再代入抛物线D ：y 2＝mx 方程，求出m ，进而求D 的焦点坐标．解：设M （x 1，x 122），N （x 2，x 222），由x 2＝y ，得y =x 22，∴y ′＝x ，故直线L 1的方程为y −x 122=x 1（x ﹣x 1）即y ＝x 1x −x 122，同理直线L 2的方程为y ＝x 2x −x 222，联立L 1，L 2的方程可得x =x 1+x 22，y =x 1x 22，设△PMN 的重心坐标为（x 0，y 0），则x 0=x 1+x 2+x 1+x 223=1，y 0=x 122+x 222+x 1x 223=1 即{x 1+x 2=2x 12+x 22+x 1x 2=6所以{x 1+x 2=2x 1x 2=−2，则P 的坐标为（1，﹣1），从而（﹣1）2＝m ×1，故D 的焦点坐标为（14，0）．故选：A ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 7﹣a 2＝a 9﹣10，则S 7＝ 70 ． 【分析】由等差数列的定义与性质，求出a 4的值，再利用中间项求S 7． 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 7﹣a 2＝a 9﹣10，得5d ＝a 9﹣10， 所以a 4＝a 9﹣5d ＝10， 所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4＝70． 故答案为：70．14．已知函数f(x)=a 2sin2x +cos2x 的图象关于直线x =π12对称，则f(π4)= √33．【分析】由题意利用三角函数的图象对称性的性质，求得f （π4）的值．解：∵函数f(x)=a2sin2x +cos2x 的周期为π，它的图象关于直线x =π12对称，∴f （0）＝f （π6）＝1=√34a +12，∴a =2√33，∴f （π4）=a 2=√33，故答案为：√33． 15．在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BC 的中点，若BD 1与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线C 1E 与BD 1所成角的余弦值为√155． 【分析】推丑陋同该正四棱柱为正方体，取B 1C 1的中点F ，连结BF ，D 1F ，BD 1，则∠FBD 1是异面直线C 1E 与BD 1所成角，由此能求出异面直线C 1E 与BD 1所成角的余弦值． 解：∵BD 1与该正四棱柱的每个面所成角都相等， ∴该正四棱柱为正方体，取B 1C 1的中点F ，连结BF ，D 1F ，BD 1， 则∠FBD 1是异面直线C 1E 与BD 1所成角， 设AB ＝2，则BF ＝D 1F =√5，BD 1＝2√3， ∴cos ∠FBD 1=5+12−52×2√3×√5=√155．∴异面直线C 1E 与BD 1所成角的余弦值为√155． 故答案为：√155．16．《周礼•夏官•马质》中记载“马量三物：一日戎马，二日田马，三日驽马”，其意思为马按照品种可以分为三个等级，一等马为戎马，二等马为田马，三等马为驽马．假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田马、驽马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人，每人至少2匹，则甲和乙都得到一等马的分法总数为 348 ． 【分析】可通过对甲、乙二人分得一等马的匹数进行分类计算，求得结果． 解：由题设条件可知甲、乙二人分得一等马的情况有如下两类： ①甲、乙每人分得一匹一等马，有C 41C 31A 22A 33A 33=216种；②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马， 有2[C32C11（C 41C 33+C42C 22）+C 32C 41C 11C 31C 22]＝132种．所以分法总数为216+132＝348． 故答案为：348．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知（tan A +tan B ）cos B ＝2sin C ． （1）求A ；（2）若a =√13，S △ABC =3√3，且sin B ＜sin C ，求sin B ．【分析】（1）将正切转化为正余弦，再由两角和的正弦公式及sin （A +B ）＝sin C ，求出cos A 的值，再由A 的范围求出A 的值；（2）由面积公式可得bc 的值，再由余弦定理可得b +c 的值，进而解出b ，c 的值，再由sin B ＜sin C ，可得c ＞b ，确定b 的值，再由正弦定理求出sin B 的值． 解：（1）因为（tan A +tan B ）cos B ＝2sin C ．所以（sinA cosA+sinB cosB）•cos B ＝2sin C ，即sinAcosB+cosAsinBcosAcosB•cos B ＝2sin C ，所以sinCcosA=2sin C ，因为在三角形中，sin C ≠0，所以cos A =12， 由A ∈（0，π）， 所以A =π3；（2）由（1）及a =√13，S △ABC =3√3，且sin B ＜sin C ，求sin B ．S △ABC =12bc sin A =√34bc ＝3√3，所以bc ＝12，由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ＝（b +c ）2﹣36 所以13＝（b +c ）2﹣36， 所以b +c ＝7，且bc ＝12， 因为sin C ＞sin B ，所以c ＞b ， 解得：b ＝3，c ＝4，由正弦定理asinA=b sinB，∴sin B =b asin A =√13⋅√32=3√3926． 18．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱A 1B 1，BC 的中点，E 是棱B 1C 1上一点，且DE ∥平面A 1BC 1． （1）证明：CE ∥平面AB 1F ．（2）求直线CE 与平面BC 1D 所成角的正弦值．【分析】（1）由DE ∥平面A 1BC 1，利用线面平行的性质定理可得DE ∥A 1C 1，又D 是棱A 1B 1的中点，可得E 是棱B 1C 1的中点．进而得出B 1E ∥FC ，可得四边形B 1ECF 是平行四边形．EC ∥B 1F ，利用线面平行的判定定理可得：CE ∥平面AB 1F ．（2）以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系．设BC ＝2，设平面BC 1D 的法向量为n →=（x ，y ，z ），可得n →•BD →=n →•C 1D →=0，利用sin θ＝|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →|⋅|n →|即可得出．【解答】（1）证明：∵DE ∥平面A 1BC 1，DE ⊂平面A 1B 1C 1．平面A 1BC 1∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，∴DE ∥A 1C 1，又D 是棱A 1B 1的中点， ∴E 是棱B 1C 1的中点．又F 是BC 的中点，∴B 1E ∥FC ，B 1E ＝FC ， ∴四边形B 1ECF 是平行四边形． ∴EC ∥B 1F ，又EC ⊄平面AB 1F ，B 1F ⊂平面AB 1F ， ∴CE ∥平面AB 1F ．（2）解：以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系．设BC ＝2，B （0，1，0），C （0，﹣1，0），D （√32，12，2），C 1（0，﹣1，2），E （0，0，2）． BD →=（√32，−12，2），C 1D →=（√32，32，0），CE →=（0，1，2）．设平面BC 1D 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →•BD →=n →•C 1D →=0，∴√32x −12y +2z ＝0，√32x +32y ＝0， 取n →=（−√3，1，1）．∴sin θ＝|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →|⋅|n →|=3√5×√5=35． ∴直线CE 与平面BC 1D 所成角的正弦值为35．19．已知函数f （x ）＝x 3e x ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若不等式f （x ）≥mx 2对x ∈一、选择题恒成立，求m 的取值范围．【分析】（1）求导得f ′（x ）＝x 2e x （x +3），令f ′（x ）≥0，令f ′（x ）＜0，进而可得函数得单调递增，递减区间．（2）当x ＝0时，原不等式为0≥0，显然成立，当x ≠0时，原不等式等价于m ≤xe x 对x ∈R 恒成立，设g （x ）＝xe x （x ≠0），只需求出g （x ）的最小值，即可得到答案． 解：（1）f ′（x ）＝3x 2e x +x 3e x ＝x 2e x （x +3），令f′（x）≥0，得x≥﹣3，则f（x）的单调递增区间为[﹣3，+∞）；令f′（x）＜0，得x＜﹣3，则f（x）的单调递减区间为[﹣∞，﹣3）；（2）当x＝0时，不等式f（x）≥mx2，即0≥0，显然成立，当x≠0时，不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，等价于m≤xe x对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），g′（x）＝（x+1）e x，令g′（x）＜0，得x＜﹣1，令g′（x）＞0，得x＞﹣1，且x≠0，所以g（x）min＝g（﹣1）=−1 e，所以m≤−1e，即m的取值范围为（﹣∞，−1e]．20．已知椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点．（1）若l过点F，点M，N到直线y＝2的距离分别为d1，d2，且d1+d2=143，求l的方程；（2）若点M的坐标为（0，1），直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点．【分析】（1）由若l过椭圆的右焦点F（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与椭圆方程，消去x，得交点M，N的纵坐标关系，因为点M，N到直线y＝2的距离分别为d1，d2，则d1+d2＝2﹣y M+2﹣y N＝4﹣（y M+y N）=143，转化为m的方程，求得m即可．（2）分类讨论，当直线NN'的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出N ，N '的坐标的关系式，再由当直线l 与m 的斜率之和为2，列出方程，求出直线方程，即可得直线NN '过定点（﹣1，﹣1）． 解：（1）易知F （1，0），设直线l 的方程为x ＝my +1， 由{x =my +1x 22+y 2=1得（m 2+2）y 2+2my ﹣1＝0．则y M +y N =−2m m 2+2． 因为d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）＝4+2m m 2+2=143． 所以m ＝1或m ＝2．故l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0．（2）证明：当直线NN '的斜率不存在时，设N （x 0，y 0），则N '（x 0，﹣y 0）． 由k l +k m ＝2，得y 0−1x 0+−y 0−1x 0=2，解得x 0＝﹣1．当直线NN '的斜率存在时，设直线NN '的方程为y ＝kx +t （t ≠1），N （x 1，y 1），N '（x 2，y 2）．由{y =kx +tx 22+y 2=1得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0． 所以x 1+x 2=−4kt 1+2k2，x 1x 2=2t 2−21+2k2；因为k l +k m ＝2． 所以y 1−1x 1+y 2−1x 2=(kx 2+t−1)x 1+(kx 1+t−1)x 2x 1x 2=2k +(t−1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −2(t −1)kt t 2−1=2k −2ktt+1=2． 所以t ＝k ﹣1，所以直线NN '的方程为y ＝kx +k ﹣1，即y +1＝k （x +1）． 故直线NN '过定点（﹣1，﹣1）． 综上，直线NN '过定点（﹣1，﹣1）．21．某总公司在A ，B 两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售．产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场．检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示：表1甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数1010404050天数1010101080表2甲公司得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]件数105404550天数2010201070表3每件正品每件次品甲公司盈2万元亏3万元乙公司盈3万元亏3.5万元（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）．（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望．【分析】（1）计算正品数与产品总数的比值即可；（2）分别计算利润，比较即可；（3）计算X（单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150的概率，由期望的定义可得答案，解：（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：50×80+40×1050×100=88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：50×70+45×10100=79%．（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大 理由如下：甲公司这100天生产的产品的总利润为（50×80+40×10）×2+（50×100﹣50×80﹣40×10）×（﹣3）＝7000（万元），乙公司这100天生产的产品的总利润为（50×70+45×10）×3+（50×100﹣50×70﹣45×10）×（﹣3.5）＝8175（万元），因为7000万＜8175万，所以乙公司这100天生产的产品的总利润更大， （3）X （单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150，P （X ＝100）=80100=0.8． P （X ＝50）=10100=0.1， P （X ＝150）=10100=0.1， 则X 的分布列为X 100 50 P0.80.1故EX ＝100×0.8+50×0.1+（﹣150）×0.1＝70（万元），（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝k |x ﹣3|．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ+27ρ=6(cosθ+2sinθ)．（1）求E的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E与C恰有4个公共点，求k的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线E的极坐标方程为ρ+27ρ=6(cosθ+2sinθ)．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣6x﹣12y+27＝0，整理得（x﹣3）2+（y﹣6）2＝18．（2）易知曲线E过定点M（3，0）其图象关于直线x＝3对称的“V”字形．由于曲线E是以（3，6）为圆心3√2为半径的圆，所以k＞0，当x≥3时，曲线C的方程为y＝kx﹣3k，即kx﹣y﹣3k＝0，则圆心（3，6）到直线的距离d=|3k−6−3k|√1+k=6√1+k3√2，解得k2＞1，由于k＞0，所以k＞1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣5|﹣|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）+|4x+2|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m对任意x∈R，任意t∈R恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）原不等式等价为|2x﹣5|+|2x﹣1|＞|t﹣m|﹣|t+4|+m，由绝对值不等式的性质分别求得此不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围．解：（1）|2x ﹣5|﹣|2x +1|＞1等价为{x ≤−125−2x +2x +1＞1或{−12＜x ＜525−2x −2x −1＞1或{x ≥522x −5−2x −1＞1， 解得x ≤−12或−12＜x ＜34或x ∈∅，所以原不等式的解集为（﹣∞，34）；（2）不等式f （x ）+|4x +2|＞|t ﹣m |﹣|t +4|+m 等价为|2x ﹣5|+|2x ﹣1|＞|t ﹣m |﹣|t +4|+m ， 可令h （x ）＝|2x ﹣5|+|2x ﹣1|，则h （x ）≥|2x ﹣5﹣2x ﹣1|＝6， 当且仅当（2x ﹣5）（2x +1）≤0，取得等号，即h （x ）min ＝6， 而|t ﹣m |﹣|t +4|+m ≤|t ﹣m ﹣t ﹣4|+m ＝m +|m +4|，由题意可得6＞m +|m +4|，即m ﹣6＜m +4＜6﹣m ，解得m ＜1， 则m 的取值范围是（﹣∞，1）．。
河北省邯郸市2022-2023学年高三上学期摸底考试数学试卷含答案
高三年级摸底考试试卷数学全解全析ʌ命题双向细目表ɔ题型题号分值试题难度易中难考查的主要知识点试题来源预期得分率选择题15ɿ集合交集原创0.85选择题25ɿ复数的运算和概念原创0.85选择题35ɿ导数的几何意义原创0.8选择题45ɿ统计原创0.8选择题55ɿ平面向量的数量积原创0.8选择题65ɿ充分条件与必要条件原创0.75选择题75ɿ古代文化㊁三角形面积原创0.7选择题85ɿ古典概型的概率原创0.55选择题95ɿ函数图象和性质原创0.8选择题105ɿ双曲线性质㊁定义原创0.8选择题115ɿ等差数列的通项公式,性质原创0.7选择题125ɿ正方体线面㊁面面位置关系的证明与判定原创0.55填空题135ɿ抛物线和圆的方程原创0.8填空题145ɿ二项式定理原创0.7填空题155ɿ四棱台体积的求解原创0.7填空题165ɿ三角恒等变换及函数极值点原创0.5解答题1710ɿ正㊁余弦定理及三角形面积公式原创0.8解答题1812ɿ等比数列性质及错位相减法求和原创0.75解答题1912ɿ独立性检验㊁二项分布的概率计算及其随机变量的分布列和数学期望原创0.7解答题2012ɿ棱锥中的线面位置关系㊁二面角原创0.7解答题2112ɿ椭圆方程的求法,直线与椭圆位置关系,根与系数的关系的应用以及直线与圆恒有交点问题原创0.65解答题2212ɿ利用导数求函数单调性㊁零点原创0.55 1.ʌ命题说明ɔ本题依托集合的概念和不等式的基本性质,考查图示法表示集合的关系㊁交集的定义㊁解不等式,考查运算能力和数形结合思想.-1--2 -ʌ学科素养ɔ本题重在运算与推理,重点考查数学运算和直观想象的核心素养.C 由题可得A ={x |0<x <2},B ={x |x ȡ1},由题图可得阴影部分为A ɘB ={x |1ɤx <2}.2.ʌ命题说明ɔ本题依托复数的概念,考查复数的运算和共轭复数的概念,考查运算能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查数学运算的核心素养.D 因为z =i 1+i =12+12i ,所以z =12-12i ,z 在复平面内对应的点12,-12æèçöø÷位于第四象限.3.ʌ命题说明ɔ本题依托导数的概念,考查求导法则和导数的几何意义,考查运算能力和数形结合思想.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.D 函数f (x )的图象在点P (3,f (3))处的切线的斜率就是在该点处的导数,即f '(3)就是切线y =-2x +7的斜率,所以f '(3)=-2,又f (3)=-2ˑ3+7=1,所以f (3)-f '(3)=1-(-2)=3.4.ʌ命题说明ɔ本题依托扇形统计图数据,考查了对扇形统计图的理解与应用,考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力,考查运算能力和数形结合思想.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数据分析的核心素养.C 不妨设2021年的高考人数为100,则2022年的高考人数为150.2021年本科达线人数为50,2022年本科达线人数为90,得2022年与2021年的本科达线人数比为9ʒ5,本科达线人数增加了80%,故选项A 不正确,选项C 正确;2021年专科达线人数为35,2022年专科达线人数为45,所以2022年与2021年的专科达线人数比为9ʒ7,选项B 错误;2021年不上线人数为15,2022年不上线人数也是15,不上线的人数无变化,选项D 错误.5.ʌ命题说明ɔ本题依托平面向量的概念,考查平面向量数量积的理解与应用,考查运算能力.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算的核心素养.A 由已知|a |=(-4)2+(-3)2=5,|b |=m 2+1,a ㊃b =-4m -3,所以c o s <a ,b >=a ㊃b |a ||b |=-4m -35ˑm 2+1=-35<0,解得m =0或-247(舍去).ʌ名师点拨ɔ求得-4m -35ˑm 2+1=-35之后,不用解方程,可用试值法,将m =0,-1,-247代入,易得m =0符合题意.6.ʌ命题说明ɔ本题依托不等式,考查充分条件和必要条件的判断,考查灵活应用充分条件和必要条件的定义解答问题的能力,考查运算能力.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.A 因为x +1x +1>1⇒x -1+1x +1>0⇒x 2x +1>0⇒x >-1且x ʂ0,充分性成立,所以 0<x <1 是 x +1x +1>1 的充分不必要条件.7.ʌ命题说明ɔ本题依托古代三角形问题,考查正弦定理在解三角形中的应用,考查二次函数求最值问题,考查转化思想.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.C 由正弦定理得a s i n A =a +b +c s i n A +s i n B +s i n C =c 2s i n A ,得c =2a ,因为b =2,әA B C 的面积S =14a 2b 2-a 2+b 2-c 22æèçöø÷2[]=14-9a 4+20a 2-4,所以当a 2=109,即a =103时,әA B C 的面积S 有最大值为23.8.ʌ命题说明ɔ本题依托正方体的点㊁线㊁面位置关系,考查古典概型的概率求解,考查运算能力和空间想象能力.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.D 从正方体的8个顶点和中心中任取4个,有n =C 49=126个结果,4个点恰好构成三棱锥分两种情况:-3 -①从正方体的8个顶点中取4个点,共有C 48=70个结果,在同一个平面的有m =6+6=12个,构成三棱锥有70-12=58个;②从正方体的8个顶点中取3个与中心构成三棱锥有6C 34+8=32个,故从正方体的8个顶点和中心中任选4个,则这4个点恰好构成三棱锥的个数为58+32=90,故所求概率P =90126=57.9.ʌ命题说明ɔ本题依托函数图象,考查函数性质,函数单调性㊁奇偶性㊁极值等问题,考查数形结合思想.ʌ学科素养ɔ本题重点考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.A C 对于A ,f (-x )=45(-x )2=45x 2=f (x )为偶函数,图象为开口向上的抛物线,f (1)=45<1,与题干图象相符;对于B ,f (x )=x 4为偶函数,但f (1)=1,与题干图象不相符;对于C ,f (-x )=(-x )s i n (-x )=x s i n x =f (x )为偶函数,由f '(x )=s i n x +x c o s x ,当0<x <π2时,f '(x )>0,f (x )单调递增,且f (1)=s i n 1<1,与题干图象相符;对于D ,f (-x )=-x (-x )2+1=-f (x )为奇函数,与题干图象不相符.10.ʌ命题说明ɔ本题依托双曲线方程,考查双曲线性质㊁定义,考查数形结合思想.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.A B D 由双曲线方程知:离心率为e =c a =a 2+3a =2,解得a =1,故C :x 2-y 23=1,实半轴长为1,实轴长为2a =2,A 正确;因为可求得双曲线渐近线方程为y =ʃ3x ,故一条渐近线方程为y =3x ,B 正确;由于P 可能在C 的不同分支上,则有||P F 1|-|P F 2||=2,C 错误;焦距为2c =2a 2+b 2=4,D 正确.11.ʌ命题说明ɔ本题依托等差数列概念,考查等差数列的通项公式㊁前n 项和的性质,考查基本不等式综合应用,考查转化思想.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算和数学抽象的核心素养.A C D 设等差数列的公差为d ,因为a 1=a 5,所以a 1=a 1+4d ,所以d =0,则a 1=a 2= =a n ,故A 正确;因为a 5>a 3,所以a 1+4d >a 1+2d ,所以d >0,{a n }为递增数列,但S 1<S 2< <S n 不一定成立,如a 1=-2,a 2=-1,a 3=0,S 1=-2,S 2=-3,S 3=-3,故B 不正确;因为a 21+a 25ȡ2a 1+a 52æèçöø÷2=2a 23=8,当且仅当a 1=a 5=2时取等号,故C 正确;因为a 4=a 1+3d =8,a 8=a 1+7d =4,{解得d =-1,a 1=11,{则a 12=a 4+8d =8-8=0,得S 12=a 1+a 122ˑ12=66,故D 正确.ʌ知识总结ɔ结论:(1)等差㊁等比数列的性质:若m +n =p +q =2t (m ,n ,p ,q ,t ɪN *),①若{a n }为等差数列,则有a m +a n =a p +a q =2a t ;②若{a n }为等比数列,则有a m ㊃a n =a p ㊃a q =a 2t .(2)设等差数列{a n }的公差为d ,当d =0时,为常数列;当d >0时,递增;当d <0时,递减.12.ʌ命题说明ɔ本题依托正方体,考查线面㊁面面位置关系的证明与判定,异面直线所成角的定义等问题,考查数形结合与转化思想.ʌ学科素养ɔ本题重点考查数学运算㊁直观想象和逻辑推理的核心素养.B C 因为A C ʊA 1C 1,所以直线A 1C 1与BC 所成的角为45ʎ,故A 错误;因为BD ʅ平面A C C 1A 1,故B D ʅ平面AC E ,故B 正确;当点E 在A 1处时,平面A B E ʊ平面C C 1D 1D ,所以存在点E ,使得平面A B E ʊ平面C C 1D 1D ,故C 正确.如图,过点E 作MN ʊA 1B 1,则MN 为平面A B E 与平面C D E 的交线,在正方体中,A 1B 1ʅ平面B C C 1B 1,所以MN ʅ平面B C C 1B 1,所以B N ʅMN ,C N ʅMN ,所以øB N C 即为平面A B E 与平面CDE 所成的夹角,-4 -因为点N 一定在以B C 为直径的圆外,所以øB N C <90ʎ,所以不存在点E ,使得平面A B E ʅ平面C D E ,故D 错误.(设正方体的棱长为1,B 1N =x ,则t a n øB 1B N =x ,t a n øC 1C N =1-x ,所以t a n øB N C =t a n (øB 1B N +øC 1C N )=x +(1-x )1-x (1-x )=1x 2-x +1=1x -12æèçöø÷2+34,当x =12时,t a n øB N C 取得最大值,为43,此时øB N C 为锐角,故D 错误.)13.ʌ命题说明ɔ本题依托抛物线和圆的方程,突出考查了抛物线性质和圆的切线,试题设计灵活,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查数学运算和直观想象的核心素养.ʌ解析ɔ抛物线y 2=4x 的准线为x =-1,圆C :(x -a )2+y 2=1的圆心为(a ,0),半径r =1,与准线x =-1相切,得a =-2或0.答案:-2或014.ʌ命题说明ɔ本题依托二项式定理,突出考查利用二项式展开式的通项求系数,考查学生对这些知识的理解掌握水平,试题设计灵活,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ令x =0⇒a 0=-1,由题得(x -1)5的展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ,令5-r =2,得r =3,令5-r =3,得r =2,所以a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0,所以a 0+a 3=-1.答案:-115.ʌ命题说明ɔ本题依托四棱台和四棱锥,突出考查四棱台体积的求解,考查学生对四棱台知识的理解掌握水平,试题设计灵活,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查数学运算和直观想象的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:由题意,设点E 到平面A B C D 的距离为h ,由四边形A B C D 面积为S =(43)2=48,得四棱锥E -A B C D 的体积为48=13h S =13ˑ48h ,得h =3.所以棱台体积为V =13h (S 上+S 上S 下+S 下)=13ˑ3ˑ(48+48ˑ243+243)=399.方法二:由题意,设点E 到平面A B C D 的距离为h ,由四边形A B C D 面积为S =(43)2=48,得四棱锥E -A B C D 的体积为48=13h S =13ˑ48h ,得h =3.由棱台定义知,延长E A ,F B ,G C ,HD 交于一点(图略),设为P ,设棱锥P -A B C D 的高为x ,则棱锥P -E F G H 的高为x +3,由三角形相似可得x x +3=A B E F =49,得x =125,于是棱台体积V =13(x +3)S 下-13x S 上=13ˑ275ˑ243-13ˑ125ˑ48=399.答案:39916.ʌ命题说明ɔ本题依托三角函数解析式,突出考查利用正弦型函数在区间上的极值点个数判断正弦型函数的基本性质,考查三角变换公式,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔf (x )=s i n ωx +s i n ωx +π3æèçöø÷=32s i n ωx +32c o s ωx =3(32s i n ωx +12c o s ωx )=3s i n ωx +π6æèçöø÷,当x ɪ[0,π]时,ωx +π6ɪπ6,ωπ+π6[],-5 -令t =ωx +π6,则t ɪπ6,ωπ+π6[],作出函数y =3s i n t π6ɤt ɤωπ+π6,ω>0æèöø的图象如图所示:由于函数f (x )在[0,π]上有且仅有3个极值点,则52πɤωπ+π6<72π,解得73ɤω<103.答案:73,103[öø÷ʌ名师指点ɔ解本题的关键在于换元t =ωx +π6,将问题转化为函数y =3s i n t 在区间π6,ωπ+π6[]上的极值点个数问题,数形结合来求解.17.ʌ命题说明ɔ本题考查利用正㊁余弦定理解三角形的方法,考查三角变换公式及对三角形面积公式的理解与应用能力,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.ʌ分析ɔ(1)选择①:利用正弦定理边角互化,结合余弦定理可求得t a n A 的值,结合角A 的取值范围可求得角A 的值;选择②:由正弦定理㊁余弦定理可求得c o s A 的值,结合角A 的取值范围可求得角A 的值;(2)利用余弦定理可求得b c 的值,结合三角形面积公式可得出әA B C 的面积.ʌ解析ɔ(1)选择①:因为b 2+c 2-a 2=23a c s i n B ,由余弦定理可得2b c c o s A =23a c s i n B ,所以结合正弦定理可得s i n B c o s A =3s i n A s i n B .3分…………………………………………………因为B ɪ(0,π),则s i n B >0,所以c o s A =3s i n A ,即t a n A =33,因为A ɪ(0,π),所以A =π6;5分……………………………………………………………………………选择②:因为s i n 2B +s i n 2C -s i n 2A =3s i n B s i n C ,由正弦定理得b 2+c 2-a 2=3b c ,3分………………………………………………………………………由余弦定理得c o s A =b 2+c 2-a 22b c =32.因为A ɪ(0,π),所以A =π6;5分……………………………………………………………………………(2)由(1)知A =π6,又已知a =8,b +c =10,由余弦定理得,a 2=b 2+c 2-2b c c o s A =(b +c )2-(2+3)b c ,7分………………………………………即64=100-(2+3)b c ,所以b c =362+3,所以әA B C 的面积为12b c s i n A =12b c s i n π6=9(2-3).10分…………………………………………-6 -18.ʌ命题说明ɔ本题依托等比数列概念,突出考查数列的求和方法,考查学生对错位相减法的理解与应用能力,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.ʌ分析ɔ(1)根据S 3=14,S 6=126,得到a 1,q 的值,得到{a n }的通项公式.(2)首先根据(1)得到b n =(n -1)a n ,再利用错位相减法求T n 即可.ʌ解析ɔ(1)设等比数列{a n }的公比为q ,显然q ʂ1,由S 3=14,S 6=126,得S 3=a 1(1-q 3)1-q =14,S 6=a 1(1-q 6)1-q =126,3分…………………………………………………………相除得1+q 3=9,得q =2,所以a 1=2,所以数列{a n }是以2为首项,以2为公比的等比数列,即a n =2n ;6分……………………………………(2)由(1)可得b n =(n -1)a n =(n -1)2n ,所以T n =1ˑ22+2ˑ23+ +(n -2)ˑ2n -1+(n -1)ˑ2n ①,12T n =1ˑ2+2ˑ22+ +(n -2)ˑ2n -2+(n -1)ˑ2n -1 ②,9分……………………………………②-①,得-12T n =2+22+ +2n -2+2n -1-(n -1)ˑ2n ,得-12T n =2(1-2n -1)1-2-(n -1)ˑ2n ,所以T n =4+(n -2)ˑ2n +1.12分……………………………………………………………………………ʌ方法指导ɔ本题主要考查数列的求和,常见的数列求和方法如下:1.公式法:直接利用等差㊁等比数列的求和公式计算即可;2.分组求和法:把需要求和的数列分成熟悉的数列,再求和即可;3.裂项相消法:通过把数列的通项公式拆成两项之差,再求和即可;4.错位相减法:当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时,可使用此方法求和.19.ʌ命题说明ɔ本题依托数据统计㊁频率分布,突出考查列联表的填写㊁χ2的计算㊁二项分布的概率计算公式及其随机变量的分布列和数学期望,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算,重点考查数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)项目晨读不合格晨读合格合计高二2575100高三1585100合计401602002分……………………………………………………………………………………………………………χ2=200ˑ(25ˑ85-15ˑ75)2100ˑ100ˑ40ˑ160=3.125<3.841=x 0.05,所以依据α=0.05的独立性检验,不能认为 晨读合格 与年级有关联.5分……………………………(2)题表中学生晨读合格的概率为160200=45,所以ξ~B 2,45æèçöø÷,7分………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 02㊃45æèçöø÷0㊃15æèçöø÷2=125,P (ξ=1)=C 12㊃45æèçöø÷1㊃15æèçöø÷1=825,-7 -P (ξ=2)=C 22㊃45æèçöø÷2㊃15æèçöø÷0=1625,10分…………………………………………………………………ξ的分布列为ξ012P125825162511分……………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=2ˑ45=8512分…………………………………………………………………………………或E (ξ)=0ˑ125+1ˑ825+2ˑ1625=85.12分………………………………………………………………20.ʌ命题说明ɔ本题依托四棱锥,考查棱锥中的线面位置关系及求二面角,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算㊁联想与推理,重点考查数学运算㊁直观想象和逻辑推理的核心素养.ʌ分析ɔ(1)设A B =2A D =2D C =2,可得A C ʅB C ,利用平面P C B ʅ平面A B C D ,可得A C ʅ平面P C B ,则A C ʅP B ;(2)取B C 的中点O 为坐标原点,以O P 的方向为z 轴正方向,过点O 分别作A B 和A D 的平行线,分别为x 轴和y 轴,建立空间直角坐标系O -x yz ,分别求得平面A B P 的法向量和平面A C P 的法向量,进而利用数量积求解即可.也可以直接寻找两平面所成角的平面角,在三角形中运用余弦定理求解.ʌ解析ɔ(1)由题意,设A B =2A D =2D C =2,又A B ʊD C ,A B ʅA D ,得A C =B C =2,又A B =2,所以A C ʅB C ,2分……………………………………………………………………………………………又平面P C B ɘ平面A B C D =C B ,且平面P C B ʅ平面A B C D ,A C ⊂平面A B C D ,所以A C ʅ平面P C B ,故A C ʅP B .3分……………………………………………………………………(2)方法一(向量法):取B C 的中点O 为坐标原点,以O P 的方向为z 轴正方向,过点O 分别作A B 和A D 的平行线,分别为x 轴和y 轴,建立如图所示空间直角坐标系O -x yz ,由әP C B 为正三角形,B C =2,得P O =62,4分…………………………………………………………则A 32,12,0æèçöø÷,B -12,12,0æèçöø÷,C 12,-12,0æèçöø÷,P (0,0,62),则A B ң=(-2,0,0),A P ң=(-32,-12,62),A C ң=(-1,-1,0),5分……………………………………设n =(x 1,y 1,z 1)为平面A B P 的法向量,则有n ㊃A B ң=0n ㊃A P ң=0{,即-2x 1=0-32x 1-12y 1+62z 1=0ìîíïïï,可取n =(0,6,1),8分……………………………………………………设m =(x 2,y 2,z 2)为平面A C P 的法向量,-8 -则有m ㊃A C ң=0m ㊃A P ң=0{,即-x 2-y 2=0-32x 2-12y 2+62z 2=0ìîíïïï,可取m =(1,-1,63),10分………………………………………………所以c o s <n ,m >=n ㊃m |n ||m |=-6+637ˑ83=-77,设二面角B -P A -C 的平面角为α,则s i n α=1-(c o s <n ,m >)2=1-(-77)2=427,故二面角B -P A -C 的正弦值为427.12分…………………………………………………………………方法二(几何法):如图,取P A 的中点M ,连接C M ,在平面P A B 中作MN ʅP A ,连接C N ,由(1)知A C =B C =2,又әP C B 为正三角形,所以P C =B C =P B =2,所以P C =A C ,所以C M ʅP A ,又MN ʅP A ,所以øC MN 为二面角B -P A -C 的平面角.5分……………………………………………………………因为A C ʅ平面P C B ,所以A C ʅP C ,所以P A =P C 2+A C 2=2,C M =AM =1,在әA B P 中,P B =2,A B =P A =2,所以c o s øB A P =P A 2+A B 2-P B 22P A ㊃A B =4+4-28=34,7分…………………………………………………所以s i n øB A P =74,t a n øB A P =73,MN =AM ㊃t a n øB A P =73,A N =AM c o s øB A P =43,8分………在әA C N 中,øC A N =45ʎ,所以C N =A C 2+A N 2-2A C ㊃A N ㊃c o s øC A N =103,10分…………………………………………在әMN C 中,c o s øC MN =MN 2+C M 2-C N 22MN ㊃C M=(73)2+12-(103)22ˑ73ˑ1=77,所以s i n øC MN =1-(77)2=427,即二面角B -P A -C 的正弦值为427.12分…………………………………………………………………21.ʌ命题说明ɔ本题依托椭圆方程,考查椭圆方程的求法㊁直线与圆锥曲线相交㊁根与系数的关系(或点差法)的应用以及直线与圆恒有两个交点问题,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.-9 -ʌ学科素养ɔ本题重在运算㊁联想与推理,重点考查数学运算㊁直观想象和逻辑推理的核心素养.ʌ分析ɔ(1)根据题意әN F 1F 2的面积为3,结合四边形M F 2N F 1的四条边的平方和为16,即4(b 2+c 2)=16,求出a ,b 即可得结果;(2)联立直线与椭圆的方程,结合根与系数的关系(或点差法),根据中点坐标公式化简,列出线段A B 的垂直平分线方程,判断定点在圆内即可得结果.ʌ解析ɔ(1)由әN F 1F 2的面积为3,得12ˑ2c ˑb =3,2分………………………………………………又四边形M F 2N F 1的四条边的平方和为16,所以a 2=4,b 2=3,c 2=1或a 2=4,b 2=1,c 2=3,即椭圆C 的方程为x 24+y 23=1或x 24+y 2=1.4分…………………………………………………………(2)方法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由于a >b >1,得椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,5分………………设直线l 的方程为y =k x +m ,结合图形(图略)知,当斜率k =0时,线段A B 的中点H 在y 轴上,不在直线x =12上,故k ʂ0,由x 24+y 23=1y =k x +m {,得(3+4k 2)x 2+8k m x +4m 2-12=0,7分…………………………………………………………………由Δ=64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=-48(m 2-4k 2-3)>0,得m 2<3+4k 2.由x 1+x 2=-8k m 3+4k 2,9分……………………………………………………………………………………设线段A B 的中点H 为(x 0,y 0),得x 0=-4k m 3+4k 2=12,即3+4k 2=-8k m ,所以y 0=k x 0+m =-38k .10分………………………………………………………………………………所以线段A B 的垂直平分线的方程为y +38k =-1k x -12æèçöø÷.即y =-1k x -18æèçöø÷,故线段A B 的垂直平分线恒过点18,0æèçöø÷.11分……………………………………………………………因为18æèçöø÷2+02=164<14,故点18,0æèçöø÷在圆x 2+y 2=14内,所以线段A B 的垂直平分线与圆x 2+y 2=14恒有两个交点.12分………………………………………方法二:由于a >b >1,得椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,5分………………………………………………设直线l 的方程为y =k x +m ,结合图形(图略)知,当斜率k =0时,线段A B 的中点H 在y 轴上,不在直线x =12上,故k ʂ0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),H 12,y 0æèçöø÷,A ,B 点代入椭圆方程得x 214+y 213=1,①x 224+y 223=1,②ìîíïïïï7分………………………-10 -①-②得,14(x 1+x 2)(x 1-x 2)+13(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,8分…………………………………………将x 1+x 2=1,y 1+y 2=2y 0,y 1-y 2x 1-x 2=k ,代入上式化简,得y 0=-38k ,10分………………………………所以线段A B 的垂直平分线的方程为y +38k =-1k x -12æèçöø÷.即y =-1k x -18æèçöø÷,故线段A B 的垂直平分线恒过点18,0æèçöø÷.11分……………………………………………………………因为18æèçöø÷2+02=164<14,故点18,0æèçöø÷在圆x 2+y 2=14内,所以线段A B 的垂直平分线与圆x 2+y 2=14恒有两个交点.12分………………………………………22.ʌ命题说明ɔ本题依托指数函数和对数函数,考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数研究函数的零点存在性问题,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.ʌ学科素养ɔ本题重在运算与推理,重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由题意可得函数f (x )的定义域为(0,+ɕ),f '(x )=1-a x =x -a x,2分……………………当a >0时,令f '(x )>0,得x >a ,所以f (x )在(a ,+ɕ)上单调递增;令f '(x )<0,得0<x <a ,所以f (x )在(0,a )上单调递减;4分…………………………………………………………………………当a <0时,因为f '(x )>0恒成立,所以f (x )在(0,+ɕ)上单调递增;5分……………………………………………………………………(2)g (x )=x e x -a (l n x +x )=x e x -a l n (x e x )(x >0),6分…………………………………………………令t =x e x ,则t '=(x +1)e x >0在x >0时恒成立,所以t =x e x 在x >0时单调递增,且t ɪ(0,+ɕ),所以g (x )=x e x -a l n (x e x )有两个零点等价于f (t )=t -a l n t 有两个零点.7分…………………………因为a >e ,由(1)知,f (t )在(a ,+ɕ)上单调递增,在(0,a )上单调递减,所以f (t )m i n =f (a )=a -a l n a =a (1-l n a ),因为a >e ,所以f (a )<0.9分………………………………………………………………………………下面证明当a >e 时,f (e a )=e a -a 2>0,设h (x )=e x -x 2,则h '(x )=e x -2x ,令m (x )=e x -2x ,又m '(x )=e x -2,当x >e 时,m '(x )=e x -2>0恒成立,所以m (x )单调递增,得h '(x )=e x -2x >e e -2e >0,故h (x )=e x -x 2在(e ,+ɕ)上单调递增,得e x -x 2>e e -e 2>0,即f (e a )=e a -a 2>0,又因为f (1)=1>0,11分……………………………………………………………………………………所以f (t )在(1,a ),(a ,e a )上各存在一个零点,所以a >e 时,函数f (t)有且仅有两个零点,即当a >e 时,函数g (x )有且仅有两个零点.12分…………………………………………………………。
2020年河北省邯郸市高考数学一模试卷（一）（有答案解析）
2020年河北省邯郸市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列各式的运算结果为实数的是（）A. -i（1+i）B. i（1-i）C. （1+i）-（1-i）D. （1+i）（1-i）2.设集合A={x|x2＞4}，A∩B={x|x＜-2}，则集合B可以为（）A. {x|x＜3}B. {x|-3＜x＜1}C. {x|x＜1}D. {x|x＞-3}3.在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），=（2，-3），则点D的坐标为（）A. （6，1）B. （-6，-1）C. （0，-3）D. （0，3）4.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：身高，，，，，频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）A. 119.3B. 119.7C. 123.3D. 126.75.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.若函数f（x）=1+|x|+x3，则=（）A. 2B. 4C. 6D. 87.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. 32B. 40C.D.8.若存在等比数列{a n}，使得a1（a2+a3）=6a1-9，则公比q的最大值为（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=2cos2（2x+）+sin（4x+），则下列判断错误的是（）A. f（x）为偶函数B. f（x）的图象关于直线x=对称C. f（x）的值域为[-1，3]D. f（x）的图象关于点（-，0）对称10.已知m＞0，设x，y满足约束条件，z=x+y的最大值与最小值的比值为k，则（）A. k为定值-1B. k不是定值，且k＜-2C. k为定值-2D. k不是定值，且-2＜k＜-111.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱B1C1上一点，且F到直线A1B与CC1的距离相等，四面体A1BB1F的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A. 8πB.C. 9πD.12.已知函数的导函数满足对恒成立,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.小张要从5种水果中任意选2种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为．14.函数f（x）=的值域为______．15.已知A，B分别是双曲线C：=1的左、右顶点，P（3，4）为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为______．16.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，3sinA =2sin B，tanC=2．（1）证明：△ABC为等腰三角形．（2）若△ABC的面积为2，D为AC边上一点，且BD=3CD，求线段CD的长．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D为BC边上一点，∠BAD=60°，AA1=AB=2AD=2．（1）证明：平面ADB1⊥平面BB1C1C．（2）若BD=CD，试问：A1C是否与平面ADB1平行？若平行，求三棱锥A-A1B1D的体积；若不平行，请说明理由．19.某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为1，2…，6）的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计，绘制得到下面的散点图．（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年级代码为7）给父母洗脚的百分比．附注：参考数据：（x i-）2=17.5，（x i-）（y i-）=35，≈365．参考公式：相关系数r=，若r＞0.95，则y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．回归方程=x+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为=，=．20.已知点B（1，2）是抛物线M：y2=2px（p＞0）上一点，F为M的焦点．（1）若A，是M上的两点，证明：|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）过B作两条互相垂直的直线与M的另一个交点分别交于P，Q（P在Q的上方），求向量在y轴正方向上的投影的取值范围．21.已知函数f（x）=（x-a-1）e x+ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若?x0∈[1，2]，f（x0）＜0，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）若l与C相交于A，B两点P（-2，0），求|PA|?|PB|；（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．23.设函数f（x）=|x-1|+|x+3|．（1）求不等式|f（x）-6|＜1的解集；（2）证明：4-x2≤f（x）≤2|x|+4．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵-i（1+i）=1-i；i（1-i）=1+i；（1+i）-（1-i）=2i；（1+i）（1-i）=1-i2=1+1=2，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：【分析】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x＜-2，或x＞2}；∴B={x|x＜1}时，A∩B={x|x＜-2}．故选C．3.答案：A解析：解：解：设C（x，y），D（s，t），则：；∴；∴；∴C（3，-1）；又，；∴（3-s，-1-t）=（-3，-2）；∴；∴；∴点D的坐标为（6，1）．故选：A．可设C（x，y），D（s，t），从而根据条件得出（x-1，y-2）=（2，-3），从而可求出，即C（3，-1），并可求出，根据即可求出点D的坐标．考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的概念．4.答案：C解析：解：设中位数为t，则有：=0.5，解得t≈123.3．设中位数为t，则有：=0.5，由此能求出结果．本题考查中位数的求法，考查中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用椭圆的性质，求出a，b然后求解c，即可得到椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知a=，b=，所以椭圆的离心率为：e====．故选B．6.答案：C解析：【分析】考查对数的运算性质，对数函数的单调性，已知函数求值的方法．可知，从而可根据f（x）的解析式得出=1+lg2+（lg2）3+1+lg2+（-lg2）3+1+lg5+（lg5）3+1+lg5+（-lg5）3=6．【解答】解：=f（lg2）+f（-lg2）+f（lg5）+f（-lg5）=1+lg2+（lg2）3+1+lg2+（-lg2）3+1+lg5+（lg5）3+1+lg5+（-lg5）3=4+2（lg2+lg5）=6．故选：C．7.答案：C解析：【分析】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图：转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成．故：，由于，所以：．故：．故选：C．解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由a1（a2+a3）=6a1-9，化为：a12（q+q2）-6a1+9=0，当q+q2=0时，易知q=-1，满足题意，当q+q2≠０，△≥０，解得q范围即可得出．【解答】解：∵a1（a2+a3）=6a1-9，∴a12（q+q2）-6a1+9=0，当q+q2=0时，易知q=-1，满足题意，当q+q2≠０，△=36-36（q+q2）≥０，解得≤q≤且q≠０，q≠-1．∴q的最大值为．故选：D．9.答案：D解析：解：f（x）=1+cos（4x+）+sin（4x+）=1+2sin（4x++）=1+2cos4x，则A，B，C均正确，D错误．故选：D．化简f（x）=1+2cos4x后，根据函数的性质可得．本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，运算求解能力，属中档题．10.答案：C解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的比值求得k的值．【解答】解：画出m＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：当直线z=x+y经过点A（2，m+4），z取得最大值，当直线经过B（-1-，-2）时，z取得最小值，故k==-2为定值．故选：C．11.答案：D解析：解：设B1F=t，则FC1=2-t，∵B1到直线A1B的距离为，∴t2+2=（2-t）2，解得t=，∴球的直径为=，∴=．故选：D．设B1F=t，A1B中点为E，利用直角三角形EB1F列方程求得t，再结合长方体外接球直径为其体对角线长即可得解．此题考查了长方体外接球问题，难度适中，12.答案：A解析：解：由（x+xlnx）f'（x）＜f（x），x∈（，+∞），得（1+ln x）f'（x）-f（x）＜0，令，则＜0．∴故g（x）在（，+∞）递减；∴g（e）＜g（1），即?f（e）＜2f（1）．故选：A．令，可得＜0．可得g（x）在（，+∞）递减，即可求解．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.答案：解析：解：从5种水果中任意选2种的所有基本事件总数n==10，∵芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，∴小张送的水果既有热带水果又有温带水果包含的基本事件个数m==6，∴小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率P==．故答案为：．从5种水果中任意选2种的所有基本事件总数n==10，小张送的水果既有热带水果又有温带水果包含的基本事件个数m==6，由此能求出小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：（-5，3]解析：解：函数（x）=当x＞2时，f（x）=3sinx的范围为[-3，3]，当x≤２时，f（x）=2x-5递增，可得f（x）的范围是（-5，-1]，综上可得f（x）的值域为（-5，3]．故答案为：（-5，3]．运用正弦函数和指数函数的值域和单调性，分别讨论x≤２，x＞2的f（x）的范围，再求并集．本题考查分段函数的值域求法，注意运用正弦函数和指数函数的值域和单调性，考查运算能力，属于基础题．15.答案：x2+（y-3）2=10解析：解：P（3，4）为C上的一点，所以，解得m=1，所以A（-1，0）B（1，0），设△PAB的外接圆的圆心（0，b），则1+b2=32+（b-4）2，解得b=3，则△PAB的外接圆的标准方程为x2+（y-3）2=10．故答案为：x2+（y-3）2=10．求出m，推出AB坐标，设出圆心，然后求解即可得到圆的方程．本题考查双曲线的简单性质与圆的方程的求法，考查发现问题解决问题的能力．16.答案：-343解析：【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a7=5，S5=-55，可得a1+6d=5，5a1+d=-55，联立解得：a1，d．利用求和公式可得nS n，通过求导，利用导数研究函数的单调性即可得出最小值．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=5，S5=-55，∴a1+6d=5，5a1+d=-55，联立解得：a1=-19，d=4．∴S n=-19n+=2n2-21n．则nS n=2n3-21n2，令f（x）=2x3-21x2，（x≥１），f′（x）=6x2-42x=6x（x-7），可得x=7时，函数f（x）取得极小值即最小值，∴n=7时，nS n取得最小值，2×73-21×72=-343．故答案为：-343．17.答案：（1）证明：∵tanC=2＞0，∴C为锐角，且sinC=，cosC=．过A做AH⊥BC，垂足为H，则CH=bcosC=，∵3sinA=2sinB，∴3a=2b，即a=，∴H是BC的中点，又AH⊥BC，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．（2）解：AH=bsinC=，∴S△ABC===2，解得b=3，∴BC=2，在△BCD中，由余弦定理得cosC==，解得：CD=．解析：（1）过A做BC的垂线AH，根据C的大小可得H为BC的中点，从而得出AB=AC；（2）根据面积求出BC，在△BCD中根据余弦定理计算CD．本题考查了余弦定理，三角形中的几何计算，属于中档题．18.答案：（1）证明：∵AD=1，AB=2，∠BAC=60°，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴△ABD为直角三角形，∴AD⊥BD，∵AA1∥BB1，AA1⊥平面ABC，∴BB1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，∴BB1∩AD，又BB1∩BD=B，∴AD⊥平面BB1C1C．（2）解：若BD=CD，则D为BC的中点，连接A1B交AB1于O，则O为A1B的中点，连接OD，则OD为△A1BC的中位线，∴OD∥A1C，又OD?平面ADB1，A1C?平面ADB1，∴A1C∥平面ADB1．∴V=V=V=V=S△ACD?BB1==．解析：（1）利用勾股定理证明AD⊥BD，结合AD⊥BB1得出AD⊥平面BB1C1C，故而平面ADB1⊥平面BB1C1C．（2）连接A1B交AB1于O，则O为A1B的中点，则有中位线定理得出OD∥A1C，故而A1C∥平面ADB1，根据V=V=V=V计算体积．本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：（1）因为=×（11+13+16+15+20+21）=16，所以=76，且（x i-）2=17.5，（x i-）（y i-）=35，所以相关系数r==，因为≈365，所以≈36.5，所以r≈≈0.96，由于y关于x的相关系数r≈0.96＞0.95，这说明y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）根据题意计算===2，计算=×（1+2+3+4+5+6）=3.5，所以==16-2×3.5=9；所以回归方程为=2x+9；将x=7代入回归方程中，得=2×7+9=23，所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为23%．解析：（1）根据题意计算相关系数r，根据r的大小判断y与x的线性相关程度；（2）根据题意计算回归系数，求出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值．本题考查了线性回归直线方程的解法与应用问题，是中档题．20.答案：解：（1）将B（1，2）代入y2=2px得4=2p，∴p=2，∴抛物线M：y2=4x．F（1，0），准线为x=-1，∴|FA|=-（-1）=，|FB|=1-（-1）=2，|FC|=-（-1）=，∵|FB|2=|FA||FC|，∴|FA|，|FB|，|FC|依次成等比数列．（2）当y＞0时，由y2=4x可得y=2，y′=x，∴抛物线在B处的切线斜率为1．设直线BP的方程为：y-2=k（x-1），则0＜k＜1．代入抛物线M：y2=4x，得k2x2+（4k-2k2-4）x+（k2-4k+4）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则x1=，y1=kx1+2-k=-2，把k换成-得y2=-4k-2，∴向量在y轴正方向上的投影为y1-y2=+4k．令f（k）=+4k（0＜k＜1），则f′（k）=-+4＜0，∴f（k）在（0，1）上单调递减，又f（1）=8，∴f（k）的值域为（8，+∞）．∴向量在y轴正方向上的投影的取值范围是（8，+∞）．解析：（1）求出抛物线方程，得出准线方程，求出F到A，B，C三点的距离即可得出结论；（2）设BP斜率为k，根据切线斜率得出k的范围，联立方程组得出P，Q的纵坐标，从而y P-y Q即为向量在y轴正方向上的投影，再根据k的范围得出投影的取值范围．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.答案：解：（1）函数f（x）=（x-a-1）e x+ax的定义域为R，f′（x）=（x-a）e x-x+a=（x-a）（e x-1）．令f′（x）=0，可得x=a，或x=0，①当a＜0时，x∈（-∞，a）∪（0，+∞），f′（x）＞0，x∈（a，0），f′（x）＜0．∴函数f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上递增，在（a，0）递减；②当a=0时，f′（x）≥０恒成立，∴函数f（x）在（-∞，+∞）上递增；③当a＞0时，x∈（-∞，0）∪（a，+∞），f′（x）＞0，x∈（0，a），f′（x）＜0．∴函数f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上递增，在（0，a）递减；（2）设g（x）=x-e x，g′（x）=1-e x在[1，2]，g′（x）≤０恒成立，∴g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=1-e＜0可得f（x0）＜0?（x0-a-1）e-+ax0＜0．a（x0-e）+e-．x0∈[1，2]，使得a＞设h（x）=，x∈[1，2]，，设φ（x）=，x∈[1，2]，φ′（x）=x-e x＜0在[1，2]恒成立．∴φ（x）在[1，2]单调递减，∴φ（x）≤φ（1）=，∴h′（x）＞0在[1，2]恒成立．∴h（x）在[1，2]单调递增，h（x）min=h（1）=综上，a的取值范围为（）解析：（1）求出函数的导数，分a＞0，a＜0，a=0求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a（x0-e）+e-．??x0∈[1，2]，使得a＞设h （x）=，x∈[1，2]，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数存在性问题，考查转化思想，是一道中档题．22.答案：解：（1）由ρ＝，得x2+y2=10，将代入x2+y2=10，得t2-2t-6=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=-6，故|PA||PB|=|t t2|=6．（2）直线l的普通方程为-y+2=0，设圆M的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2（a＞0）圆心（a，0）到直线l的距离为d=，因为2=1，所以d2=a2-=，解得a=18（a=-1＜0，舍去），则圆M的半径为13，．解析：（1）先将圆C的极坐标方程化成直角坐标方程，再将直线l的参数方程代入，利用参数t的几何意义可得；（2）设出圆M的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理列式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）∵|f（x）-6|＜1，∴-1＜f（x）-6＜1，即-5＜f（x）＜7，当-3≤x≤１时，f（x）=4，显然不合题意，当x＜-3时，5＜-2x-2＜7，解得-＜x＜-，当x＞1时，5＜2x+2＜7，解得＜x＜，综上不等式的解集为，（-，-）∪（，）．x|+1+|x|+3=2|x|+4，当且仅当x=0时等号成立，证明：（2）∵f（x）=|x-1|+|x+3|≤｜∴f（x）≤2|x|+4∵f（x）=|x-1|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4，∴f（x）≥４，∵4-x2＞4，∴4-x2≤f（x），∴4-x2≤f（x）≤2|x|+4．解析：（1）不等式|f（x）-6|＜1可得-5＜f（x）＜7，分段讨论解得即可，（2）根据绝对值三角不等式即可证明本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
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高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-->，{|0}B x x =>，则AB =（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞ 2.若复数z 满足(1)23i z i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．43.在ABC ∆中，若4AB AC AP +=，则PB =（ ）A ．3144AB AC - B ．3144AB AC -+ C ．1344AB AC -+ D ．1344AB AC -4. 12,F F 分别是双曲线C ：22197x y -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且1||8PF =，则12PF F ∆的周长为（ ）A ． 15B ．16 C. 17 D ．185.用电脑每次可以从区间(0,1)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127 B ．23 C. 827 D ．496.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n 个面是矩形，体积为V ，则（ ）A ．4,10n V ==B ．5,12n V == C. 4,12n V == D ．5,10n V ==7.若sin()2cos )4πααα+=+，则sin2α=（ ）A ．45-B ．45 C. 35- D ．358. 设函数()f x 的导函数为'()f x ，若()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则'()f x 的图像可能为（ ）A ．B ．C. D ．9. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）10.已知函数2()1f x ax bx =-+，点(,)a b 是平面区域201x y x m y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩内的任意一点，若(2)(1)f f -的最小值为-6，则m 的值为（ ）A ． -1B ． 0 C. 1 D ．211. 若函数sin(2),6()cos(2),62x x m f x x m x ππππ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩恰有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．11(,](,]126123ππππ-- B ．1125(,](,](,]123126123ππππππ---- C. 11[,)[,)126123ππππ-- D ．1125[,)[,)[,)123126123ππππππ----12.直线y x a =+与抛物线25(0)y ax a =>相交于,A B 两点，(0,2)C a ，给出下列4个命题：1P ：ABC ∆的重心在定直线730x y -=上；2p ：||3AB a -2103p ：ABC ∆的重心在定直线370x y -=上；4p ：||3AB a -5其中的真命题为（ ）A ．12,p pB ．14,p p C. 23,p p D ．34,p p第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:4:6A B C =，则cos B = ． 14.若2332log (log )log (log )2x y ==，则x y += ． 15.若5()(12)x a x ++的展开式中3x 的系数为20，则a = ． 16.已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面积，且AB CD a ==，AC AD BC BD ====，则a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，记数列21{}n a -的前n 项和为n S . （1）求n S ； （2）设数列1{}n nn a S +的前n 项和为n T ，若25,,m a a a 成等比数列，求m T .18. 如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PB AB ⊥. （1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）若异面直线PC 与BD 所成角为60，PB AB =，PB BC ⊥，求二面角B PD C --的大小.19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)4 1.1yx =+，方程乙：(2)26.41.6y x=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：i i i e y y =-，i e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（也叫随机误差））；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6,0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4,0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.20. 如图，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为右焦点，直线6y x =与C 的交点到y 轴的距离为27，过点B 作x 轴的垂线l ，D 为l 上异于点B 的一点，以BD 为直径作圆E .（1）求C 的方程；（2）若直线AD 与C 的另一个交点为P ，证明：直线PF 与圆E 相切. 21. 已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. （1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2M π，以极点O 为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线2:12x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且||||MA MB >.（1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P 的极坐标；（2）求||||MA MB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-.（1）求不等式()5|1|f x x ≤--的解集； （2）若函数1()(2)g x f x a x =--的图像在1(,)2+∞上与x 轴有3个不同的交点，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBADC 6-10: DCCBA 11、12：BA二、填空题13.2936 14. 593 15. 14- 16.三、解答题17.（1）∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，∴11a =，∴21n a n =-， ∴212(21)143n a n n -=--=-，2(143)22n n nS n n +-==-（2）若25,,m a a a 成等比数列，则225m a a a =，即23(21)9m -=，∴14m = ∵11111()(21)(21)22121n nn a S n n n n +==--+-+，∴141111111114(1)(1)2335272922929m T T ==-+-++-=-=. 18. （1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥， ∵PB AB ⊥，PBBC B =，∴AB ⊥平面PBC .又//CD AB ，∴CD ⊥平面PBC .∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD .（2）解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1PB AB ==，(0)BC a a =>，则(0,0,0)B ，(0,0,)C a ，(1,0,0)P ，(0,1,)D a ，所以(1,0,)PC a =-，(0,1,)BD a =，则||cos60||||PC BDPC BD •=，即22112a a =+， 解得1a =（1a =-舍去）.设111(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量，则0n BP n BD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，即11100x y z =⎧⎨+=⎩，可取(0,1,1)n =-.设222(,,)m x y z =是平面PCD 的法向量，则00m PD m CD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩即22220x y z y -++=⎧⎨=⎩，可取(1,0,1)m =，所以1cos ,2||||n m n m n m •<>==-，由图可知二面角B PD C --为锐角，所以二面角B PD C --的大小为60. 19. 解：（1）①经计算，可得下表：②22210.1(0.1)0.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好.（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为100.660.48.4⨯+⨯=， 所以一天的总利润为(8.4 1.7)800053600-⨯=（元）若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为26.41.6 1.66410+=（元）， 每辆车一天收入期望为100.460.67.6⨯+⨯=，所以一天的总利润为(7.6 1.664)1000059360-⨯=（元） 所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆. 20.（1）解：由题可知，12c a =，∴2a c =，223b c =， 设椭圆C 的方程为2222143x y c c+=，由22221436x y c c y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22||77c x ==，∴1c =，2a =，23b =，故C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可得：(1,0)F ，设圆E 的圆心为(2,)(0)t t ≠，则(2,2)D t ， 圆E 的半径为||R t =， 直线AD 的方程为(2)2ty x =+. 设过F 与圆E 相切的直线方程为1x ky =+，||t =，整理得：212t k t-=，由2(2)2112t y x t x y t ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得22262363t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 又∵22222626()()33143t t t t -+++=， ∴直线PF 与圆E 相切. 21.（1）由'1()f x ax b x=-+，得'(1)1f a b =-+， l 的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x --++=-+-，又l 过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222a b a b --++=-+-，解得0b =. ∵21()()(1)ln (1)12g x f x a x x ax a x =--=-+-+，∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x --+-+-+=-+-==>， 当1(0,)x a ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；当1(,)x a∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减.故2max 111111()()ln ()(1)1ln 22g x g a a a a a a a a==-+-+=-.（2）证明：∵4a =-，∴2212121211221212()()3ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，212121212ln()2()22x x x x x x x x =++++-+=，∴2121212122()ln()x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，'1()m m mϕ-=，令'()0m ϕ<得01m <<；令'()0m ϕ>得1m >.∴()m ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)1m ϕϕ≥=，∴212122()1x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥. 22. （1）2cos 2sin )4πρθθθ=+=+，02θπ≤<，∴当4πθ=时，ρ取得最大值P的极坐标为)4π.（2）由2cos 2sin ρθθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+，即22220x y x y +--=， 故曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=.将1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)(1)2x y -+-=并整理得：210t -=，解得t =，∵||||MA MB >，∴由t的几何意义得，||2MA =，||2MB =，故||2||MA MB ==23.（1）由()5|1|f x x ≤--，得|1||2|5x x -+-≤，∴2235x x >⎧⎨-≤⎩或1215x ≤≤⎧⎨≤⎩或1325x x <⎧⎨-≤⎩，解得14x -≤≤，故不等式()5|1|f x x ≤--的解集为[1,4]-.（2）122,111()(2)|22|1122,12x x xh x f x x x x x x x⎧-+≥⎪⎪=-=--=⎨⎪+-<<⎪⎩，当112x <<时，1()2222h x x x =+-≥=，当且仅当12x x =，即2x =时取等号，∴min ()2h x =， 当1x ≥时，1()22h x x x=-+递减， 由1()(2)0g x f x a x=--=，得()h x a =， 又1()(1)12h h ==，结合()h x的图像可得2,1)a ∈.。