第四章频率域图像增强
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第四章频率域图像增强
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
第四章频率域图像增强
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2
滤波器设计-频率域图像增强
第4章 频率域图像增强
第6页
5.2 频率域平滑滤波器
平滑滤波器
图像中的边缘和噪声都对应图像傅立叶变换中的高频部分 ，所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部分频率的分 量 根据频域增强技术的原理，需要选择一个合适的H(u, v)以 得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v) 以下讨论对F(u, v)的实部和虚部影响完全相同的滤波转移 函数。具有这种特性的滤波器称为零相移滤波器
1 D (u , v ) / D0
1
2n
H (u,v ) 1 D (u,v ) D0 0
第4章 频率域图像增强
第17页
5.2 频率域平滑滤波器
2、巴特沃斯低通滤波器
图像由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通滤波进行 平滑以改进图像质量
第4章 频率域图像增强
第18页
5.2 频率域平滑滤波器
图像增强复习直方图规格化和规定化
点运算对单幅图像做处理，不改变像素的空间位置； 代数运算多幅图像做处理，不改变像素的空间位置；
几何运算对单幅图像做处理，改变像素的空间位置； 几何运算包含两个独立的算法：空间变换算法和灰度 级插值算法。
高频增强输出图的傅立叶变换： Ge(u, v) = k G(u, v) + c F(u, v) 反变换回去： ge(x, y) = k g(x, y) + c f (x, y)
第4章 频率域图像增强 第27页
5.3 频率域锐化滤波器
例5.5高通滤波增强
(a)比较模糊的图像 (b)阶为1的巴特沃斯高通滤波 (c)高通滤波增强的结果
第30页
第4章 频率域图像增强
第31页
第4章 频率域图像增强
第四章 频率域图像增强
f(1，0)=4，f(1，1)=2，求该图像的傅里叶谱。
3 傅里叶变换的性质 （1）可分性（用于快速傅里叶变换）
F(u,v)
1 M
M 1
x0
1
N 1
j 2 vy
f (x, y)e N
N y0
j 2 ux e M
1
M 1
j 2 ux
些图像处理方法适用于图像细节贫乏的图像。 图像细节丰富性可作为图像描述的一种方法 但如何测量图像细节是否丰富，国内外研究得都比
较少。
2 创新思路 在频率域中，图像细节丰富的图像有什么特点？图像细节
贫乏的图像有什么特点？
3 技术路线 高频分量在图像中所占的比重。
4 实验结果
频率域方法 熵
paper1.tif 0.0147 1.7695
第4章 频率域图像增强
一个消除缓慢变化的光照不均匀性的实例 （同态滤波）
f (x, y) i(x, y) r(x, y) 其中：
f (x, y)是图像幅度分布 i(x, y)是入射场分布，取决于照射源特性 r(x, y)是反射系数分布,取决于成像物体的特性
主要内容
4.1 傅里叶变换及其性质 4.2 频率域滤波 4.3 频率域平滑滤波器 4.4 频率域锐化滤波器 4.5 同态滤波器
alumgrns.tif 0.0245 4.9733
afmsurf.tif trees.tif
0.0205
0.0293
4.7793
3.9514
lena.tif 0.0404 5.0222
该创新实例的点评
请思考： 在时域中，图像细节丰富的图像有什么特点？图像细节单
调的图像有什么特点？ 在时频域中呢？ 在Z变换域呢？ 在S域呢？
3 傅里叶变换的性质 （1）可分性（用于快速傅里叶变换）
F(u,v)
1 M
M 1
x0
1
N 1
j 2 vy
f (x, y)e N
N y0
j 2 ux e M
1
M 1
j 2 ux
些图像处理方法适用于图像细节贫乏的图像。 图像细节丰富性可作为图像描述的一种方法 但如何测量图像细节是否丰富，国内外研究得都比
较少。
2 创新思路 在频率域中，图像细节丰富的图像有什么特点？图像细节
贫乏的图像有什么特点？
3 技术路线 高频分量在图像中所占的比重。
4 实验结果
频率域方法 熵
paper1.tif 0.0147 1.7695
第4章 频率域图像增强
一个消除缓慢变化的光照不均匀性的实例 （同态滤波）
f (x, y) i(x, y) r(x, y) 其中：
f (x, y)是图像幅度分布 i(x, y)是入射场分布，取决于照射源特性 r(x, y)是反射系数分布,取决于成像物体的特性
主要内容
4.1 傅里叶变换及其性质 4.2 频率域滤波 4.3 频率域平滑滤波器 4.4 频率域锐化滤波器 4.5 同态滤波器
alumgrns.tif 0.0245 4.9733
afmsurf.tif trees.tif
0.0205
0.0293
4.7793
3.9514
lena.tif 0.0404 5.0222
该创新实例的点评
请思考： 在时域中，图像细节丰富的图像有什么特点？图像细节单
调的图像有什么特点？ 在时频域中呢？ 在Z变换域呢？ 在S域呢？
第四章图像增强
空间域增强：直接对图像各像素进行处理； 空间域增强：直接对图像各像素进行处理； 频率域增强： 频率域增强 ： 将图像经傅立叶变换后的频谱成分 进行处理， 然后逆傅立叶变换获得所需的图像。 进行处理 ， 然后逆傅立叶变换获得所需的图像 。
2
图像增强所包含的主要内容： 图像增强所包含的主要内容：
灰度变换 点运算 均衡化 直方图修正法 空间域 规定化 局部运算 图像平滑 图像锐化 高通滤波 图像增强 频率域 低通滤波 同态滤波增强 假彩色增强 彩色增强 伪彩色增强 彩色变换及应用 几何畸变的消除
8
原图
变换函数曲线
9
灰度反转后
10
original image
Brightness(明暗变化)
(addition/subtraction)
contrast
= histogram stretching
其它线性变换例
11
2.分段线性变换
线性拉伸是将原始输入图像中的灰度值不加区别地 扩展。 而在实际应用中,为了突出图像中感兴趣的研究对象， 常常要求局部扩展拉伸某一范围的灰度值，或对不同 范围的灰度值进行不同的拉伸处理，即分段线性拉伸。 分段线性拉伸是仅将某一范围的灰度值进行拉伸，而 其余范围的灰度值实际上被压缩了。
k k
变换函数T(r)可改写为 : sk = T (rk ) = ∑ Pr (rj ) = ∑
j =0 j =0
nj n
0 ≤ rk ≤ 1, k = 0,1,..., l − 1
均衡化后各像素的灰度值可直接由原图像的直 30 方图算出。
例 假定有一幅总像素为n=64×64的图像，灰度级数为8，各灰度级 分布列于表中。对其均衡化处理。
2
图像增强所包含的主要内容： 图像增强所包含的主要内容：
灰度变换 点运算 均衡化 直方图修正法 空间域 规定化 局部运算 图像平滑 图像锐化 高通滤波 图像增强 频率域 低通滤波 同态滤波增强 假彩色增强 彩色增强 伪彩色增强 彩色变换及应用 几何畸变的消除
8
原图
变换函数曲线
9
灰度反转后
10
original image
Brightness(明暗变化)
(addition/subtraction)
contrast
= histogram stretching
其它线性变换例
11
2.分段线性变换
线性拉伸是将原始输入图像中的灰度值不加区别地 扩展。 而在实际应用中,为了突出图像中感兴趣的研究对象， 常常要求局部扩展拉伸某一范围的灰度值，或对不同 范围的灰度值进行不同的拉伸处理，即分段线性拉伸。 分段线性拉伸是仅将某一范围的灰度值进行拉伸，而 其余范围的灰度值实际上被压缩了。
k k
变换函数T(r)可改写为 : sk = T (rk ) = ∑ Pr (rj ) = ∑
j =0 j =0
nj n
0 ≤ rk ≤ 1, k = 0,1,..., l − 1
均衡化后各像素的灰度值可直接由原图像的直 30 方图算出。
例 假定有一幅总像素为n=64×64的图像，灰度级数为8，各灰度级 分布列于表中。对其均衡化处理。
数字图像处理_第四章_频域图像增强
2
u 0.1.2. M 1 v 0.1.2. N 1 f ( x, y ) F (u , v)e j 2 (ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
可以证明：
x y f ( x , y )( 1) F (u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
4.2.3 频率域滤波 频率域滤波基本步骤： 1、(1) x y 原图像 2、F (u, v) 3、 H (u, v) F (u, v) 4、反DEF 5、实部 x y 6、用 (1) (5) 结果。 1 被滤波图像 G(u, v)
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
4.3 平滑的频率域滤波器
4.3.1 理想低通滤波器
c ~ e均有“振铃”特征 为什么会有“振铃”现象呢？ 其根本原因是空域滤波器有负 值，具体具体解释右图（b）
右图用5个脉冲图像来说明“振 铃”的产生，可看作5个冲激， 只是简单地复制 h( x, y ) → “振铃”。
F (u ) F (u ) e j (u ) F (u ) R (u ) I (u )
2 2
1 2
(u ) arct g
2(u ) R(u )
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
1 M x 1 v N y u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4第四章图像增强
例4.2.1 (续8)
解：◆存在值为5/7的灰度级别值，且由s2≈5/7和 s2=T(r2)可知，新图像中灰度级别为s5’=5/7 的像素 对应于原图像中灰度级为k=2的像素，其像素个数为 m5=n2=850 。
◆存在值为6/7的灰度级别值，且由s3≈6/7和 s3=T(r3) ，以及s4≈6/7和s4=T(r4)可知，新图像中灰 度级别s6’为=6/7的像素，对应于原图像中灰度级为 k=3和k=4的像素，其像素个数为 m6=n3+n4=656+329=985。
基本的实现方法包括两种： ◆ 一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰度 值，而给其它部分指定一个较低的灰度值或0值。 ◆ 另一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰 度值，而其它部分的灰度值保持不变
4.1.4 窗切片
g
g
g
255
255
255
0
a b 255 f 0
a b 255 f 0
a b 255 f
《数字图像处理》
第四章 图像增强
图像增强就是通过对图像的某些特征，如边 缘、轮廓、对比度等，进行强调或尖锐化，使之 更适合于人眼的观察或机器的处理的一种技术。
图像增强技术的分类：一是空间域增强方法; 二是频率域增强方法。
4.1 灰度变换
灰度变换是一种逐像素点对图像进行变换的增强 方法，所以也称为图像的点运算。
灰度变换是空间域图像增强方法。 设用f表示输入图像在（x,y）处的像素值，用g 表示变换后的输出图像g(x,y)的像素值，T[•]表示对 f(x,y)的点运算操作，则灰度变换可一般地定义为:
g= T[f]
（4.1）
4.1.1 灰度反转
设图像的灰度级为L，则图像的灰度反转可用公
图像处理课件04频率域图像增强
u 0,1,, M 1 v 0,1,, N 1
反变换: f ( x, y ) F (u , v) e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
x 0,1, , M 1 y 0,1, , N 1
一般F(u,v)是复函数,即:
1
2
5
20
３、高斯低通滤波器（GLPF）
H (u, v) e
D 2 u ,v / 2 2
令 D0
H (u, v) e
2 D 2 u ,v / 2 D0
当D(u, v) D0
H (u, v) 0.607
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图象比 BLPF处理的图象更模糊一些
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。
H hp (u, v) 1 H lp (u, v)
与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有３种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器
空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系
卷积定理：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
冲激函数
M 1 N 1 x 0 y 0
s( x, y) A ( x x , y y ) As( x , y )
频率域的基本性质：
低频对应着图像的慢变化分量。
较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。
变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
数字图像处理-频率域中的图像增强
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
内容
• 引言 • 傅立叶变换 • 频域增强原理 • 低通滤波（理想、巴特沃斯、高斯）、高
通滤波、带通/带阻滤波
傅立叶变换的提出
• 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？
– 傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字， 英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(17681830)
– Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科 学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描 述温度分布。
– 论文里有个在当时具有争议性的决断： 任何连 续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而 成。
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
傅立叶变换的提出
• 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢 ？
– 例如：我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无 穷的，但分解信号的目的是为了 更加简单地处理原来的信号。
– 用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有 的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号 输入后，输出的仍是正 弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一 样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此 我们才不用方波 或三角波来表示。
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
傅立叶变换的提出
• 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？
第4讲频率域图像增强
傅立叶反变换
f (x) F(u)ej2uxdu
f (x) 1 F()ejxd
2
（2）周期形式（傅里叶级数）
F (u)
au
1 M
M f (x)e j2ux/ M dx
0
f (x)
aue j 2ux/ M
u
f (x)
2 二维傅里叶变换 （1）连续形式
F(u,v) f(x,y)ej2(uxvy)dxdy
f(x,y) F(u,v)ej2(uxvy)dudv
（2）离散形式
F(u,v)
1
M1N1
j2(uxvy)
f (x, y)e M N
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
傅立叶变换的引入
• 周期函数可以表示为不 同频率的正弦和/或余弦 和的形式
• 非周期函数可以用正弦 和/或余弦乘以加权函数 的积分来表示——这种 情况下的公式就是傅立 叶变换
傅里叶变换及其反变换
1 一维傅里叶变换 （1）连续形式
单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：
F(u) f(x)ej2uxdx j 1
离散一维卷积
h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j)
f (x) F(u)ej2uxdu
f (x) 1 F()ejxd
2
（2）周期形式（傅里叶级数）
F (u)
au
1 M
M f (x)e j2ux/ M dx
0
f (x)
aue j 2ux/ M
u
f (x)
2 二维傅里叶变换 （1）连续形式
F(u,v) f(x,y)ej2(uxvy)dxdy
f(x,y) F(u,v)ej2(uxvy)dudv
（2）离散形式
F(u,v)
1
M1N1
j2(uxvy)
f (x, y)e M N
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
傅立叶变换的引入
• 周期函数可以表示为不 同频率的正弦和/或余弦 和的形式
• 非周期函数可以用正弦 和/或余弦乘以加权函数 的积分来表示——这种 情况下的公式就是傅立 叶变换
傅里叶变换及其反变换
1 一维傅里叶变换 （1）连续形式
单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：
F(u) f(x)ej2uxdx j 1
离散一维卷积
h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j)
频率域图像增强处理PPT
∑ ∑ f (m, n)h( x m, y n)
1. 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 2. 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n) 3. 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和 4. 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和 h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。 傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：
冲激（脉冲）函数及筛选属性：
冲激函数的傅立叶变换：
1 F (u , v) = MN
筛选属性：
∑∑ δ ( x, y)e j 2π (ux / M +vy / N ) =
x =0 y =0
M
N
1 MN
∑∑ f ( x, y) Aδ ( x x , y y ) = Af ( x , y )
x=0 y =0 M N 0 0 0 0
信息与物理工程学院 中南大学
2. Butterworth低通滤波器(BLPF)
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当阶数为1 时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大于2时较严重。
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
f ( x, y ) h( x, y ) F (u , v) H (u , v); f ( x, y )h( x, y ) F (u , v) H (u , v)
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
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数字图像处理 第四章图像增强
Pr（rk） 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06
0.03
0.02
计算每个sk对应的像素数目 计算均衡化后的直方图
Tr
Sk并
sk
nsk Ps（sk）
0.19
1/7
0.44
3/7
S0=1/7 S1=3/7 S2=5/7
790 0.19 1023 0.25 850 0.21
0.65
✓ 校正后的原始图像 f (i, j) C g(i, j) gc(i, j)
9
灰度级校正注意问题：
对降质图像进行逐点灰度级校正所获得的图像， 其中某些像素的灰度级值有可能要超出记录器 件或显示器输入灰度级的动态范围，在输出时 还要采用其他方法来修正才能保证不失真地输 出。
降质图像在数字化时，各像素灰度级都被量化 在离散集合中的离散值上，但经校正后的图像 各像素灰度极值并不一定都在这些离散值上， 因此必须对校正后的图像进行量化。
），使得结果图像s的直方图Ps(s)为一个常数
Pr(r)
Ps(s)
直方图均衡化 T(r)
r
s
26
直方图均衡化理论基础
-1 由概率论可知，若Pr(r)和变换函数s=T(r)已知，r=T (s)是单 调增长函数，则变换后的概率密度函数Ps(s)可由Pr(r)得到：
分 布 函 数 Fs(s)sp（ s s） ds=rp（ r r） dr
✓ 计算均衡后的直方图
s k 计
T（ rk）
k
=
i 0
P（r
r
）
i
k i 0
ni n
s k并
round（ sk计 * (L L 1
1)）
j
第4章-图像增强(频率域)
傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
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f (x, y) * h(x, y)
1
M 1 N 1
f (m,n)h(x m, y n)
MN m0 n0
对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用m×n的滤波器 进行线性滤波：
ab
g(x, y) w(s,t) f (x s, y t)
sa tb
一、频率域介绍
空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系
卷积定理
f x, y hx, y F u,v H u,v
上式说明空间域卷积可以通过F(u,v)H(u,v)的乘 积进行反傅里叶变换得到
f x, yhx, y F u,v H u,v
说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得 上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的乘法
一、频率域介绍
高斯频率域低通滤波器函数 H (u) Aeu2/22
对应空间域高斯低通滤波器为
h(x) 2 Ae222x2
高斯频率域低通滤波器函数
H (u)
Aeu2 /212
Beu2
/2
2 2
对应空间域高斯低通滤波器为
A B,1 2
h(x)
2 Ae2 212x2 1
于冲激函数 两个低通滤波器的相似之处在于两个域中的值均为正。所 以，在空间域使用带正系数的模板可以实现低通滤波 频率域低通滤波器越窄，滤除的低频成分就越多，使得图 像就越模糊；在空间域，这意味着低通滤波器就越宽，模板 就越大
一、频率域介绍
结论（高通滤波器）
空间域滤波器有正值和负值，一旦值变为负数，就再也不 会变为正数
一、频率域介绍
频率域滤波 Gu,vHu,vFu,v
H和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的第 一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘 以F的第二个元素
一般，F的元素为复数，H的元素为实数
H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换的 相位，F中实部和虚部的乘数可以抵消
频率域滤波的基本步骤
1
M 1 N 1
m, n h(x m, y n)
MN m0 n0
结论
1 h( x 0, y 0) 1 h( x, y)
MN
MN
f x, y hx, y F u,v H u,v
x, y hx, y [ (x, y)]H u,v
注意：本来经过陷波滤波器滤波后的图像的灰度平均值是为零的， 因此滤波后的图像就有负值像素存在，这里实际显示的图像是经过 重新标定后的图像
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波器
被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部 分而突出平滑过渡部分
对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
傅立叶变换是频域图像增强的基础工具；
一、频率域介绍
傅里叶变换的频率分量和图像空间特 征之间的联系：
（1）变化最慢的频率成分(u=v=0)对应 一幅图像的平均灰度级
F (0, 0)
1
M 1 N 1
f (x, y) f (x, y)
MN x0 y0
一、频率域介绍
傅里叶变换的频率分量和图像空间特 征之间的联系：
hx, y H u,v
一、频率域介绍
hx, y H u,v
上述公式表明，空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶 变换对 给出在频率域的滤波器，可以通过反傅里叶变换得到在空 间域对应的滤波器，反之亦然 滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小的滤 波器模板 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用 结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换， 然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像
一、频率域介绍
一些基本的滤波器：如何作用于图像？
陷波滤波器 低通（平滑）滤波器 高通（锐化）滤波器
一、频率域介绍
陷波滤波器
H
u, v
0
1
u M / 2,v N / 2 其它
说明：将 A (x x0, y y0) 指定为一幅图像，它
只在(x0,y0)处有为A的图像值，其它处的值全为0
一、频率域介绍
下式表明在原点处(0,0)的单位冲激情况，用 (x, y)
表示
M 1 N 1
s(x, y) (x, y) s(0,0)
x0 y0
根据上式，原点处(0,0)单位冲激的傅里叶变换
第四章 频率域图像增强
主要内容：
频率域介绍 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器 同态滤波器 傅里叶变换、性质及其实现---自学
主要内容：
频率域介绍 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器 同态滤波器
一、频率域介绍
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域 表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。
一、频率域介绍
原图
高通滤波结果
高通滤波改进结果
因为F(0,0)已被设置为0，所以几乎没有平滑的灰度级细节， 且图像较暗
在滤波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除，如图所示，
对滤波器加上一个滤波器高度一半的常数加以改进（高频加强）
一、频率域介绍
空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积表示 为f(x,y)*h(x,y)，定义为：
半径是15的理想 低通滤波,滤除 5.4%的总功率
半径是30的理想 低通滤波,滤除 3.6%的总功率
半径是80的理 想低通滤波,滤 除2%的总功率
半径是230的理想低 通滤波,滤除0.5%的 总功率，与原图接近 说明很少有边缘信息 在0.5%以上的功率 中
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
半径分别 为5，11 ，45和 68
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
（2）当从变换的原点移开时，低频对应着 图像的慢变化分量，如图像的平滑部分
（3）进一步离开原点时，较高的频率对应 图像中变化越来越快的灰度级，如边缘或 噪声等尖锐部分
a
a)受损的集成 电路图像
b b) a图像傅里 叶谱
注意频谱图中±45°方向以及垂直方向上的频谱
一、频率域介绍
频域滤波
频域滤波实际上就是将原始图象f(x,y)进行DFT变 换,得到频域的F(u,v),然后将F(u,v)与频域滤波器 H(u,v)相乘得到滤波后频谱G(u,v),即
能量分别 为90％， 95％， 99％和 99.5％
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
频率域函数H(u，v) 模糊且半径为5的 ILPF
f(x,y)由黑色背 景下5个明亮的像 素组成，明亮点 可看作冲激
对应空间域h(x,y) 中心开始的圆环周期
f(x,y)*h(x,y),在每 个冲激处复制h(x,y) 的过程，振铃现象
(x, y)
1
M 1 N 1
( x, y)e j2 (ux/M vy/N )
MN x0 y0
1 e0 1 MN MN
一、频率域介绍
假设 f (x, y) (x, y) ，根据上式计算原点处(0,0)
空间域的卷积
( x, y) * h( x, y)
滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试 验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它
一、频率域介绍
频域图像增强是指通过对图像进行傅立叶 变换，将图像从空间域变换到频域，并对 图像的频率成分进行相应处理，从而实现 图像增强的功能；
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
2
Be2
2
2 2
x2
2
频率域高斯低通滤波器
频率域高斯高通滤波器
频域滤波器越 窄，滤除的低 频部分越多， 图像越模糊。 意味着在空域 中滤波器越宽， 模板就越大(阶 数越高)
空间域高斯低通滤波器
空间域高斯高通滤波器
一、频率域介绍
结论（低通滤波器）
当H(u)有很宽的轮廓时(大的 值)，h(x)有很窄的轮廓， 反之亦然。当 接近无限时，H(u)趋于常量函数，而h(x)趋