matlab复变函数画图形
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图（2，2，1）为泰勒展开，图（2，2，2）为罗朗展开 图（2，2，3）为 matlab 计算结果，图（2，2，4）为泰勒展开和罗朗展开的综合结果
复数的模与辐角的求取由函数 abs 和 angle 实现．调用形式为：
abs(z)
返回复数 z 的模；
angle(z) 返回复数 z 的辐角.
例 21.1.1 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角．
1
1 3i
(3 4i)(2 5i)
（1） 3 2i ； （2） i 1 i ； （3）
如果仅使用 w1=z.^(1/n);，则所得结果为图（2，2，1）
可见，对于多值函数，MATLAB 仅仅是对其主值进行计算。 例 3：复变函数 1/（1-z）的级数展开 复变函数 1/（1-z）是级数展开中常用的一个函数。 当 abs（z）<1 时，它的泰勒展开式为 1/(1-z)=求和（k=0,+无穷）z^k 当 abs（z）>1 时，它的罗朗展开式为 1/(1-z)=求和（k=-无穷,-1）z^k 泰勒展开与罗朗展开的区别
cplxroot(2); colorbar('vert');
title('z^{1/2}' )
%(如图 21.2).
1
图 21.2 复变函数 z 2 的图形
3. 复变函数中对数函数的图形
例 21.1.3 绘出对数函数 Lnz 的图形.
【解】
z=cplxgrid(20);
w=log(z);
wenku.baidu.com
for k=0:3
abs(a) %ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623
1.0000 + 3.0000i
angle(a) %ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490
4 复数的乘除法
复数的乘除法运算由“*”和“/”实现．
5 复数的平方根
复数的平方根运算由函数 sqrt 实现．调用形式如下：
例 1：画复数 z^3 的图形 z=3*cplxgrid(30); cplxmap(z,z.^3); colorbar 其结果如图
可见，自变量 z 的取值在水平面的半径小于 3 的园内。 cplxmap 做图时，以 xy 平面表示自变量所在的复平面，以 z 轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函 数的虚部 由于函数为单页的，所以函数是单值的
m=30; r=2*(0:m)'/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta)-0.5; z(find(z==1))=nan; z1=z; z1(abs(z1)>=1)=nan; w1=1;u1=1; for k=1:100
u1=u1.*z1; w1=u1+w1; end subplot(2,2,1) cplxmap(z1,w1) colorbar z2=z; z2(abs(z2)<=1)=nan; w2=1./z2;u2=1./z2; for k=1:100 u2=u2./z2; w2=u2+w2; end subplot(2,2,2) cplxmap(z2,-w2)
【解】 z=cplxgrid(30); cplxmap(z,z.^2); colorbar('vert'); title('z^2')
%(如图 21.1 所示)
图 21.1 复变函数 z2 的图形
2. 根式函数的图形
1
例 21.1.7 绘出幂函数 z 2 的图形
【解】 z=cplxgrid(30);
在复变函数里面，一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量 x 是负指 数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数. 从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的 项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。 可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式
例 21.1.1 创建复矩阵的一般方法．
【解】仿真程序为
A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)] %运行后答案为 A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i
5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i （说明： %后为注释语句，不需输入）
sqrt(z) 返回复数 z 的平方根值
6 复数的幂运算
复数的幂运算的形式是 z^n，结果返回复数 z 的 n 次幂．
7 复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和 log 实现．调用形式如下：
exp（z） 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;
log（z） 返回复数 z 的以 e 为底的对数值.
单值函数：单叶
多值函数：多叶
matlab 使用下列函数进行复变函数的做图：
cplxgrid：构建一个极坐标的复数数据网格
z=cplxgrid(m);
%产生（m+1）*（2*m+1）的极坐标下的复数数据网格。最大半径为 1 的圆面
cplxmap：对复变函数做图
cplxmap(z,f(z),[optional bound]) %画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围
(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式
例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵
【解】仿真程序为
re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im %运行后答案为
com = 0.9501+0.4565i
0.4860+0.4447i
0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i 0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i
%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000 (注明：凡 ans 及其后面的内容均不需输入，它是前面语句的答案．本句 ans 是 real(a)的答案)
imag(a) %ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000
conj(a) %ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i
w=w+i*2*pi;
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));
hold on
title('Lnz')
end view(-75,30)
%(如图 21.3)
图 21.3 对数函数 Lnz
例 21.1.4 计算机仿真编程实践：
若 zk (k 1, 2, , n) 对应为 zn 1 0 的根，其中 n 2 且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式
for s=1:n
if s~=k
su=1/(N(k)-N(s))*su;
end
end
sum=sum+su;
su=1;
end
sum
%仿真验证结果为：n =735
sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i
其中 n 的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。
另一篇：
matlab 表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与 高山。
2i
； （4） i8 4i21 i ．
【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]
%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i real(a)
cplxmap 做图时，以 xy 平面表示自变量所在的复平面，以 z 轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函 数的虚部
cplxroot：画复数的 n 次函数曲面
cplxroot(n) %画复数 n 次根的函数曲面,复数为最大半径为 1 的圆面
cplxroot(n,m) 阵
%画复数 n 次根的函数曲面,复数为最大半径为 1 的圆面,为（m+1）*（2m+1）的方
第四篇 计算机仿真
第二十一章 计算机仿真在复变函数中的应用
基于 MATLAB 语言的广泛应用，我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对 MATLAB 语言的仿真介绍，而其它 的数学工具软件（MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE）的仿真方法是类似的．
本章将重点介绍使用 MATLAB 进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证；并介绍仿真计算留数、积 分的方法；以及复变函数中 Taylor 级数展开，Laplace 变换和 Fourier 变换．
21.1.2 复数的运算
1 复数的实部和虚部
复数的实部和虚部的提取可由函数 real 和 imag 实现．调用形式如下：
real(z) 返回复数 z 的实部；
imag(z) 返回复数 z 的虚部.
2 共轭复数
复数的共轭可由函数 conj 实现．调用形式为：conj(z) 返回复数 z 的共轭复数.
3 复数的模与辐角
21.1 复数运算和复变函数的图形
21.1.1 复数的基本运算
1 复数的生成
复数可由语句 z=a+b*i 生成，也可简写成 z=a+bi；另一种生成复数的语句是 z=r*exp(i*theta)，其中 theta 是复数
辐角的弧度值， r 是复数的模．
2 复矩阵的生成
创建复矩阵有两种方法．
(1)一般方法
colorbar subplot(2,2,3) cplxmap(z,1./(1-z)) colorbar temp1=caxis; subplot(2,2,4) cplxmap(z1,w1) hold on cplxmap(z2,-w2) caxis(temp1) axis([min(min(real(z))),max(max(real(z))),min(min(imag(z))),max(max(imag(z))),min(min(re al(1./(1-z)))),max(max(real(1./(1-z))))]) colorbar
例 2：画复数（z-0.5）^0.5 的图形 仿照 cplxroot 函数的程序，编程如下 m=20; n=2; r=(0:m)'/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta)-0.5;
w1=z.^(1/n); subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1)); colorbar w2=w1.*exp(i*2*pi/n); subplot(2,2,2),surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar subplot(2,1,2) surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1)); hold on surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar
n
1
n
0,
k1
(zk zm )
m1
(mk )
成立.
【解】仿真程序
n=round(1000*random('beta',1,1))+1
% n=input('please enter n=')
su=1;
sum=0;
for s=1:n
N(s)=exp(i*2*s*pi/n);
end
for k=1:n
例 21.1.2 求下列式的值．
（1） ln(10) ；
πi
（2） e 2 ．
【解】log(-10)
%ans= 2.3026 + 3.1416i exp(pi/2* i) %ans =0.0000+ 1.0000i
21.1.3 复变函数的图形
1.整幂函数的图形
例 21.1.6 绘出幂函数 z2 的图形.
复数的模与辐角的求取由函数 abs 和 angle 实现．调用形式为：
abs(z)
返回复数 z 的模；
angle(z) 返回复数 z 的辐角.
例 21.1.1 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角．
1
1 3i
(3 4i)(2 5i)
（1） 3 2i ； （2） i 1 i ； （3）
如果仅使用 w1=z.^(1/n);，则所得结果为图（2，2，1）
可见，对于多值函数，MATLAB 仅仅是对其主值进行计算。 例 3：复变函数 1/（1-z）的级数展开 复变函数 1/（1-z）是级数展开中常用的一个函数。 当 abs（z）<1 时，它的泰勒展开式为 1/(1-z)=求和（k=0,+无穷）z^k 当 abs（z）>1 时，它的罗朗展开式为 1/(1-z)=求和（k=-无穷,-1）z^k 泰勒展开与罗朗展开的区别
cplxroot(2); colorbar('vert');
title('z^{1/2}' )
%(如图 21.2).
1
图 21.2 复变函数 z 2 的图形
3. 复变函数中对数函数的图形
例 21.1.3 绘出对数函数 Lnz 的图形.
【解】
z=cplxgrid(20);
w=log(z);
wenku.baidu.com
for k=0:3
abs(a) %ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623
1.0000 + 3.0000i
angle(a) %ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490
4 复数的乘除法
复数的乘除法运算由“*”和“/”实现．
5 复数的平方根
复数的平方根运算由函数 sqrt 实现．调用形式如下：
例 1：画复数 z^3 的图形 z=3*cplxgrid(30); cplxmap(z,z.^3); colorbar 其结果如图
可见，自变量 z 的取值在水平面的半径小于 3 的园内。 cplxmap 做图时，以 xy 平面表示自变量所在的复平面，以 z 轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函 数的虚部 由于函数为单页的，所以函数是单值的
m=30; r=2*(0:m)'/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta)-0.5; z(find(z==1))=nan; z1=z; z1(abs(z1)>=1)=nan; w1=1;u1=1; for k=1:100
u1=u1.*z1; w1=u1+w1; end subplot(2,2,1) cplxmap(z1,w1) colorbar z2=z; z2(abs(z2)<=1)=nan; w2=1./z2;u2=1./z2; for k=1:100 u2=u2./z2; w2=u2+w2; end subplot(2,2,2) cplxmap(z2,-w2)
【解】 z=cplxgrid(30); cplxmap(z,z.^2); colorbar('vert'); title('z^2')
%(如图 21.1 所示)
图 21.1 复变函数 z2 的图形
2. 根式函数的图形
1
例 21.1.7 绘出幂函数 z 2 的图形
【解】 z=cplxgrid(30);
在复变函数里面，一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量 x 是负指 数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数. 从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的 项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。 可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式
例 21.1.1 创建复矩阵的一般方法．
【解】仿真程序为
A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)] %运行后答案为 A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i
5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i （说明： %后为注释语句，不需输入）
sqrt(z) 返回复数 z 的平方根值
6 复数的幂运算
复数的幂运算的形式是 z^n，结果返回复数 z 的 n 次幂．
7 复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和 log 实现．调用形式如下：
exp（z） 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;
log（z） 返回复数 z 的以 e 为底的对数值.
单值函数：单叶
多值函数：多叶
matlab 使用下列函数进行复变函数的做图：
cplxgrid：构建一个极坐标的复数数据网格
z=cplxgrid(m);
%产生（m+1）*（2*m+1）的极坐标下的复数数据网格。最大半径为 1 的圆面
cplxmap：对复变函数做图
cplxmap(z,f(z),[optional bound]) %画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围
(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式
例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵
【解】仿真程序为
re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im %运行后答案为
com = 0.9501+0.4565i
0.4860+0.4447i
0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i 0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i
%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000 (注明：凡 ans 及其后面的内容均不需输入，它是前面语句的答案．本句 ans 是 real(a)的答案)
imag(a) %ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000
conj(a) %ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i
w=w+i*2*pi;
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));
hold on
title('Lnz')
end view(-75,30)
%(如图 21.3)
图 21.3 对数函数 Lnz
例 21.1.4 计算机仿真编程实践：
若 zk (k 1, 2, , n) 对应为 zn 1 0 的根，其中 n 2 且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式
for s=1:n
if s~=k
su=1/(N(k)-N(s))*su;
end
end
sum=sum+su;
su=1;
end
sum
%仿真验证结果为：n =735
sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i
其中 n 的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。
另一篇：
matlab 表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与 高山。
2i
； （4） i8 4i21 i ．
【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]
%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i real(a)
cplxmap 做图时，以 xy 平面表示自变量所在的复平面，以 z 轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函 数的虚部
cplxroot：画复数的 n 次函数曲面
cplxroot(n) %画复数 n 次根的函数曲面,复数为最大半径为 1 的圆面
cplxroot(n,m) 阵
%画复数 n 次根的函数曲面,复数为最大半径为 1 的圆面,为（m+1）*（2m+1）的方
第四篇 计算机仿真
第二十一章 计算机仿真在复变函数中的应用
基于 MATLAB 语言的广泛应用，我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对 MATLAB 语言的仿真介绍，而其它 的数学工具软件（MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE）的仿真方法是类似的．
本章将重点介绍使用 MATLAB 进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证；并介绍仿真计算留数、积 分的方法；以及复变函数中 Taylor 级数展开，Laplace 变换和 Fourier 变换．
21.1.2 复数的运算
1 复数的实部和虚部
复数的实部和虚部的提取可由函数 real 和 imag 实现．调用形式如下：
real(z) 返回复数 z 的实部；
imag(z) 返回复数 z 的虚部.
2 共轭复数
复数的共轭可由函数 conj 实现．调用形式为：conj(z) 返回复数 z 的共轭复数.
3 复数的模与辐角
21.1 复数运算和复变函数的图形
21.1.1 复数的基本运算
1 复数的生成
复数可由语句 z=a+b*i 生成，也可简写成 z=a+bi；另一种生成复数的语句是 z=r*exp(i*theta)，其中 theta 是复数
辐角的弧度值， r 是复数的模．
2 复矩阵的生成
创建复矩阵有两种方法．
(1)一般方法
colorbar subplot(2,2,3) cplxmap(z,1./(1-z)) colorbar temp1=caxis; subplot(2,2,4) cplxmap(z1,w1) hold on cplxmap(z2,-w2) caxis(temp1) axis([min(min(real(z))),max(max(real(z))),min(min(imag(z))),max(max(imag(z))),min(min(re al(1./(1-z)))),max(max(real(1./(1-z))))]) colorbar
例 2：画复数（z-0.5）^0.5 的图形 仿照 cplxroot 函数的程序，编程如下 m=20; n=2; r=(0:m)'/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta)-0.5;
w1=z.^(1/n); subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1)); colorbar w2=w1.*exp(i*2*pi/n); subplot(2,2,2),surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar subplot(2,1,2) surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1)); hold on surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar
n
1
n
0,
k1
(zk zm )
m1
(mk )
成立.
【解】仿真程序
n=round(1000*random('beta',1,1))+1
% n=input('please enter n=')
su=1;
sum=0;
for s=1:n
N(s)=exp(i*2*s*pi/n);
end
for k=1:n
例 21.1.2 求下列式的值．
（1） ln(10) ；
πi
（2） e 2 ．
【解】log(-10)
%ans= 2.3026 + 3.1416i exp(pi/2* i) %ans =0.0000+ 1.0000i
21.1.3 复变函数的图形
1.整幂函数的图形
例 21.1.6 绘出幂函数 z2 的图形.