随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解

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随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。

解：第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解：第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。

1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立，0不成立, p q高斯分布实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e＝＝np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？第③问方法一：联合分布函数F XY (x, y) 性质：若任意四个实数 a ab b ，满足1, 2, 1, 2a a bb ，满足a1 a2,b1 b2 ，则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

随机信分析常建平李海林版课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。

给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2?）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解()()()21521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为令新的随机过程 ①证明()X t 和()Y t 联合平稳；②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G eE X t R E X t R e E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

随机信号分析（第3版）课后习题解答

随机信号分析（第3版）课后习题解答《随机信号分析》课程（32学时）—— 2007年教学内容建议1 概率论基础 1.12 随机信号2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x wx f X δπ= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-313-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-21121)1,(x x x F X εε++=；）（）（）（）（2-,1411,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε2.4 略2.5 ）（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。

2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（121121),(-++=x x n x f X δδ、0121)1(21)(=?+-?=n X E 、{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X En n Cov X X -==--=δ；不可预测2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=?==t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足10103;5,2;2,2的高斯分布。

其概率密度函数为：-+--?--?-=-+--?----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2222y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：++-+=)6)(5)(2(21)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ3 平稳性与功率谱密度3.1 kk k u t t u u f-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。

随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。

随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

y
y
0
1
1
e
e
y
3
2
1
0
else
1-17 已知随机变量 X,Y 的联合分布律为
P X m,Y n
m ne 5
32
, m,n 0,1,2,
m! n!
***
求： ① 边缘分布律
***
P X m (m 0,1,2, ) 和
②条件分布律 P X m |Y
和 n
PY
n|X
m？
专业知识分享
P Y n (n 0,1,2,
0.0001 ，若每天有 1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于
2 的概率是多少？
二项分布
n=1
- 分布 (0 1)
n
,p 0,np=
泊松分布
n
成立， 0 不成立
,p q
高斯分布
实际计算中，只需满足
，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1
ke PX k ＝
k!
＝ np
汽车站出事故的次数不小于
X
3
6
7
求： ①X 的分布函数
P 0.2 0.1 0.7 ② 随机变量 Y 3X 1 的分布律
1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。求：①随机变量 Z X 的概率密度？的概率密度？ ② 随机变量
分析 : ① f Y (y)
h '(y)
f X h( y)
② f Y ( y) | h' 1 (y) | f X [h 1 ( y)]
第③问
fx Fx
1x 2e
0 x
1x
e 2
0 x

随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章习题讲解可编辑】

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B独立。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim 2TT T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j TR E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+ 22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳；②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G eE X t R E X t R e E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

随机信号分析常建平李海林习题答案第三章习题讲解.doc

J、随机过程X(t)=A+cos(t+B),其中A是均值为2,方差为1的高斯变量,B是(0, 2兀)上均匀分布的随机变量，且A和B 独立。

求(1)证明X(t)是平稳过程。

(2)X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

(3)画出该随机过程的一个样本函数。

(1) E[X(t)] = E[A\ + E[cos(r + 8)] = 2A与与相互独立7?x + 丁] = EA~ H—cos T = 5 —cos T1 1r(2) E[x2(r)] = 5-<oo nX(r)是平稳过程--- 1 C T / \X(0= lim ——\ X (t)dt = AT Too 2T「T ''3-1己知平稳过程x(f)的功率谱密度为G、(〃)=y刀，求：①该过程的平均功率？0+16)②口取值在(-4,4)范围内的平均功率？2x4 42 + ®=4七州 R =R(0)=4 方法二(频域法) f] — ——J Gx(cd)dco =lr_71 J-8 1+ .oo 3? - r” =4CD \ '4JV 1arc tan x) = ---- r7 1 + x 2 (2) 口取值范围为(-4, 4)内的平均功率 •4 32,,da) =2P 2 2〃 7?(r) = F-1[G x (®)] = 4-F-1 (1)： P = E [X 2 (?)] = —方法一(时域法)3-7如图3.10所示，系统的输入X。

)为平稳过程, 系统的输出为W) = x(。

-x(—『)。

证明：输出W) 的功率谱密度为Gy (口) = 2Gx㈣(1 - cos或)期) +--------------------------------------- ------------------- *—延时T ----解：已知平稳过程的表达式n 利用定义求R Y(r) = E[Y(t)Y(t + T)]^G y(®) = F[7?y(r)]7?r(r)= E[y(z)y(r + r)]= E[{X(t)-X(t-T)}{X(t + r)-X(t + T-T}]= 2Rx(f)-Rx(—T)-Rx("T)系统输入输出平稳GxO)0Rx(J)Gy®)。

(仅供参考)随机信号分析与处理简明教程--第二章习题答案

证明：设τ = t2 − t1
Rz
(τ
)
=
E[z( t1 )z( t 2
)]
≤
E[
z2
(t1)
+ 2
z2
(t2
)]
=
1 2
E[z2
(t1 )
+
z2
(t2
)]
=
1 2
E[z
2
(t1
)]+
1 2
E[z2(t2 Nhomakorabea)]=
1 2
(R
z
(0)
+
R
z
(0))
=
R
z
(0)
（平稳过程）
所以， R z (0)
= σz2
+
可看作一个随机过程 X (t) = Acos(Ωt + Θ) ，其中 A, Ω, Θ 是相互独立的随机变量，且已知
f
A
(a)
=
⎧ ⎪ ⎨
2a A02
,
a ∈ (0, A0 ) ,
fΩ (ω) = ⎪⎨⎧1010 ,
ω
∈ (250,350) ,
fΘ (θ
)
=
⎪⎧ ⎨
1 2π
,
θ ∈ (0, 2π )
⎪⎩0, 其他
第 2 章习题解答
2.1 设有正弦波随机过程 X (t) = V cosωt ，其中 0 ≤ t < ∞ ， ω 为常数，V 是均匀分布于 [0,1] 区间的随机变量。
(1)画出该过程两条样本函数；
(2)确定随机变量
X (ti ) 的概率密度，画出 ti
=
0，
π 4ω

随机信号分析第3版第二章习题答案.pdf

k =0
k =0
如果将 4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：
串平均： Ε ⎡⎣{B (n) , B (n +1) , B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.8, 0.8, 0.8, 0.8}
串方差：
Var ⎡⎣{B (n), B (n +1), B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.16, 0.16, 0.16, 0.16}
3
∑ 串（4bit 数据）为： X (n) = 2k B(n + k) ，其矩特性为： k =0
因为随机变量 B(n) 的矩为：
均值： E[B(n)] = 0× 0.2 +1× 0.8 = 0.8
{ } 方差：
Var
[
B(n)
]
=
Ε
⎡ ⎣
B
(
n
)2
⎤ ⎦
−
Ε ⎡⎣B (n)⎤⎦
2 = 02 × 0.2 +12 × 0.8 − 0.82
= E{[ X (s + a) − X (s)][X (t + a) − X (t)]} = E[ X (s + a) X (t + a)] − E[ X (s + a) X (t)] − E[ X (s) X (t + a)] + E[ X (s) X (t)] = RX (s + a, t + a) − RX (s + a, t) − RX ( s, t + a) + RX ( s, t)
P ⎡⎣{1011}⎤⎦ = P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 0⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦

随机习题课

总结
相关函数之间的关系
RX (τ ) ˆ
RM (τ )
谱之间的关系
RX (τ )
RXXˆ (τ ), RXX (τ ) ˆ
RX (τ ) %
% RX (τ )
ˆ RX (τ )
GXˆ (ω )
GM (ω )
GX (ω )
GXXˆ (ω ), GXX (ω ) ˆ
GX (ω ) %
AC (t ), AS (t )的统计特性总结
南京航空航天大学信息科学与技术学院常建平李海林
第四章随机信号通过线性系统
线性系统的基本理论时域法频域法色噪声和白噪声的产生白噪声通过线性系统
X (t )
L [⋅]
Y (t )
时域法
X(t)的期望、自相关函数系统单位冲激响应h(t) Y(t)的期望E [Y (t ) ]
互相关函数 RXY (τ ) 平稳互谱密度 GXY (ω )
宽带噪声高频窄带系统平方律检波器
A2 (t)
A2 (t)
加法器
χ2分布
独立取样m次
1 （归一化） 2
σ
习题课三
☆ 做在作业本上 ☆
试着不要看课本，独立完成
一、填空题 1、等效噪声带宽定义中应用了两个等效原则： (1)、（1） (2)、（2）（3）。。
2
2、希尔伯特变换的传递函数H(ω)=
H I (ω ) = K = H (ω ) MAX
系统的等效噪声带宽是系统固有的参数，与输入信号无关。系统的等效噪声带宽是系统固有的参数，与输入信号无关。
线性系统输出端随机信号的概率分布
结论1：结论：高斯分布线性系统高斯分布

随机信号分析2习题(供参考)

2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3…… （1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？（3）、求一、二维概率密度函数。

（1）（2）所以是确定的。

（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1 （1）是确定性随机过程？（2 ）求任意时刻X(t)的一维概密。

解：（1）是（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求X （t ）的一维概率密度。

解： )2x (ex p 21p(x )2-=π xcos(t)F(x,t)P{X(t)x}P{Xcos(t)x}xxP{X }p()d ()cos(t)cos(t)t t ωωωω-∞=≤=≤=≤==Φ⎰发22xxcos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)dx p x t F x t p dx ωωω'==-202xx )2cos t ω=-()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k k ()()[]()()()()[]A x A x A -x A -x 0.5t p(x,A x A -x 0.5t p(x,2121+++=++=δδδδδδ））2x1-exp()2⎫-⎪⎭2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cosπt,出现正面，2t，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解：x1 x2X：（t=1/2）0 1Y (t=1) 1 2[]1f(x,1/2)(x)(x1)2δδ=+-[]1F(x,1/2)(x)(x1)2U U=+-[]1f(x,1)(x-1)(x2)2δδ=+-[]1F(x,1)(x-1)(x2)2U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x)(x-1)(x-1)(x2)2U U U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x2+1)(x1-1)(x1)(x22)2U U U U=+-2.5随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。

随机信号分析常建平李海林版课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。

求（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解()()()21521()lim2T TT E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。

证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为令新的随机过程①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。

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A与 B独立 , f AB (a, b) f A (a) fB (b)
X (t) A Bt Y(t) A
A Y(t) X (t) Y (t)
B t
01 J1 1 1
t tt
1
xy 1
xy
f XY (x, y; t ) J f AB (a,b) t f AB ( y, t ) t f A ( y) f B ( t )
E X (t) E A cost XH cost EA XH
D X (t) E X 2 (t ) E2 X (t )
方法 2：
D X (t)
D Acost XH D Acost cos2 t DA cos2 t
12
D XH
公式： D aX＋ bＹ a2 D X b2 D Y 2abC XY
RX (t1, t2 )=E Acost1 XH A cost2 XH
f X (x1；0)
1
x12 e 2，
2Байду номын сангаас
A
1
X (t)
~ N (0, )
t 30
2
4
f X ( x2； 3
)＝
0
2 2
e
2
x2
2
，
X (t) t
＝0，
f ( x3；2
)
0
20
( x3)
(离散型随机变量分布律 )
2-2 如图 2.23 所示，已知随机过程 X (t) 仅由四条样本函数组
成，出现的概率为
数 RX (t1, t2 ) ？②若已知随机变量相 A, B 互独立，
它们的概率密度分别为 f A (a) 和 f B (b) ，求 X (t) 的一
维概率密度 f X (x;t)
第②问
方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）
步骤：
t 时刻， X (t ) A Bt 为两个随机变量的函数
①设二维的随机矢量
i1
j1
E Ai Aj exp j it j jt j j
i1 j1
E Ai2 exp j j
i1 j1
Ai与 Ak间应满足条件：
E[ Ai ] 0...........
.....i, k 1,2, ,n
E[ Ai Ak ] 0,......i k
2-16 已知平稳过程 X (t) 的均方可导， Y(t) X (t ) 。
E X (t1) X (t2 ) E cos( 0t1 ) cos( 0t2 )
1
RX
cos 2
0
2-8 已知平稳过程 X (t) 的自相关函数为
RX ( ) 4e cos cos3 ，
求过程 X (t ) 的均方值和方差？
RX1( )＝4e cos RX 2 ( )cos3
非周期部分 mX1 RX 1( ) 0 周期偶函数 mX2 0
lim RX ( t0
t) RX ( ) dRX ( )
t
dt
2
RY ( ) E X ' (t )Y (t )
X (t t) X (t)
E l.i. m
Y(t )
t0
t
E X (t t )Y (t ) X (t)Y(t )
lim
t0
t
lim RXY (
t ) RXY ( )
lim RXY ( ) RXY (
cost1 cost 2 EA2 EA XH cost1 cost2 XH 2
1
XH
3 cost1 cost 2
2 cost1 cost2
XH 2
2k t
2k cost 0
2
2
对某一固定时刻 t X t ~ U XH ,cost XH
3
2k t
2k cost 0
2
2
对某一固定时刻 t X t ~ U cos t
RZ
EZt Zt
RX
RY
RXY
RYX
RX
RY
RXY
RXY
两个联合平稳的过程的互相关函数
RYX
RXY
第②问两平稳过程独立
E X t1 Y t2
E X t1 E Y t2
RXY
RYX
mX mY
RZ
RX
RY
2RXY
第③问 X (t) 和 Y(t) 独立且均值均为 0
RZ
RX
RY
2-12 已知两个相互独立的平稳过程 X (t) 和 Y(t) 的
f X ( x;t )
f XY ( x, y; t)dy
1
xy
t fA ( y) fB ( t )dy
y a, f X ( x;t)
1
xa
fA(a) fB (
)d a
t
t
f X x;t
1
xa
t f A a f B t da
f A x bt fB b db
方法二：用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做
1 8
,
1 4
,
3 8
,
1 4
。
X (t)
6 5 4 3 2 1
o t1
x1 (t ) x2 (t )
x3 (t ) x4( t)
t2
t
图 2.23 习题 2-2 在 t1 和 t2 两个时刻的分布律如下：
1
2
3
4
X (t1)
1263
X (t 2 )
5421
pk1k2 (t1,t2) 1/8 1/4 3/8 1/4
RZ ( ) 26e 2 cos 0 9 exp 3 2
D[ Z (t)] RZ (0) 260 可以证明过程 Z(t) 平稳
2-14 已知复随机过程
Z(t)
Ai exp j i t
i1
式中 Ai (i 1, , n) 为 n 个实随机变量， i (i 1, ,n) 为 n
个实数。求当 Ai 满足什么条件时， Z(t) 复平稳？复过程 Z (t) 复平稳条件
)
t0
t
0
dRXY ( ) d
d 2 RX ( d2
)。
若 X (t ) 为宽平稳（实）过程，则
与 X ' (t ) 联合宽平稳。
X ' (t ) 也是宽平稳（实）过程，且
X (t)
RY ( ) d RYX ( ) d RXY ( )
d
d
d RXY ( ) d
d 2RX ( ) d2
2-17 已知随机过程 X (t) 的数学期望 E[ X (t)] t 2 4 ，求随机过程 Y(t) tX (t) t2 的期望？
求 E[ X (t1)], E[ X (t2 )], E[ X (t1) X (t2 )] ？
4
29
E[ X (t1 )]
xk pk t
k1
8
21 E[ X (t2 )] 8
E[ X (t1) X (t2 )] RX t1,t2
k1k2 p X t1 k1, X t2 k2
k1 k2
2－23 随机过程 X (t ) A cost XH ，其中 A U (0,1（) 均匀分布）。求 f X ( x;t ), E X (t ) , D X (t ) , RX (t1,t2 )？
RX
RX t1 ,t0 RX t2 , t0
RZ
X t0 X t2 E X 2 t0
X 2 t0
随机过程 Z (t ) X (t) Y 非平稳
2-6 已知随机过程 Y(t ) X (t)cos( 0t ) ，其中随机过程 X (t) 宽平稳，表示幅度；角频率 0 为常数；随机相位服从 ( , ) 的均匀分布，且与过程 X (t) 相互独立。①求随机过程 Y(t) 的期望和自相关函数？②判断随机过程 Y (t) 是否宽平稳？
证明 X (t), Y(t ) 的互相关函数和 Y (t) 的自相关函数分别
为
RXY ( )
dRX ( ) d
RY ( )
d 2RX ( ) d2
1 RXY ( ) E[ X (t )Y(t )]
X (t E X (t) l .i. m
t0
t) X (t ) t
X (t) X (t lim E
t0
t ) X (t) X (t ) t
X1 A Bt （题目要求的） X 2 A （自己设的量 , 可以是其它量）
②求反函数
③求雅克比行列式 J，得到 |J|
④利用公式 f X1X 2 ( x1, x2 ) J f AB (a,b)
AB 相互独立 f AB f A (a) f B (b)
⑤由联合概率密度求边缘概率密度 f X1 x ⑥ t 为变量，则得到 f X ( x; t)
21
12
2 e2
不含周期分量
2 Y
RY 0
2
2 X
RX 0
2
补充题：若某个噪声电压 X t 是一个各态历经过程，它的一
个样本函数为 X t 2cos t ，求该噪声的直流分量、交流
4
平均功率
解：直流分量 E X t 、交流平均功率 D X t
各态历经过程
可以用它的任一个样本函数的时间平均
① 与过程 X (t) 相互独立
cos( 0t ) 与 X t 相互独立
E Y(t) E X (t)cos( 0t ) E X (t) E cos( 0t ) 0
RY t1, t2 E X (t1) cos( 0t1 ) X (t2 ) cos( 0t2 )
E X (t1) X (t2 ) cos( 0t1 ) cos( 0t2 )

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