人教版初中数学中考复习专题 特殊平行四边形

课后精练（A组）
2．(2019·天津)如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分 别是(2，0)，(0，1)，点 C，D 在坐标轴上，则菱形 ABCD 的周长等于 ( C)
A. 5 B．4 3 C．4 5 D．20
课后精练（A组）
3．在直线l上有三个正方形m，n，q，若m，q的面积分 别为5和11，则n的面积为( C )
(3)如图 3，过点 E 作 EN⊥BC 于点 N，EM⊥AB 于点 M，∴四 边形 EMBN 是矩形．
∴EN＝BM，∠MEN＝90°. ∵∠FEG＝90°，∴∠NEF＝∠MEG. ∵∠ENF＝∠EMG＝90°， ∴△ENF∽△EMG.∴EEGF ＝EEMN . ∵EM∥DA，EN∥CD， ∴EAMD＝BBDE，BBDE＝CEND. ∴EAMD＝CEND.∴EEMN ＝ACDD＝23.∴EEGF ＝32.
是( C )
3＋1 A. 4
3 B. 2
C. 3－1
D.
2 3
【提示】在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°.
课后精练（A组）
6．如图，将两条宽度都为 3 的纸条重叠在一起，使 ∠ABC＝60°，则四边形 ABCD 的面积为__6___3___．
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F
当堂过关
(2)如图，连接EG，∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵E为AD中点，∴AE＝ED. ∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG. ∴四边形ABGE是平行四边形． ∴AB＝EG. ∵EG＝FH＝2，∴AB＝2. ∴菱形ABCD的周长＝8.
课后精练（A组）
1．(2019·越秀区一模)下列说法中，正确的是( C ) A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
(1)求证：BG＝DE； (2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
当堂过关
解：(1)∵四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC. ∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)．∴BG＝DE.
课堂精讲
考点2 矩形的性质与判定 例2 (1)(2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，
AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于 点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ________．
【分析】连接AD，在矩形AMDN中，利用“矩形对角线相等”的 性质将线段MN进行转化，MN＝AD，当AD⊥BC时，AD最小， 从而MN最小．利用三角形面积解答即可．
(1)求线段CE的长； (2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG.
课后精练（A组）
解：(1)设正方形 CEFG 的边长为 a， ∵正方形 ABCD 的边长为 1，∴DE＝1－a. ∵S1＝S2， ∴a2＝1×(1－a)， 解得 a1＝－ 25－12(舍去)，a2＝ 25－12. 即线段 CE 的长是 25－12.
分一组对角
知识回顾
三、矩形、菱形、正方形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形； 矩
有三个角是直角的四边形是矩形； 形
对角线相等的平行四边形是矩形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱
四条边都相等的四边形是菱形；
形
对角线互相垂直的__平__行__四__边__形__是菱形
一组___邻__边__相__等_____的矩形是正方形；
∵点 E 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上，∴四边形 EMBN 是正方形． ∴EM＝EN，∠MEN＝90°. ∵∠FEG＝90°，∴∠NEF＝∠MEG. 在△NEF 和△MEG 中， ∠ENF＝∠EMG＝90°， EN＝EM，
∠NEF＝∠MEG， ∴△NEF≌△MEG.∴EF＝EG.
课堂精讲
中考·数学
2020版
第一部分 系统复习
特殊平行四边形
知识回顾
一、矩形、菱形、正方形的定义 矩形 有一个角是___直__角_____的__平__行__四__边__形__是矩形
菱形 有__一__组__临__边____相等的平行四边形是菱形
正方 既是___矩__形_____又是___菱__形_____的四边形是正方
【解】(1)∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°.
∵∠FDG＝90°，∴∠CDF＝∠ADG. ∠DCF＝∠DAG，
在△CDF 和△ADG 中，CD＝AD，
∠CDF＝∠ADG， ∴△CDF≌△ADG.∴DF＝DG.
∵点 D 和点 E 重合，∴EF＝EG.
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(2)结论成立．理由如下：如图 2，过点 E 作 EN⊥BC 于点 N，EM⊥ AB 于点 M，
形
形
知识回顾
二、矩形、菱形、正方形的性质
边
角
对角线
对称性
矩形
对边平行且相 四个角都是直 对角线互相平
等
角
分并且相等
菱形
正方 形
对角线互相垂
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对边平行，四 对角相等，邻 直平分，对角 中心对称图
边相等
角互补
线平分一组对 形，轴对称图
角
形
对角线互相垂
对边平行，四 四个角都是直 直平分且相
边相等
角
等，对角线平
课后精练（A组）
证明：(1)∵△ABE，△BCF 为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°. ∴∠ABE－∠ABF＝∠FBC－∠ABF，即∠CBA＝∠FBE.
AB＝EB，
在△ABC 和△EBF 中，∠CBA＝∠FBE， BC＝BF，
∴△ABC≌△EBF(SAS)．∴EF＝AC. 又∵△ADC 为等边三角形，∴CD＝AD＝AC.∴EF＝AD＝DC. 同理可得△ABC≌△DFC(SAS)， ∴△EBF≌△DFC.
C．2 5 cm D ．4 5 cm
当堂过关
3．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC＝8 cm，
BD＝6 cm，DH⊥AB，则 DH 的长为( B)
48 A. 5 cm
24
12
B. 5 cm C. 5 cm
D．4 cm
当堂过关
4．(2019·北京)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角 三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正 方形，则图1中菱形的面积为__1_2___．
当堂过关
5．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°，点 G 是边 CD 的中点，点 E，F 分别是 AG，AD 上的两个动点，
则 EF＋ED 的最小值是__3__3__．
当堂过关
6．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的 边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
正
有一个角是__直__角____的菱形是正方形；
方 对角线__互__相__垂__直__且__相__等___的平行四边形是正方
形
形
课堂精讲
考点1 概念辨析 例1 (2019·大庆)下列说法中不正确的是( ) A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 【答案】C
①△BCG≌△DCE； ②BG⊥DE； ③DGGC＝GCOE ； ④(a－b)2·S△E F O＝b2·S△D G O. 其中结论正确的个数是( ) A．4 B ．3 C．2 D．1
课堂精讲
【分析】①用 SAS 即可证明；②延长 BG 交 DE 于点 H，由① 可得∠CDE＝∠CBG，∠DGH＝∠BGC(对顶角)，由等量代换即可证 明；③由△DGO∽△DCE 即可证明；④△EFO∽△DGO，S△EFO等于
同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动
(到点B为止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经 过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为___43_____.
课后精练（A组）
8．(2019·杭州)如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形 CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设 以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.
(2)证明：∵点 H 为 BC 边的中点，BC＝1，
∴CH＝12.
∴DH＝
12＋122＝
5 2.
∵CH＝12，CG＝ 25－12，
∴HG＝ 25. ∴HD＝HG.
课后精练（A组）
9 ． 如 图 ， 以 △ABC 的 三 边 为 边 分 别 作 等 边 △ACD ， △ ABE ， △BCF.
(1)求证：△EBF≌△DFC； (2)求证：四边形AEFD是平行四边形； (3)①△ABC满足_________时，四边形AEFD是菱形；(无需证明) ②△ABC满足_________时，四边形AEFD是矩形；(无需证明) ③△ABC满足________时，四边形AEFD是正方形；(无需证明)
【答案】152
课堂精讲
(2)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条 边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线的 距离之和PE＋PF是( ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
【分析】此题实为考查“等腰三角形底边上任意一点，到两 腰的距离的和为腰上的高”这一定值．首先连接 OP，由矩形的两 条边 AB，BC 的长分别为 6 和 8，可求得 OA＝OD＝5 及△AOD 的面积，然后由 S△A O D＝S△A O P＋S△D O P＝12OA·PE＋12OD·PF 求得 答案．
A．4 B．6 C．16 D．55
课后精练（A组）
4．如图，OABC 是边长为 1 的正方形，O C 与 x 轴正半 轴的夹角为 15°，点 B 在抛物线 y＝ax2(a＜0)的图象上，则 a 的 值为( B )
A． －23
B．－
2 3
C．－2 D ．－12
课后精练（A组） 5．(2019·包头)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1，点 E， F 分别在边 BC 和 CD 上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则 CF 的长
S△DGO 相似比的平方，即SS△△DEGFOO＝DEGF 2＝（a－b2b）2，即可证明．
【答案】B
课堂精讲 考点5 四边形综合运用 例5 操作发现： (1)如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点E与 正方形ABCD的顶点D重合，直角的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于 点G.请你直接回答EF和EG的数量关系；
当堂过关
1.下列说法错误的是( B ) A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C
重合，则折痕EF的长为( C )
A．6 cm B．12 cm
13 12 19 16 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
【分析】证明△BCE≌△CDF(SAS)，得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE ＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．
【答案】A
课堂精讲
(2)如图，四边形 ABCD，CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上， 连接 BG，DE，DE 和 FG 相交于点 O.设 AB＝a，CG＝b(a>b)．下列结 论：
类比探究： (2)如图 2，当三角板的直角顶点 E 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上运动时， 其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？并说明理由； 拓展延伸： (3)如图 3，将“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD”，当直角顶点移动到图 中所示位置时，若 AD＝2，DC＝3，求EF的值．
课堂精讲
【答案】C
课堂精讲
考点3 菱形的性质和判断
例 3 (2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交 点 E 的坐标为( )
A．(2， 3) B ．( 3，2) C ．( 3，3) D ．(3， 3)
【答案】D
课堂精讲
正方形的性质与判定 例 4 (1)(2019·孝感)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别 在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G.若 BC＝4，DE＝AF＝1， 则 GF 的长为( )