线面垂直、面面垂直的性质定理ppt课件
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高考数学一轮复习 直线、平面垂直的性质定理课件
[解析] 如果平面 ⊥ 平面 ,那么只有平面 内垂直于交线的直线才垂直于平面 ,
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
高二数学《线面垂直、面面垂直的性质定理》课件07
证明两条直线平行
a //
// 面面平行性质定理 a a // b b
线面垂直性质定理
a α α // b b α
定义，与平面内的任何直线都没有公共点
证明线面平行
面面平行性质
// a // a
la lb
CD l 面面垂直性质定理 l
l二面角 (即二面角的平面角为直角) 证明两个平面垂直
面面垂直判定定理 a l b a b A
la lb
线面垂直、面面垂直 的性质
线线垂直和线面垂直的比较： （1）线面垂直一定有垂足，线线垂直不一定有垂足； （2）过一点有且只有一条直线和已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直； 过一点有无数条直线和已知直线垂直. 在平面内 讨论呢？
1、直线与平面垂直有什么性质呢？ 定义：若直线和平面垂直，则直线与平面内 的任意直线都垂直. 线线垂直 线面垂直
α C B D l
A β
练1： 已知PA 平面ABC ， 二面角A PB C是 直二面角， 求证： AB BC . P
D
A C
练：已知平面 、 、 满足 ， ， 求证： l .
B
l.
三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
两条异面直线所成角 三大计算
例3 、 已知平面 、 ， ， 直线a满足a ， a ， 试判断直线a与平面的位置关系.
b
a
探究：
已知平面 、 和直线a ， 且 ，
AB ，
a // ， a AB ， 试判断直线a与平面的位置关系.
例2．已知：如图，α⊥β，在α与β的交线 上取线段AB＝4，AC、BD分别在α和β内，它 们都垂直于AB，并且AC＝3，BD＝12，求CD长.
a //
// 面面平行性质定理 a a // b b
线面垂直性质定理
a α α // b b α
定义，与平面内的任何直线都没有公共点
证明线面平行
面面平行性质
// a // a
la lb
CD l 面面垂直性质定理 l
l二面角 (即二面角的平面角为直角) 证明两个平面垂直
面面垂直判定定理 a l b a b A
la lb
线面垂直、面面垂直 的性质
线线垂直和线面垂直的比较： （1）线面垂直一定有垂足，线线垂直不一定有垂足； （2）过一点有且只有一条直线和已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直； 过一点有无数条直线和已知直线垂直. 在平面内 讨论呢？
1、直线与平面垂直有什么性质呢？ 定义：若直线和平面垂直，则直线与平面内 的任意直线都垂直. 线线垂直 线面垂直
α C B D l
A β
练1： 已知PA 平面ABC ， 二面角A PB C是 直二面角， 求证： AB BC . P
D
A C
练：已知平面 、 、 满足 ， ， 求证： l .
B
l.
三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
两条异面直线所成角 三大计算
例3 、 已知平面 、 ， ， 直线a满足a ， a ， 试判断直线a与平面的位置关系.
b
a
探究：
已知平面 、 和直线a ， 且 ，
AB ，
a // ， a AB ， 试判断直线a与平面的位置关系.
例2．已知：如图，α⊥β，在α与β的交线 上取线段AB＝4，AC、BD分别在α和β内，它 们都垂直于AB，并且AC＝3，BD＝12，求CD长.
线面垂直面面垂直的性质定理PPT课件
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
线面、面面垂直 的性质定理
复习回顾
1. 线面垂直判定：一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直.
2. 面面垂直判定：一个平面经过另一个平 面的垂线.
β
l ,l
l α
3.线面角：
P
α
ALeabharlann B4.面面角：β B
lO
A
[0 ,90 ]
α [0 ,180 ]
新课导入: 问题1：如果直线a，b都垂直于同一条平 面，那么直线a，b的位置关系如何？
问题2：一个平面的垂线有多少条？这些 直线彼此之间具有什么位置关系？
新课讲授： 线面垂直的性质2
垂直于同一个平面的两条直线平
行。符号语言：
a
a
b
b
a
//
b
a b
// a
b
线面垂
线线平
练习：如：已知 l,CA , 于
点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l . C β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
√ (3)在平面α内作交线的垂线，则此垂线必垂
直于平面β（ ）
2.如图，P是 ABC所在的平面外一点， 且PA 面ABC，面PAC 面PBC 求证：BC AC
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
线面、面面垂直 的性质定理
复习回顾
1. 线面垂直判定：一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直.
2. 面面垂直判定：一个平面经过另一个平 面的垂线.
β
l ,l
l α
3.线面角：
P
α
ALeabharlann B4.面面角：β B
lO
A
[0 ,90 ]
α [0 ,180 ]
新课导入: 问题1：如果直线a，b都垂直于同一条平 面，那么直线a，b的位置关系如何？
问题2：一个平面的垂线有多少条？这些 直线彼此之间具有什么位置关系？
新课讲授： 线面垂直的性质2
垂直于同一个平面的两条直线平
行。符号语言：
a
a
b
b
a
//
b
a b
// a
b
线面垂
线线平
练习：如：已知 l,CA , 于
点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l . C β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
√ (3)在平面α内作交线的垂线，则此垂线必垂
直于平面β（ ）
2.如图，P是 ABC所在的平面外一点， 且PA 面ABC，面PAC 面PBC 求证：BC AC
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
线面垂直、面面垂直的性质定理ppt课件
我们说直线 l 与平面 互相垂直。
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
人教版高中数学必修二.线面垂直、面面垂直的性质定理教学课件 共18张PP
1、线面垂直的性质：面面垂直的性质：
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
β A
B
线面垂直 α a
面面垂直
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
线线平行 3、用条件想性质： 证结果想判定：
4、如何举反例？满足条件的线、面 转动
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
四.知识应用
1、判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2、a,b表示线, 表示面，正确的是 (3)(4)
(1)a ,ab,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
证明：假设 a与b不平行.记直线b
和α的交点为o,则可过o作 b’∥a
a
b b’ ∵a⊥α,
α
o
∴b’⊥α.
反证法
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的，
∴a∥b.
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言? a ,b a//bBiblioteka 简述： 线面垂直 如何证明？
线线平行
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
课件2：线面、面面垂直的判定与性质
固
基 础
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
考 情
因为PH 平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面
ABCD，
典 例
所以PH⊥平面ABCD.
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
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(2)如图，连接 BH，取 BH 的中点 G，连接 EG.
高
自 主
因为 E 是 PB 的中点，
高 考
主
体
落( )
验
实
·
· 固
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
明 考
基
情
础
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
典
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
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高
自 主
【解析】 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l α，l β，则 考 体
落 实
固 基 础
面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，
· 明 考 情
D 是棱 AA1 的中点．
(1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC；
(2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，
典 求这两部分体积的比．
例
课
探 究 ·
【思路点拨】 (1)证明DC1⊥平面BDC.
后 作 业
提 知 能
(2) 先 求 四 棱 锥 B—DACC1 的 体 积 ， 再 求 三 棱 柱 ABC—
2 12 .
高考数学复习考点知识讲解课件45 直线、平面垂直的判定与性质
中的射影为点O.
外
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____心；
垂
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心．
(四)走进高考
6．[2022·全国乙卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，
BC的中点，则(
)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
证明：MB⊥AC.
证明：连接AN，由于四边形ABNM是菱形，所以
MB⊥AN，由于MB⊥NC，NC∩ AN＝N，
所 以 MB⊥ 平 面 ANC ， 又 AC⊂ 平 面 ANC ， 所 以
MB⊥AC.
2.( 一 题 多 解 ) 如 图 ， 多 面 体 ABCDEF 中 ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 ，
∴DD1⊥平面ABCD.
又∵DM⊂平面ABCD，∴DM⊥DD1.
又∵DD1∩ CD＝D，∴DM⊥平面CDD1C1.
又∵DE⊂平面CDD1C1，∴DM⊥DE.
反思感悟
1．判定线面垂直的四种方法
2．证明线面垂直的流程
证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线
面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂
早1 000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底
面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四
棱锥，鳖臑(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图，三棱柱ABCA1B1C1，BC1⊥平面A1C1CA，四棱锥B-A1C1CA为阳马，且E，F分别是BC，
)
A.m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
外
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____心；
垂
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心．
(四)走进高考
6．[2022·全国乙卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，
BC的中点，则(
)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
证明：MB⊥AC.
证明：连接AN，由于四边形ABNM是菱形，所以
MB⊥AN，由于MB⊥NC，NC∩ AN＝N，
所 以 MB⊥ 平 面 ANC ， 又 AC⊂ 平 面 ANC ， 所 以
MB⊥AC.
2.( 一 题 多 解 ) 如 图 ， 多 面 体 ABCDEF 中 ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 ，
∴DD1⊥平面ABCD.
又∵DM⊂平面ABCD，∴DM⊥DD1.
又∵DD1∩ CD＝D，∴DM⊥平面CDD1C1.
又∵DE⊂平面CDD1C1，∴DM⊥DE.
反思感悟
1．判定线面垂直的四种方法
2．证明线面垂直的流程
证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线
面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂
早1 000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底
面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四
棱锥，鳖臑(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图，三棱柱ABCA1B1C1，BC1⊥平面A1C1CA，四棱锥B-A1C1CA为阳马，且E，F分别是BC，
)
A.m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
线面垂直-面面垂直的性质定理课件PPT
8
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直
简记为:面面垂直,则线面垂直.
用符号怎么表示?
l
2021/3/10
a
9
例 1 .如 ,已 图 知 ,, 平 ,直 a 满 面 线 a 足 ,a 试判 a 与 断 的 平 .直 关 面 线 系
a b
位置 _关 __系 __是 __
2021/3/10
6
知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，平面AA1D1D与平面ABCD垂直,直线 AA1垂直于其交线AD.平面AA1D1D内的 直线AA1与平面ABCD垂直吗？
C1 B1
D1 A1
C
D
B 2021/3/10
A
7
推导:平面与平面垂直的性质定理
设 ⊥ , C ,A D B ,A ⊥C B 且 .A D B C D B
AB ?⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B,
则∠ ABE是二面角-CD- 的
平面角, 由 ⊥ 知,
AB⊥ BE,又BE与CD
是 内的两条
相交直线.
C
E
D
BA
2021/3/10
2021/3/1012❖ 2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线.
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
2021/3/10
13
2021/3/10
2025届高中数学一轮复习课件《直线、平面垂直的判定及性质》ppt
高考一轮总复习•数学
3．判定定理与性质定理 文字语言
如果一个平面过另一个平 判定
面的垂线，那么这两个平面 定理
垂直
两个平面垂直，如果一个平 性质 面内有一直线垂直于这两 定理 个平面的交线，那么这条直
线与另一个平面垂直
图形语言
第9页
符号语言
l⊥α ， l⊂β
⇒α⊥β
α⊥β，
lα⊂∩β，β＝a，⇒l⊥α
＝2，易知 FB>DF，所以 DF＝12，FB＝32.
高考一轮总复习•数学
第28页
方法一：因为 DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面 ABC，所以 DE⊥平 面 ABC，
则 F 到平面 ABC 的距离 d＝BBDF×DE＝34. 应用比例关系来计算的．
故 VF-ABC＝13S△ABC×d＝13×
高考一轮总复习•数学
第1页
第八章 立体几何
第4讲 直线、平面垂直的判定及性质
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面 垂直、面面垂直的有关性质定理与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明 一些有关空间图形的垂直关系的简单命题．
高考一轮总复习•数学
第18页
证明：在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝5，因为四边形 AA1B1B 为菱形，所以 BB1 ＝AB＝5.因为△AB1C 为等边三角形，所以 B1C＝AC＝4，则 BB21＝BC2＋B1C2，所以 BC⊥ B1C.
【小技巧】三角形中垂直关系的证明多利用勾股定理的逆定理或等腰三角形“三线合 一”．
高考一轮总复习•数学
第24页
(2)(2024·重庆巴蜀中学校考节选)如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行
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证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I b b
l
l
b
线面垂直
又a
a//b
b
性质
a //
a
面面垂直性质 .
课堂小结
1、证题原则：注从已意知辅想性助质，线从的求证作想判用定
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化 面面平行
B'
D
C
A
B
.
(2)如 图 ,a ,b ,那 么 直 线 a,b 一 定
平 行 吗 ?
ab
α
.
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言： a ,b a//b
简述： 线面垂直
线线平行
1.已知:a⊥α,b⊥α 求证:a//b
a
b b’ 证明：假设 a与b不平行.记直线b
α
o
反证法
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
.
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
β
符号语言：
a
l
A α
a
I
l
a
a l 作用： 面面垂直线面垂直
何时用:已知面面垂直时. 关键:在一个平面内作(. 找)出垂直于交线的直线.
例1：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. .
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
.
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
.
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
.
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直 ？若存在，怎样画线？
α
β
.
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
.
作业： 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，
另一条直角边AC与桌面所在的平面 垂直，a是
内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与
a垂直？
课本p73 A组2,5 B组4
.
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我们说直线 l 与平面 互相垂直。
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
.
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质
.
练习
正方体AC1中，O是底面ABCD的中心， 1）求证：B1D⊥面D1AC； 2）求二面角D1-AC-D。
D1 A1
C1 B1
D
A
O
.
C B
温故知新 直线与平面垂直定义： 直线与平面垂直判定定理：都垂直，