(完整版)第三章Z变换(数字信号处理)
数字信号处理(第三版)(高西全)第3章
。后面要讨论的频域采样理论将会
加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱
完全由其离散傅里叶级数系数 X ( k ) 确定，因此，X(k) 实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱特性，这就
是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物 理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
i 为整数 i 为整数
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
所以，在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1 由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
3 3 j 2π 4
X (k )
x ( n )W
n0
kn 4
e
n0
kn
1 e 1 e
j2 π k 2π 4
j
k
4 0
k 0 k 1, 2, 3
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
设变换区间N=8，则
X (k )
7
x ( n )W 8 sin ( sin (
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点
DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1
X (k ) X ( z )
ze
j 2π N k
k 0,1, , N 1
(3.1.3)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(完整word版)《数字信号处理》课程教学大纲
课程编号15102308《数字信号处理》教学大纲Digital Signal Processing一、课程基本信息二、本课程的性质、目的和任务《数字信号处理》课程是信息工程本科专业必修课，它是在学生学完了高等数学、概率论、线性代数、复变函数、信号与系统等课程后，进一步为学习专业知识打基础的课程。
本课程将通过讲课、练习使学生建立“数字信号处理”的基本概念，掌握数字信号处理基本分析方法和分析工具，为从事通信、信息或信号处理等方面的研究工作打下基础。
三、教学基本要求1、通过对本课程的教学，使学生系统地掌握数字信号处理的基本原理和基本分析方法，能建立基本的数字信号处理模型。
2、要求学生学会运用数字信号处理的两个主要工具：快速傅立叶变换（FFT）与数字滤波器，为后续数字技术方面课程的学习打下理论基础。
3、学生应具有初步的算法分析和运用MA TLAB编程的能力。
四、本课程与其他课程的联系与分工本课程的基础课程为《高等数学》、《概率论》、《线性代数》、《复变函数》、《信号与系统》等课程，同时又为《图像处理与模式识别》等课程的学习打下基础。
五、教学方法与手段教师讲授和学生自学相结合，讲练结合，采用多媒体教学手段为主，重点难点辅以板书。
六、考核方式与成绩评定办法本课程采用平时作业、期末考试综合评定的方法。
其中平时作业成绩占40%，期末考试成绩占60%。
七、使用教材及参考书目【使用教材】吴镇扬编，《数字信号处理》，高等教育出版社，2004年9月第一版。
【参考书目】1、姚天任,江太辉编，《数字信号处理》（第二版），华中科技大学出版社，2000年版。
2、程佩青著，《数字信号处理教程》（第二版），清华大学出版社出版，2001年版。
3、丁玉美,高西全编著，《数字信号处理》，西安电子科技大学出版社，2001年版。
4、胡广书编，《数字信号处理——理论、算法与实现》，清华大学出版社，2004年版。
5、Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer，《Digital Signal Processing》，Prentice-Hall Inc, 1975.八、课程结构和学时分配九、教学内容绪论（1学时）【教学目标】1. 了解：什么是数字信号处理，与传统的模拟技术相比存在哪些特点。
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理第三章
FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）
数字信号处理z变换公式表
数字信号处理z变换公式表序号变换名称公式。
1双边Z变换定义X(z)=∑_n = -∞^∞x(n)z^-n，收敛域为R_x -<| z|2单边Z变换定义（因果序列）X(z)=∑_n = 0^∞x(n)z^-n，收敛域为| z| > R_x -3Z变换的线性性质若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则ax_1(n)+bx_2(n)↔ aX_1(z)+bX_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)4序列的移位（双边Z变换）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(n - m)↔ z^-mX(z)，收敛域为R_x -<| z|（m为整数）5序列的移位（单边Z变换）若x(n)↔ X(z)，则x(n - m)u(n)↔ z^-mX(z)+∑_k =0^m - 1x(k - m)z^-k（m>0），收敛域为| z| > R_x -6Z域尺度变换（乘以指数序列）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则a^nx(n)↔X((z)/(a))，收敛域为| a| R_x -<| z|<| a| R_x +（a≠0）7序列的线性加权（Z域求导）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则nx(n)↔ -z(dX(z))/(dz)，收敛域为R_x -<| z|8序列的反褶若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(-n)↔ X((1)/(z))，收敛域为(1)/(R_x +)<| z|<(1)/(R_x -)9卷积定理（双边Z变换）若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)10卷积定理（单边Z变换）设x_1(n)和x_2(n)为因果序列，x_1(n)↔ X_1(z)，x_2(n)↔ X_2(z)，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为| z| >max(R_1 -,R_2 -)11初值定理（因果序列）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则x(0)=lim_z→∞X(z)12终值定理（因果序列，X(z)的极点在单位圆内，最多在z = 1处有一阶极点）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则lim_n→∞x(n)=lim_z→1(z - 1)X(z)。
数字信号处理3z变换的基本性质与定理
dz
dz n
n
dz
x(n)(n)zn1 z1 nx(n)zn
n
n
z1ZT [nx(n)]
ZT [nx(n)] z dX (z) dz
Rx z Rx
课件
6
5、共轭序列
若 ZT [x(n)] X (z) Rx z Rx 则 ZT [x*(n)] X *(z* ) Rx z Rx
n
n
x(n)( z 1 ) n
n
X
1 z
1
1
1
Rx
z
Rx
Rx
z
Rx
课件
8
7、初值定理
对于因果序列x(n)，有 lim X (z) x(0)
z
证：因为x(n)为因果序列
X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
x(0) x(1)z1 x(2)z2 K
lim X (z) x(0) z
课件
15
例：已知LSI系统的单位抽样响应：
h(n) bnu(n) abn1u(n 1)，
求系统输入x(n) anu(n)的响应。 解：X (z) ZT [x(n)] ZT [anu(n)] z
za
za
H (z) ZT [h(n)] ZT [bnu(n) abn1u(n 1)]
ZT [bnu(n)] aZT [bn1u(n 1)]
则 ZT [nx(n)] z d X (z)
dz
Rx z Rx
同理： ZT [n2 x(n)] ZT [n nx(n)]
z d {ZT[nx(n)]} dz
z
d dz
z
dX (z) dz
课件
5
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
[数字信号处理]序列的z变换
![[数字信号处理]序列的z变换](https://img.taocdn.com/s3/m/938513233868011ca300a6c30c2259010202f394.png)
[数字信号处理]序列的z 变换序列的z 变换z 变换的定义z 变换的定义如下X (z )=∞∑n =−∞x (n )z −n其中z =e j ω,是⼀个复数.在复平⾯上,z 相当于单位圆上的⼀点.典型序列的z 变换单位脉冲序列的z 变换求序列δ(n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞δ(n )z −n =δ(0)z 0=1,0<|z |<∞最后的⼀句话是收敛域阶越序列的z 变换求序列u (n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞u (n )z −n =n =∞∑n =0z −n =11−z −1,|z |>1矩形序列的z 变换求序列R 4(n )的z 变换X (n )=∞∑n =∞R 4(n )z −n =3∑n =0z −n =1+z −1+z −2+z −3=1−z −41−z −1,0<|z |<∞收敛域z 变换的性质线性设x 1(n )的z 变换是X 1(z )x 2(n )的z 变换是X 2(z )如果x 3(n )=ax 1(n )+bx 2(n )那么X 3(z )=aX 1(z )+bX 2(z )X 3(z )的收敛域为X 1(z )的收敛域和X 2(z )的收敛域的交集移位性质双边序列x (n )为双边序列时设x (n )的z 变换是X (z )则x (n +n 0)的z 变换是z n 0X (z )序列移位不会改变z 变换的收敛域右边序列右移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n −1)的z 变换是z −1X (z )+x (−1)x (n −2)的z 变换是z −2X (z )+z −1x (−1)+x (−2)如此类推右边序列左移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n +1)的z 变换是z 1X (z )−x (1)x (n +2)的z 变换是z 2X (z )−z 1x (1)−x (2)如此类推序列乘实指数序列设x (n )的z 变换是X (z )y (n )=a n x (n )的z 变换Y (z )=X (a −1z )复共轭序列的z 变换设x (n )的z 变换是X (z )则x ∗(n )的z 变换是X ∗(z ∗)初值定理设x (n )的z 变换是X (z )则x (0)=lim终值定理设x(n)的z 变换是X(z) \\则x(\infty)=\lim_{z->1}(z-1)X(z)序列类型收敛域有限长序列$0<右边序列$左边序列$双边序列$R_{x-}<Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js帕斯维尔定理(能量定理)时域总能量等于z域总能量(能量守恒)E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega。
第三章--Z变换(数字信号处理)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
数字信号处理z变换
X (s) X ( j) x(t)e jdt
s j
拉普拉斯变换演变为傅里叶变换
– 0 ，s平面的左半面，对应 r eT 1,单位圆内
– 0 ， s平面的右半面，对应 r eT 1,单位圆外
z变换与拉氏变换的映射关系
映射
1)s平面上的虚轴 z平面上的单位圆r=1
映射
2)s平面上的左半平面 z平面上的单位圆内r<1
X (z) x(n)zn n
与z变换的定义一致
拉普拉斯复变量 s j ， 2 f 对应连续系统及连续 信号的角频率，单位是弧度/秒
z esTs e( j)Ts eTs e jTs
令 r eTs Ts
则 z re j
对应离散系统和离散信号的圆周频率，单位是弧度
X (z) x(n)(re j )n x(n)rn e jn
例1 已知f (t) eatu(t),(a 0) 和F( j) 1
，求f (t )拉普拉
j a
斯变换
F(s) F( j) 1 js s a
收敛域如图a),包括虚轴
例2 求t的指数函数 f (t) eatu(t) ,(a为任意常数)的拉普拉
斯变换
F (s) eatestdt e(sa)tdt
X (z) x(n)zn n0
显然，仅当 x(n) 0, n 0 时，双边和单边z变换才相等。
X (z) 2z 11.5z1 z2 0.5z3
由拉普拉斯变换到z变换
x(nTs ) 是由连续信号x(t)经抽样得到的
x(nTs ) xa (t) (t nTs ) xa (nTs ) (t nTs )
又z esTs ,
其中Ts为序列时间间隔
2
s
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
序列的Z变换(数字信号处理)
nn1
设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则 收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括
z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
11
第三章 序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
1
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 如果x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含∞点，则x(n) 是因果序列
例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。
解：
X (z)
u(n)zn zn
n
n0
X(z)存在的条件是|z-1|<1， 因此收敛域为|z|>1，
X
(
z)
1
1 z
1
|z|>1
5
数字信号处理_第三章
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n
(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16
1 e
4k j2 16 k j2 16
~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1
数字信号处理2-Z变换
线性 ax(n)+by(n) aX(z)+bY(z)
移位 x(n-a)
z-aX(z)
尺度 anx(n) 相移 ejbnx(n)
反褶 x(-n)
X(z/a) X(1/z)
乘n nx(n)
-zdX(z)/dz
共轭 x*(n) x*(-n)
卷积 x(n)*h(n)
X*(z*) X*(1/z*)
X(z)H(z)
z
z n0
z
26
Z变换旳性质: 共轭对称性
序列
Z变换
x(n)
x(0) liXm(Xz)(z)
Rx
z
Re[x(n)]
x(0) li[mXX(z()z+)X*(z*)]/2 Rx z0
jIm[x(n)]
[X(z)-X*(z*)]/2 Rx
x() lim[( z 1) X ( z)]
[x(n)+x*(-n)]/2
收敛域与极点
X(z)收敛域以极点为边界，收敛域内没有极点
4
正、逆Z变换：收敛域
不同类型序列Z变换旳收敛域
x(n)类型 有限长
右边 因果
左边 逆因果
双边
x(n)定义域 n [n1, n2 ] X(z)收敛域
n1 0, n2 n1 > - , n2 0
z (0, ] z [0, )
n1 >- , n2
1 0.5z1
0.5 z 1 0.5z1 0.25z2
0.25 z 2 0.25z2 0.125z3
0.125z3
X1(z)
X2(z)
4.合并：
X1(z) 2z 2z2 2z3 2z4... X 2 (z) 1 0.5z1 0.25z2 16 z3...
数字信号处理基础-Z变换
区间内， n1 区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n1 ≤ n ≤ ∞
lim
n →∞ n →∞
n
x ( n) z
−n
<1
Rx1
圆外为 收敛域
j Im[z ]
lim n x(n) = Rx1 < z z > Rx1
收敛半径
Re[z ]
k k k →∞ −1
< 1或 z < 2
z < lim 2 = 2
k k k →∞
第二项仅含有Z的负幂的无穷级数 1 −k lim k ( z ) < 1或 z > lim k k →∞ k →∞ 3
k
∴ F ( z )的绝对收敛域为 2 > z >
光机电一体化技术研究所
1 3
∞
n
圆内为收敛域， 圆内为收敛域， 若 n2 > 0 则不包括z=0点 则不包括 点
j Im[z ]
lim
n
n →∞ n n →∞
x ( − n) z < 1 x ( − n) < z 1 lim n x(− n)
n →∞ −1
Rx2
•
Re[z ]
lim
z >
= Rx2
收敛半径
光机电一体化技术研究所
1.根据级数理论
*比项法：设
ρ < 1,级数收敛。 ρ > 1,级数发散。 ρ = 1,不能肯定。 * 捡根法(柯西准则 )
lim
n→ ∞
a n +1 =ρ an
设： lim a = ρ
(完整版)数字信号处理(第三版)高西全丁玉美课后答案
西安电子(咼西全丁美玉第二版)数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答解:x(n)(n 4)2 (n 2)0.5 (n 4) 2 (n(n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 (n 3) 6)2n 5, 4 n 12.给定信号 :x(n)6,0 n 4 0,其它(1) 画出x(n)序列的波形，标上各序列的值； (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列;(3) 令X 1(n) 2x(n 2)，试画出捲(n)波形； (4) 令 X 2(n) 2x(n 2)，试画出 X 2(n)波形； (5) 令 x 3(n) 2x(2 n)，试画出 X 3(n)波形。
解：(1) x(n)的波形如 题2解图(一)所示。
(2)x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)(5)画X 3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移 2位，X 3(n)波形如题2解图(四)所示。
3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
3(1) x(n) Acos( n -)，A 是常数；1j (7n)(2) x(n) e 8。
1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示 题1图所示的序列。
(3) x, n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(二)所示。
(4) X 2 (n)的波形是x(n)的波形左移 2位，在乘以2，画出图形如 题2解图(三)所示。
解：3 2 14(1)W , ，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14 ;7 w 31 2(2)w , 16 ，这是无理数，因此是非周期序列。
8 w5.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
(1)y(n) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2)；(3)y(n) x(n n°)，n o为整常数；(5)y(n) x2(n)；(7)y(n) nx(m)。
数字信号处理z变换
−n
< ∞,
• 所以X(z)在|z|=R上收敛。 • 由此可进一步证明，在R圆以外，即
R<|z|<∞，x（Z）也必收敛。 • 再看第二项，由于n>n2≥0，|Z|>R，因 此|z|-n<R-n，
• 因此
n = n1
∑ x ( n) z
∞
−n
= ∑ x ( n) z
n = n1
n2
−n
+
n = n2 +1
– P60 – P158 2.33 4.1 4.3 4.6
• 2版
– P73 – P103 2.76 3.1 3.3 3.4
3.3 z反变换
• 3.3.1 观察法 • 3.3.2 部分分式展开法 • 3.3.3 幂级数展开法
3.3.1 观察法
• 公式 • z变换
1 a u[ n] ← ⎯→ , −1 1 − az
x[n] = a u[n]
n
X ( z) =
n =−∞
∑ a u[n]z
n
∞
−n
= ∑ (az )
n =0
∞
−1 n
∑ (az
n =0
∞
−1 n
) <∞
– 收敛域
az
−1
<1
收敛域内
1 z z >a = X ( z ) = ∑ (az ) = 1 − az −1 z − a n =0
−1 n ∞
• 零点 0 • 极点 a • 当 a >1
n n
– 利用 例3.1 3.2的结论
1 ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ u[n ] ↔ 1 −1 ⎝ 3⎠ 1+ z 3 1 ⎛1⎞ − ⎜ ⎟ u [ − n − 1] ↔ 1 −1 ⎝2⎠ 1− z 2
MATLAB 第3章 Z变换
x(n) z x(n) z n
n n n1 n 0
1
0 Z Rx Z
其中：Rx-为收敛域的最小半径。 数字信号处理
右边序列的 收敛域
Rx Z
第三章 Z变换
jIm[z]
Rx －
o
Re[z]
图3-3 右边序列及其收敛域 （n1<0， |z|=∞除外）
数字信号处理
第三章 Z变换
三．几种序列的收敛域
（1）有限长序列:
x ( n), n1 n n2 x ( n) 其他n 0,
其z变换为
收敛域为
0 z
图3-2 有限长序列及其收敛域 （n1 0, n2 0；z 0, z 除外）
数字信号处理
第三章 Z变换
第三章 Z变换
二．Z变换的收敛域 1．收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其z
变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。
2. 收敛条件：X ( z )
n
x(n) z n 的级数收敛的充
分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求
n | x ( n ) z | M
数字信号处理
第三章 Z变换
例3-2 x(n)=anu(n), 求其z变换及收敛域。
解 这是一个因果序列，其z变换为
X ( z) a z
n 0
n n
1 z (az ) 1 1 az za n 0
1 n
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在 |az-1|<1 即 |z|>|a|处收敛如图3-4所示。
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X (e j ) X (z) ze j
(3.4)
第三章 序列的Z变换
式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出 序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
第三章 序列的Z变换
3.2 序列特性对收敛域的影响
序列的特性决定其Z变换收敛域。
1. 有限长序列
如序列x(n)满足下式：
x(n) x(n)=
n1≤n≤n2
0
其它
第三章 序列的Z变换
即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之 外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z
变换为
n2
X (z) x(n)zn
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
第三章 序列的Z变换
例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
1
X (z)
anu(n 1)zn
n
n
anzn
n1
anzn
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
X
(z)
a 1 z 1 a1z
n0
(3.2)
第三章 序列的Z变换
这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因 果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分 析和变换。
(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要 求级数绝对可和， 即
x(n)zn
(3.3)
n2
X (z) x(n)zn
n
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
n1<0， n2>0时， 0<z＜∞
n1≥0， n2>0时， 0<z≤∞
例 3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
N 1
RN (n)zn
n0
zn
1 zN 1 z1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1时也有一个零点， 极零点 对消， X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可 将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题2.2.1中的结果 (2.3.5)公式是相同的。
1
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 如果x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含∞点，则x(n) 是因果序列
第三章 序列的Z变换
2. 右序列
右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而其它n<n1，序 列值全为零。
X (Z) x(n)Z n nn1
ROC： 分析：
Z Rx
当 n1 ≥0时
X (Z) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
nn1
nn1
nn1
第三章 序列的Z变换
nn1
设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则 收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括
z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
第三章 序列的Z变换
n1<0， n2≤0时， 0≤z＜∞
例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。
解：
X (z)
u(n)zn zn
n
n0
X(z)存在的条件是|z-1|<1， 因此收敛域为|z|>1，
X
ห้องสมุดไป่ตู้
(
z)
1
1 z
1
|z|>1
第三章 序列的Z变换
由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变 换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里 叶变换不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不 存在， 但如果引进奇异函数δ(ω)， 其傅里叶变换可以 表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里 叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。
第三章 序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
n
使(3.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。 一
般收敛域用环状域表示
Rx z Rx
第三章 序列的Z变换 图 3.1 Z变换的收敛域
第三章 序列的Z变换
常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示
X (z) P(z) Q(z)
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式 Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因 此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
1 1 az1
,
z a
第三章 序列的Z变换
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列
之和， 其Z变换表示为
X (z)
x(n)zn X1(z) X2(z)
n
X1(z)
x(n) z n ,
n1
0 Z Rx
X 2(z)
第三章 序列的Z变换
3 序列的Z变换
3.1 Z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(3.1)
n
式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注 意在定义中， 对n求和是在±∞之间求和， 可以称为双 边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式
X (z) x(n)zn