非线性控制系统分析

2012-7-30
自动控制原理实验教程
4. 实验能力要求
（1）熟练运用Simulink构造非线性系统结构图。 （2）掌握利用XY Graph模块绘制系统相平面图，找出和 的信号节点。 （3）了解非线性环节对线性系统的影响。 （4）理解速度反馈改善非线性系统性能的作用。
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100kΩ
100kΩ
2.5v
0 1v Ur
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（2）设计饱和特性的模拟电路，观测其输出特性曲线。
Uc
Ur 100kΩ D/A1 5V 200kΩ
Uc A/D1
2.5v
50kΩ
2.5v
0 1v Ur
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（3）分析死区特性的模拟电路，观测其输出特性曲线。
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（3）分析速度反馈对于继电型非线性系统的影响
10
Step Relay
s+0.5
Transfer Fcn 1
1 s
Integrator Scope
Gain1
继电特性Relay模块参数设置： 开通关断时间： swith on point（正向跳跃点）：0， swith off point （反向跳跃点）：0； 正反向幅值：output when on（正向幅值）：1，output when off（反向幅值）：-1。
【范例7-1】已知二阶系统
G (s) s 10
2
2 s 10
输入信号为r(t) = 1(t)，绘制系统的相平面图。
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（2）二阶系统相平面分析不同奇点的性质 1）欠阻尼系统（0< <1）有稳定焦点 相平面图上的相轨迹为对数螺旋线，并收敛于奇点（0， 0），这个奇点为稳定焦点。 2）负阻尼系统（-1< <0）有不稳定焦点 相轨迹为由原点出发的螺旋线，这个奇点为不稳定焦点。 3）过阻尼系统（ 1）有稳定节点 相轨迹以抛物线收敛于奇点（0，0），这个奇点为稳定 节点。 4）零阻尼系统（ 0 ） 系统有一对共轭虚根，实部为零，相轨迹是包围奇点（0， 0）的椭圆封闭曲线，这个奇点为中心点。 系统有一个正实部根和一个负实部根，系统不稳定，相 轨迹呈现马鞍形，这种奇点为鞍点。
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3. 实验内容 （1）绘制给定系统的相平面图 MATLAB中绘制相平面图的相关命令： [y , x , t ] = step ( a , b , c , d ) 求系统的单位阶跃响应，不作图，返回变量格式。返回 变量为输出向量Y，时间向量T和状态向量X（n个状态， 位置变量x及速度变量均为向量）。状态向量X的第一列 x (: , 1) 表示位置变量x，第二列x ( : , 2) 表示速度变量 x 。 给定系统必须是状态空间模型， 命令 [ a , b , c , d ] = tf2ss (num , den) 可以将多项式模型 转化成状态空间模型。
非线性控制系统分析
7.1 典型非线性环节静态特性测试
1. 实验目的 （1）掌握典型非线性环节的模拟电路，学会运用模拟电 子组件设计非线性环节。 （2）加深理解典型非线性环节的输出特性。 2. 实验内容 （1）设计继电特性的模拟电路，观测其输出特性曲线。
Ur 100kΩ D/A1
Uc
Uc A/D1
2.5v
1. 实验目的 （1）学习利用相平面图分析非线性系统。 （2）研究非线性环节对线性系统输出响应的影响。 （3）研究二阶或二阶以下非线性系统稳定性和瞬态响应 的分析方法。 （4）分析速度反馈对于继电型非线性系统的影响。 2. 实验内容 （1）利用相平面图分析非线性系统性能 被研究的非线性控制系统由非线性的饱和特性部分和 线性部分组成。在非线性部分的非饱和区，饱和限幅 值为2。
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7.4 非线性系统描述函数法分析
• 若曲线
与曲线 N (1X ) 没有交点，则系统 不存在周期性的等幅振荡。 • 若曲线 G ( j ) 与曲线 N (1X ) 有交点，则非线性 系统处于临界状态（此时相当于线性系统中 G ( j ) 通过（-1，j0）点），存在等幅振荡。如该等 幅振荡是稳定的（即不会发散），则称之为自 激振荡（交点又称为自振点）。
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7.2 基于MATLAB二阶控制系统相平面分析 1. 实验目的 （1）利用MATLAB完成控制系统的相平面作图。 （2）掌握二阶系统相平面图的基本规律。 （3）学会利用相平面图进行系统分析。 2. 实验原理 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的 精确方法。它不仅能给出系统的稳定性信息和时间特 性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图象。
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（2）比较分析非线性环节对线性系统输出响应的 影响
将实验内容（1）中的系统去除饱和环节后，再绘制系 统相平面图和阶跃响应曲线。
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可以发现： 不带饱和环节的系统超调量较大，但是上升时间短，系 统响应快，调整时间短，系统能较快地到达稳定。 因此饱和特性非线性环节将使系统超调量降低，上升时 间滞后，峰值时间延长。
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plot ( t , x ) 给定函数向量x，时间向量t，在直角坐标系中绘图。 plot ( x ( :, 2) , x ( :, 1) ) 命令用来绘制相平面图。[y , x , t ] = step (num , den)返回的状态向量X的第一列x ( :, 1)和第二列x ( :, 2)分别表示x和 x 。 subplot ( n , m , N ) 设置子图命令，把图形窗口分割成n行m列，且第N个子图作 为当前图形。
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1 Gain 1 2s+1 Step Saturation Transfer Fcn 1 s Integrator
XY Graph
Scope
在simulink中使用XY Graph模块可以观察系统相平面图。 在XY Graph模块的X、Y两输入端口输入数据分别为和， 故XY Graph显示出相平面图。设置坐标范围：X轴为（0.5，2），Y轴为（-0.5，0.2），采样时间为0.01 s。仿真 输入信源模块step初始时间为0，阶跃幅值为2。
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7.4 非线性系统描述函数法分析
（2）用描述函数法分析非线性系统的稳定性和自 振
在描述函数法中，可根据非线性控制系统中非线性部 分的频率特性曲线（奈氏图）和非线性部分的负倒描 述函数 1 的相对位置来判断非线性系统的稳定性。
N (X )
1）当线性部分传递函数 G ( s ) 在s右半平面有极 点数为P时， 1 G ( j ) 曲线逆时针包围整个 • 若 N ( X ) 曲线P/2 周，则该非线性系统是稳定的，否则是不稳定 的。
+E +Um Ur D/A1 -Um D2 -E 100kΩ D1 100kΩ 200kΩ
Uc A/D1
Uc
+Um -Um 0 Ur
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3. 实验步骤 （1）连接被测量典型环节的模拟电路及D/A、A/D连线， 检查无误后接通电源。 （2）启动应用程序，设置输入电压为1v。 （3）观测输出响应曲线，记录波形，测量相关数据。 4. 实验数据记录 将实验的输出曲线保存在WORD软件中，以备写实验报 告使用。要求每条曲线的拐点注明数据，分析后作出实 验结论。
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4．实验能力要求 （1）学会使用MATLAB编程绘制相平面图。 （2）掌握二阶系统的奇点在不同平衡点的性质。 （3）了解相平面图与系统运动状态的关系，能够与阶跃 响应曲线相对应分析。 （4）利用相平面图分析系统的稳定性。
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7.3 基于Simulink非线性系统相平面分析
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观察无速度反馈的继电型非线性系统单位阶跃响应曲线， 可见选择不同的初始条件时，系统可能产生自振，继电特 性恶化了系统的品质，导致了控制的滞后。 为了补偿非线性环节造成的不利影响，加入速度反馈， 若反馈系数k = 1，再次观察曲线。可见加入速度反馈后， 相轨迹将提前进行转换，系统响应明显加快，超调量也减 少了。因此通过引入速度反馈减少自振荡幅值，具有重要 的应用价值。
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5. 实验能力要求 （1）学会利用MATLAB绘制负倒描述函数曲线， 巩固绘制线性系统Nyquist曲线的方法。 （2）能够熟练运用非线性系统稳定判据进行稳定 性分析。 （3）能够判断交点处系统的运动状态，确定自振 点。
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【分析】相平面图上的相轨迹表示了状态的运动方向，给 出了系统的稳定性信息和系统运动的直观图像。 在欠阻尼系统中，相轨迹与x轴坐标的交点是最大超调 量和响应曲线的最大峰值位置。最低点对应于响应曲 线中的拐点，当系统稳定时，相轨迹趋向于平衡点， 响应曲线回复到平衡点。 对于过阻尼系统，系统响应曲线应没有超调地趋向于 平衡点。对于有静态误差的系统，相平面上可以看到 最终的相轨迹在x轴坐标上与平衡点有距离，距离的大 小是静态误差的大小，它的正负表示了静态误差的方 向。
G ( j )
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2）当线性部分传递函数 G ( s ) 在s右半平面没有 极点，即P = 0时， 1 G ( j ) 不包围曲线 若曲线 ，则非线性系统 N (X ) 稳定， 1 若曲线 G ( j ) 包围 N ( X ) 曲线，则非线性系统不 稳定。 1 若曲线 G ( j ) 与 N ( X ) 曲线相交，则系统存在周 期运动（振荡）。如果这个振荡是稳定的，则称 之为自振点。
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3）非线性系统是否存在自振点（自激振荡）的 判别方法 非线性部分的幅相频率特性（奈氏图）把复平面 分为两个区域，被 G ( j ) 曲线包围的区域称为不 稳定区；未被 G ( j ) 曲线包围的曲线称为稳定区， 1 若曲线 N ( X ) 随振幅A增加的方向从不稳定区移 动到稳定区，则对应的穿越点对应的是系统的一 个稳定的周期运动，即自振点。自振频率由 G ( j ) 1 在该点处的值确定，自振幅值 N ( X ) 由在该点处 的值确定。具体计算的方法是：将 G ( j ) N ( X ) 1 的等号两端分解为实部和虚部（或模和相角）。 令两端实部和虚部相等，即可求出自振参数和。
7.4 非线性系统描述函数法分析
1. 实验目的 （1）学会利用MATLAB绘制负倒描述函数曲线，巩固绘 制线性系统Nyquist曲线的方法。 （2）掌握并熟练运用非线性系统稳定性判据。 （3）利用MATLAB实现非线性系统的负倒描述函数分析 系统的稳定性。 2. 实验原理 （1）描述函数是分析非线性系统的一种近似方法，它是 线性系统理论中的频率特性法在非线性系统中的应用。它 主要用于对一类非线性系统的稳定性分析及输出响应分析， 此方法不受系统的阶数限制。
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3. 实验内容 已知带有死区继电特性的系统，且死区继电特 性的参数M = 1.7, h = 0.7，线性部分的传递函 460 数为 G ( s )
0
s ( 0 . 01 s 1)( 0 . 0025 s 1)
试分析该系统的稳定性。
r(t) x(t) y(t) G(jω) c(t)