第二章 测度与可测函数

第二章测度与可测函数

本章内容提要：

1.引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质

2.引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质

3.讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构

4.讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系

本章重点难点提示：

1.Lebesgue测度与抽象测度的概念及其性质

2.判定一个集合是否可测的方法

3.可测函数的几种等价定义

4.可测函数与连续函数之间的关系

5.可测函数列的几种收敛性之间的关系

第一节Lebesgue测度

2.1.1定理

存在集族L与集函数L，使它们具有以下两组性质

L.

若L，则L.

若L，则L.

若是开集，则L.

.

-可加性若L，互不相交，则

完备性若则L.

测度单位.

平移不变性若L，则L，且

逼近性质任给L，，存在闭集与开集，使

且.

证明见§2.5.

定义Th2.1.1中的称为一维Lebesgue测度，L中的集称为一维Lebesgue可测集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L的构成，而则表示测度的特征.

由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质

2.1.2命题

若L，，则L；若L，则L.

证明

L，L.

综合性质与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为可测集.由性质进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集叫Borel集，见§2.5)，特别地:型集与型集是可测集.

2.1.3命题

测度有以下性质L.

①单调性:若L，，则.

②可减性:若L，，则.

③次可加性:若L，则.

④下连续性:若L是一升列，则.

⑤上连续性:若L是一降列，且则

.

证明:

①且

由性质及.

②当时，由得

.

③令则L且互不相交，且

，于是

.

④令，则.可设(否则结论

显然成立).于是由性质及可减性得：

⑤由可减性及下连续性得：

2.1.4命题

①若是可数集，则.

②若是区间中任何一个，其中

则.

③若是中开集，是的构成区间，

则.

证明

①由性质可加性，只需证明单点集是可测集且测度为0.是闭集，可测，由性质:平移不变性，与无关，即

用反证法证明，否则

与性质矛盾.

②首先设，则由①可数集的测度为0，知

.

由性质有

，

从而.

对任何正有理数有

.

对任给正实数，取一列正有理数，使，则，于是由下连续性有

.

当时，由性质得.再设

，则由下连续性知

.

若则，由下连续性可得

.

若则，由下连续性可得

.

③由性质可加性直接得到.

例1设是Cantor集，则由命题2.1.4③知

于是由命题2.1.3.②可减性有.

2.1.5命题

①若L，则

②L存在型集，使存在型集使

.

证明

①由定义显然.下面只需证明，由性质:逼近性质有闭集与开集，使得，使，于是

令，则是紧集(有界闭集)的升列，且于是由下连

续性知，，从而

是任意的.

②由对偶律只需证明L存在型集使.

若L，则由性质:逼近性质有闭集使

令则是型集，且

从而.

若有型集使，则是可测集，

从而L.

综合命题2.1.4和2.1.5得出结论:区间的测度就是其长度；中开集的测度是其构成区间的长度之和；可测集的测度是包含该集的开集测度的下确界；每个可测集是一型集与一零测度集之并，或者是一型集与一零测度集之差.这些结论表明:具有Th2.1.1中性质

和的集族L与集函数L是惟一确定的.

对于，有完全类似的结果:

2.1.6定理(类似Th2.1.1)

存在惟一的集族L与集函数L，使得它们具有以下两组性质:

L.

若L，则L.

若L，则L.

若为开集，则L.

.

可加性：若L，互不相交，则

.

完备性: 若，则L.

测度单位: .

平移不变性: 若L，，则L，且

.

逼近性质: 任给L，，存在闭集与开集，使

且.

定义Th2.1.6中的称为维Lebesgue测度，L中的集称为维Lebesgue可测集.