同济大学线性规划习题答案
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第一章线性规划
13.对（LP ）min f = -2x 1 - 3x 2
s.t. x 1 + x 2 + x 3 = 2，
4x 1 + 6x 2 + x 4 = 9， x j ≥0, j=1,2，3，4。
已经得到最优表如下：
判断它是否有多个基本最优解。若有，试求出。 解：现在r 1=0，最小比值有效。进行转基：
得到两个基本最优解：
X1=（0，3/2，1/2，0）T，X2=（0，3/2，1/2，0）T
15、应用单纯形法证明下列问题无最优解
12max 2Z x x =+
s.t.
12322x x x -++≤ 1231x x x -+-≤
0,1,2,3j x j ≥=
试找出一个可行解，它的目标函数值大于2000 解： 令
f Z =-
12min 2f x x =-- st. 123422x x x x -+++=
12351x x x x -+-+=
0,1,2,3,4,5j x j ≥=
B x 1x 2x 3x 4
x b
r
-2-1-1
11-2
-10
100
20
114x 5
x 5
x 0
01
在表中，1
10r =-<，又 1120y =-<，2110y =-<
最小比值准则失效，（LP ）的目标函数值在可行域内无下界
f →-∞ ，无最优解。
取1
0x ε'=> 2
30,0x x ''== 则
4
522,1x x εε''=+=+ ()f x ε'=-
为使
()2000f x '<- 取2001ε=
得(2001,0,0,4004,2002)T
x '= 则 ()2001f x '=-
即
()20012000
Z x =>
5
16给定(LP)：12min 2f x x =-
..s t
123412x x +=
123212x x x -+=
0,1,2,3j x j ≥=
(1) 对基[]31,B A A =，用矩形运算给出其单纯形表。
解答：
}{033,1,
,3,
12B I B B ⎡⎤===-⎢⎥
⎣⎦
()()1
2123112
220212313101
30321114331140332112403,112410311310
20,13430,1B T B T
B B y B A
C b B b C C r C C y f C b --•--⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎛⎫
⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
- ⎪=-=--=- ⎪
⎝⎭
==44
4⎛⎫= ⎪⎝⎭
6
B C C B x 1
x 2
x 3
x b
1
-2
01
3x 1
x 010
113
-103
-43
100
44-4
（2）12min 2f x x =-
..s t
123412x x +=
123212x x x -+=
0,1,2,3j x j ≥=
对基[]3,2B A A •=，用矩形运算给出其单纯形表。
：}{043,2,
,4,
11B I B B ⎡⎤===-⎢⎥
-⎣⎦
7
()()1
11131
21
110111414101
404111/413431/40241/4112150,
1/40123211/410,25/2
3/4150,23B T B
T
B B y B A
C b B b C C r C C y f C b --•-⎡⎤
⎢⎥--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪=== ⎪⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎛⎫
=-=--= ⎪⎝⎭
==-6
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
8
第20题
(1)β2≥0, β5≥0,β6≥0,β5β6=0.
β5=0时, β3 无任何要求。 若是β5> 0，β6=0,则要求β4≤0。
（2）β2<0 。
（3）β1> 0，β2<0 。 （4）β2=0。
（5）β2≥0, β4≤0,β6≤0。 （6）β2≥0, β5>0,β6> 0。 （7）β2≥0, β6=0, β4≤0。 （8）β2≥0,β5<0； 3
21/2
1/21/2β
≤ ，321/2
β≤， 目标函数值降低5321/2ββ-，
9
或降低绝对值
5
3
21/2
ββ