分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案

1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

教学目标：

知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

过程与方法：培养学生的归纳概括能力；

情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式

教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)

教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

第一课时

引入课题

先看下面的问题：

①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法

②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.

1 分类加法计数原理

（1）提出问题

问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码

问题 1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法

探究：你能说说以上两个问题的特征吗

（2）发现新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有

种不同的方法.

（3）知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学 B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有

5+4=9（种）.

变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种

探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有

m种

1

不同的方法，在第2类方案中有

m种不同的方法，在第3类方案中有

2

m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法3

如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢

一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有

m种不同的方法，

1

在第2类办法中有

m种不同的方法……在第n类办法中有n m种不同

2

的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.

理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条

解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,

第一类, m1 = 1×2 = 2 条

第二类, m2 = 1×2 = 2 条

第三类, m3 = 1×2 = 2 条

所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条

练习

1．填空：

( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;

( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．

第二课时

2 分步乘法计数原理

（1）提出问题

问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A,2A,…，1B,2B,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个1

不同的号码

用列举法可以列出所有可能的号码：

我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．

探究：你能说说这个问题的特征吗

（2）发现新知

分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有

种不同的方法.

（3）知识应用

例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法

分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．

解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；

第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．

根据分步乘法计数原理，共有

30×24 =720

种不同的选法．

探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有

m种不同的方

1

法，做第2步有

m种不同的方法，做第3步有3m种不同的方法，那

2

么完成这件事共有多少种不同的方法

如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢

一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有

m种不同的方法，

1

做第2步有

m种不同的方法……做第n步有n m种不同的方法.那么完2

成这件事共有

种不同的方法.

理解分步乘法计数原理：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.