高中数学专题练习：数形结合思想

高中数学专题练习：数形结合思想

[思想方法解读]数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.

常考题型精析

题型一数形结合在方程根的个数中的应用

例1方程sin πx＝x

4的解的个数是()

A.5

B.6

C.7

D.8

点评利用数形结合求方程解应注意两点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则

而采用，不要刻意去数形结合.

变式训练1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x x －1

－kx 2，x ≤0，

ln x ，x >0有且只有两个不同的零点，则实

数k 的取值范围是( ) A.(－4,0) B.(－∞，0] C.(－4,0]

D.(－∞，0)

题型二 利用数形结合解决不等式参数问题

例2 设函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝4

3x ＋1，已知x ∈[－4,0]时，恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围.

点评 利用数形结合解不等式或求参数的方法

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择

适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.

变式训练2若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()

A.(－∞，＋∞)

B.(－2，＋∞)

C.(0，＋∞)

D.(－1，＋∞)

题型三利用数形结合求最值

例3(·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()

A.7

B.6

C.5

D.4

点评利用数形结合求最值的方法步骤

第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.

第二步：转化为几何问题.

第三步：解决几何问题.

第四步：回归代数问题.

第五步：回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.

变式训练3已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x －2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形P ACB面积的最小值.

高考题型精练

1.(·福建)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋1，x >0，

cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )

A.f (x )是偶函数

B.f (x )是增函数

C.f (x )是周期函数

D.f (x )的值域为[－1，＋∞)

2.若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( ) A.[－1,1) B.k ＝±2

C.[－1,1]

D.k ＝2或k ∈[－1,1)

3.已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧

x －2y ＋1≥0，

|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围

是( ) A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10]

D.[4,16]

4.已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2

D.2

2

5.已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( ) A.5 B.7 C.9 D.10

6.若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.[－3，3]

B.(－3，3)