中级计量经济学复习

《中级计量经济学》复习

一、上学期的主要内容

1、数学知识（Basic Knowledge of Mathematics ）

1） 矩阵的基础知识（Basic Knowledge of Matrix Algebra ） 2） 概率论与数理统计（Probability and Statistics ） 2、几个回归模型

1） 古典线性回归模型(Simple Classical Linear Regression ) 2） 多元线性回归模型(Linear Multiple Regression)

3） 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验(Linear Multiple Regression and its Inference Prediction)

4） 正态线性统计模型的最大似然估计(Normal Linear Statistical Model and MLE) 5） 非线性回归模型初步(Nonlinear Regression Model)

二、主要知识点

1、概率论与数理统计的对应关系

概率模型：二项分布、正态分布、几何分布等。在很多种情况下，参数就决定了分布。 抽样与统计：通过样本确定参数。 顺序统计量、经验分布函数与子样矩

设（X 1，…，X n ）是从母体中抽取的一个子样，记（x 1,x 2…,x n ）是子样的一个观察值，将观察值的各分量按大小递增次序排列，得到

*1x ≤*

2x ≤…≤*n x

当（X 1，…，X n ）取值为（x 1,…,x n ）时，我们定义)(n k X 取值为*

k x 。称由此得到的)()(1,,n n

n X X 为（X 1，…，X n ）的一组顺序统计量。显然)(1n X ≤)(2n X ≤…≤)(n n X ，i n

i n X X ≤≤=1)

(1min ，

即)

(1n X 的观察值是子样观察值中最小的一个，而i n

i n n X X ≤≤=1)

(max ，)

(n n

X 的观察值是子样观察值中最大的一个。

记

＞*

n

x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=x x n k x x x F k n 当当当,

1,

,0)(**

1

*

显然0≤)(*x F n ≤1，且作为x 的函数是一非减左连续函数，把)(*

x F n 看作为x 的函数，

它具备分布函数所要求的性质，故称为经验分布函数（或子样分布函数）。

这样一来，我们就可以进行参数估计。

一个有用的结果是：

假设对于同一个参数θ，你有n 个相互独立的无偏估计量1ˆθ……ˆn

θ，它们的方差分别为1,

,n v v 。那么总存在一个线性组合11ˆˆˆn n

c c θθθ=++是θ的最小方差无偏估计量。

2、几种与正态分布N (0,1)有关的常用分布 1）x 2

-分布

定义 设X 1，X 2，…，X n 是相互独立，且同服从于N (0,1)分布的随机变量，

∑==n

i i n

X x 1

22

所服从的分布为x 2-分布，2

n x 称为自由度为n 的x 2

-变量。

定理 设)(~12

1n x X 和)(~22

2n x X ，且X 1，X 2相互独立，则

)(~21221n n x X X ++。

2）t -分布

设)(~)1,0(~2

n x Y N X 和，且X 和Y 相互独立，则称随机变量

n

Y X T /=

所服从的分布为t -分布。n 称为它的自由度，且记T ～t (n )。 3）F-分布

定义 设X 和Y 是相互独立的x 2-分布随机变量，自由度分别为m 和n ，则称随机变量

m

n

Y X n Y m X F ⋅==

// 所服从的分布为F -分布，（m ,n ）称为它的自由度，且通常写为F ～F （m ,n ）。

＜*1,,2,1,1-=+≤n k k x x

3、线性变换下的均值与方差

如果P 是一个m ×n 常数矩阵m ≤n 和X 是n 维随机向量，那么Z=PX 是一个m 维随机向量，可以得到

（a ） E(Z)=E(PX) =PE(X)=P μ (b) cov(Z)=cov(PX)=P 'P x ∑

证明：(a) ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=mn m m n n a a a

a a a

a a a P 2122221

11211 X=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛n x x x 21

⎪

⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+++⋯

⋯++++++=n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a PX 221

122221

211212111

μμμμμμμμμμμμμP P a a a a a a a a a PX E Z E n n mn m m n n n n =⎪

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋯⋯++++++== 21221122221211212111)()( (b) cov(PX) = E[(PX-P μ)(PX-P μ)'] = E[P(X-μ)(X-μ)'P '] = P E[(X-μ)(X-μ)'] P ' = P 'P x ∑

统计量的分布与独立性

定理 若x ～N[0,I]且x Bx x Ax x 是和''的两个幂等二次型，则0=''AB Bx x Ax x 在和时是独立的。

线性变换及二次型的独立性

定理 标准正态向量的一个线性函数Lx 和一个幂等二次型Ax x '，当LA=0时是统计独立的。