三角形内接四边形
圆的性质和定理
【圆的平面几何性质和定理】[圆的基本性质与定理]1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形[园内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[与圆有关的比例线段]1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项2 割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等3切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项4切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
三角形公式
三角形公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
4.7三角形、四边形的内切圆和外接圆(2017年)
1. (2017 山东省潍坊市) 2017山东潍坊，10，3分）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．80°D ．85°答案：答案：C解析：由圆内接四边形的性质，得∠ADC ＝∠GBC ＝50°．又∵AO ⊥CD ，∴∠DAE ＝40°．延长AE 交⊙O 于点F ．由垂径定理，得DF(︵)DF ︵＝CF(︵)CF ︵，∴∠DBC ＝2∠DAF ＝80°． 点拨：本题着重考査了圆内接四边形的性质、垂径定理，属于常考问题．20171012114441078049 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 选择题 基础知识 2017-10-122. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为A B ． C D ．1答案： 答案：A ，解析：如图，由“正方形的外接圆半径为2”可得OB ＝2，∠OBC ＝45°，由切线性质可得∠OCB ＝90°，所以△OBC 为等腰直角三角形，所以OC OB20171012102115437192 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 选择题 基础知识 2017-10-123. (2017 青海省西宁市) 】．（2分）（2017•西宁, 17, 2分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在BC 的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE= 60° ．答案：】． 60° ．考点M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理．分析先根据圆周角定理求出∠A 的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．解答解：∵∠BOD=120°，∴∠A=∠BOD=60°．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE=∠A=60°．故答案为：60°．点评本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．20171012095015578152 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 填空题 基础知识 2017-10-124. (2017 湖北省武汉市) 已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（ ）A B ．32C ．D ．答案：答案C考点：三角形的内切圆.20171012075304156060 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆选择题基础知识2017-10-125. (2017 浙江省台州市) 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C 重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．答案：考点MA：三角形的外接圆与外心；KW：等腰直角三角形．分析（1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，推出PC=PM，PB=PN，可得PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4；解答（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠AEP=∠ABP=45°，∵PE是直径，∴∠PAB=90°，∴∠APE=∠AEP=45°，∴AP=AE，∴△PAE是等腰直角三角形．（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM=AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC=PM，PB=PN，∴PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4．20170919152038328358 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆复合题基础知识2017-9-196. (2017 山东省泰安市) 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°答案：考点MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．分析由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．解答解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；故选：A．20170919105538625551 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆选择题基础知识2017-9-197. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为A B ． C D ．1答案：答案：A解析：如图，由“正方形的外接圆半径为2”可得OB ＝2，∠OBC ＝45°，由切线性质可得∠OCB＝90°，所以△OBC 为等腰直角三角形，所以OC ＝2OB20170919095454093208 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 选择题 基础知识 2017-9-198. (2017 山东省临沂市) 如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC V 外接圆的半径.答案：答案解析试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE ，∠BAE=∠CAD ，得出BD CD =，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD ，证出∠DBC=∠BAE ，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB ，即可得出DE=DB ；（2）由（1）得：BD CD =，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC 是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出，即可得出△ABC 外接圆的半径．试题解析：（1）AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，,BAD CAD ABE CBE ∴∠=∠∠=∠，又BED ABE BAD ∠=∠+∠，DBE DBC CBE ∠=∠+∠，DBC DAC ∠=∠,BED DBE ∴∠=∠.DE DB ∴=.（2）解：连接CD ，90BAC ∠=，BC ∴是圆的直径.90BDC ∴∠=，90BDC ∴∠=.BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=，BD CD ∴=，BCD ∴∆是等腰直角三角形.4BD =，BC ∴=.ABC ∴∆的外接圆的半径为考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理20170919093447656824 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 复合题 基础知识 2017-9-199. (2017 江苏省无锡市) 如图，已知等边△ABC ，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC 的外心O ；（2）设D 是AB 边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI ，使点F ，点H 分别在边BC 和AC 上．答案：答案（1）作图见解析；（2）作图见解析.试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．20170918164609437139 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 画(作)图题 基础知识 2017-9-1810. (2017 江苏省扬州市) 如图，已知⊙O 是C ∆AB 的外接圆，连接AO ，若40∠B =，则C ∠OA = ．答案：50°；20170918162028765344 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 填空题 基础知识 2017-9-1811. (2017 江苏省淮安市) 如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4：3：5，则∠D 的度数是 °．答案：答案120°．考点：圆内接四边形的性质．20170918153230921890 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆填空题基础知识2017-9-1812. (2017 湖南省永州市) 小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( )A．AB，AC边上的中线的交点B．AB，AC边上的垂直平分线的交点C．AB，AC边上的高所在直线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点答案：答案B解析考点：三角形的外心20170918135143796272 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 选择题 双基简单应用 2017-9-1813. (2017 湖北省咸宁市) 如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OD OB ,,若BCD BOD ∠=∠，则⋂BD 的长为（）A ．πB ．π23 C. π2 D ．π3答案：答案C ．考点：弧长的计算；圆内接四边形的性质．20170915084159671084 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 选择题 双基简单应用 2017-9-1514. (2017 湖北省荆州市) 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且四边形OABC 是菱形．若点D 是圆上异于A 、B 、C 的另一点，则∠ADC 的度数是 ．答案：60°或120°．考点M6：圆内接四边形的性质；L8：菱形的性质；M5：圆周角定理．分析连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，据此可得出结论．解答解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．故答案为：60°或120°．20170914155343250974 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆填空题数学思考2017-9-1415. (2017 湖北省黄石市) 如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）A ．2 B ． C ．32D答案：答案D ．解析试题分析：连接BD ，作OE ⊥AD ，连接OD ，∵⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，∠BCD =120°，∴∠BAD =60°．∵AD =AB =2，∴△ABD 是等边三角形，∴DE =12AD =1，∠ODE =12∠ADB =30°，∴OD =cos30DE ．故选D ．考点：圆内接四边形的性质．20170914151804421649 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆 选择题 数学思考 2017-9-1416. (2017 广东省中山市) 如题9图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA=DC ，∠CBE=50°， 则∠DAC 的大小为( )A.130°B.100°C.65°D.50°答案：C20170912142840515049 4.7 三角形、四边形的内切圆和外接圆选择题双基简单应用2017-9-12。
谜材-数学名词
谜材-数学名词【数学名词】一字：边、差、长、乘、除、底、点、度、分、高、勾、股、行、和、弧环、集、加、减、积、角、解、宽、棱、列、面、秒、幂、模、球式、势、商、体、项、象、线、弦、腰、圆二字：十位、个位、几何、子集、大圆、小圆、元素、下标、下凸、下凹百位、千位、万位、分子、分母、中点、约分、加数、减数、数位通分、除数、商数、奇数、偶数、质数、合数、乘数、算式、进率因式、因数、单价、数量、约数、正数、负数、整数、分数、倒数乘方、开方、底数、指数、平方、立方、数轴、原点、同号、异号余数、除式、商式、余式、整式、系数、次数、速度、距离、时间方程、等式、左边、右边、变号、相等、解集、分式、实数、根式对数、真数、底数、首数、尾数、坐标、横轴、纵轴、函数、常显变量、截距、正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、坡度、坡比频数、频率、集合、数集、点集、空集、原象、交集、并集、差映射、对角、数列、等式、基数、正角、负角、零角、弧度、密位函数、端点、全集、补集、值域、周期、相位、初相、首项、通项公比、公差、复数、虚数、实数、实部、虚部、实轴、虚轴、向量辐角、排列、组合、通项、概率、直线、公理、定义、概念、射线线段、顶点、始边、终边、圆角、平角、锐角、纯角、直角、余角补角、垂线、垂足、斜线、斜足、命题、定理、条件、题设、结论证明、内角、外角、推论、斜边、曲线、弧线、周长、对边、距离矩形、菱形、邻边、梯形、面积、比例、合比、等比、分比、垂心重心、内心、外心、旁心、射影、圆心、半径、直径、定点、定长圆弧、优弧、劣弧、等圆、等弧、弓形、相离、相切、切点、切线相交、割线、外离、外切、内切、内径、外径、中心、弧长、扇形轨迹、误差、视图、交点、椭圆、焦点、焦距、长袖、短轴、准线法线、移轴、转轴、斜率、夹角、曲线、参数、摆线、基圆、极轴极角、平面、棱柱、底面、侧面、侧棱、楔体、球缺、棱锥、斜高棱台、圆柱、圆锥、圆台、母线、球面、球体、体积、环体、环球冠、极限、导数、微分、微商、驻点、拐点、积分、切面、面角极值、三字：被减数、被乘数、被除数、假分数、代分数、质因数、小数点多位数、百分数、单名数、复名数、统计表、统计图、比例尺循环节、近似数、准确数、圆周率、百分位、十分位、千分位万分位、自然数、正整数、负整数、相反数、绝对值、正分数负分数、有理数、正方向、负方向、正因数、负因数、正约数运算律、交换律、结合律、分配律、最大数、最小数、逆运算奇次幂、偶次幂、平方表、立方表、平方数、立方数、被除式代数式、平方和、平方差、立方和、立方差、单项式、多项式二项式、三项式、常数项、一次项、二次项、同类项、填空题选择题、判断题、证明题、未知数、大于号、小于号、等于号恒等号、不等号、公分母、不等式、方程组、代入法、加减法公因式、有理式、繁分式、换元法、平方根、立方式、根指数小数点、无理数、公式法、判别式、零指数、对数式、幂指数对数表、横坐标、纵坐标、自变量、因变量、函数值、解析法解析式、列表法、图象法、指点法、截距式、正弦表、余弦表正切表、余切表、平均数、有限集、描述法、列举法、图示法真子集、欧拉图、非空集、逆映射、自反性、对称性、传递性可数集、可数势、维恩图、反函数、幂函数、角度制、弧度制密位制、定义城、函数值、开区间、闭区间、增函数、减函数单调性、奇函数、偶函数、奇偶性、五点法、公因子、对逆性比较法、综合法、分析法、最大值、最小值、递推式、归纳法复平面、纯虚数、零向量、长方体、正方体、正方形、相交线延长线、中垂线、对预角、同位角、内错角、无限极、长方形平行线、真命题、假命题、三角形、内角和、辅助线、直角边全等形、对应边、对应角、原命题、逆命解、原定理、逆定理对称点、对称轴、多边形、对角线、四边形、五边形、三角形否命题、中位线、相似形、比例尺、内分点、外分点、平面图同心圆、内切圆、外接圆、弦心距、圆心角、圆周角、弓形角内对角、连心线、公切线、公共弦、中心角、圆周长、圆面积反证法、主视图、俯视图、二视图、三视图、虚实线、左视图离心率、双曲线、渐近线、抛物线、倾斜角、点斜式、斜截式两点式、一般式、参变数、渐开线、旋轮线、极坐标、公垂线斜线段、半平面、二面角、斜棱柱、直棱柱、正梭柱、直观图正棱锥、上底面、下底面、多面体、旋转体、旋转面、旋转轴拟柱体、圆柱面、圆锥面、多面角、变化率、左极限、右极限隐函数、显函数、导函数、左导教、右导数、极大值、极小值极大点、极小点、极值点、原函数、积分号、被积式、定积分无穷小、无穷大、连分数、近似数、弦切角四字：混合运算、乘法口诀、循环小数、无限小数、有限小数、简易方程四舍五人、单位长度、加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则数量关系、升幂排列、降幂排列、分解因式、完全平方、完全立方同解方程、连续整数、连续奇数、连续偶数、同题原理、最简方程最简分式、字母系数、公式变形、公式方程、整式方程、二次方根三次方根、被开方数、平方根表、立方根表、二次根式、几次方根求根公式、韦达定理、高次方程、分式方程、有理方程、无理方程分数指数、同次根式、异次根式、最简根式、同类根式、常用对数换底公式、反对数表、坐标平面、坐标原点、比例系数、一次函数二次函数、三角函数、正弦定理、余弦定理、样本方差、集合相交等价集合、可数集合、对应法则、指数函数、对数函数、自然对数指数方程、对数方程、单值对应、单调区间、单调函数、诱导公式周期函数、周期交换、振幅变换、相位变换、正弦曲线、余弦曲线正切曲线、余切曲线、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积三角方程、线性方程、主对角线、副对角钱、零多项式、余数定理因式定理、通项公式、有穷数列、无穷数列、等比数列、总和符号特殊数列、不定方程、系数矩阵、增广炬阵、初等变换、虚数单位共轭复数、共轭虚数、辐角主值、三角形式、代数形式、加法原理乘法原理、几何图形、平面图形、等量代换、度量单位、角平分线互为余角、互为补角、同旁内角、平行公理、性质定理、判定定理斜三角形、对应顶点、尺规作图、基本作图、互逆命题、互逆定理凸多边形、平行线段、逆否命题、对称中心、等腰梯形、等分线段比例线段、勾股定理、黑金分割、比例外项、比例内项、比例中项比例定理、相似系数、位似图形、位似中心、内公切线、外公切线正多边形、扇形面积、互否命题、互逆命题、等价命题、尺寸注法标准方程、平移公式、旋转公式、有向线段、定比分点、有向直线经验公式、有心曲线、无心曲线、参数方程、普通方程、极坐标系等速螺线、异面直线、直二面角、凸多面体、祖恒原理、体积单位球面距离、凸多面角、直三角面、正多面体、欧拉定理、连续函数复合函数、中间变量、瞬间速度、瞬时功率、二阶导数、近似计算辅助函数、不定积分、被积函数、积分变量、积分常数、凑微分法相对误差、绝对误差、带余除法、微分方程、初等变换、立体几何平面几何、解析几何、初等函数、等差数列五字：四舍五入法、纯循环小数、一次二项式、二次三项式、最大公约数最小公倍数、代入消元法、加减消元法、平方差公式、立方差公式立方和公式、提公因式法、分组分解法、十字相乘法、最简公分母算数平方根、完全平方数、几次算数根、因式分解法、双二次方负整数指数、科学记数法、有序实数对、两点间距离、解析表达式正比例函数、反比例函数、三角函数表、样本标准差、样本分布表总体平均数、样本平均数、集合不相交、基本恒等式、最小正周期两角和公式、两角差公式、反三角函数、反正弦函数、反余弦函数反正切函数、反余切函数、第一象限角、第二象限角、第三象限角第四象限角、线性方程组、二阶行列式、三阶行列式、四阶行列式对角钱法则、系数行列式、代数余子式、降阶展开法、绝对不等式条件不等式、矛盾不等式、克莱姆法则、算术平均数、几何平均数一元多项武、乘法单调性、加法单调性、最小正周期、零次多项式待定系数法、辗转相除法、二项式定法、二项展开式、二项式系数数学归纳法、同解不等式、垂直平分线、互为邻补角、等腰三角形等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、全等三角形边角边公理、角边角公理、边边边定理、轴对称图形、第四比例项外角平分线、相似多边形、内接四边形、相似三角形、内接三角形内接多边形、内接五边形、外切三角形、外切多边形、共轭双曲斜二测画法、三垂线定理、平行六面体、直接积分法、换元积分法第二积分法、分部积分法、混循环小数、第一积分法、同类二次根六字：一元一次方程、一元二次方程、完全平方公式、最简二次根式直接开平方法、半开半闭区间、万能置换公式、绝对值不等式实系数多项式、复系数多项式、整系数多项式、不等边三角形中心对称图形、基本初等函数、基本积分公式、分部积分公式二元一次方程、三元一次方程七字：一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次方程组三元一次方程组、二元二次方程组、平面直角坐标系等腰直角三角形、二元一次不等式、二元线性方程组三元线性方程组、四元线性方程组、多项式恒等定律八字及以上：一元一次不等式组、三元一次不定方程、三元齐次线性方程组。
专题73 四边形中的新定义问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝3．解：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图所示，∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2，∴BD2＝（2）2+52＝45，∵BD＞0，∴BD＝3，故答案为：3．变式训练【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2，则菱形ACEF的面积为12．解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥CF，∴∠ADC＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，∵∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，∴∠BGD＝30°+60°＝90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴BG＝DG＝，∴AC＝2，∴AD＝2，∴，∴菱形ACEF的面积为：3＝＝故答案为：12．【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∴3x+x＝180，∴x＝45°．∴∠B＝2x＝90°．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°，∴∠D＝90°．故答案为：90；②连接AC，如图，∵∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°．∴∠D＝90°．∴AD2+CD2＝AC2．∴AB2+BC2＝AD2+CD2，∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，∵AB＝CB，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C．∵∠DEB+∠BEC＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或．解：∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′＝CC′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，①如图1，当CC′＝BC时，BB′＝CC′＝BC＝1；②如图1，当AC′＝AB＝2时，∵∠ABC＝90°，BB′是∠ABC的角平分线，∴∠B′BA＝45°，延长C′B′交AB于H，∵A′B′∥AB，∠A′B′C′＝90°，∴∠AHC′＝∠A′B′C′＝90°，∴∠BHB′＝90°，设BH＝B′H＝x，∴BB′＝x，AH＝2﹣x，C′H＝1+x，∵AC′2＝AH2+C′H2，∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2，整理方程为：2x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣8＝﹣4＜0，∴此方程无实数根，故这种情况不存在；③如图2，当AC′＝C′C时，则AC′＝BB′，延长C′B′交AB于H，∵A′B′∥AB，∠A′B′C′＝90°，∴∠AHC′＝∠A′B′C′＝90°，∴∠BHB′＝90°，设BH＝B′H＝x，∴BB′＝AC′＝x，AH＝2﹣x，C′H＝1+x，∵AC′2＝AH2+C′H2，∴（x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2，解得：x＝，∴BB′＝，综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或，故答案为：1或．变式训练【变2-1】．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于2；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长a n＝．（n为正整数）解：（1）四边形CDEF是正方形，∴EF＝FC，EF∥FC，∴△BFE∽△BCA，∴＝，∴＝，∴a1＝2，故答案是：2；（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，∴IH＝ID，IH∥AD，∴△EIH∽△EDA，∴＝，∴＝，∴a2＝，如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，第4的个正方形的边长为：＝，…第n个内接正方形的边长a n＝，故答案为：＝．【变2-2】．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，设BE＝x，则AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的长是8；②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，∵四边形ABCD∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴＝＝＝，即＝，∴GH＝，CH＝，∴BH＝BC+CH＝10+＝，∴BG＝＝＝2，∴△BCM周长的最小值为2+10．1．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：①2x2+x+1＝0不是（填“是”或“不是”）；②3x2+5x+4＝0是（填“是”或“不是”）（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．（1）解：2x2+x+1＝0不是“勾系一元二次方程”，理由：∵c＝，∴c＝，∵a＝2，b＝1，∴a2+b2≠c2，∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，且c为斜边的长，∴2x2+x+1＝0不是“勾系一元二次方程”，3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，理由：∵c＝5，∴c＝5，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，∴3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，故答案为：不是，是；（2）证明：∵ax2+cx+b＝0是“勾系一元二次方程“，∴a、b、c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，∴c2＝a2+b2，∵Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．（3）解：∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，∴a﹣c+b＝0，∴a+b＝c，∵四边形ACDE的周长是12，∴2（a+b）+c＝12，∴2c+c＝12，∴c＝2，∴a+b＝×2＝4，∴（a+b）2＝16，∴a2+2ab+b2＝16，∵a2+b2＝c2＝（2）2＝8，∴2ab+8＝16，∴ab＝4，＝ab＝×4＝2．∴S△ABC∴△ABC面积是2．2．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，∵∠CBE＝60°，∴EC＝BC＝BE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC ＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ADC＝135°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD＝45°，∴CH＝DH，∵AB2＝AH2+BH2，∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，∴DH＝6（负值舍去），∴CD＝6．4．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF ＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．5．给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD 的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．（1）解：由图形可知∠E＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴它的“邻余线”是AB；（2）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（3）解：如图，连接DE并延长到G，使EG＝DE，连接BG，CG，在△AED和△BEG中，，∴△AED≌△BEG（SAS），∴∠A＝∠ABG，BG＝AD＝4，∵四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABG+∠ABC＝∠GBC＝90°，在Rt△GBC中，GC＝，∵EG＝DE，AE＝BE，∴EF＝＝．6．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC 为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹（找出2个即可）（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC＝，求AD•AB的值．（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为：缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．解：（1）如图1所示，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴或，∴或，∴CD＝2.5或CD＝10，同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求；（2）①是，理由：∵∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠D+∠DCA＝180°﹣∠DAC＝135°，又∵∠DCB＝135°＝∠DCA+∠ACB，∴∠D＝∠ACB，∴△DAC∽△CAB，∴AC是四边形ABCD的“相似对角线”；②∵△DAC∽△CAB，∴，∴AD•AB＝AC2，∵AC＝，∴AD•AB＝10；（3）①由（2）可知△ADC为等腰直角三角形，AC＝，∴AD＝CD＝，∵△AEF∽△ADC，且相似比为：，∴AE＝EF＝，AF＝2，如图，延长CE交AF于点H，由题意可得：EH⊥AF于H，∴AH＝AF＝1，∴CH＝，∴CE＝CH﹣EH＝3﹣1＝2，∵∠CAD＝∠EAF＝45°，∴∠CAE＝∠BAF，，∵，∴△EAC∽△FAB，∴即，∴FB＝；②如图，设AF与EC交于点G，∵AF⊥CE，∴△AGE为等腰直角三角形，∵EA＝，∴AG＝EG＝1，在Rt△AGC中，CG＝，∴EC＝4，同理可证△EAC∽△FAB，∴即，∴FB＝4，综上，FB＝2或FB＝4．7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理得：42+（3+x ）2＝（4+x ）2，解得：x ＝4.5，过点D ′作D ′F ⊥CE 于F ，∴D ′F ∥AC ，∴△ED ′F ∽△EAC ，∴＝，即＝，解得：D ′F ＝，∴S △ACE ＝AC ×EC ＝×4×（3+4.5）＝15；S △BED ′＝BE ×D ′F ＝×4.5×＝，则S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′＝15﹣＝10；（ii ）当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得：AE ＝＝，∴S △AED ′＝AE ×ED ′＝××3＝，S 矩形ECBD ′＝CE ×CB ＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′＝+12﹣3＝12﹣．8．定义：长宽比为：1（n 为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．可以证明四边形BCEF为矩形．（Ⅰ）在图①中，的值为；（Ⅱ）已知四边形BCEF为矩形，仿照上述操作，得到四边形BCMN，如图②，可以证明四边形BCMN为矩形，则n的值是3．（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝＝，由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形，∴∠A＝∠BFE，∴EF∥AD，∴＝，即：＝，∴BF＝，∴BC：BF＝1：＝：1，∴四边形BCEF为矩形；（2）解：（Ⅰ）在Rt△BFG中，由勾股定理得：FG＝＝＝＝，∴＝＝；（Ⅱ）∵BC＝1，EC＝BF＝，∴BE＝＝＝＝，由折叠可得BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，∠EMN＝∠CMN＝90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F＝∠FEC＝∠C＝∠FBC＝90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM＝∠F＝90°，∴MN∥EF，∴＝，即BP•BF＝BE•BN，∴1×＝BN，∴BN＝，∴BC：BN＝1：＝：1，∴四边形BCMN是的矩形，∴n＝3．故答案为：；3．9．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝55度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．（1）解：∵四边形ABCD为等邻角四边形，∠A＝130°，∠B＝120°，∴∠C＝∠D，∴∠D＝55°，故答案为：55；（2）①证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠ABD，∴四边形ABDE为等邻角四边形；②解：△BDC是等边三角形，理由如下：∵∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∠DBC＝180°﹣2∠C，∵∠A+∠E+∠ABD+∠BDE＝360°，∴∠A+∠E＝360°﹣2∠ABD，∵∠A+∠C+∠E＝300°，∴300°﹣∠C＝360°﹣2（180°﹣2∠C），∴∠C＝60°，又∵BD＝BC，∴△BDC是等边三角形；（3）解：PM+PN＝CE，理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，连接HP，∵∠B＝∠BCD，∴HB＝HC，＝S△BPH+S△CPH，∵S△BCH∴×BH×CE＝×BH×PM+×CH×PN，∴CE＝PM+PN；（4）解：如图，延长AD，BC交于点H，过点B作BG⊥AH于G，∵ED⊥AD，EC⊥CB，M、N分别为AE、BE的中点，∴AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，∵AB2＝BG2+AG2，BD2＝BG2+DG2，∴52﹣（3+DG）2＝37﹣DG2，∴DG＝1，∴BG＝＝6，由（3）可得DE+EC＝BG＝6，∴△DEM与△CEN的周长之和＝ME+DM+DE+EC+EN+CN＝AE+BE+BG＝AB+BG＝（6+2）dm．10．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四边形”．概念理解：（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB＝6，CD＝8，求AD的长．性质探究：（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．问题解决：（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．解：（1）∵等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，∴AD＝BC，AC⊥BD，∴AB2＝OB2+OA2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，∴AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，∴垂美四边形两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系是AB2+CD2＝BC2+AD2；∵AB＝6，CD＝8，∴2AD2＝62+82，∴AD＝5；（2）由（1）证明可得：垂美四边形两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系是AB2+CD2＝BC2+AD2；（3）连接BE，CG，CE，∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE，∠BAC+∠CAG＝∠GAB，∴∠CAE＝∠GAB，∵AC＝AG，AB＝AE，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴△ABG可视为△AEC绕点A逆时针旋转90°后得到的，由旋转的性质知：BG⊥CE，∴四边形BCGE为垂美四边形，∴由（2）知：CG2+BE2＝BC2+EG2，又∵AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，CG＝3，BE＝5，∴（3）2+（5）2＝42+GE2，∴GE＝2，又∵△OGE为直角三角形，OH为其斜边上的中线，∴OH＝，11．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．特例感知：（1）如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果，OB＝2，∠OBC＝60°，则AD2+BC2＝，AB2+CD2＝．猜想论证（2）如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．拓展应用：（3）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE长．（4）如图3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．解：（1）∵OA＝OD＝OB，OB＝2，∴OA＝OD＝，∵四边形ABCD是“垂美四边形”，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∵∠OBC＝60°，∴∠BCO＝30°，∴BC＝4，OC＝2，∴AD2+BC2＝OA2+OD2+BC2＝（）2×2+42＝，AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝，故答案为：，；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：∵四边形ABCD是“垂美四边形”，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2；（3）连接CG，BE，设BG与AC的交点为O，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AE＝AB，∠GAC＝∠EAB，∴∠GAB＝∠CAE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠GAB＝∠ACE，∵∠AOG＝∠BOC，∴BG⊥CE，∴四边形BCGE是“垂美四边形”，由（2）知，BC2+GE2＝CG2+BE2，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴∠CBA＝30°，∴AB＝2AC＝8，BC＝4，∴CG＝4，BE＝8，∴（4）2+GE2＝（4）2+（8）2，解得EG＝4；（4）如图，连接AD，设AC与BD的交点为H，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，OC＝，∴∠BOD＝∠AOC，BO＝OA，DO＝OC＝3，AB＝2AO，CD＝2CO＝2，∵OA＝OD＝3，∴AB＝6，∵∠BOC＝120°，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝DO＝3，∵＝，∠BOD＝∠AOC，∴△BOD∽△AOC，∴∠DBO＝∠CAO，∵∠ABD+∠DBO+∠BAO＝90°，∴∠ABD+∠BAO+∠CAO＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“垂美四边形”，由（2）可知：AB2+CD2＝AD2+BC2，∴36+12＝9+BC2，∴BC＝．12．点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：点A与点D或点A与点C，它们的“限斜系数”为2或；（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．解：（1）由定义可知x1≠x2，y1≠y2，∴B、C、D三点不能是“限斜点”，A、B不能是“限斜点”，对于点A（1，0）和点C（2，﹣2），|﹣2﹣0|＝2|2﹣1|，∴A与C是“限斜点”，“限斜系数”为2；对于点A（1，0）和点D（2，），|﹣0|＝|2﹣1|，∴A与D是“限斜点”，“限斜系数”为；故答案为：点A与点D或点A与点C；2或；（2）设E（x，y），∵点E，A是一对“限斜点”，“限斜系数”为1，∴|y|＝|x﹣1|，∵点E，B一对“限斜点”，“限斜系数”为1，∴|y|＝|x﹣2|，∴|x﹣1|＝|x﹣2|，解得x＝，∴y＝±，∴E（，）或（，﹣）；（3）∵C（2，﹣2），∴点C在直线y＝﹣x上，当T点在直线y＝﹣x上时，k（T，C）＝1，∵所有点T都满足k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝﹣x的上方，∵M（0，m），FG＝2，∴F（﹣1，m﹣1），当F点在直线y＝﹣x上时，m﹣1＝1，解得m＝2，∴m≥2时，对任意的T都有k（T，C）≥1；过点C作直线y＝﹣x的垂线，则垂线解析式为y＝x﹣4，当T点在直线y＝x﹣4上时，k（T，C）＝1，∵所有点T都满足k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝x﹣4的下方，∵M（0，m），FG＝2，∴E（﹣1，m+1），当E点在直线y＝x﹣4上时，﹣1﹣4＝m+1，解得m＝﹣6，∴m≤﹣6时，对任意的T都有k（T，C）≥1；综上所述：m≥2或m≤﹣6时，对任意的T都有k（T，C）≥1．13．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是D．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD 的两条结论：①AC＝BD；②AC⊥BD．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D；性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD；理由如下：如图1，∵四边形ABCD是“中方四边形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴∠FEH＝90°，EF＝EH，EH∥BD，EH＝BD，EF∥AC，EF＝AC，∴AC⊥BD，AC＝BD，故答案为：AC⊥BD，AC＝BD；问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，∴MN∥BG，MN＝BG，RL∥BG，RL＝BG，RN∥CE，RN＝CE，ML∥CE，ML ＝CE，∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML∥CE，RN＝ML，∴四边形MNRL是平行四边形，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°，又∵∠BAC＝∠BAC，∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG，又∵RL＝BG，RN＝CE，∴RL＝RN，∴▱MNRL是菱形，∵∠EAB＝90°，∴∠AEP+∠APE＝90°．又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，∴∠ABG+∠BPK＝90°，∴∠BKP＝90°，又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN＝90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：（1）MN＝AC，理由如下：如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，∴四边形ENFM是正方形，∴FM＝FN，∠MFN＝90°，∴MN＝＝＝FM，∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM＝AC，∴MN＝AC；（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，＝2MN，∴2（OM+ON）最小由性质探究②知：AC⊥BD，又∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB＝2OM，CD＝2ON，∴2（OM+ON）＝AB+CD，＝2MN，∴（AB+CD）最小由拓展应用（1）知：MN＝AC；又∵AC＝2，∴MN＝，＝2．∴（AB+CD）最小14．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M、N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点F在CE上运动（点F可以与C，E重合），连接OF，DF．①线段OF的最小值为，最大值为；线段DF的取值范围是DF≤2．②在点O，D中，点O与线段CE满足限距关系．（2）如图2，正方形ABMN的边长为2，直线PQ分别与x轴，y轴交于点Q，P，且与x轴正方向的夹角始终是30°，若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系，求点P的纵坐标a（a＞0）的取值范围；（3）如图3，正方形ABMN的顶点均在坐标轴上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形边上两点，分别以G，H为中心作边长为1的正方形，与正方形ABMN的四边分别平行．若对于任意的点G，H，以G，H为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围．解：（1）①如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），∴OC＝1，OD＝1，OE＝，∴CE＝2，当OF⊥CE时，OC•OE＝EC•OF，∴OF＝，此时OF的值最小；当F点与E点重合时，OF的值最大，最大值为，当DF⊥CE时，DF的值最小，∴DC•OE＝EC•DF，∴DF＝，当点F与点C或点E重合时，DF有最大值，∴DE＝CD＝2，∴FD的最大值为2，∴≤DF≤2，故答案为：，，≤DF≤2；②线段CE上存在点M、N，满足OM最小值为，ON最大值为，则OM＝2ON，∴点O与线段CE满足限距关系；∵≤DF≤2，∴线段CE上不存在两点与点满足限距关系；故答案为：O；（2）∵P（0，a），∠PQO＝30°，∴OP＝a，PQ＝2a，∴OQ＝a，∵正方形的边长为2，∴OA＝OB＝2，当a＝2时，a＝，此时点Q与点B重合，①如图2，当0＜a＜时，线段PQ在正方形内部，此时PQ与正方形无公共点，过点Q作QE⊥AB交于E，过点Q作QF⊥QE交AN于点F，∴QE＝，∴QE＝1﹣a，∴正方形上到线段PQ的最短距离为1﹣a，∵NF＝，∴NF＝1+a，∴正方形上到线段PQ的最大距离为1+a，∵线段PQ与正方形满足限距关系，∴1+a≥2（1﹣a），解得a≥，∴≤a＜；②如图3，当≤a≤时，线段PQ与正方形有公共点，线段PQ与正方形满足限距关系；③如图4，当a＞时，线段PQ在正方形的外部，与正方形无公共点，过点A作AC⊥PQ交于C，过点M作MD⊥PQ交于D，∵∠OPQ＝60°，∴∠PAC＝30°，∠PMD＝30°，∴CP＝AP，PD＝PM，∴正方形到线段PQ的最小距离为AC＝＝（a﹣），正方形到线段PQ的最大距离为MP＝a+，∵线段PQ与正方形满足限距关系，∴a+≥2×（a﹣），解得a≤2+，∴＜a≤2+；综上所述：≤a≤2+；（3）如图5，当中心H、G分别与B、N重合时，∵A（0，b），∴OA＝OB＝ON＝b，∵小正方形的边长为1，∴CD＝PQ＝，∴两个正方形的距离的最小值为BN﹣BD﹣PN＝2b﹣，最大距离为BN+BC+NQ＝2b+，∵两个正方形满足限距关系，∴2b+≥2（2b﹣），解得b≤，∴0＜b≤．15．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝＝．由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A＝∠BFE．∴EF∥AD．∴＝，即＝．∴BF＝．∴BC：BF＝1：＝：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH、DG，tan∠HBC的值是﹣1；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是6．解：（1）由折叠可得：DG＝HG，GH＝CH，∴DG＝GH＝CH．设HC＝x，则DG＝GH＝x．∵∠DGH＝90°，∴DH＝x，∴DC＝DH+CH＝x+x＝1，解得x＝．∴tan∠HBC＝＝＝．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC＝1，EC＝BF＝，∴BE＝＝．由折叠可得BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，∠EMN＝∠CMN＝90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F＝∠FEC＝∠C＝∠FBC＝90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM＝∠F＝90°，∴MN∥EF，∴＝，即BP•BF＝BE•BN，∴1×＝BN，∴BN＝，∴BC：BN＝1：＝：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（21次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．16．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G 处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝2．证明：（1）设正方形ABEF的边长为a，∵AE是正方形ABEF的对角线，∴∠DAG＝45°，由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，则四边形ABCD为矩形，∴△ADG是等腰直角三角形．∴AD＝DG＝，∴AB：AD＝a：＝：1．∴四边形ABCD为矩形；（2）①解：如图b，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，∴四边形BQOP是矩形．∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．∴，．∵O为AC中点，∴OP＝BC，OQ＝AB．∵∠MON＝90°，∴∠QON＝∠POM．∴Rt△QON∽Rt△POM．∴＝．∴tan∠OMN＝．②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN．则△DMN的周长最小，∵DC∥AP，∴，设AM＝AD＝a，则AB＝CD＝a．∴BP＝BM＝AB﹣AM＝（﹣1）a．∴＝＝2+，③如备用图，∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，∴BC＝AD＝2，∵BR⊥CM，∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，∴CI＝BC＝1，∴DR最小＝﹣1＝2故答案为：217．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝120°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．（1）解：∵四边形ABCD是半对角四边形，∴∠B＝∠D，∠C＝∠A．∴∠D＝2∠B，∠A＝2∠C．∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，故答案为：120；（2）证明：连接OC，如图，在△BDE和△BOE中，，∴△BDE≌△BOE（SSS）．∴∠BDF＝∠BOE．∵∠ACB＝∠BOE，∴∠ACB＝∠BDF．设∠EAF＝α，则∠AED＝3α．∵∠AED＝∠EAF+∠AFE，∴∠AFE＝∠AED﹣∠EAF＝2α，∴∠DFC＝180°﹣∠AFD＝180°﹣2α．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAF＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠EAF﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠AOC＝∠DFC．∵∠ABC＝∠AOC，∴∠ABC＝∠DFC，∴四边形BCFD是半对角四边形；（3）解：①连接OC，如图，四边形BCFD是半对角四边形，且∠ABC＝∠DFC，∠ACB＝∠BDF，由（1）的方法可求得：∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．设⊙O的半径为r，则BD＝BO＝r，BH＝r﹣2，在Rt△BDH中，∵BD2＝BH2+DH2，。
小专题11 三角形内接特殊四边形问题
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第四章 图形的相似 小专题11 三角形内接特殊四边形问题 ——教材P122复习题T21的变式与应用
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【教材母题】 (教材 P122 复习题 T21)一块直角三角形木板的面积为 1.5 m2，一条直角边 AB 为 1.5 m，怎样才能把它加工成一个无拼接的 面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你 用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算 结果中的分数可保留)．
则1x20＝808－02x， 解得 x＝30，∴2x＝60. ∴长为 60 mm，宽为 30 mm.
②PN 为宽，PQ 为长，
则122x0＝808－0 x， 解得 x＝2470，∴2x＝4780. ∴长为4780 mm，宽为2740 mm. 答：矩形的长为 60 mm，宽为 30 mm 或长为4870mm，宽为2470mm.
设甲设计的桌面边长为 x m， ∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠C，∠BED＝∠A. ∴△BDE∽△BCA. ∴BBHP＝ADCE，即1.12.－2 x＝2x.5，解得 x＝3370. 在图乙中，设正方形的边长为 y m， ∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∠CED＝∠A. ∴△CDE∽△CBA. ∴CCDB＝AEDB，即2－2 y＝1y.5，解得 y＝3305. ∵y＞x，∴图乙中的正方形面积较大． ∴乙木匠的方法符合要求．
解：由 AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，可得 BC＝2 m，在图甲中，过点 B 作 Rt△ ABC 斜边 AC 上的高，BH 交 DE 于点 P，交 AC 于点 H.由 AB＝1.5 m，BC＝2 m，得 AC＝ AB2＋BC2＝2.5(m)， 由 AC·BH＝AB·BC 可得 BH＝ABA·CBC＝1.2(m)．
几个常见几何图形内接正方形的作图方法及其应用
几个常见几何图形内接正方形的作图方法及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！几何是中学数学课程里的传统主要内容之一，不仅仅是因为它对培养人的逻辑思维能力、推理论证能力具有重要教育价值，更是在现代科技中也有重要的地位，因此学习几何和几何教育受到了全世界的广泛关注，然而几何的教育在我国的中学生身上总存在很多困难，畏惧几何。
由于数学向来有着枯燥乏味的坏名声，它的高度抽象和概括性，严谨的逻辑思维让一部分人在小学就开始觉得它晦涩难懂，在中学的几何更是严格的逻辑要求使学生觉得学习几何太难太抽象了。
现在的学生缺乏学习的主动钻研和创新精神，动手能力差，都习惯与一步一步的跟着老师的套路学习，不会画图、不会看图，同时书上的图形没有进行研究和利用，反而成了学习的障碍，不善于与周围的实际生活联想，解决问题的意识淡薄，还停留在只会做现成题的水平，思维和眼界狭隘。
本为主要通过对一些中学里常见的几何图形的内接正方形的作图方法及其应用的整理和研究，从而使之成为几何学习有趣的一个例子，在学习几何不仅仅是书本上的东西，每个有兴趣的同学可以通过自己的看法和想法去研究相关的东西，这与我们想要的创新有着密切的联系，达到激发更多的人喜爱和研究几何这门学科，希望给读者以启发。
1几何学的起源及其发展几何是数学的一门分科，在古代埃及为兴建尼罗河水利工程，曾经进行过测地工作，使它逐渐发展成为几何学。
公元前约三百年，，古希腊数学家欧几里德把前人生产实践中长期积累的几何学的研究加以整理总结为演绎体系，写成了《几何原本》。
我国对几何学的研究也有悠久的历史。
早在上古时期，我国劳动人民就已利用规矩来制作方圆。
秦汉五百年成书的《周髀算经》和《九章算术》中，对图形面积的计算已有记载，刘徽、祖冲之、王孝通等对几何学都有重大贡献。
十七世纪欧洲工业迅速发展起来，以前所用的几何方法不能满足实际需要，这就使笛卡尔利用代数方法研究几何问题，建立了解析几何。
三角形内接正方形(专题)
三角形内接正方形一、概念三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形一定有两个顶点在同一条边上,即正方形一定有一条边落在三角形的边上.二、个数分情况讨论:1.在锐角三角形中:(1)如果三角形为等边三角形,则它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,根据对称性可知,都是在同一位置).(2)如果三角形为等腰三角形(底与腰不等),则它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角形底边上;另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是相同的);(3)如果三角形为不等边三角形(三边两两不等),则它的内接正方形有3个.2.在直角三角形中:内接正方形有2个:一个是正方形的边落在斜边上;另一个是正方形的边落在直角边上.3.在钝角三角形中:内接正方形只有1个:即正方形一条边落在斜边上.三、画法1.计算法通过计算，求出三角形内接正方形的边长a，然后在某一边上作三角形的高h，在h上截取一段长度为a 的线段，记下截点，通过截点作这边上的平行线，交另两边于两点，最后通过这两点作h的平行线即可. 2.尺规法利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出一个正方形便可作出三角形内接最大正方形.方法一：先作个小正方形，再利用位似作出所求的内接正方形。
方法二：1)以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX； 2)连接AX.BY与BC交于E,F.3)分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G. 4)连结DG四边形EFGD便是所求图形由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不可以做位似中心呢？答案是肯定的。
一共是四种做法。
四、教材衔接1.如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=27cm，高AD=21cm，求内接正方形EFGH的面积．解：设正方形EFGH的边长为x，设AD与GH的交点为I，∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=GH：BC，正方形EFGH的边长为xcm．∵BC=27，AD=21，∴（21-x）：21=x：27，即可求解．点评：本题主要考查正方形的面积、相似三角形的判定与性质，关键在于通过求证△AHG∽△ABC，推出正方形的边长．2. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长．解：GF=EF-EG=9-6=3，设PQ=x，∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP．又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ．∴ FGKP=GKPQ．∴ 36-x=6x．解得x=4．答：第三个正方形的边长为4厘米．点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质求解．3. 如图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积．解：如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x，∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，∴EH∥BC，EH=FG，∴△AEH∽△ABC，又∵AD⊥BC，则ID=x，AI=AD-ID，∴ EHBC= AIAD，BC=21cm，AD=14cm，∴ 2x21= 14-x14，解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=72cm2．答：矩形EFGH的面积为72cm2．点评：本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，知道相似三角形的对应高之比就等于对应边之比，即相识比．五、中考应用(几何综合题,规律型)1.2.把边长为40厘米的正方形ABCD 沿对角线AC 截成两个三角形，在两个三角形内如图所示剪下两个内接正方形M 、N ，则M 、N 的的面积的差是4009平方厘米． 解：正方形M 的面积=20cm ×20cm=400cm 2，设：正方形N 的边长为x ，则存在：x2+ 12×x2+ 12×x2+ 12× 12×x2= 40×402，解得：x2= 32009cm 2，故M 、N 的面积的差为（400- 32009）cm2= 4009cm 2，故答案为 4009cm 2．点评：本题考查了正方形，等腰三角形面积的计算方法，考查了正方形四边相等，各内角均为直角的性质，解本题的关键是正方形N 的面积的计算．3.如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG 为△ABC 的内接正方形，若设正方形的边长为x ，容易算出x 的长为 60/37．探究与计算：（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/49；（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/61；（3）如图4，若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．解：（1） 6049；（2分） （2） 6061；（2分）（3）若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，正方形的边长是 6025+12n ． 证明，如图，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，交GF 于点M ，设小正方形的边长为x ，∵四边形GDEF 为矩形，∴GF ∥AB ，CM ⊥GF ，易算出CN= 125，∴ CMCN=GFAB ，即 125-x125=nx5， ∴x= 6025+12n ．即小正方形的边长是 6025+12n ．（4分）点评：主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键． 4. （2009•湘西州）如图，等腰直角△ABC 腰长为a ，现分别按图1，图2方式在△ABC 内内接一个正方形ADFE 和正方形PMNQ ．设△ABC 的面积为S ，正方形ADFE 的面积为S1，正方形PMNQ 的面积为S2． （1）在图1中，求AD ：AB 的值；在图2中，求AP ：AB 的值； （2）比较S1+S2与S 的大小．。
中考预测：三角形的外接圆、内切圆和圆的内接四边形
【知识要点】1．三角形的外接圆（1）过三角形三顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
三角形的外心到三顶点的距离相等。
（2）锐角三角形的外心在三角形的内部；钝角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径2cr =（c 为斜边）。
2．角形的内切圆（1）与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
（2）直角三角形内切圆半径2a b c r ++=，任意三角形内切圆半径2Sr a b c=++。
3．圆的内接四边形（1）如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
（2）定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
【例题解析】例1 如图1，ABC V 的三边长为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆⊙I 的半径为r ，⊙I 与三边切于D 、E 、F 。
求证：2Sr a b c=++。
C图1求证：（1）IE=EC ，（2）IE 2=ED ·EA 。
例3 如图3，AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，AD 于三角形的外接圆交于点D ，∠BAC=40o ，求∠BCD 及CD 的度数。
例4 如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ，求证：PD ·BC=AB ·AD 。
图2︵图3图4一、选择题1、下列命题中，正确的有 （ ）① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形 ③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、在圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：6，那么∠D=（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．120°3、如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r ，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ） A．C D ．2p4、正三角形的外接圆与它的内切圆的半径之比是（ ）A． B C ．2:1 D ．3:1 5、如图5，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=110°，则∠BCD=（ ） A ．125° B ．110° C ．55° D ．70°6、如图6，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC=60°，则∠ABC=（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．90°7、如图7，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AD 上，则∠BPC 为（ ） A ．35° B ．40° C ．45° D ．50°8、如图8，MNPQ Y 中，过点Q 、M 的圆与PQ 、MN 分别相交于点E 、F ，下列结论中正确的有（ ）。
三角形垂心定理及其性质
三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学 任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC 中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE AC ⊥于点E ，CF ⊥AB 于点F ，且BE 交CF 于点H ，连接AH 并延长交BC 于点D 。
现在我们只要证明AD ⊥BC 即可。
因为CF ⊥AB ，BE AC ⊥所以 四边形BFEC 为圆内接四边形。
四边形AFHE 为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB 得四边形AFDC 为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD ⊥BC 。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC 中，AD 、CF 、BE 分别为BC 、AB 、AC 上的高，D 、F 、E 分别为垂足，H 为三角形ABC 的垂心。
求证：H 为三角形DFE 的内心。
证明：要证H 为三角形DFE 的内心，只需证明HF 、HE 、HD 分别平分∠DFE 、∠FED 、∠EDF 。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF 四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE 所对的圆周角）由HFBD 四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD 所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF 平分∠EFD 。
同理 HE 平分∠FED ；HD 平分∠FDE 所以H 为三角形DFE 的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在ABC ∆中，若点O 满足OA OB OB OC OA OC ==，则点O 为三角形ABC 的垂心。
证明：由OA OB OA OC =得0OA BC =，所以OA BC ⊥。
同理OB AC ⊥，OC AB ⊥，则点O 为垂心。
初中高中数学定理公式大全（超全）
初中高中数学定理公式大全（超全）1 过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边定理 三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边推论 三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）即等边对等角）等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a 2+b 2=c 247 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形 48 定理定理 四边形的内角和等于360°49 四边形的外角和等于360°50 多边形内角和定理多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°51 推论推论 任意多边的外角和等于360°52 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等54 推论推论 夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形的对角线相等62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a ×b ）÷2 67 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的关于中心对称的两个图形是全等的72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称对称74 等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b ）÷2 S=L ×h 83 (1)比例的基本性质比例的基本性质比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质合比性质合比性质 如果a ／b=c ／d,那么(a ±b)／b=(c ±d)／d 85 (3)等比性质等比性质等比性质 如果a ／b=c ／d=…=m ／n(b+d+…+n ≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a ／b 86 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例 88 定理定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例比例90 定理定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）95 定理定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 定理定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
三角形的内接四边形性质与判定
三角形的内接四边形性质与判定在几何学中，内接四边形是指可以被一个三角形的三个顶点和一个边上的点包围的四边形。
本文将探讨内接四边形的性质以及如何判定一个四边形是否为三角形的内接四边形。
一、三角形的内接四边形性质1. 内心：内接四边形的对角线交点是三角形的内心。
内心是四边形的圆心，可以通过四个顶点的垂直平分线的交点求得。
2. 对角线互相垂直：内接四边形的对角线是相互垂直的。
即，连接两组对边中的任意两条边时，所得的直线是垂直的。
3. 相反边互补：内接四边形的对边上的两个内角的和等于180度。
换句话说，相对的两对内角分别互为补角。
4. 垂心：内接四边形的对角线交点同样也是四边形的垂心。
垂心是四边形的外接圆心。
二、判定一个四边形是否为三角形的内接四边形1. 判定条件一：四边形的两对相对边互补，则该四边形是一个三角形的内接四边形。
2. 判定条件二：经过四边形的四个内角的垂直平分线交于一点，则该四边形是一个三角形的内接四边形。
三、例题解析现有一个三角形ABC，其中AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，我们将通过计算判定这个四边形是否为内接四边形。
首先，我们可以求得这个三角形的内心O坐标。
利用内切圆的性质，可以得到O点坐标为(1,1)。
接下来，我们将计算四边形ABCO的对角线是否相互垂直。
通过计算AB和CO的斜率，可以发现两条直线互相垂直。
所以，条件一满足。
然后，我们需要判断四边形ABCO的对边上的两个内角是否互为补角。
通过计算得到∠ABC=90度，∠BOC=45度，∠AOB=45度，∠AOC=90度，两组内角互为补角。
所以，条件一同样满足。
综上所述，四边形ABCO是三角形ABC的内接四边形。
四、总结在几何学中，三角形的内接四边形是一个有趣而重要的概念。
通过了解内接四边形的性质和判定条件，我们可以进一步理解三角形的特性。
希望本文能够帮助读者更好地理解三角形内接四边形的性质与判定。
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。
3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。
6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。
7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。
8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。
9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。
10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。
11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。
12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。
13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。
14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。
15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。
16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。
17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。
18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。
19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。
初中数学-三角形的内切圆与圆内接四边形典型例题
C
又 O 是△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A=100°
1
说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+ ∠A；∠BOC=4∠BIC-360°．
2
例 已知，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长．
分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解．
解：由勾股定理得： BC AB 2 AC 2 3
连结 OA、OB、OC，设⊙O 的半径为 r，则：
S△ ABC
1 2
(
AB
BC
CA)r
，又
S△ ABC
1 2
AC BC ．
∴ 1 (AB BC CA)r 1 AC BC ，
2
2
∴ r AC BC 4 3 1． AB BC CA 5 3 4
答：直角三角形内切圆的半径为 1．
说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．
例 （陕西省，2001）如图，点 I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边 BC 于 D，交△ABC
的外接圆于点 E．
（1）求证：IE=BE；
（2）若 IE=4，AE=8，求 DE 的长．
平分线交 AD 于点 F.（1）若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并
且逐一写出；（2）求证： FD2 AD ED.
解 （1）有三组相似三角形： AEC 与 BED ； BDE 与 ADB ； AEC 与 ABD .
（2）∵D 是 中点，∴ BAD CAD DBC
ABF CBF,DBC CBF ABF BAD.即 DBF DFB. ∴ DB DF. DBE DAB, D D,DBE ∽ DAB. DB : DE DA : DB.
三角形内接四边形的应用
三角形的内接四边形的应用1. 认真审题,利用相似知识完成下列问题.如图,△ABC,BC=12,AN=8,AN ⊥BC,四边形DEFG 是矩形,且四边形DEFG 的各个顶点都在△ABC 上,求证:BCDE AN AM .2. 如果一个四边形的四个顶点都在一个三角形的边上,那么这个四边形我们就称为这个三角形的内接四边形,那么第1题中有没有出现△ABC 的内接四边形,如果有,请指出.3.结合第1个问题和第2个问题,我们能否总结出当出现一个三角形的内接四边形的时候,经常运用怎样的知识点加以解决.在问题1的基础上,其他条件不变,将矩形DEFG 改成正方形DEFG,求出正方形DEFG 的边长.(4分钟自主探究,3分钟小组代表到黑板上展示.)如果不是一个正方形内接与三角形的内部,而是两个正方形并排组成一个矩形,内接于三角形的内部,这时候你还能求出小正方形的边长吗?课堂达标1.一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD=1米，如图. 要利用它裁剪一个长宽比是3:2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH 和宽EF的长.2.有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图(1)；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图(2).两种情形下正方形的面积哪个大？[课后作业]1.（山西中考）如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形.若DE =2㎝,则AC 的长为（ ）A ． B. 4cm C. D.2,（福建福州中考）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EF BC； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．。
微探究：三角形内接四边形
微探究 三角形内接四边形三角形内接平行四边形或特殊平行四边形是一类典型问题．运用相似三角形的性质探讨面积关系、线段关系，可得到许多优美的结论，并生成丰富别致的问题．【例1】 如图，设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE //BC 交AC 于点E ，作DF //AC 交BC 于F ．记△ADE 、△DBF 、△ABC 的面积分别为1S 、2S 、S ，则：（1）S =221）（S S +； （2）212S S S DECF =平行四边形证明：（1）∵DE//BC ，DF/./AC ，∴△ADE ∽△ABC ，△DBF ∽△ABC. 121S S AD DB S S AB AB=+=12S S S = ∴212S S S =.（2）由（1）得2121212122DECFS S S S S S S S S ++==++∴122DECFSS S = 拓展：如图，已知四边形DEFG 为△ABC 的内接平行四边形，设△ADE 、△EFC 、△DGB 、△ABC 的面积分别为1S 、2S 、3S 、S ，则： （1））（平行四边形3212S S S S DECF +=； （2）2321）（S S S S ++=； （3）123DEFGSS S S ≤++．提示：平移△E F C 至△DGH 处，实现转化．如图：【例2】 如图，已知正方形EFGH 内接于△ABC 中，AD ⊥BC 于D ．设BC =a ，AD=h ，正方形EFGH 边长为x ． 则）（ha ah x h x a x +==+1．拓展：（1）如图①，在一锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形边长，若三角形的三边长分别为c b a 、、，且c b a >>，问正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大？（2）如图②，在ACB Rt △内作边长依次为p n m 、、（p n m >>）的三个正方形，设BC =a ，AC =b ． ①用b a 、分别表示p n m 、、；②探讨p n m 、、之间的关系．练一练：1、如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形． 已知°=90∠C ，AB =5cm ，BC=3cm ，计划用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则这种正方形不锈钢片的边长为 cm ．2、如图，在△ABC 中，BC FG DE ////，AB EH GI ////，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则△ABC 的面积为 2cm ．3、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为c b a 、、的三个正方形，则c b a 、、满足的关系式是（ ）A 、c a b +=B 、ac b =C 、222c a b += D 、c a b 22==4、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形1111D C B A ；在等腰直角三角形11B OA 中，作内接正方形2222D C B A ；在等腰直角三角形22B OA 中，作内接正方形3333D C B A ；…；依次作下去，则第n 个正方形n n n n D C B A 的边长是（ ）A 、1-31n B 、n 31 C 、131+n D 、231+n 5、 问题情境：（1）如图①，△ABC 中，DE //BC 分别交AB 、AC 于D 、E 两点，过点E作EF //AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积=1S ，△ADE 的面积=2S ．图①探究发现：（2）在（1）中，若BF =a ，FC =b ，DE 与BC 间的距离为h ．请证明：2124S S S =．拓展迁移：（3）如图②，平行四边形DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．图②6、如图，在锐角△ABC 中，BC =12，△ABC 的面积为48，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（点D 不与点A 、B 重合），且保持DE //BC ．（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）设x DE =，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．7、△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，°=90∠C ，AC =BC=2．（1）要在这张纸片中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S （如图2），则2S = ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3S ，继续操作下去…，则第10次剪取时，10S = ．（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．。
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三角形内接四边形
如图，△ABC 中，点D 为AB 上任意一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC 交BC 与点F ，在此图形中，会有哪些美妙的结论呢？
很明显，四边形DFCE 为平行四边形
记△ADE 、△DBF 、△ABC 的面积分别为1S 、2S 、3S ，四边形DFCE 的面积为4S 易知△ADE 、△DBF 、△ABC 两两相似 ∴3
12222S S BC CF BC DE ==，∴31S S BC CF =····① 3222S S BC BF =，∴32S S BC BF =···②
∴①+②得32
11S S S BC CF BF +==+ ∴得到结论一：213S S S +=
再观察一下，可知4S =3S -（1S +2S ） 由上个结论可知213S S S +=，两边平方化简可知1S +2S =3S -212S S ∴得到结论二：4S =212S S
【典型代表】
（2016年无锡地区月考）【问题情境】
（1）如图，△ABC中，DE△BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF△AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积S=，△EFC的面积S1=，△ADE的面积S2=．
【探究发现】
（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．
【拓展迁移】
（3）如图，平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面
积．
当四边形DFCE 为菱形时，且边长为m ，AC=a ，BC=b ，那么a 、b 、m 之间有什么关系呢？
易知△ADE ∽△ABC 则a m a b m -=，化简得a m b m -1=，即m
a b 111=+
别怪我没告诉你，去年无锡这题考到了哟！
2、（2015•广西河池）如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AN
AM 11+= ．
当四边形DFCE 为正方形时，边长为m ，BC 边上的高为h ，BC=a ，那么a 、h 、m 之间有什么关系呢？
易知△ADG ∽△ABC ∴AN AM BC DG =，即h
m h a m -=（初中为数不多的对应高之比等于相似比的解法） 解得h
a ah m += 再可深入一点，我们知道ah S ABC 2
1=△（后面均写成S ），∴s ah 2= 代入上方表达式得a
S a S m 22+= 眼睛尖的同学们会发现，当面积
S
保持不变时，m 随着底边a 的变化而变化 当S 为定值时，m 存在最大值（有点涉及高中了！）
当然△ABC 必须为锐角三角形
【典型代表】
课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
若再将△ABC 改为直角三角形，那么这道题就变成了一道考试热门题，这个时候内接正方形有两种情况，那么哪种情况的正方形面积更大呢？
我们以边长分别为3、4、5的直角三角形为例
仿照（3）中方法，计算出
图1中的正方形边长为7
12 图2中的正方形边长为37
60 712＞37
60，∴按照图1中内接正方形的面积更大
（5）除了内接正方形，内接矩形也是考试常客！
【练一练】
1、有一块锐角三角形余料ABC ，它的边BC=12cm ，BC 边上的高为9cm ，现要把它分割成若干个邻边长分别为4cm 和2cm 的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为4cm 的边在BC 上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
答案：C
2、如图，△ABC 是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm ，BC=20cm ．若将斜边上的高CD 分
成n 等分，然后裁出（n ﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n ﹣1）张纸条的面积和是 cm 2．
答案：
n n )1-(150
3、一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长22．5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
答案：C
4、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的关系式__
答案：b=a+c。