(最新)根与系数的关系
二元一次方程系数与根的关系
二元一次方程系数与根的关系解一个二元一次方程可以使用多种方法，比如消元法、代入法和图解法等。
但在讨论系数与根的关系之前，我们需要明确一些基本概念和性质。
首先，让我们先来了解二元一次方程的根是什么。
二元一次方程的根是使方程成立的实数对，即满足 $ax+by=c$ 的 $(x,y)$。
一元一次方程的根是唯一的，即对于方程 $ax+b=0$，根 $x = -\frac{b}{a}$是唯一的。
而对于二元一次方程，根是有可能有无限多个的。
接下来，我们来讨论二元一次方程系数与根的关系。
1.系数为零时的情况：当 $a=0$ 且 $b\neq0$ 时，方程变为 $by=c$。
这是一个单变量一次方程，它的根是 $y=\frac{c}{b}$。
此时方程的解集为$(x,\frac{c}{b})$，其中 $x$ 可以是任意实数。
当 $a\neq0$ 且 $b=0$ 时，方程变为 $ax=c$。
这是一个单变量一次方程，它的根是 $x=\frac{c}{a}$。
此时方程的解集为$(\frac{c}{a},y)$，其中 $y$ 可以是任意实数。
2.系数不同时的情况：当 $a$ 和 $b$ 不全为零时，方程 $ax+by=c$ 的根受到系数 $a$ 和$b$ 的影响。
根的变化主要体现在斜率和截距上。
在方程 $ax+by=c$ 中，如果我们将 $a$ 和 $b$ 看作是直线 $L$ 的斜率和 $y$ 轴截距，那么这个方程可以表示为 $L: y = -\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$。
直线的斜率 $-\frac{a}{b}$ 反映了方程根的变化趋势，而直线的 $y$ 轴截距 $\frac{c}{b}$ 决定了方程根的高度。
比较两个不同的二元一次方程 $ax+by=c$ 和 $a'x+b'y=c'$ 的根的关系，可以从以下几个方面进行讨论：2.1.斜率（系数$a$和$b$）的比较：- 如果两个方程具有相同的斜率，即 $-\frac{a}{b}=-\frac{a'}{b'}$，那么它们的直线是平行的，它们的根没有交点。
根与系数的关系
根与系数的关系知识点：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根与系数的关系是： 若x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根；则x 1+x 2=_____________ x 1 · x 2=___________ 1、练习：（1）方程0132=+-x x 的两根之和是 ，两根之积是 ； （2）方程2232=-x x 的两根之和是 ，两根之积是 ； （3）方程0322=+x x 的两根之和是 ，两根之积是 ； （4）方程132=x 的两根之和是 ，两根之积是 ； （5）方程（x -1）(x +5)=0的两根之和是 ，两根之积是 ； 2、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
解：3、已知方程01322=-+x x 的两根为1x 、2x ， 求：（1）2221x x + （2）2111x x +（3）))((1121++x x （4）2112x x x x +4、 已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，求它的另一个根及m 的值。
5、 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值。
6、已知关于x 的方程x 2－6x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值.巩固练习1、方程03822=+-x x 的两根之和是 ，两根之积是 ；2、若方程022=++k x x 的一个根为1，则另一个根为 ；3、若方程02=++q px x 的两根是－1和3，则=p ，=q ；4、当=m 时，方程0822=--mx x 的两根之和为4；5、一元二次方程032=--a x x 的两根之和为12-a ，则两根之积为 ；6、若关于x 的方程0149422=--+x p x )(的两个实数根互为相反数，则p 的值为（ ），A ）71 B ）71或71 C ）7或－7 D ）71或77、关于x 的方程02=++q px x 的一个根为0，另一个根不为0那么（ ）； A ) p=0且q=0 B ）p ≠0且q=0 C ）p=0或q=0 D ）p=0且q ≠0 8、已知关于x 的方程2x 2－mx －m 2＝0有一个根是1，求m 的值；。
衔接教材06 根与系数的关系(韦达定理)(解析版)
2021-2022新高一 初高中衔接辅导课程 （解析版） 衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+= ①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b b b bx x a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．3. 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．经典例题解析例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =， 2x = （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x = ②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值． 解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由 （－35）＋2＝－5k ，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零． 解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。
高次方程的根与系数的关系
高次方程的根与系数的关系1. 引言高次方程是数学中重要的概念之一，它可以描述许多实际问题，并在各个科学领域中有广泛的应用。
在解高次方程时，根与系数之间存在一定的关系，本文将探讨高次方程的根与系数之间的关系。
2. 一元高次方程首先，我们来考虑一元高次方程，形如：a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0 = 0其中，a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0 为系数，n为方程的次数，x为未知数。
对于一元高次方程，我们常常使用Vieta定理来研究根与系数之间的关系。
3. Vieta定理Vieta定理是关于多项式根与系数之间的一个重要定理。
对于一元高次方程：a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0 = 0如果x_1, x_2, ..., x_n是方程的n个根，那么Vieta定理可以表述为以下两个等式：x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_(n-1)/a_nx_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * a_0/a_n也就是说，根的和与系数之间有关系，根的乘积与系数之间也有关系。
这一关系可以帮助我们研究方程的根的性质。
4. 例子现在，我们来考虑一个具体的例子，一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0该方程的两个根分别为x_1和x_2。
根据Vieta定理，我们可以得到以下两个等式：x_1 + x_2 = -b/ax_1 * x_2 = c/a由此可见，根与系数之间的关系是显而易见的。
例如，如果根的和较大，那么系数的比值b/a就会较小，根的乘积c/a也会较小。
反之亦然。
5. 多元高次方程除了一元高次方程之外，我们还可以研究多元高次方程中根与系数之间的关系。
多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程，形如：P(x_1, x_2, ..., x_n) = 0其中，x_1, x_2, ..., x_n为n个未知数，P为多项式。
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着一定的关系。
设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
方程的两个根分别记为x₁和x₂。
根据求根公式，方程的两个根可以通过以下公式计算得出：
x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)
从以上公式可以发现，方程的两个根与系数a、b、c之间存在着一定的关系。
具体来说：
1. 系数b的正负会影响根与根之间的大小关系。
当b>0时，根x₁<根x₂；当b<0时，根x₁>根x₂。
2. 系数c的正负会影响根的正负。
当c>0时，根为两个正数；当c<0时，根为两个负数。
3. 系数a的正负会影响抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
总之，一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着密切的关系，系数的改变将会影响根与根之间的大小关系、根的正负以及抛物线的开口方向。
根与系数的关系-初中数学知识点
1 / 1 根与系数的关系
1．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1 ，常用以下关系：1x ，2x 是方程2
0x px q ++=的两根时，12x x p +=- ，12x x q =，反过来可得()12p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=- ，12c x x a =，反过来也成立，()12b x x a =-+ ,12=c x x a
． （3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③
不解方程求关于根的式子的值，如求，2212x x +等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足
的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑()0a ≠，0∆≥ 这两个前提条件．。
一元二次方程的根与系数之间的关系
一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。
在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。
系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。
在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。
首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。
具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。
1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。
可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。
可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。
也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。
因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。
根与系数的关系典型例题
根与系数的关系典型例题1. 介绍根与系数的关系说到根与系数的关系，大家是不是会想起那些让人头疼的数学公式？其实，这里面有很多有趣的故事和小秘密！首先，我们得知道，根就是方程的解，而系数则是那些在方程里“跑龙套”的数字。
就好比一部电影，主角是演员，系数就是幕后制作人。
没有系数，根就像失去了方向的小船，根本不知道往哪儿开！那么，什么是根与系数的关系呢？简单来说，根与系数之间有一套默契的“交往规则”。
比方说，如果你有一个二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，它的根分别是 ( r_1 ) 和( r_2 )，那么根据我们耳熟能详的维达定理，咱们可以轻松得到一些好玩的关系：根的和是 ( r_1 + r_2 = frac{b{a )，根的积是 ( r_1 times r_2 = frac{c{a )。
这就好比，你在一场聚会上认识了两个新朋友，没想到他们之间还有些神秘的联系。
1.1. 举个例子比如，我们来看看具体的例子吧。
假设有个方程 ( 2x^2 4x + 2 = 0 )。
大家觉得这个方程复杂吗？其实一点也不！我们首先可以把它简化成 ( x^2 2x + 1 = 0 )。
这看起来是不是像是某个经典的双人舞？没错，它的根就是 ( r_1 = 1 ) 和 ( r_2 = 1 )，这两个根实质上是同一个！所以根的和 ( r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2 )，而根的积 ( r_1 times r_2 = 1 times 1 = 1 )。
让我们看看它们和系数之间的关系：根的和是 ( frac{4{2 = 2 )，根的积是( frac{2{2 = 1 )。
哎呀，真是太巧合了，根和系数简直是一对欢喜冤家！1.2. 总结小技巧所以，记住了哈，根与系数的关系不仅能帮助我们解方程，还能让我们在数学的世界里游刃有余。
我们只要掌握这几个小技巧，简单明了，就能在考试时轻松应对。
就像打游戏升级一样，搞定了根与系数的关系，接下来的题目也能轻松通关，绝对让你赢得“数学大咖”的称号。
根与系数的关系(解析版)-2023年升初三人教版暑假衔接教材
❊1.5根与系数的关系知识点一根与系数的关系【注意】题型一利用韦达定理求方程的根例1已知关于x 的方程0322=+++a a x x 有一个根为-2，则另一个根为（）A ．5B ．2C ．-1D ．-5【答案】【分析】根据关于系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于∴2-解得，故选例变1若关于x 的一元二次方程032=+-bx x 有一个根是1=x ，求b 的值及方程的另一根.【答案】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+3=0有一个根是x=1，∴1﹣b+3=0，解得：b=4，把b=4代入方程得：x 2﹣4x+3=0，设另一根为m ，可得1+m=4，解得：m=3，则b 的值为4，方程另一根为x=3.变2若73+是方程062=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.【答案】解：∵=3+7是此方程的一个根，设另一个解为2则1+2=6，∴2=3−7，即方程的另一个根为3−7∵12=∴=(3+7)(3−7)=2.题型二利用韦达定理判断根的正负例1一元二次方程2410x x --=根的情况是（）A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于5D ．有两个正根，且有一根大于4【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．【解答】解：2410x x --=，△24164200b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根；设方程的两个根为12x x ⋅，则：124x x +=，121x x ⋅=-，∴方程的有一个正根，一个负根；故选：B ．例2关于x 的方程2(2)(1)(x x p p -+=为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A ．有两个相异正根B ．有两个相异负根C ．有一个正根和一个负根D ．无实数根【分析】先计算根的判别式的值得到△0>，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，利用根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，根据有理数的性质得到1x 、2x 的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为2220x x p ---=， △222(1)4(2)490p p =----=+>，∴方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，根据根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，∴方程有一个正根和一个负根．故选：C ．变1关于x 的一元二次方程2250x x --=有（）A ．两个相等的实数根B ．两个不相等的正数根C ．两个不相等的负数根D ．一个正数根和一个负数根【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．【解答】解：2250x x --=，△224(2)41(5)240b ac =-=--⨯⨯-=>，所以方程有两个不相等的实数根，设方程2250x x --=的两个根为e 、f ，则50ef =-<，则e 和f 异号，即方程有一个正数根和一个负数根，故选：D ．变2关于x 的方程2(1)(2)(x x p p -+=为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大C ．两个负根D ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a ，b ，利用根与系数的关系表示出a b +与ab ，判断即可．【解答】解：设方程两根设为a ，b ，方程整理得：2220x x p +--=，∴由根与系数的关系得：10a b +=-<，220ab p =--<，则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．故选：D ．例3一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（）A ．a ，c 异号B ．a ，c 异号；a ，b 同号C ．a ，c 异号；b ，c 同号D ．b ，c 异号变3一元二次方程20ax bx c ++=中，若0a >，0b <，0c <，则这个方程根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有一正根一负根且正根绝对值大D ．有两个正的实数根【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据12cx x a=判断根的符号情况．【解答】解：0a > ，0b <，0c <，0ac ∴<，∴△240b ac =->，∴方程有两个不相等的实数根，120cx x a=< ．∴两根异号，故选：C ．例4若方程22210x x m +-+=有一正实根和一负实根，则m 的取值范围是（）A ．167≥m B ．12m >C ．716m >D ．21≥m 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：210m -+<，12m ∴>，由△18(21)0m =--+>，716m ∴>，12m ∴>，故选：B ．变4若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【分析】利用根的判别式△0>及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【解答】解： 关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴2241(12)0120m m ⎧=-⨯⨯->⎨-<⎩，解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．知识点二韦达定理与代数式题型三利用韦达定理求代数式的值例1已知21x x ，是方程2310x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）21x x +（2）12·x x （3）()()1211x x --（4）()()122111x x x x +++（5）2212x x +（6）()212x x -（7）1211+x x （8）2112x x x x +变1已知21x x ，是方程03622=-+x x 的两个实数根，求下列各式的值：（1）2221x x +（2）)2)(2(21++x x（3）2112x x x x +（4）221)(x x -（5）21x x -例2一元二次方程x 2+4x +1=0的两个根是x 1，x 2，则2112x x x x -的值为______．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，再通过通分和完全平方公式变形得到21−12=12【解答】解：根据题意得x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，所以21−12=22−1212=(1+2)(2−1)===﹣83．故答案为﹣83例3已知方程2410x x ++=，记两根为,αβ，求βααβ+的值为（）A ．3B ．C ．4D ．变3已知：m 、n 是方程022=--x x 的两根，则=--)1)(1(22n m ______．【答案】0【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，从而得到2−1=+1,2−1=+1，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 、n 是方程2−−2=0的两根，∴2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，∴2−1=+1,2−1=+1，∴2−12−1=+1+1=B +++1=−2+1+1=0故答案为：0变4已知a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，则式子abbb a a+的值为______．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入=【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，∴a +b =−52，a •b =12，∴a ＜0，b ＜0，∴+=+=B==−(−52)+2×12=−故答案为：−题型四根据代数式的值求参数的值例1已知21x x ，是关于x 的方程012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为______．【分析】该一元二次方程含有参数，所以务必要计算△.【解答】)12(4)13(4222≥+-+=-=∆k k ac b （注意：可以不用解出来）∵2218)1)(1(k x x =--∴2212181)(k x x x x =++-将)13(21+-=-=+k a b x x ，12221+==⋅k acx x 代入得：22811312k k k =++++，解得211-=k ，12=k .再将k 的值带入△，判断是否满足△≥0即可.【答案】1【解析】根据根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣（3k +1），x 1x 2=2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1=8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1=0，解得：k 1=﹣，k 2=1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，∴△=（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2，∴k =1．例2已知关于x 的一元二次方程02)12(22=+++-k k x k x 有两个实数根为21x x ，，使得16222121-=--x x x x 成立，则k 的值______．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，然后解不等式求得k 的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，再把x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16变形为﹣（x 1+x 2）2+3x 1•x 2=﹣16，所以﹣（2k +1）2+3（k 2+2k ）=﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k 的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k =0有两个实数根，∴△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，解得k ≤14，由根与系数的关系得x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，∵x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16．∴x 1x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]=﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2=﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，整理得k2﹣2k﹣15=0，解得k1=5（舍去），k2=﹣3．∴k=﹣3，故答案为﹣3．即6180m -=，解得：3m =．变4已知关于x 的一元二次方程0)14(62=++-m x x 有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为21x x ，，且421=-x x ，求m 的值．【答案】见解析。
根与系数的关系与应用
应用场景：利用根与 系数的关系，可以解 决多种方程组问题， 特别是当方程组中存 在二次方程时。
解决步骤：首先找到 二次方程的根，然后 利用韦达定理确定其 他方程的系数，从而 解出整个方程组。
优势与它不适用于所有类 型的方程组问题。
根与系数在不等式中的应用
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根的判别式
定义：根的判别式是用来判断一元二次方程实数根的个数和类型的公式。 公式：根的判别式Δ=b²-4ac。 应用：通过根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，进而解决实际问题。 重要性：根的判别式是数学中一元二次方程求解的重要工具，也是解决实际问题的基础。
根与系数在代数中的应用
根与系数在三 角函数中可以 用来求解三角 函数的值
根与系数在三 角函数中可以 用来判断三角 函数的单调性
根与系数在三 角函数中可以 用来研究三角 函数的周期性 和对称性
根与系数在三 角函数中可以 用来解决一些 实际问题
0
0
0
0
1
2
3
4
根与系数在实际问题中的应用
根与系数在经济问题中的应用
根与系数在金融领域的应用： 用于评估金融产品的风险和回 报，例如股票、债券等。
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根与系数的扩展应用
根与系数的复数应用
扩展定义：根与系数的关系可以扩展到复数领域 应用场景：解决复数方程的根的问题 计算方法：利用根与系数的关系，通过代数运算求出复数方程的根 实例分析：通过具体实例展示复数应用中根与系数的关系及其求解过程
根与系数的矩阵应用
定义：根与系 数的关系在矩 阵中的表现
理解遗传规律。
生态学中的应用： 根与系数可以用于 描述种群数量变化 的关系，预测种群
一元二次根和系数的关系
一元二次根和系数的关系一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
一元二次方程的解即为方程的根，而根和方程的系数之间存在着一定的关系。
我们来看一元二次方程的求根公式。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个相反的解，√表示平方根。
这个公式被称为二次方程的根公式，它将方程的系数a、b、c与方程的根x联系起来。
从这个公式中可以看出，根和系数之间的关系主要体现在根的计算中。
根的个数与判别式有关。
判别式的计算公式为D = b^2-4ac，它可以判断一元二次方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
因此，根的个数与方程的系数a、b、c之间是有一定关系的。
根的大小与系数之间也存在一定的关系。
当方程的系数a>0时，根的大小与系数b、c的正负性有关。
当方程的系数b>0时，根的大小与系数c的正负性有关。
具体而言，当系数b>0时，根的大小随着系数c的增大而增大；当系数b<0时，根的大小随着系数c的减小而增大。
当方程的系数a<0时，根的大小与系数b、c的正负性相反。
当系数b>0时，根的大小随着系数c的减小而增大；当系数b<0时，根的大小随着系数c的增大而增大。
可以看出，方程的系数对根的大小有一定的影响。
根的符号与系数之间也存在一定的关系。
当方程的系数a、b、c都为正数时，根为正数；当系数a、b、c都为负数时，根为负数；当系数a、b、c中有奇数个负数时，根为负数；当系数a、b、c中有偶数个负数时，根为正数。
这个关系可以通过根的计算公式得到。
一元二次方程的根和系数之间存在着一定的关系。
根的个数与判别式有关，根的大小与系数之间也存在一定关系，根的符号与系数之间也有一定的关系。
根与系数关系的推导过程
根与系数关系的推导过程
在研究多项式方程时,求解多项式方程的根与方程系数之间的关系是非常重要的。
通过建立根与系数的关系,我们可以直接由系数来判断方程是否存在实根、求解方程的实根,或者直接获得其他有关根的信息。
下面我们将推导出一般n次多项式方程根与系数的关系公式。
设n次多项式方程为:
x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0 = 0
假设该方程有n个根,分别为α_1,α_2,...,α_n,则可以将左边展开为: (x - α_1)(x - α_2)...(x - α_n) = 0
将两边展开,比较同次项系数,我们可以得到:
1) 常数项a_0与所有根的乘积有关:
a_0 = (-1)^n * α_1α_2...α_n
2) 次数为n-1的项系数a_(n-1)与所有根的和有关:
a_(n-1) = (-1)^(n-1) * (α_1 + α_2 + ... + α_n)
3) 次数为n-2的项系数a_(n-2)与所有根的平方和有关:
a_(n-2) = (-1)^(n-2) * (α_1α_2 + α_1α_3 + ... + α_(n-1)α_n)
...
k) 次数为n-k的项系数a_(n-k)与所有k次根式有关,其中一个k次根式为:
α_(i1)α_(i2)...α_(ik), 1≤i1<i2<...<ik≤n
最终我们得到了一个包含n个方程的方程组,这n个方程刻画了n次方程根与系数之间的精确关系。
利用这些关系,我们可以由已知的系数去推导方程的根,反之亦然。
这为多项式方程的理论研究和应用奠定了基础。
二次方程根与系数之间的关系
二次方程根与系数之间的关系二次方程是一种含有二次项的代数方程，其一般形式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次方程的解被称为方程的根。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系。
一、二次方程的求根公式已知二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，根据求根公式，可以得到方程的根。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个不同的解，√表示平方根运算。
二、判别式的作用在求解二次方程的根时，判别式起到了重要的作用。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以判断二次方程的根的情况：1. 当Δ > 0时，方程有两个不同的实数根。
该情况下，可以进一步使用求根公式计算出具体的根的数值。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
此时，可以通过求根公式计算得到相同的根的值。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是两个共轭复数根。
复数根一般表示为x = α ± βi，其中α和β均为实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
三、根与系数之间的关系1. 根与二次方程的系数a、b、c之间的关系如下：- 根的和等于-b/a；- 根的积等于c/a。
2. 具体而言，设方程ax^2 + bx + c = 0的根为x1和x2，根据根与系数之间的关系，可以得到以下两个等式：- x1 + x2 = -b/a- x1 * x2 = c/a这两个等式可以通过求根公式推导得出。
通过这两个等式，我们可以通过系数来推测方程的根的性质。
三、例题分析接下来，我们通过几个例题来具体说明根与系数之间的关系。
例题一：已知二次方程3x^2 - 5x + 2 = 0，求方程的根。
解：根据求根公式，代入a = 3，b = -5，c = 2，可得：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*3*2)) / (2*3)简化后可得：x = (5 ± √(25 - 24)) / 6x = (5 ± √1) / 6x1 = (5 + 1) / 6 = 1x2 = (5 - 1) / 6 = 2/3因此，该二次方程的根为x1 = 1，x2 = 2/3。
二次方程的根与系数的关系
二次方程的根与系数的关系二次方程是高中数学中常见的一类方程，它的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解二次方程的根是数学中的重要问题之一，而根与系数之间又存在着一定的关系。
在本文中，我们将对二次方程的根与系数的关系进行探究和分析。
1. 二次方程的根公式解二次方程的根可以通过求解一元二次方程的公式得到，即根据下列公式可以求得方程的实根：x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a)x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)其中，x₁和x₂分别为二次方程的根，√表示求平方根。
2. 二次方程的判别式在进一步讨论二次方程的根与系数的关系之前，我们先介绍一下二次方程的判别式：Δ = b² - 4ac。
判别式Δ决定了二次方程的根的性质。
- 当Δ > 0时，即判别式大于0，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0时，即判别式等于0，方程有两个相等的实根；- 当Δ < 0时，即判别式小于0，方程没有实根，而变成了有复数解。
3. 二次方程的根与系数的关系接下来，我们将探讨二次方程的根与系数之间的关系。
以一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0为例进行讨论。
- 根与系数的和：二次方程的根与系数的和可以通过根公式得到：x₁ + x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) + (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)= -b / a- 根与系数的积：二次方程的根与系数的积也可以通过根公式得到：x₁ * x₂ = (-b + √(b² - 4ac)) / (2a) * (-b - √(b² - 4ac)) / (2a)= (b² - (b² - 4ac)) / (4a²)= c / a由以上推导可知，二次方程的根与系数之间存在着以下关系：- 根与系数的和等于二次方程的一次系数b的相反数除以二次方程的二次项系数a的倒数，即 x₁ + x₂ = -b / a；- 根与系数的积等于二次方程的常数项c除以二次方程的二次项系数a，即 x₁ * x₂ = c / a。
根与系数的关系
m 的值
2
⑵已知方程 3x 19 x m 0 的一个根是1， 求它的另一个根及 m 的值。
2
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
2
③ ( x1 1)( x2 1)
x2 x1 ④ x x 1 2
求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：
九年级
上册
21.2 根与;c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
c b 那么x1+x2= , x1x2= a a
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
我能行1
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积： 2 2 ② ① x 3x 1 0 2x 4x 1 0
③
3x 2 x 2
2
④ 2 x 3x 0
2
我能行2
⑴已知方程 5 x kx 6 0 的一个根是2 求它的另一个根及 k 的值。
①
4, 7
；② 1
3,1 3
已知两个数的和等于 求这两个数
6 ，积等于 2
当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根 差为1.
设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数 根，且x12+x22=4，求k的值.
已知关于
2
x 的方程
2
x 2(m 2) x m 4 0
根与系数的关系知识点及综合应用
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
根与系数的关系
根与系数的关系字数与根与系数的关系作为一种表示数值大小的符号，常用字数的字体是我们在日常交流中不可或缺的一部分。
字数的大小与根与系数之间有着密切的关系，下面就让我们一起来探讨一下字数与根与系数之间的关系。
首先，让我们来了解一下什么是根与系数。
在数学中，根是指数学方程中一个数（或一个表达式）的某个代数基数。
而系数则是指数学中与未知数相乘（或相除）的数。
在这里，我们将重点讨论一次根与一次系数。
一次根是指数值的平方根，常表示为√x。
根据定义，一次根的系数是根的前面的数，即系数a。
如公式a√x，其中a是一次根的系数。
那么字数与一次根的系数之间有什么关系呢？字数是用来表示文章、句子或词语的长度的一个概念。
而一次根的系数则是用来表示根的大小的一个数。
从字数的角度来看，字数越多表示文章或词语越长；从根与系数的角度来看，根的系数越大表示根的大小越大。
因此，可以得出结论，字数与根与系数之间存在数值大小的关系。
具体来说，当字数增加时，根的系数也会相应地增加。
这是由于，字数的增加表明文章或词语的长度变长，需要更多的根来表达完整的意思。
而根的系数的增加表明根的大小变大，需要更大的系数来表示。
因此，字数与根与系数之间是呈正相关的关系。
另一方面，当字数减少时，根的系数也会相应地减少。
由于字数的减少意味着文章或词语变短，需要更少的根来表达。
而根的系数的减少则表示根的大小变小，需要更小的系数来表示。
因此，字数与根与系数之间也是呈负相关的关系。
综上所述，字数与根与系数之间存在着明显的数值大小关系。
字数越多，根的系数越大；字数越少，根的系数越小。
这是由于字数和根与系数分别代表了文章长度和根的大小的概念。
通过了解字数与根与系数之间的关系，我们可以更好地理解数值的相对大小，并在日常交流和数学学习中更加准确地使用字数、根与系数的概念。
一元二次方程求根公式根与系数关系
一元二次方程求根公式根与系数关系嘿，朋友！咱们今天来聊聊一元二次方程求根公式和根与系数的关系。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开数学世界里的好多扇门。
一元二次方程，形如 ax² + bx + c = 0 （a≠0），它的求根公式就像个魔法咒语，能让咱们找到方程的根。
你想想，这公式是不是特别厉害？就好比你在迷宫里迷路了，这个公式就是那根能带你走出去的红线。
求根公式是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这当中的 a、b、c 就像是方程的三个小伙伴，它们一起决定了方程根的情况。
再说根与系数的关系，那也是妙不可言啊！两根之和等于 -b/a ，两根之积等于 c/a 。
这就好像是两个小伙伴之间的秘密约定，藏着好多数学的小秘密。
比如说，给你一个方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那 a = 1 ，b = -5 ，c = 6 。
用求根公式算一下，根就是 2 和 3 。
再看看根与系数的关系，两根之和 2 + 3 不就正好是 -(-5)/1 也就是 5 嘛，两根之积 2×3 不就是 6/1 也就是 6 嘛。
你看，这是不是很神奇？这就像你有了一双能看透方程的眼睛，不管它怎么变，你都能找到答案。
要是你在做题的时候，能熟练运用这求根公式和根与系数的关系，那简直就是如鱼得水。
别人还在抓耳挠腮，你早就轻轻松松把答案写出来了。
就像打篮球，你掌握了投篮的技巧和团队配合的方法，那得分还不是手到擒来？学数学也是这样，掌握了这些知识，难题都能被你攻克。
所以啊，朋友们，好好琢磨琢磨这一元二次方程求根公式和根与系数的关系，让咱们在数学的海洋里畅游无阻！总之，一元二次方程求根公式和根与系数的关系是数学中的重要工具，只要用心去理解和运用，就能在数学的道路上越走越顺，越来越厉害！。