变压器的数学模型及等效电路分析方法

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2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
于是联立的方程组转化为：
i12 ) pL12l i12 u12 r12i12 pL12 m (i34 r34 i34 pL12 m (i34 i12 ) pL34 l i34 u34
单相变压器不需要坐标变换 （5）画等效电路图
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5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase
transformer (1
primary and 2 secondary
windings)
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5. 电力电子仿真软件中的变压器
– 3-phase 3-winding Y/Y/D transformer
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5. 电力电子仿真软件中的变压器
f2
+ uC + uc iC
f3
iA iCA ia
f1
iB iAB ib
f2
iC iBC ic
f3
ia
ib
ic
+ ua -
+ ub -
+ uc -
n
n
Y/Y接
D/Y接
【注意】三相多芯柱变压器有： f1+f2+f3≠0 abc坐标变换到ab0坐标系模型更加清晰
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5. 电力电子仿真 软件中的变压器
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2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
Lm为12和34绕组之间的互感：
– 假设34绕组加电流i34，而i12 =0，环 绕铁芯一圈对磁场强度积分或者认
为磁动势F34产生了主磁通，则有：
Lm
y 12 _ 34
i34
N12fm i34
1 2
i12
i34
3 4
N12 ( F34 lm ) i34 N12 ( N 34i34 lm ) i34 N12 N 34 lm
2
y
N 2l
– 可见电感与线圈匝数的平方成正比，与是否通有电流无关
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1. 磁路与电感
漏感
– 除去铁芯外，实际上一部分磁场线在线圈与空气之间形成闭合回路，
这部分磁链对应的电感为漏自感；对于变压器来说，这部分磁通没 有与原副边绕组同时链绕，称为漏感。
– 对于右图来说有：
L
y
i i Lm Lleak
（4）绕组折算（坐标变换）
– 【公式：折算到x绕组则y绕组的电压方程两端乘以Nx/Ny】 – 以折算到12绕组为例，上面第二方程两端乘以N12/N34，则有：
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2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
（4）绕组折算（坐标变换）
N12 N12 2 2 u34 r34i34 p[ N12 ( N 34 lm N 34 l34l )i34 ( N12 lm )i12 ] N 34 N 34
电感
– 任两点间与另外一电流之间的互感L由下式定义：
di e L dt
– 又因为：
dy e dt
– 故有：
y Li
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1. 磁路与电感
电感
– 对于右图，假设磁场线毫无泄露地在铁芯中闭合，则有：
Nf N f L i i Ni N 2f N 2f F (f / l )
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1. 磁路与电感
法拉第电磁感应定律
– 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的磁感应电 动势e与磁通量f对时间的变化率成正比：
df e dt
– 当由N匝线圈构成时，感应电动势为：
df d ( Nf ) dy e N dt dt dt
– y称为磁链
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1. 磁路与电感
磁感应强度与磁通
– 垂直穿过单位面积的磁力线叫做磁通量密度，简称磁通密度，它从 数量上反映磁力线的疏密程度。磁场的强弱通常用磁感应强度“Ｂ”
来表示 – 磁通，又称磁通量，是通过某一截面积的磁力线总数，用f表示，
单位为韦伯（Wb）
f B dA
A
3
1. 磁路与电感
安培环路定理
– 磁场强度定义为
i12
i34
3 4
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
dy 12 e12 dt e dy 34 34 dt
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2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
2 2 u r i p [( N l N 12 12 12 12 m 12 l12 l )i12 ( N12 N 34 lm )i34 ] 2 2 u r i p [( N l N 34 m 34 l34 l )i34 ( N12 N 34 lm )i12 ] 34 34 34
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2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
将用磁导和线圈匝数表示的L12、L34和Lm带入磁链方程：
2 2 y 12 ( N12 lm N12 l12l ) i12 ( N12 N 34 lm ) i34 L12 Lm 1 2 2 2 y 34 ( N 34 lm N 34 l34l ) i34 ( N12 N 34 lm ) i12 L34 Lm
iB iAB ib
f2
iC iBC ic
f3
ia
ib
ic
+ ua -
+ ub -
+ uc -
n
n
Y/Y接
D/Y接
【注意】三相三芯柱变压器有： f1+f2+f3=0 abc坐标变换到ab0坐标系模型更加清晰
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4. 三相多芯柱变压器数学模型
请自行推导
f1
+ uA + ua iA + uB + ub iB
– 3-phase 3-winding Y/Y/D transformer
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中国科学院电工研究所大功率电力电子与直线驱动技术研究部
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y m y leak
1. 磁路与电感
变压器数学建模的方法
– （1）电压方程 – （2）磁链方程 – （3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
– （4）绕组折算（坐标变换） – （5）画等效电路图
比电机的数学模型少转矩方程
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2. 单铁芯双绕组 变压器数学模型
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
i12
i34
3 4
12
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
L12为12绕组自感：
L12 L12 m L12l N l N l
2 12 m 2 12 12 l
L34为34绕组自感：
1 2
i12
i34
3 4
L34 L34 m L34l
2 2 N 34 lm N 34 l34l
H B/
– 磁场强度沿任意闭环路径L的环路积分等于路径L所包围的电流强度
的代数和

L
H dl i
4
1. 磁路与电感
安培环路定理
– 假设右图中磁场均匀则沿l对H积分有：
l l f Ni A
– 或者：
B
f f Rm F l
– Rm：磁阻 – lA/l：磁导 – F：磁动势
2 N 34 N12 [(r34 2 )(i34 )] N 34 N12
N 34 2 p[( N l N l )(i34 ) ( N12 lm )i12 ] N12
2 12 m 2 12 34 l
u34
i34 pL12 m (i34 i12 ) pL34 l i34 r34
– 串联？ – 并联？
– 其他？
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3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
等效电路
三个绕组为并联关系
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4. 三相三芯、多芯 柱变压器数学模型
4. 三相三芯柱变压器数学模型
请自行推导
f1
+ uA + ua iA + uB + ub iB
f2
+ uC + uc iC
f3
iA iCA ia
f1
中国科学院电工研究所大功率电力电子与直线驱动技术研究部
李子欣 2015.03.31
Outline
1. 磁路与电感
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型 3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
4. 三相三芯、多芯柱变压器数学模型 5. 电力电子仿真软件中的变压器
1
1. 磁路与电感
1. 磁路与电感
1 2 i12 i34 3 4
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3. 单铁芯多绕组 变压器数学模型
3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
同样按照前面五个步骤 绕组折算公式也相同
– 折算到x绕组则y绕组的电压方程 两端乘以Nx/Ny
– 单相变压器，不需要坐标变换
1 2 i56 5 6 i12 i34 3 4
三个绕组之间连接关系如何？
5. 电力电子仿真软件中的变压器
以PSIM为例（Matlab类似）
– Single-phase transformer
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5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase transformer
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5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase transformer (1 primary and 2 secondary windings)
（1）电压方程（原副边）
u12 r12i12 e12 u34 r34i34 e34
（2）磁链方程（原副边）
y 12 L12i12 Lm i34 y 34 L34i34 Lm i12
L12为12绕组自感，L34为34绕组
自感，Lm为12和34绕组之间的互 感。这三个电感需要进一步表示。