第二章 测度与可测函数
实变函数第二章,第一节
注2.在L-测度公理下,[0,1]上的有理数集的测度为0.
定义2.1.1 Lebesgue外测度
n 设 E R 定义： ，称非负广义实数 ( R {} R* )
m E inf{ G : G开，且E G}
为E的Lebesgue外测度。
下确界：
inf S
(1)是数集S的下界，即 x S , x (2)是数集S的最大下界， 即 0, x S , 使得x
第二章 可测集与可测函数
第一节 外侧度的定义及其性质
长度公理:设有实数直线上的一些点集所构成的集合族μ,
若对于每个E ∈μ,都对应一个实数m,使得
1.(非负性) m(E)≥0
2.(有限可加性) 如果E1,E2,……,En两两不相交,那么
m(E1 ∪E2 ∪…… ∪En)=m(E1)+m(E2)+…+m(En) 3.(正则性) m([0,1])=1 例.实数集R上区间且E G}
0, 开集G, 使得E G且m* E G m*E
即：用一开集G “近似”替换集合E
（2）Lebesgue外测度的性质
m E 0， （a）非负性： m E 0. 当E为空集时，
若A B，则m A m B （b）单调性：
问题:[0,1]上有理点集的长度为?
L-测度公理: 对于实数直线上的一部分集合族μ,使得对
于每个E ∈μ,都对应一个实数m,满足
1.(非负性) m(E)≥0
2.(可列可加性) 如果E1,E2,…En,…两两不相交,那么
m(E1 ∪E2 ∪…∪En ∪…)=m(E1)+m(E2)+…+m(En)+… 3.(正则性) m([0,1])=1 注1.并不是所有集合都可测.
1.5 可测集与可测函数(讲义)
1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=R， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。
特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。
定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。
若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。
特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。
定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。
则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。
证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。
可测函数的定义及其简单性质
可测函数是指函数的值对应的集合在 测度空间中是可测的。
实值函数的可测性
实值可测函数
如果对于每个 $x$，集合 ${y: f(x)=y}$ 是可测的，则称 $f$ 是实值可测函数。
解释
实值可测函数是指函数的值域在实数轴上对应的集合是可测的。
函数可测的充要条件
充要条件
如果 $f$ 是从 $(X,Sigma,mu)$ 到 $(Y,Gamma)$ 的函数，则 $f$ 是可测的充 要条件是对于每个 $y in Y$，集合 ${x: f(x)=y}$ 是可测的。
重要性及应用领域
可测函数在实变函数理论中占据重要 地位，它是研究积分、微分等数学概 念的基础。
可测函数的应用领域非常广泛，包括 概率论、统计学、微分方程、积分方 程等领域，是现代数学的重要分支之 一。
02 可测函数定义
定义
定义
如果对于每个 $x$，集合 $A_x$ 是可 测的，则称 $f$ 是可测函数。
未来可测函数的研究将更加注重与其他数学分支的交叉融合，
03
如分析、几何、拓扑等，以推动数学学科的发展。
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感谢您的观看
可测函数在研究函数的可导性方面也有着重要的应 用，例如在研究函数的导数和极值时。
动态系统的行为
可测函数在研究动态系统的行为方面也有着 重要的应用，例如在研究系统的稳定性时。
05 结论
可测函数的重要性和意义
1
可测函数是概率论和统计学中的基本概念，它对 于描述随机现象和预测未来事件具有重要意义。
2
可测函数的定义基于可测集的概念，通过将样本 空间划分为可测集，可以更好地理解随机现象的 内在规律和性质。
详细描述
《现代概率论》讲义稿_第二章 测度与积分_
第二章 测度与积分（Measures and Integration）一、测度与测度空间1．测度定义①．()Ω,F 为一可测空间,μ为定义于F 取值于_+R =[0,+]∞的函数（非负集函数）,常用μυλ，，等表示②．A ,1,,n n m n A A m n φ∈≥=≠∩F ⇒11()()n n n n A A μμ∞∞===∑∑μ具有可列可加性（σ可加性）③．φ∈F ,且()0μφ=则称μ为Ω上的（或()Ω,F 上的）测度.测度μ是非负、σ可加性、()0μφ=的集合函数.④．If A ∀∈F ,有()A μ<∞,then 称μ在F 上有限测度.特别地,if Ω∈F ,且()1μΩ=,then 称μ为概率测度. If A ∀∈F ,n A ∃∈F ,1..nn s t A A∞=⊂∪且()n A μ<∞,则称μ为σ有限测度.注：1nn A∞=∪不一定∈F例：1R 中的Lebesgue 测度是σ有限的,即1L R =∞() A [,1]()1n n n n L A =+⇒=,()[,]n L A a b b a ==−注：Lebesgue 测度是线段长度概念的延伸（更一般地,是欧式空间中面积或体积概念的延伸）,本节引入的测度是Lebesgue 测度的抽象化.2．测度空间设μ为可测空间()Ω,F 上的测度,称三元体()μΩ,,F 为测度空间. 若()μΩ<∞,称μ为有限测度,并称()μΩ,,F 为有限测度空间. 若()1μΩ=,则称μ为概率测度,并称()μΩ,,F 为概率测度空间若存在,1n A n ∈≥F ,使得1nn A∞==Ω∪,且使()n A μ<∞对一切1n ≥成立（n A 为Ω的一个划分）,则称μ为σ有限测度,并称()μΩ,,F 为σ有限测度空间.3．完备测度空间设()μΩ,,F 为一测度空间,若,()0A A μ∈=且F ,称A 为μ零测集.如果任何μ零测集的子集均属于F ,称F 关于μ是完备的,称()μΩ,,F 为完备测度空间.P37汪（定义 2.1.5）设μ为σ代数F 上的测度,{:,()0}A A A μ=∈=L F ,又令{():,}N A N A =∈Ω∈⊂存在使N P G ,则把N 中元素称为μ可略集.若⊂N F ,则称μ在F 上完备的.例：①．在()ΩP 上规定μ：#(){}A A μ=（A 的元素个数） 计数测度当A 为无限集时,()A μ=+∞； 当Ω为有限集时,μ为有限的； 当Ω为可列集时,μ为σ有限的.②．若数{():}cA A or A =∈Ω为有限集（或空集）A P ,01A A A υ⎧=⎨⎩为有限集（）为无限集则易验证：υ在A 上是有限可加的.但是Ω为无限集时,υ不是可列可加的.4．性质（测度的）半环F 上的测度μ的性质（抽样空间Ω）注：半环①．A B AB ∈⇒∈、F F ②．φ∈F ③．\fA B A B C ∈⇒∈∑、F半环上的测度具有：①．有限可加性 ②．可减性 ③．单调性 ④．下连续性 ⑤．上连续性 ⑥．半σ可加性① 有限可加性如果对一切2n ≥,,1,2,,i A i n ∈= F ,,i j A A i j φ=≠,且1ni i A =∈∑F ,则11()()n ni i i i A A μμ===∑∑证明：显然,1nii A =∑=1ii A ∞=∑,where 12n n AA φ++===11ni i i i A A ∞==∈⇒∈∑∑∵FF由于μ的σ可加性1111()()()()n ni i iii i i i A A A A σμμμμ∞∞===========∑∑∑∑可加性（因()()0n i A μμφ+==）② 可减性If ,\A B A B B A ⊂∈、、F and ()A μ<∞（有限测度）,then (\)()()B A B A μμμ=−证明：∵ A 与\B A 不交,且\B A B A =+（有限不交并） ∴()()(\)B A B A μμμ=+ ←利用可加性⇒ (\)()()B A B A μμμ=−③ 单调性If ,A B A B ⊂∈、F , then ()()B A μμ≥④ 下连续性If ,n n A A A ↑∈F ,then ()lim ()n n A A μμ→∞=证明：n ∀,由半环性质,,,1,2,,n k n C k k ∃∈= F ,11..\nk n n nk k s t A A C −==∑（约定0A φ≠）11111lim (\)nk n n n n nk n n n k n A A A A A C ∞∞∞−→∞========∑∑∑∪其中nk C 对不同的n 与k 都不交.∴ 1111()()()n nk k nk nk n k n k A C C μμμ∞∞======∑∑∑∑11lim ()n k N nk N n k C μ→∞===∑∑11lim ()lim ()nk N nk N N N n k C A μμ→∞→∞====∑∑⑤ 上连续性If n A ∈F ,n ∀,..s t n A A ↓∈F and 1()A μ<∞ ,then ()lim ()n n A A μμ→∞= 证明：由半环的定义,n ∀,∃两两不相交的,,1,2,,n k n C k k ∈= F ,11..\nk n n nkk s t A A C+==∑则1223\,\,A A A A 两两不相交,⇒,nk A C 对n ∀与k 两两不相交.∴ 1(\)n i i i nA A A A ∞+==+∑1ik ik i n k C A ∞===+∑∑由σ可加性有11()()()ik n iki k A CA μμμ∞===+∑∑ 对n ∀均成立当1n =时111()()()ik ik i k A C A μμμ∞==∞>=+∑∑ 因()0A μ≥⇒ 111()()i k ik i k A C μμ∞==≥∑∑, 所以1()0ik n ik i n k C μ∞→∞==→∑∑即对11()()()ik n iki k A CA μμμ∞===+∑∑取极限得lim ()()n n A A μμ→∞=注：在φ上的上连续性,即()()0A A φμμφ=⇒==⑥ 半σ可加性或次σ可加性If n A ∈F ,1n n A ∞=∈∪F ,Then ∑∞=∞=≤11)()(n n n n A A μμ∪证：化并为不交并令11A B =,22121\cB A A A A ==， ，111111()(\)n n c c c n n n n kn k k k B A A A A A A A −−−===== ∩∩则n B 对n ∀均不交,即i j B B φ=,j i ≠,,nkl n k c ∀∃∈F ,1,2,,nk l l = ,两两不交,t s . 1\nkl n k nkl l A A C ==∑n 1111()k n j l j n n nkl n l j k B C D −=====∑∑∩ 注： 111.2.3.,j n n n nk k n B j l D j −=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪∈⎩∏不一定在上对不交F F111\()n j j n n k n j k A A D −===∑∪ （ 11111(\)()nkl n n n k nkl l k k A A C −−====∑∩∩ ） ⇒111\(\)n nn j jj j j j c n n n n n n j j j A D A D A D =====∑∩∩ （**）,1,2,,;i n n E i i ∃∈= F 两两不相交,..s t 1\n jj i i n n n i A D E ==∑ （*）∴ 111n n ni j j i j n n n i j j A E D ====+∑∑∩ （该式是将（*）代入与（*）所得）（上式取测度并放缩）所以 1()()njj n n j A Dμμ=≥∑又前并化不交并有 1111njj n nn n n j n A B D∞∞∞======∑∑∑∪取测度11111()()()()njj n n n n n n j n n A B D A μμμμ∞∞∞∞=======≤∑∑∑∑∪ 即证汪P35-36例 ① 在},2,1{ =N 上,μ为计数测度,};{n k k A n ≥=,则φ↓n A ,但+∞=)(n A μ ② 在},2,1{ =N 上,μ为计数测度,},2{},1{212==−n n A A 则}2,1{lim =∞→n n A , lim n n A φ→∞=(lim )01lim ()lim ()2(lim )n n n n n n n n A A A A μμμμ→∞→∞→∞→∞=<==<=定理：设μ是半环D 上的非负集函数,0)(=φμ,则μ是可列可加的 ⇔ μ有限可加且半可列可加. (证见北大笔记) 注：可列可加 11()()nnn n A A μμ∞∞===∑∑ 有限可加 11()()n niii i A A μμ===∑∑半σ可加 ∑∞=∞=≤11)()(n nn nA A μμ∪定义 三元体(,,)μΩF 称为测度空间,where F 是Ω上的σ−代数,μ是F 上的测度. ()μΩ<∞ ⇒ 有限测度空间 ()1μΩ= ⇒ 概率测度空间,可记为(,,)p ΩF If A ∈F ,且()0A μ=称A 为μ的零测集If F 中的任何μ零测集的子集都是属于F , 测度空间(,,)μΩF 称为完备的.二、外测度与测度的扩张1 ．外测度由Ω的最大σ−代数[0,]R →=+∞F 的函数μ称为Ω上的外测度.如果满足 （1）()0μφ= 非负集函数（2）If A B ⊂ then ()()A B μμ≤ 单调性（3）11()()nnn n A A μμ∞∞==≤∑∪ 半可列可加性/次σ−可加性/半σ−可加性（严加安） 令()ΩA 表示Ω的所有子集（包括空集）所构成的集类,设μ为()ΩA 上的一非负集函数（约定()0μφ=）,如果μ有单调性并满足如下的次σ−可加性：,1n A n ⊂Ω≥ ⇒ 11()()n n n n A A μμ∞∞==≤∑∪则称μ为Ω上的一外测度. 定理 设μ为Ω的一外测度,令{,}cA D D A D A D μμμ=⊂Ω∀⊂Ω∩∩有()=()+()U 则U 为Ω上的一σ代数,且μ限于U 为一测度,称U 中的元素为μ可测集. 上述定理为测度扩张的基础定理.定理：设C 为Ω上的一集类,且φ∈C . 又设μ为C 上的一半σ−可加非负集函数,()0μφ=. 令*11()inf{();,1}n n n n n A A A n A A μμ∞∞===∈≥⊂∑∪且C A ∀∈Ω∈F则*μ是Ω的外测度, 称为由μ生成(引出)的外测度. μ限于C 与μ一致；当A ∈C 时,*()()A A μμ= . 证明：（1）显然*()0μφ= （2）显然,单调性 （3）如果0*0...()n n s t A μ∃=∞ 有**11()()n n n n A A μμ∞∞==≤∑∪ 成立在*.()n n A μ∀<∞条件下证明0,,1k n n A B k ε∀>∀∃∈≥C 使1kn n k BA ∞=⊃∪ 且*1()()2kn n nn B A εμμ∞=≤+∑111kn n n k n BA ∞∞∞===⊃∪∪∪取外测度*μ***11111()()(())()2kn n n n nn k n n n A B A A εμμμμε∞∞∞∞∞=====≤≤+=+∑∑∑∑∪ 所有,当A ∈C 时,*()()A A μμ=.2.半环上测度的扩张（1）定义扩张 （2）扩张的唯一性、存在性等 （3）完全化（一种扩张） 定义：μ、*μ分别是C （σ代数）、C （半环）上的测度,且⊂C CIf A ∀∈C ,都有*()()A A μμ= Then 称*μ是μ由→C C 上的一个扩张如果*μ′是μ在→C C 另一个扩张,A ∀∈C 都有**()()A A μμ′=称扩张是唯一的 唯一性：设D 是一个π类（系）, μ,()υσ∈D 上的测度 (1) ()()A A μυ= A ∈D（2）n A ∃∈D ,1n ≥,不交 ,1nn A∞==Ω∑,()n A μ<∞,1,2......n =则()()A A μυ= ()A σ∀∈D证明：B ∀∈D ,如()B μ<∞, 令()(){}():A A B A B σμυ=∈=∩∩G D 易证G 是一个λ系（（1）∈ΩG （2）,A B ∈G 则B ∈G （3）↑封闭） 且⊃G D ⇒ ()σ⊃G D∀()A σ∈D ,()()A B A B μυ=∩∩将B 用n A 代替：()()n n A A A A μυ=∩∩ （n ∀均成立）1111()()()()()()()n n n i n n n i A A A A A A A A A A A μμμμυυυ∞∞∞∞=====Ω=====∑∑∑∑∩∩∩∩∩扩张定理：设μ为半环D 上的测度 （1）则μ可以扩张成为()σD 上的测度*μ∃()σD 上测度*μ,使A ∀∈D 上有*()()A A μμ=（2）如上述（2）对D 成立,则这一扩张是唯一的,且*μ在()σD 上也是σ有限的见严加安Ｐ19 或北大笔记 证明略完全化（完备化）：设*μ在D 上生成的外测度,则（1）A τ∀∈F ,B ∃∈()σD ,B A ⊃ s.t. **()()B A μμ=(2)如有上述（2）式成立,则A τ∀∈F ,B ∃∈()σD ,B A ⊃,s.t. ()0B A τ= 证明略（见北大笔记）三、Lebesgue-stielties 测度分布函数(CDF: Cumulative Distribution Function)()()F x P X x =≤ 一维121122(,,,)(,,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤ n 维 命题A ：若()F X 为实值有限随机变量X 的分布函数,则（1）()F X 是单调不减的Proof: If 12X X <,Then 2112()()()0F X F X X x X −=Ρ<≤≥ (2) ()F X 是右连续的Proof:1111lim ()lim ()({[,]}){[,]}x x n F X X x X x X x n n n∞→∞→∞=+=Ρ≤+=Ρ∈−∞+=Ρ∈−∞∩()F x = 注：（1）（2）可概括为单调不减右连续. （3）lim ()0x F x →−∞= lim ()1x F x →+∞=Ｐroof:{}1lim ()lim [,]({[,]}{}0x x n F x x n x n x φ∞→∞→∞==Ρ∈−∞−=Ρ∈−∞−=Ρ∈=∩1lim ()lim {[,]}({[,]}){[,]}1x x n F x x n x n x ∞→+∞→∞==Ρ∈−∞=Ρ∈−∞=Ρ∈−∞+∞=∪记号：设12(,,...,)n a a a a =与12(,,...,)n b b b b =为nR 中的两个点.若(1,2,...)i n ∀= 均有i i a b ≤（i i a b <）,则记为a b ≤（a b <） 设a b ≤,令{(,]|,,}na b a b a b R =≤∈C 1((,])()niii a b b a μ==−Π引理：C 为nR 上的半环,且μ为C 上的σ可加非负集函数. 严加安 P23 一维情形定理：()F x 为R 上单调不减右连续的有界函数,则在(,)R B 必存在唯一的有限测度μ, 使([,])()()a b F a F b μ=− a b −∞≤<<+∞ 证明：见汪Ｐ48定义：若F 为R 上有限右连续不减函数的有界函数,则由F 在(,)R B 上按上式生成的σ有限完备测度μ称为由F 生成的Lebesgue-stielties 测度,简称L S −测度.特别：当()F t t =(or ()F t t c =+),由此产生的完备化测度称为Lebesgue 测度.由B按Lebesgue 测度扩张成的完备σ代数B 中的集合都称为Lebesgue 测度集. （见汪Ｐ49）定理：()F x 为满足命题A 的函数,则必存在概率测度空间(,,)p ΩF 及其上的随机变量 s.t.()()X x F x Ρ≤=n 维情形令()n R B 为nR 上的Borel σ代数.易知,()()n R σ=C B ,于是由测度扩张定理得： 定理：μ可以唯一地扩张成为()nR B 上的σ有限测度（称之为Lebesgue 测度） 令()n R B 为()n R B 的μ完备化,称()n R B 中元为Lebesgue 测度集,而()nR B 中的元称为Borel 可测集.定义：设F 为n R 上的一右连续实值函数,对,na b R ∈,a b ≤,令 111()(1)(1),,,,...nnn nn n b a F F b a ba b a −−Δ=ΔΔΔWhere()111111,()(,,,,,,)(,,,,,,)iii i i i n i i i n G x G x xb x x G x x a x x b a −+−+=−Δ如果对一切a b ≤,有,0a b F Δ≥,称F 为增函数.设μ为()nR B 上一σ有限测度,称μ为Lebesgue-stielties 测度（简称L S −测度）,如C ∀∈C ,有()C μ<∞,即μ在C 上有限.定理：设F 为n R 上的一右连续增函数,令 ()0F μφ=,,((,])F a b a b F μ=Δ,a b ≤,,n a b R ∈则Fμ可以唯一地扩张成为nR 上的Lebesgue-stielties 测度.反之,设μ为nR上的一L S −测度,则存在nR 上的一右连续增函数F （不唯一）.故见μ为Fμ从C 到()nR B 上的唯一扩张四、积分-期望 关于概率测度的积分1定义与性质定义1:若1()()ini A i X X Iωω==∑（∈E ：Ω上F 可测的非负简单函数全体）为阶梯随机变量,称1()niii X P A =∑()iA ∈F 为X 的期望或X 关于P 的积分.记为 []E X ,EX ,()X ω∫,Xdp ∫,X ∫概率测度空间(,,)P ΩF 注：当()()i j i A j B X X I y I ωω==∑∑{}{}()j i A B A EI P A ====⇒为的组合()()iijjijEX X P A y P B ==∑∑命题1 若E 表示(,)ΩF 上阶梯变量的全体,则（1）EX 是唯一满足)(A P EI A =的E 是上的正线性泛函;（2）[]E ⋅在E 上是单调的,且若{},1n X n ≥⊂E ,()n X ↑↓ X ∈E ,则()n EX ↑↓EX ;（3）若()E ⋅为E 上正线性泛函,1)1(=E 且当E 中序列0n X ↓时,0n EX ↓,则由A EI A Q =)(可规定(,)ΩF 上的概率测度.Proof ：(1) 由上述注释可得.(2) ()E ⋅非负、线性⇒()E ⋅单调设0n X ↓,记k 为1X 的上确界,则()000()n n X n n X kI EX kP X εεεεεε>≤↓≤+↓≤≤>+↓()0n n X EX εφ>↓⇒↓当∞→n 时,有(,0)()0n n n n n X X X X X X E X X EX EX ↓∈⇒−∈−↓⇒−↓⇒↓E E ()()n n n n X X X X E X E X EX EX ↑∈⇒−↓−∈⇒−↓−⇒↑E E(3) 验证()Q ⋅是概论测度,即()1Q ⋅=.命题2 If {},1n I X n ≥↑,{},1n Y n +≥↑∈E （非负阶梯随机变量全体）,且lim lim n n nnX Y ≤,then lim lim n n nnEX EY ≤特别：lim lim lim lim n n n n nnnnX Y EX EY =⇒=Proof: Fixed m ,则m n X Y +∧∈E min(,)m n X Y ,{,1}m n X Y n ∧≥↑and lim()m n m nX Y X +∧=∈E ()n Y ≤,即lim [][]lim lim m m n m n n nnnE X X E X EY EX ↑∞∧=≤===命题3 记{}lim :n n nX X X ++==↑∈G E 单调递增序列的全体对X +∈G ,若lim n nX X =↑,n X +∈E ,令lim n nEX EX =（*）则（1）+G 为(,)ΩF 上非负随机变量全体； （2）由（*）式规定的[]E ⋅是完全确定的； （3）0EX ≤≤∞（X +∈G ）；（4）在+G 中若12X X ≤,则12EX EX ≤⇐单调性 （5）若X +∈G ,0≥c ,则cX +∈G 且[][]E cX cE X =；（6）If 12,X X +∈G ,then 12X X +,12X X ∨1212,X X X X +∨∧∈G ,且12121212[][][][][]E X X E X E X E X X E X X +=+=∨+∧（7）{,1}n X n +≥↑⊂G ,则lim n nX X +=∈G ,且lim lim n n nnE X EX ↑=↑(极限的期望等于期望的极限) 证明：见汪P52-53定义 2 广义实值随机变量X ,若EX +<∞,EX −<∞,则称X 为可积的,且以EX EX EX +−=−表示X 关于P 的积分,也称为期望或关系期望,记为Xdp ∫.若EX +,EX −中至少有一个取有限值,则称X 为非可积的. 用EX EX EX +−=−表示X 关于P 的积分或期望.有界或阶梯随机变量都是可积的,非负随机变量必须是非可积的. If (0)0P X ≠= then X 可积分且0EX = (退化分布)命题4 若()E ⋅表示概率空间上的非可积随机变量的期望,则 （1）EX R ∈,EX R ∈⇔X +,X −可积且()0P X =±∞=（2）If 0((0)0)X P X ≥<=,then 0EX ≥且0EX =⇔(0)1P X ==（3）R c ∈∀,()E cX cEX =,If X Y +有确定的含义,且X −,Y −（X +,Y +）可积,then()E X Y EX EY +=+⇐===成立X ,Y 至少有一个可积（特别地）（4）If X Y ≤,且EX ,EY 存在,then EX EY ≤ Markov 不等式：X 为非负随机变量 ①11()()[]X a aa P X a E XI EX ≥≥≤≤ 0≥∀a ②1()pPa P X a E X ≥≤ 0>a ,0>p③1()()[()]f a P X a E f X ≥≤ f 为],0[+∞上非负不减函数证明：（1）期望定义：EX EX EX EX R +−=−⇒∈的充要条件,且因()1()()()X n X P X P X n E I EX n n+≥=+∞≤≥≤≤ n →∞====⇒当EX +<∞时()0P X ⇒=+∞=（2）If 0X ≥时0EX ≥,若当0X ≥时,0EX =则11()()1111([]0()0011(0){()}()0n n X X nn n P X E XI nEXI nEX P X n n X P X P X P X n n ≥≥⎫≥≤=≤=⇒≥=⎪⎪≥⎬⎪>=≥≤≥=⎪⎭∑∪由0(0)1E P X =⇒== （3）定义：()()iiX X P A E cX cEX =⇒=∑证：()E X Y EX EY +=+ 先证21X X X =−有意义且至少有一非负变量,至少有一可积,则21EX EX EX =−212121X X X X X X X X X EX EX EX EX +−−+−+−==−⇒+=+⇒+=+⇓21EX EX EX EX EX +−−=−= 一般：()()X Y X Y X Y ++−−+=+−+ ⇓X Y −−+可积()()()E X Y E X Y E X Y EX EY EX EY EX EY ++−−++−−+=+−+=+−−=+（4）定义推出2．极限定理Levy 引理(单调收敛定理)Levy lemma(Monotone convergence theorem)积分形式 测度形式（1）If n X X ↑,且0n ∃,0n X −可积, then lim n nEX EX ↑=⇔()()n X X μμ↑； （2）If n X X ↓,且0n ∃,0n X +可积, then lim n nEX EX ↓=⇔()()n X X μμ↓．where 0max(,0)n n n X X X −=∨= ()0max(,0)n n n X X X +=−∨=− n n n X X X +−=−证明：（1）令01n n n Y X X −=+nX X↑⎯⎯⎯→0{,}n Y n n ≥非负递增,且00lim lim()n n n n n nY X X X X −−=+=+, 由于命题前（7）(极限的期望等于期望的极限),即000[lim ]lim lim []lim []n n n n n n n nnnnE Y EY E X X E X X X X −−−==+=+=+,又由01n n n Y X X −=+两边取期望求极限利用上式得000[lim ]lim n n n n n nnE X EY EX EX EX EX EX −−−=−=+−= （1）即证（2）令0n n n Y X X +=−+,0n n ≥,类似于（1）可证．Fatou 引理：随机变量序列{,1}n X n ≥,,Y Z 为可积随机变量． （1）若0,n X Z n n ≥≥,则[lim ]lim n n nnE X EX ≤ ⇔[liminf ]liminf ()n n n nX X μμ≤ ⇔lim lim n n n nX d X d μμ≤∫∫（2）若0,n X Y n n ≤≥,则[lim ]lim n n nnE X EX ≥⇔[limsup ]limsup ()n n nnX X μμ≤ ⇔lim lim n n nnX d X d μμ≤∫∫证明：（1）取inf n k n k nY X X ≥=≤,则0{,}n Y n n ≥为递增序列,0n Y Z ≥,Z 为可积的,由Levy Lemma[lim ][lim ]lim lim n n n n nnnnE X E Y EY EX ==≤．（2）对n X −应用（1）即得(2)．Lebesgue Dominated Convergence Theorem ：非负随机变量Y 可积,随机变量序列{},1n X n ≥,有n X Y ≤,且lim n n X X →∞=存在．则lim n n EX EX →∞=⇔lim n nX d Xd μμ=∫∫证明：若取Y Z − ．即{},1n X n ≥满足Fatou 引理条件[lim ]lim n n nnEX E X EX =≤ ≤ lim [lim ]n n nnEX E X EX ≤=（“≤”两边两次利用Fatou 引理）由于n X Y ≤,故X Y ≤,X 可积．由此lim n n EX EX →∞=．五、随机变量及其收敛性研究概率测度空间(,,)p ΩF 上..'r v s 及其收敛性,并推广到一般测度空间(,,)μΩF 上的可测函数及收敛性． 约定：测度空间(,,)μΩF ,如果某一性质在Ω上除了一零测度集外均成立,则称它几乎处处成立,简称..a e (almost everywhere)成立．概率空间(,,)p ΩF ,如果某一性质在Ω上除了一零测度集外均成立,则称它几乎必然成立,简称..a s (almost surely)成立． 定义：设1()n n f ≥,f 均为实值可测函数(1) If ∃ 零测集N ,..s t cN ω∀∈．有lim ()()n nf f ωω=．则称()n f 几乎处处收敛于f （..a e 收敛于f ）,记为lim n nf f = ..a e or ..a e n f f ⎯⎯→；(2) If 0ε∀>,存在N f ∈,()u N ε<,..s t ()n f 在cN 上一致收敛于f ．则称()n f 几乎一致收敛于f ,并记为lim n nf f = ..a un (almostuniform) or ..a un n f f ⎯⎯⎯→； (3) If 0ε∀>,lim ([||])0n n f f με→∞−>=,则称()n f 依测度收敛于f ,并记为n f f μ⎯⎯→．当μ是概率测度时,称()n f 依概率收敛于f ,记为in p n f f ⎯⎯⎯→（in probability ）定理：实值可测函数n f ,f（1）..a e n f f ⎯⎯→⇔1([||])0i n i nf f με∞∞==−≥=∩∪ 0ε∀>；当μ概率测度时，n f ,f 为..r v ，则1([||])0i n i nP f f ε∞∞==−≥=∩∪⇔1([||])1i n i nP f f ε∞∞==−<=∩∪ 0ε∀>即..a s n f f ⎯⎯→(2）..a un n f f ⎯⎯⎯→ ⇔ lim ([||])0in i nff με∞→∞=−≥=∪ 0ε∀>;(3) n f f μ⎯⎯→ ⇔ ()n f 的任何子列()n f ′,存在其子列()k n f ′,..s t ..k a un n f f ′⎯⎯⎯→()k →∞．定理：（1）..a un n f f ⎯⎯⎯→⇒..a e n f f ⎯⎯→, ..a un n f f ⎯⎯⎯→⇒n f f μ⎯⎯→； （2）μ是有限测度,..a e n f f ⎯⎯→⇔..a un n f f ⎯⎯⎯→； （3）n f f μ⎯⎯→,then 存在子列()k n f ,..s t ..k a e n f f ⎯⎯→．1. 随机变量的等价类定义1．设()D ω表示与ω有关的一个论断(命题)．若{:()}A D ωω=∈Ω不真为可略集（某论断不真的样本点的集合）,即()0P A =．则称()D ω几乎必然成立,或()D ω..a s 成立,或()D ω为真..a s ．若A 为μ可略集,则()0A μ=,则称()D ω为真..a e μ． 特别：..r v X 、Y , If ()0P X Y ≠=, then 记X Y =..a s ．记：~X Y ⇔X Y =..a s ⇒与X 等价的元素全体记为{:..}X X X X a s ′′==．等价类间的运算{:}{:,}{:,}{:,}{:,}c X cX X X X YX Y X X Y Y X Y X Y X X Y Y X Y X Y X X Y Y X Y X Y X X Y Y ⎫′′=⎪′′′′+=+⎪⎪′′′′=⎬⎪′′′′∨=∨⎪⎪′′′′∧=∧⎭∼∼∼∼∼∼∼∼∼⇒ （1） 同一等价类内的..r v 有相同的分布；（2） If ~X X ′,且同时可积；若可积,则EX EX ′=．例：If 2~(0,)X N σ, then 2~(0,)Y X N σ=−.即X 与X −有相同的分布, 但X 与X −不相等.故分布相同与随机变量相等是两个不同的概念.命题2.4.1(变量形式) 随机变量族{},i X i I ∈,则必有唯一（不计..a s 相等差别）..r v Y (可取±∞)满足(1) 对i I ∀∈,i X Y ≤ ..a s ；(2) If 'Y 也满足,..i i I X Y a s ′∀∈≤,Then '..Y Y a s ≤（满足上述两点的Y 是{}i X 的本性上确界(essentiality supremum),记为sup i i IY ess X ∈=）证明：I 为可列指标集,取sup i i IY X ∈=即可.记()arctan f x x =↑有界,令sup [(sup )]i J Ii JE f X δ⊂∈= J 为I 的可列子集 (2.4.1)由上确界定义,必有可列子集...n J I s t ⊂1[(sup )]ni i J E f X nδ∈>−记0n nJ J =∪,则0J 可列,且对每个n ,有1[(sup )]i i J E f X n δδ∈≥>−⇒ 0[(sup )]i i J E f X δ∈= 令0sup i i J Y X ∈=,则Y 为..r v ,且（1）必成立,否则0i X ∃,()00i P X Y >>, 这时()()00i P f X Y f Y ⎡⎤∨>>⎣⎦ ⇒ {}()()000[(sup )]i i i J i E f X E f Y X E f Y δ∈⎡⎤=∨>=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∪ 该式(大于)与（2.1.4）（等于）矛盾,故（2）成立. 此外,若'Y 也满足'i X Y ≤ ..a s i I ∀∈则sup 'i i J Y X Y ∈=≤ ..a s故（2）成立, 唯一性是（2）的直接结论.定义2.4.2 若{},i X i I ∈为..r v 族,由命题2.4.1规定的Y 称为{},i X i I ∈的本性上确界,记为sup i i Iess X ∈ or sup i i Ie X ∈.同样,inf sup ()i i i Ii Ies X ess X Δ∈∈=−−称为{},i X i I ∈的本性下确界.P61（汪） 注：① 任一随机变量族有上(下)确界，也就是随机变量作为格是完备的(有上(下)确界); ② 若随机变量族{},i X i I ∈本身是一个格，当,i j I ∈时，{},i j i X X X i I ∨∈∈，则必存在一列{},n i n X i I ∈，使{}n i X 递增地收敛于sup i i Iess X ∈;③ 若{},i X i I ∈对可列个随机变量的上确界运算是封闭的，则sup i i Iess X ∈必属于{},i X i I ∈.（命题2.4.1的）集合形式：可测集族{},i A i I ∈,必存在唯一,..,..i A s t i A A a s ∈∀⊂F 且若B ∈F 也有对,..i i A B a s ∀⊂,则..A B a s ⊂例 []0,1Ω=,[]0,1=F B 为[]0,1上Borel 点集全体,P 取为[]0,1上的Lebesgue 测度,对[]0,1r ∈,令10r r X r ωω=⎧=⎨≠⎩则[]()0,1sup 1r r X ω∈≡,但 []()0,1sup 0r r ess X ω∈=定义2.4.3 ..'r v s {,1}n X n ≥ ,若limsup liminf n n nnX X = ..a s则不计等价类内的差别,其唯一确定的极限limsup n nX X =,也记为lim n nX X = or..a s n X X →,称{,1}n X n ≥为以概率1收敛于X or ..a s 收敛于X .命题2.4.2（1） ..'RVs ..a s n X X → ⇔ 1({})0n N n NP X X ε∞∞==−>=∩∪⇔ 1({})1n N n NP X X ε∞∞==−≤=∩∪ 0ε∀>（2） ..a s n X X → ⇔ 1,({})0n m N n m NP X X ε∞∞==−>=∩∪⇔ 1,({})1n m N n m NP X X ε∞∞==−≤=∩∪⇔ ,m n →∞时,..{,,1}0a s n m X X m n −≥⎯⎯→ Cauchyseries （3）If 正数列{}n ε满足1nn ε∞=<∞∑, {,1}n X n ≥满足11{}n n n n P XX ε∞+=−><∞∑ ⇒ ..a s n X X ⎯⎯→ ()X <∞then {,1}n X n ≥ a.s.收敛于有限随机变量X .证明：（1） ""⇒If 0{:lim ()}n nX X ωωω∈=<∞ ,Then 0ε∀>,0(,)N εω∃,n N >, ..s t 00()()n X X ωωε−≤即0lim ()n n A ωω→∞∉. 所以(){lim }(lim )Cn n n n X X A ε→∞→∞=<∞⊂ ⇒ (1) 结论成立""⇐ 0ε∀>, 对于1({})0n N n NP X X ε∞∞==−>=∩∪ 成立,则11(lim (0n nk P A k ∞=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∪ ( * )因而对011(lim (n n k A k ω→∞≥∉∪及00ε∀>,取01k ε<,由011(lim ())lim(())c cn n n n A A k k ω→∞→∞∈= 必存在()00,N εω, 当()00,n N εω>时,01((cn A kω∈,即()()0001n X X kωωε−≤<.由于0ε可为0∀>的数, 故()()00lim n n X Xωω→∞=,由（*）式,故..a s n X X ⎯⎯→. （2）由实数列收敛的Cauchy 准则,对给定的0ω,()lim n n X ω→∞<∞ ⇔ ()()00,lim 0n m m n X X ωω→∞−=而{,1}n X n ≥..a s 为Cauchy 基本列与（2）中式子等价,可类似（1）证明. （3）记{}1n n n n A X X ε+=−>,Then{}1k n n n k nk n P A P X X ε+≥≥⎛⎞≤−>⎜⎟⎝⎠∑∪ ⇒ ()lim lim 0n k n n k n P A P A →∞→∞≥⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∪若()c1lim c nk n n k nA A ω∞∞→∞≥≥∈=∪∩,Then 必存在()0N ω,..s t 0c n k N A ω≥∈∩,即当()0k N ω≥时,有()()1n n n X X ωωε+−≤ ⇒()()1n nnX X ωω+−<∞∑因为当()clim nn A ω→∞∈时,()lim nnXω<∞,故{}..a s n X X ⎯⎯→<∞. 定义2.4.4 Pn X X ⎯⎯→ or lim n n pr X X →∞−=⇔ {}lim 0n n P X X ε→∞−>= 0ε∀>说明 in P 收敛极限不计可数集上的差别是唯一确定的. 如果lim n n pr X X →∞−=, lim n n pr X Y →∞−=,那么0ε∀>有{}022n n n P X Y P X X P X Y εεε→∞⎛⎞⎛⎞−>≤−>+−>⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⇒ {}0P X Y ε−>=又由于ε可为任一正数,故()1P X Y ==.引理 2.4.1 If {,1}n X n ≤.in P⎯⎯⎯→Cauchy 基本列,即n X ： ,lim {||}0n m m n P X X ε→∞−>= 0ε∀> ⇒ ..a s nk X X ⎯⎯→ （<∞）Then 必有 a.s. 收敛于有限随机变量的子序列{,1}nk X k ≥ Proof ：取11n =,而1j j n n −>,且当,j r s n >时(||2)3j j r s P X X −−−><此时1(||2)3j j j jn n jjP XX +−−−><<∞∑∑ 2.4.2=====⇒命题（3）{,1}nk X k ≤..a s ⎯⎯→X <∞命题2.4.3 {,1},n X n ≤为..'r v s then（1）If lim n n X X →∞= .a s ⇒ Pr lim n n X X →∞−=（2）Pr lim n n X X →∞−=⇔ {}n X 为in P 收敛下的Cauchy 基本列：(in Pn X X ⎯⎯⎯→⇔n X 为in P 收敛下的Cauchy series.)Proof ：（1）..1({||})0a s n n N n N X X P X X ε∞∞==⎫⎯⎯→⎪⎬−>=⎪⎭∩∪ ⇒ 0ε∀>,lim ({||})0n n k nP X X ε∞→∞≥−>=∪ ⇒ 0ε∀>,lim {||}0n n P X X ε→∞−>=. 即in Pn X X ⎯⎯⎯→.（2） “⇒”.in Pn X X ⎯⎯⎯→:{||}{||}{||}22n m n m P X X P X X P X X εεε−>≤−>+−>⇒n X 为依概率收敛下的Cauchy Series.“⇐”由引理2.4.1有.a s nk X X ⎯⎯→⇒in pn X X ⎯⎯⎯→{||}{||}{||}22n n nk nk P X X P X X P X X εεε−>≤−>+−>k n n →∞→∞==⇒in pn X X ⎯⎯⎯→ 即证.注：,,Ω（p）F 上随机变量X ,Y||(,)[1||X Y X Y E X Y ρΔ−=+− 等价于依Pr.收敛 ⇐ 距离空间是完备的例：设B 为[0,1]的Lebesgue 可测集全体.p λ=为[0,1]上的Lebesgue 测度.在可测空间λ([0,1],,)B 上取[/2,(1)/2]()1()k k n p p X ωω+= 2k n p =+ 021k p ≤≤−则对[0,1]ε∈有1|2n kP X ε(|>)= n →∞===⇒ 0n X ρ⎯⎯→2. 一致可积与平均收敛定义 2.4.5 Ω（,,p）F 上{,}i X i I ∈,若||lim sup ||0ii N i I X NX dp →∞∈>=∫,则称{,}i X i I ∈为一致可积的.若随机变量Y 可积,则||lim ||0N Y Y dp →∞=∫ （*）证明：取 ||||n Y n X Y I >= ⇒ ||lim ||0n Y n X Y I =∞→∞== ..a s又||n X Y ≤故由Lebesgue 控制收敛定理即（*）成立.命题2.4.4 Ω（,,p）F 上可积..r v 族{,}i X i I =∈H （1） If I 为有限集,then H 一致可积；（2） If ,||i i I X Y ∀∈≤,Y 可积,then H 一致可积； （3） If 1p ∃>,sup ||pi i IE X ∈<∞, then H 一致可积；证明：（1）（2）由（*）可证明. （3） 利用11||||11||||sup ||i i pi i i p p i IX NX N X dp X dp E X N N N −−∈>>≤≤⇒→∞∫∫即证. 命题 2.4.5 Ω（,,p）F 上可积..r v 族{,}i X i I =∈H 为一致可积的充要条件是 （1） 一致绝对连续： 0()limsup sup ||0i P A i I AX dp δδ→<∈=∫ （☆）（2） 积分一致有界： sup ||i i IE X ∈<∞证明：“⇒”(||N)(||N)||||||i i ii i AA X A X Xdp X dp X dp≤>≤+∫∫∫N →→∞===⇒令P(A)0（1）A =Ω==⇒（2）“⇐”由（☆）式,0ε∀>,()0δε∃>,当()()P A δε<时,有sup ||i i I AX dp ε∈<∫,即{,}i X i I =∈H 一致可积.而1(||)sup ||0N i i iP X N E X N →∞>≤⎯⎯⎯→所以 (||)()i P X N δε><.定义 2.4.6 Ω（,,p）F 上..'r v s {,1}n X n ≥,且..r v X 可积,使lim ||0n n E X X →∞−=则称{}n X （一阶）平均收敛或1L 收敛于X ,记为1L nX X ⎯⎯→.命题2.4.6 对可积..'r v s {,1}n X n ≤下列条件等价： （1）1LnX X ⎯⎯→；（2）{}n X 为1L 基本列,即,lim ||0n m m n E X X →∞−=；（3）{,1},n X n ≤为一致可积的且Pn X X ⎯⎯→.3. pL 空间定义：设Ω（,,p）F 概率测度空间,若常数p ,且0p <<∞,令||||pp X Ω∞L （,,p)={X:X为r.v.,<}F 记为p L 空间.设1,,pp X L ≤∈定义11||||(||)(||)p p p pp X E X X dp ==∫为X 在L p空间上的范数.sup{:(||)0}Xx P X x ∞=>> ⇒ (||)1P X X∞≤=,(||)0P X X∞>=(,)p p L ⋅构成完备的线性赋范空间—Banach 空间基本不等式：,a b R ∈,0r >,1p <,q <∞且111p q+=（p ,q 为共轭数）,则(1)1||max(1,2)(||||)r r r r a b a b −+≤+(2) ||||||p q a b ab p q ≤+ ⇔ 11||||||||pq a b a b p q≤+p L 中基本不等式：（1）1||max(1,2)[||||]p r p pX Y dp X dp Y dp −+≤+∫∫∫Holder 不等式 （2）||pqXY XY dp XY=≤⋅∫⇔||pq E XY XY ≤⋅（111p q+=,1p ≤,1q ≤ ） （3）Minkowski 不等式：ppp X YXY +≤+ ..r v ：X Y . (若实数,1p c ≥,则有 ||ppcXc X≤)Proof ：1||||||pp X Y dp X Y X Y dp −+=+⋅+∫∫11||||||||p p X X Y dp Y X Y dp −−≤⋅++⋅+∫∫式中11||||(||)p p p qX X Y dp XX Y −−⋅+≤+∫11[(||)]p qqp XX Y dp −=+∫1[||]pqp XX Y =+∫ 11[||][||]ppqqpp X X Y dp YX Y dp ≤⋅++⋅+∫∫ 1()[||]pqp p XY X Y dp =++∫其中 111p q +=⇒1pq p =− 所以有11[||]()pqpp X Y dp XY −+≤+∫即有不等式ppp X YXY +≤+（4）Jensen 不等式f 为上的凸函数,X 为取值(,)a b 的可积..r v ,则有[()]()E f X f EX ≥证明：0(,)X a b ∃∈,f 为凸函数.'000()()()()f x f x f x x x −≥+− (,)x a b ∈令0x EX = x X =,则上式变为'()()()()f X f EX f EX X EX −≥+−上式两边同时取期望得[()]()E f X f EX ≥证明(,)pp L ⋅完备线性赋范空间线性：① If pX L ∈,a R ∈ ⇒paX L ∈ ② ,pX Y L ∈⇒pX Y L +∈ 赋范：0pX≥且0pX=⇔0X = ..a e ⇔0f ≡ppaX a X= ppp X YXY +≤+定义（依范数收敛）：设Pn X L ∈, If lim||0p n n X X dp Ω→∞−=∫（ ⇔lim 0n pn X X→∞−=）Then 称{}n X 依范数收敛于X （p 方收敛）,记为PL n X X ⎯⎯→. 结论：PL n X X ⎯⎯→⇒pn X X ⎯⎯→系（Corollary ）：[]1,,p ∈∞..'r v s {,1}n X n ≥.若存在(,,)pY L p ∈ΩF ,n ∀,有||n X Y ≤,则当n →∞时,下列两式等价：（1） pn X X ⎯⎯→ （2） PL n X X ⎯⎯→ 命题2.4.11： 1p ≤≤+∞,pL 中元素列{}n X ,下列两事实等价（1）PL n X X ⎯⎯→ ； （2）{}n X 是基本列,即,lim 0n mpn m X X →∞−=；（3）{||,1}p n X n ≥一致可积,且pn X X ⎯⎯→. 命题1：(1) [1,]p ∈+∞,p L 为Banach 空间(,)pp L ⋅,且是一个完备集合. （2）若在2(,,)L P ΩF 中取(,)[]X Y E XY =则(,)X Y 是内积,2(,,)L P ΩF 是Hilbert 空间22(,)L ⋅,且也是一个完备格. 定义：(,,)P ΩF ,..r v ,X Y 0p >.||p E X ：X 的（分布的）p 阶绝对矩()VarX E X EX Δ=− X 的方差p EX （存在） X 的p 阶矩ΔX 的标准差协方差：(,)()()Cov X Y E X EX Y EY Δ=−− ()0E XY =称,X Y 为正交的相关系数：0(,)00VarX VarY X Y VarX VarY ρΔ⋅≠=⋅=⎩⇒ ,X Y 互不相关的(,)Cov X Y ≤若(,)1X Y ρ≤,由1(||)||ppP X a E X a≥≤,得Chebyshev 不等式 21(||)P X EX a VarX a−>≤ 0a >六、乘积可测空间上的测度1．两个乘积可测空间上的测度 (1) 乘积可测空间(,)i i ΩFi i Ω=ΩΠ=1乘积空间1{(,,):}n i i ωωωΩ=∈Ω ，11{1}nn i i i i i i A A i n σ====∈≤≤ΠΠ：，F F F ，1(,)(,)ni i i =Ω=ΩΠF Fi i A Ω⊂，1{(,,):}n i i A A ωωω=∈ ，可测矩形全体：i ni A A Π==1C 为Ω中可测的矩形全体 ()σ=F C(2) 截口Y X ,集合，E 是Y X ×的子集，分别称}),({E y x Y y E X ∈∈=：（或}),({E y x X x E Y ∈∈=：）为E 在X （或Y ）处的截口.记),(y x f 为Y X ×上的函数，),()(y x f y f x =),()(y x f x f y = (3) 引理引理 设11(,)ΩF 与22(,)ΩF 为可测空间（a）若21Ω×Ω∈E ，则1Ω∈∀x ，2Ω∈y ，有2x E ∈F ，1y E ∈F（b）若f 为21Ω×Ω上的12×F F 可测函数，则1Ω∈∀x ，2Ω∈y ，x f 为2Ω上的2F 可测函数，y f 为1Ω上的1F 可测函数.进一步引理 设11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF 为两个σ有限测度空间若21Ω×Ω∈E ，则函数(映照)x x E μ⎯⎯→为1Ω上可测；y y E ν⎯⎯→为2Ω上可测.(4) 乘积测度设11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF 为两个σ有限测度空间，则在12×F F 上存在唯一的测度νμ×，s.t，)()())((B A B A νμνμ=××， 1A ∈F ，2B ∈F ，从而νμ×亦为σ有限.此外对于12E ∀∈×F F 有12()()()()()()x yE E dx E dy μννμμνΩΩ×==∫∫则测度νμ×称为μ与ν的乘积. (5) 乘积测度的积分Theorem: σ有依测度空间11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF ，f 为21Ω×Ω上的非负12×F F 可测函数，则函数2x x f dv Ω→∫与1y y f d μΩ→∫分别在1F 和2F 可测，且有∫∫∫∫∫ΩΩΩΩΩ×Ω==×122121)()()()()(dx dv f dy v d f v fd x y μμμFubini's Theorem: σ有依测度空间11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF ，f 为21Ω×Ω上的12×F F 可测函数，若f 关于νμ×可积（积分存在），则：(a) 对..a e μ− x ，x f 为ν可积（关于ν积分存在），对..a e ν−y ，y f 为μ可积（关于μ积分存在）(b) 令⎪⎩⎪⎨⎧=∫Ωotherv f d f I x x x f 02)(可积（积分存在）为若ν⎪⎩⎪⎨⎧=∫Ωelsewheref d f I y y y f 01)(可积（积分存在）为若μμ则)(x I f 为μ可积（积分存在），)(y I f 为v 可积（积分存在），且有1212()()()()()f f fd v I x dx I y v dy μμΩ×ΩΩΩ×==∫∫∫另一种形式的Fubini's Theorem: If 0≥f or ||f d μ<∞∫，then∫∫∫∫∫ΩΩΩ×ΩΩΩ==212112)()(),()()(),(dy v dx y x f fdu dx dy v y x f μμFubini 定理有很多应用 2．乘积可测空间上的概率测度 （1）两维乘积空间上的概率测度设()()1122,,,ΩΩF F 为两个可测空间，[]12(,)120,1P A ωΩ×→F ，若函数12(,)P A ω满足：（a） 11ω∀∈Ω，1(,)P ω⋅是()22,ΩF 上的概率测度； (b) 222,(,)A P A ∀∈⋅F 是()11,ΩF 上的可测函数； 则称P 为()11,ΩF 到()22,ΩF 的转移概率. 注：函数12(,)P A ω满足：()()121,1,,0P P ωωφΩ==； ()12,0,P A A ω≥∀∈F ；2,,i i j A A A i j ϕ∈∩=≠F ，有1111(,)(,)i i i i P A P A ωω∞∞===∑∑.例：可测空间()11,ΩF 和()22,ΩF ，则（a）()⋅Q 是()22,ΩF 上的概率测度，则对()()22122,,A P Q A ω∈=F F 是一个转移概率;（b）可测映照()()1122:,,f Ω→ΩF F ，则()()()2121,A P A I f ωω=也是一个转移概率.(2) 定理定理2.5.1：可测空间()11,ΩF 和()22,ΩF ，1P 为()11,ΩF 上的概率测度，12P 为转移概率，则（a）在()1212,Ω×Ω×F F 上存在唯一概率测度P 满足 ()()()1121212111122,,,A P A A P A P d A A ωω×=∀∈∈∫F F。
第二章,第二节
S1
A
S2
B C D Ｔ
有m T = m ( A U B U C U D )
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗
= m ( A U B ) + m (C U D) (因为S1可测) = m ( A U B ) + m C + m D (因为S 2可测) = m ( A U B U C ) + m D (因为S1可测)
i =1
有m T = m (T ∩ E ) + m (T ∩ E )
* c
∗
∗
= m (T ∩ E ) + m (T ∩ E )
c *
∗
即Ac可测
现证推论2.2.1— 现证推论2.2.1—2.2.3 因 A ∪ B 可测已证明，则 A ∩ B = ( A c ∪ B c ) c
Q ∴ ∪ ∩
∞ ∞ i = 1
这 里 lim An = ∪ An
n→ ∞ n =1 ∞
n →∞
n →∞
(b) 若An 是递减的可测集列且
n →∞ n →∞
mA1 < +∞
这 里 lim A n = ∩ A n
n→ ∞ n =1 ∞
则m( lim An ) = lim mAn
注：左边的极限是集列极限， 而右边的极限是数列极限， (b)中的条件 mA < +∞ 不可少
i =1 n i =1 ∞ n n
从而m T ≥ ∑ m (T ∩ Ai ) + m (T ∩ (∪ Ai )c ) (*)
* i =1 i =1
∗
∞
∗
≥ m∗ (T ∩ (∪ Ai ) + m* (T ∩ (∪ Ai )c )
borel可测函数
borel可测函数目录第一章 Measure theory1.1 Ring和Algebra1.2 测度 & 外测度 & 测度的完备化1.3 外测度的构造 & Lebesgue测度 & Lebesgue-Stieltjes测度1.4 Metric Space &Metric Outer Measure1.5 Lebesgue测度再讨论1.6 带号测度（Signed Measure）& Hahn分解 & Jordan分解第二章可测函数（measurable function）2.1 可测函数的定义Section 1 预备知识定义1 （测度空间）设 X 是空间， \frak{a} 是 X 上的某个 \sigma 代数， \mu 是定义在\frak{a}上的测度，则称三元组(X,\mathfrak{a},\mu) 是测度空间。
在不强调\frak{a}和\mu 的情况下，简单记作 (X,\mathfrak{a}) 或 X 。
那么，若集合属于\frak{a}，则称该集合是 \mu 可测的（\mu\text{-}measurable ），有时简称可测的（measurable），要注意分辨。
注： E\in \mathfrak{a} 和 E 是可测的，是同一件事。
例子1（Lebesgue测度空间）若取 X 为 \mathbb{R}^n ，取\frak{a}为Lebesgue集 L ，取 \mu 为Lebesgue测度 m ，则称三元组(\mathbb{R}^n,L,m) 为Lebesgue测度空间（Lebesgue measure space）。
定义2（测度子空间）设有测度空间(X,\mathfrak{a},\mu)，令 Y 为可测集。
定义\mathfrak{a}_Y 为 Y 的所有可测子集，定义 \mu|_Y 是 \mu 在 Y 上的限制。
则三元组 (Y,\mathfrak{a}_Y,\mu|_Y) 也是测度空间，称为 (X,\mathfrak{a},\mu) 的测度子空间。
可测函数的定义与性质
1
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
a + (−∞) = −∞
（iii）对任意 b > 0, C < 0，
b ⋅ +∞ = +∞, b ⋅ (−∞) = −∞ ξ ⋅ +∞ = −∞, c ⋅ (−∞) = +∞
（iv） (+∞) ⋅ (−∞) = (−∞) ⋅ (+∞) = −∞
(−∞) ⋅ (−∞) = (+∞) ⋅ (+∞) = +∞
1 E{ x | f ( x ) ≥ a} = U E{ x | f ( x ) > a − } k k =1 E{ x | f ( x ) < a} = E − E{ x | f ( x ) ≥ a} ∞ 1 E{ x | f ( x ) ≤ a} = U E{ x | f ( x ) > a + } k k =1
i
第11讲 可测函数的定义与性质 11讲
（若 C i = C j ，则将 E i U E j 看作某个Ek ）， 往证对任意 a ∈ R1 , E{ x | ϕ( x ) > a} 是可测 集。显然，
∅ 当a ≥ Gn E{ x | ϕ( x ) > a} = E 当a ≥ G1 n U E j当C i ≤ a < C i +1 ( i = 1,L, n − 1), j = i +1
= [ E{ x | f ( x ) > a} I E{ x | f ( x ) = g ( x )}] U [ E{ x | f ( x ) ≠ g ( x )} I E{ x | g ( x ) > a}] 故E{ x | g ( x ) > a} 是可测集 E{ x | f ( x ) > a} I E{ x | f ( x ) = g ( x )}与一个零
实变函数课程基本信息
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实变函数课程基本信息
目录
• 课程简介 • 实变函数的定义与性质 • 实变函数的积分与微分 • 实变函数的极限与连续性 • 实变函数的学习方法与建议
01
课程简介
课程背景
01
实变函数是数学专业的一门重要 课程，是进一步学习泛函分析、 概率论等课程的基础。
02
该课程主要介绍实变函数的定义 、性质、积分、微分等基本概念 和定理，以及其在数学分析中的 应用。
03
微分计算
实变函数的微分可以通过导数 的基本公式、链式法则、乘积 法则等计算方法进行计算。
04
微分应用
实变函数的微分在求函数极值 、优化问题、近似计算等领域 有着广泛的应用。
实变函数积分与微分的关系
微积分基本定理
实变函数的积分和微分之间存在密切的联系 ，微积分基本定理是它们之间的桥梁。
导数的积分
连续的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序 性、介值定理和零点定理等性质。
实变函数极限与连续性的关系
1
极限与连续的关联
实变函数的极限和连续性是密切相关的 概念。函数的连续性可以由其极限性质 推导出来，而函数的极限性质也可以通 过连续性来研究。
2
连续不一定有极限
虽然连续函数在其定义域内每一点都存 在极限，但并不是所有函数都满足这一 性质。例如，狄利克雷函数在某些点处 不具有极限。
如果一个函数在某区间上可积，那么它的积 分函数在该区间上的导数等于原函数在该区
间上的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分的导数
如果一个函数在某区间上可导，那么它的导 数在该区间上的积分等于原函数在该区间上 的增量。
微分与积分的关系
14、可测函数定义及简单性质(一)
ⅱ）f(x)在集合E上连续
注3
ⅰ’）定义在集合E 上的实函数 f(x) 在一点连续的定义 设f(x)为E上有限实函数， 若∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得f ( N （x0，δ） ∩ E) ⊂ N （f (x0 )，ε）
思考
若集合 E是孤立点集, 则定义在集合 E上的实函数 f(x)在E上连续吗?说明理由. 当E=(a，b)时,与数分中连续的定义一样
注1 由定义，函数可测讨论的是集合可测——实函中函数的讨论方法主要是集合分析法
)，若 ∀a ∈ R, E[ f ≥ a] 可
2、 可测函数举例
例1(104页7) 设f(x)是 R 1 中的可测子集E上的单调函数，证明： f(x) 在E上 可测。
证：不妨设f ( x)单增，对∀a ∈ R, 则 inf { x | f ( x) ≥ a, x ∈ E} = xa
3）证明定理3 当f(x)既是 E1 上又是 E2 的可测函数， f(x)也是 E1 ∪ E上 的可测函数 2
证明：
记E = E1 ∪ E2
由E[ x | f ( x) ≥ a] = E1[ x | f ( x) ≥ a] ∪ E2 [ x | f ( x) ≥ a]
可知E[ x | f ( x) ≥ a]也为可测集
5、定理5 定义在可测集 E上的可测函数列的上下确界函数、上下极限函数必可测。 6、定理5推论2 可测函数列的极限函数若存在，则也必可测。
7、定理6 定义在可测集 E上的函数可测充要条件是它的的正部与负部函数均可测。
总结
可测函数对四则运算、绝对值运算、上下确界运算、 上下极限运算、极限运算、正负部运算等均封闭。
由 f 单调增知下面的集合为可测集
存在
《实变函数论 》第二章可测集与可测函数
证明1):当F为闭集时 F Fn , 其中Fn F (n) ,所以F为Fσ集
n 1
构造Gn
{x | d (x, F )
1}为开集 n
则F= Gn为G 型集
n 1
通过取余将 Gδ型集与 Fσ型集相互转化（并与交，开集与闭集互 换）得开集也既是Gδ型集又是Fσ型集
可数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；可数集是Fσ集 无理数集通过有理数集取余是Gδ集
故m(E F ) 0
“(3)=>(1)已” 知: F型集F0 E, m*(E F0 ) 0
从而(E F0 )可测,即E F0 (E F0 )为可测集
定理２.3.5： 里外接近
(1)E可测
(2) 0, 闭集F,开集G满足F E G，m *(G F )
(3)F型集F0，G型集G0满足F0 E G0且m *(G0 F0 ) 0
取闭集 F Gc (EC )C E
m(E F) m(E F c ) m(F c E) m(G Ec)
“(2)=>(3)”,对任意的1/n，
闭集Fn，使得E
Fn且m (E
)
1 n
令F Fn，则F为F 型集，E F且
n 1
0
m ( E
F)
m (E
Fn
)
1 n
,n
1,
2, 3,
E
i 1
Ei
其中mEi
对每个Ei应用上述（a)的结果
开集Gi，使得Ei
Gi且m(Gi
Ei )
2i
令G
i1
Gi
,
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i1
Gi
测度与概率第二版教学设计
测度与概率第二版教学设计一、教材简介本教学设计针对《测度与概率》第二版（作者：周勇，出版社：高等教育出版社）这一教材进行。
该教材主要介绍测度论的相关概念及其在概率论中的应用。
二、教学目标1.理解和掌握测度论的基本概念，如测度、可测集、完全可测、Lebesgue测度等；2.掌握测度论在概率论中的应用，如随机变量、期望、条件概率、大数定律、中心极限定理等；3.能够运用测度论和概率论知识解决实际问题。
三、教学内容及安排第一章测度空间1.1 测度空间的概念1.2 测度空间的性质1.3 测度空间的例子教学方法：讲授 + 讨论第二章可测函数和可积函数2.1 可测函数2.2 相关定理2.3 可积函数第三章 Lebesgue测度3.1 Lebesgue测度的概念3.2 Lebesgue测度的性质3.3 Lebesgue可积函数教学方法：讲授 + 练习第四章随机变量4.1 随机变量的概念和分类4.2 随机变量函数的分布4.3 分布函数教学方法：讲授 + 讨论第五章期望5.1 期望的定义及性质5.2 切比雪夫不等式和Markov不等式5.3 Fatou引理和Lebesgue收敛定理教学方法：讲授 + 练习第六章条件概率6.1 条件概率的概念与性质6.2 独立性与无后效性6.3 贝叶斯公式第七章大数定律与中心极限定理7.1 大数定律7.2 中心极限定理7.3 证明教学方法：讲授 + 讨论四、教学评价方法1.平时出勤情况2.课堂参与情况3.期中、期末测验4.作业及其准确度5.自主学习情况五、教学资源1.化学与材料科学学院教学楼2.教学用书：《测度与概率》第二版3.录音笔、投影仪4.网络资源：自建教学网络平台，可供学生在线学习和练习六、教学实施本教学设计应由专业教师授课，推荐采用课堂讲授和小组讨论相结合的方式，以便更好地理解和掌握教材内容。
学生在听课的同时应积极参与讨论和练习，并按时完成作业和测验。
学生可在自主学习期间针对课堂中的难点和疑点进行互相探讨和学习。
可测集与可测函数
G
F
a
E
b
E
a
b
将曲边梯形看作平面点集E, 每一个矩形就是一个 的区间，所有内接矩形之集记为开集F , 所有外接矩形 之集记为开集G, 则F E G.若记E的面积为mE，则 m内E sup{ F 开F E}, m外 E inf { G 开G E}.
可用开集F从内部逼近E, 也可用开集G从外部逼近E.
第二章.可测集与可测函数
在绪论中我们知道D( x)在[a, b]不可积，是由于
黎曼积分总是将[a, b]分成若干小区间造成的.
若将[a, b]分成小集合：E1，E2， ，En，使得在每 个Ei 上f (x)的值变化不大, 即对值域进行分割，则
采用这样的分割，有界函数总是可积的. 但由于Ei 不一定是区间，它很不规则，那么Ei的
由的任意性知m* A m* B m* ( A B).
(4).证当d ( A, B) 0时，有m* ( A B) m* A m* B. 由(3)知，m* ( A B) m* A m* B； 下证当d ( A, B) 0, 有m* ( A B) m* A m* B. * 由m ( A B ) inf { G 开G A B}知，对 0, 开G A B, 使得 G m* ( A B) .
* * * * n 1 n 1
n 1
由此知：、有限集、可数集外测度皆为0.
证明：m* ([0,1] Q) 1. 例2.
证明：由于[0,1] ([0,1] Q) ([0,1] Q)，又
m* ([0,1] Q) 0， ,1] Q [0,1], 所以 [0 1 m*[0,1] m*[([ 0,1] Q) ([0,1] Q)] * * * m ([0,1] Q) m ([0,1] Q)] m ([0,1] Q)
可测函数的定义及其简单性质
E[
f
可测，
a g ]
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q,使f (x) r a g(x)
即x
(
rQ
E[
f
r ]
E[
g
ar
]
)
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q, 使f (x) r a g(x)
⑶几乎处处收敛: 记作 fn f a.e.于E (almost everywhere）
E[ fn f ] 0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
⑷几乎一致收敛:记作 fn f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
第三章 可测函数
第一节 可测函数的定义及其简单性质
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi
Ei {x : yi1 f (x) yi}
yi-1
yi1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
lim
0
i 1
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
f-1((a,+∞)) = i (ai ,bi )
g
1
(i (ai
,
bi
))
(
i
g
1
((ai
,
bi
)))
测度与概率复习第二部分
不过如果 ∫Ef+ 和 ∫Ef− 同时为 ∞ 的话，这个式子就没有意义了。因此我们做一点限制，注意到 |f|=f++f− 也是一个非负可测函数，如果 |f| 可积的话，可以得到 f+ 和 f− 都是可积的（反之也对），这个时候上面的式子就不会出现无穷相减的问题。因此，对于任意可测函数 f ，当非负可测函数 |f| 是可积的时候，我们称 f 是可积的，并用上面那个式子来定义它的积分。这样一来，我们的勒贝格积分终于定义好了！
∫[0,1]χQ=1⋅m([0,1]∩Q)=0
到这里，勒贝格积分的最原始形式就已经初露锋芒了：Dirichlet function 这个东西由于太不连续了，黎曼积分是无法对它进行处理的。选择简单函数作为起点，一个是因为它简单，另一个是因为它性质非常好：对于任意一个定义在可测集 E （并没有要求测度有限）上的可测函数 f ，存在 E 上的一列简单函数 {ϕn} 逐点收敛于 f ，并且满足 |ϕn|≤|f| 。如果 f 是非负函数的话，还能做到这一列简单函数是单增收敛于它的，这一点性质很好，利用这个，我们可以来定义非负可测函数的积分：
不过，如果我们想要在抽象的集合上定义概率的若干基本概念，就必须要用勒贝格积分。前面的直观解释虽然看起来还蛮简单的，但是对值域进行划分也并不是简单地将“对定义域进行划分”的方法类比过来就行得通的，因为对于一个自变量，总是只有唯一的函数值，但是反过来，对于一个函数值，却有可能会有许多自变量与它对应。具体地操作起来，还需要借助于测度这个工具。
最后，只要再推广到任意可测函数就大功告成啦！而这个推广也是非常简单的，对于任意可测函数 f ，我们可以把它分解为正部和负部：f=f+−f− ，其中
f+(x)f−(x)=max{f(x),0}=max{−f(x),0}
1.1 测度与可测函数例题
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区间[0,1]上的狄里克来函数 上的狄里克来函数D(x)是L可测函数 可测函数. 例6 区间 上的狄里克来函数 是 可测函数 1, x为[0,1]中的有理数 为 中的有理数 0, x为[0,1]中的无理数 为 中的无理数 当α>1时, E(D>α)=Φ是可测集 时 α Φ是可测集, α≤1时 中的有理数}是可测集 当0<α≤ 时, E(D>α)={x| x为[0,1]中的有理数 是可测集 α≤ α 为 中的有理数 是可测集, α≤0时 是可测集. 当α≤ 时, E(D>α)=[0,1]是可测集 α 是可测集 因此, 因此 D(x)是L可测函数 是 可测函数
证: D(x)=
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第5页
定义在零测集E上的任何函数 上的任何函数f(x)都是 可测函数 都是L可测函数 例7 定义在零测集 上的任何函数 都是 可测函数. ∀α∈R, 证: ∀α∈ E(f>α)={x|f(x)>α, x∈E}⊂E α α ∈ ⊂ ⇒m(E(f>α))≤m(E)=0 α ≤ ⇒m(E(f>α))=0 α ⇒E(f>α)也是零测集 α 也是零测集 ⇒ f(x)是可测函数 是可测函数
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的可测函数. 例8 集E的特征函数χE(x)是R上的可测函数 的特征函数χ 是 上的可测函数 证: χE(x)= 1, x∈E ∈ 0, x∉E ∉
当α>1时, E(χE≥α Φ是可测集 时 χ ≥α)=Φ是可测集, α≤1时 当0<α≤ 时, E(χE ≥α α≤ χ ≥α)=E是可测集 是可测集 α≤0时 是可测集 当α≤ 时, E(χE≥α χ ≥α)=R是可测集 定理6 定理 f(x)、g(x)是E上的可测函数 、 上的可测函数 是 上的 ⇒kf(x)、f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、f(x)/g(x)(g(x)≠0)、 、 ± 、 、 ≠ 、 及|f(x)|都E上的可测函数 | 上的可测函数 ⇒χ(x)是L可测函数 是 可测函数
第二章,第四节
f ( x) x E( f 0) x E(f 0) 0
， f ( x )＝
0
x E( f 0) x E(f 0)
lim f n ( x) sup inf{ f m ( x)}
n n m n
gn
h n
E[ a] E[ f n a] E[ a] E[ f n a]
n1 n1
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
应用：
由f单调增知下面的集合为可测集
E[ f a ] {
E [ I a , ) 当I a E [ f a ] E ( I a , ) 当I a E [ f a ]
a I a x1 x2
3.可测函数的性质(推论2.4.2,定理.4.3)
⑴可测函数关于子集、并集的性质
即:若f(x)是E上的可测函数,
n1
5) 2)
a E[ f a ] ( E[ a f a n ] ) E[ f ]
n 1
另外：Ｅ[f=a]=E[f≧a]-E[f>a]为可测集
推论2.4.3 R中的可测子集E上的单调函数 可测
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令I a inf{x | f ( x) a}
证明: 因为fn是可测函数
所以h= lim f n , g lim f n均可测,
n n
故收敛点全体E[h g 0]可测
课程编号 002201 课程中文名称 实变函数论 48学时 2学分
课程编号 002201 课程中文名称实变函数论48学时/ 2学分英文译名：Real Variable Functions适用领域：数学、力学、计算机、控制理论等开课单位：理学院任课教师：杨海欧教学目的：把现代分析学中的要点测度论与积分学介绍给博士生，这些内容是现代分析数学的基础，是深入研究微分方程、泛函分析、概率等内容不可或缺的工具。
目的是让学生接受严格的数学思维训练，引导学生掌握这些知识并使他们可以阅读理解当代文献预备知识或先修课程要求：微积分（数学分析）、线性代数、偏微分方程（数学物理方程）、概率论与数理统计教学方式及学时分配：课堂授课40学时，讨论8学时教学主要内容以及对学生的要求：第一章集合与势1.理解集合的概念2.会进行集合运算3.理解对等与基概念4.理解（不）可列集概念，了解常见（不）可列集5.掌握实数定理，了解开、闭集关系与康托集第二章勒贝格测度1．理解内外测度的概念，掌握其性质2. 理解可测集概念，掌握可测集性质3．了解无界可测集第三章勒贝格可测函数1. 理解可测函数的概念，掌握可测函数的性质2. 理解叶果洛夫定理，并会运用它3. 掌握函数列的收敛性4．了解可测集的构造5. 理解鲁津定理，法都定理并会运用6. 掌握几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的概念和相关结论第四章勒贝格积分1. 了解黎曼积分的概念2. 理解勒贝格积分的概念，了解性质与黎曼积分的关系3 理解一般可积函数概念，了解它们的性质4. 理解积分的极限定理，并会运用5. 了解勒贝格积分的几何意义，理解Fubini定理6. 了解有界变差函数的概念及性质7. 了解斯蒂阶积分的概念8. 了解勒贝格-斯蒂阶积分的概念9. 掌握R积分与L积分的区别内容摘要：自从20世纪初Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程、及偏微分方程中，都产生了极大影响，它还有助于概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。
《高等概率论课程》教学大纲
《高等概率论课程》教学大纲课程编号：Math1092课程名称：高等概率论英文名称：Advanced Probability Theory开课单位：数学科学学院开课学期：秋课内学时： 34教学方式：讲授适用专业及层次：统计学学术型硕士考核方式：考试预修课程：概率论、实变函数、分析学、代数学一、教学目标与要求《高等概率论》课程是统计学专业研究生的必修专业课程，也是应用性很强的一门数学课程．它是研究随机现象的数量规律的数学学科，以研究生课程分析学与代数学，本科生课程初等概率论与实变函数等为前期课程准备。
高等概率论课程重点给出集合、空间、测度、可测函数与积分的定义，以适合于概率需要的形式讲述了测度论的知识；给出概率、随机变量、随机向量、随机函数的概念，以及概率论研究中的所需的重要工具—常用的矩不等式和基本不等式；空间及其完备性；积分表现定理—Riesz定理；独立性的概念，独立扩张定理，复合定理和乘法定理。
重点是独立随机变量序列的零壹律，独立随机变量和的收敛性与稳定性，利用Borel-Cantelli引理、等价性引理等得到独立随机变量序列的二级数定理、三级数定理以及强大数定理。
通过本课程的教学，应使学生掌握高等概率论的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生掌握以测度论为基础的高等概率论的基础知识，为后续课程的学习、开展科学研究打下坚实的理论基础。
二、课程内容与学时分配导论（5学时）0．1 简单随机变量 0.2 Borel强大数律1．3 经验分布函数与格里定理第一章集合、空间与测度（12学时）1．1 序列的极限 1．2 域与-域1．3 单调类 1．4 乘机集合与截口1．5 函数与反函数 1．6 可测函数与可测函数第二章可测函数与积分（12学时）2．1 可测函数 2．2 测度的各种收敛性2．3 依测度收敛 2．4 积分与性质2．5 积分的收敛性定理 2．6 不定积分与累次积分2．7 Radon-Nikodym定理 2．6 无穷乘积概率空间第三章概率（12学时）3．1 概率空间与随机变量 3．2 随机向量、随机序列和随机函数3．3 矩不等式和各种收敛性 3．4 空间及其完备性3．5 积分表现定理—Riesz定理第四章独立随机变量和（13学时）4．1 独立性概念 4．2 独立扩张定理与复合定理4．3 乘法定理与等价性定理 4．4 Borel-Cantelli引理，Kolmogorov 0-1律4．5 独立随机变量和的收敛性与稳定性 4．6 二级数定理与三级数定理三、教材M. Loeve，《Probability Theory I》，4th edition, Springer-Verlag．主要参考书1．缪柏其, 概率论教程, 中国科学技术大学出版社, 1998．2．Y. S. Chow, H. Teicher, Probability Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1988. 3．Shiryayev A.N, Probability, Springer-Verlag, 1984．4．汪嘉冈, 现代概率论基础, 复旦大学出版社, 1988．5．严加安, 测度与积分, 陕西师范大学出版社, 1988.6．李贤平, 概率论基础, 第三版, 北京:高等教育出版社, 2011.。
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第二章测度与可测函数
本章内容提要：
1.引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质
2.引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质
3.讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构
4.讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系
本章重点难点提示：
1.Lebesgue测度与抽象测度的概念及其性质
2.判定一个集合是否可测的方法
3.可测函数的几种等价定义
4.可测函数与连续函数之间的关系
5.可测函数列的几种收敛性之间的关系
第一节Lebesgue测度
2.1.1定理
存在集族L与集函数L，使它们具有以下两组性质
L.
若L，则L.
若L，则L.
若是开集，则L.
.
-可加性若L，互不相交，则
完备性若则L.
测度单位.
平移不变性若L，则L，且
逼近性质任给L，，存在闭集与开集，使
且.
证明见§2.5.
定义Th2.1.1中的称为一维Lebesgue测度，L中的集称为一维Lebesgue可测集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L的构成，而则表示测度的特征.
由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质
2.1.2命题
若L，，则L；若L，则L.
证明
L，L.
综合性质与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为可测集.由性质进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集叫Borel集，见§2.5)，特别地:型集与型集是可测集.
2.1.3命题
测度有以下性质L.
①单调性:若L，，则.
②可减性:若L，，则.
③次可加性:若L，则.
④下连续性:若L是一升列，则.
⑤上连续性:若L是一降列，且则
.
证明:
①且
由性质及.
②当时，由得
.
③令则L且互不相交，且
，于是
.
④令，则.可设(否则结论
显然成立).于是由性质及可减性得：
⑤由可减性及下连续性得：
2.1.4命题
①若是可数集，则.
②若是区间中任何一个，其中
则.
③若是中开集，是的构成区间，
则.
证明
①由性质可加性，只需证明单点集是可测集且测度为0.是闭集，可测，由性质:平移不变性，与无关，即
用反证法证明，否则
与性质矛盾.
②首先设，则由①可数集的测度为0，知
.
由性质有
，
从而.
对任何正有理数有
.
对任给正实数，取一列正有理数，使，则，于是由下连续性有
.
当时，由性质得.再设
，则由下连续性知
.
若则，由下连续性可得
.
若则，由下连续性可得
.
③由性质可加性直接得到.
例1设是Cantor集，则由命题2.1.4③知
于是由命题2.1.3.②可减性有.
2.1.5命题
①若L，则
②L存在型集，使存在型集使
.
证明
①由定义显然.下面只需证明，由性质:逼近性质有闭集与开集，使得，使，于是
令，则是紧集(有界闭集)的升列，且于是由下连
续性知，，从而
是任意的.
②由对偶律只需证明L存在型集使.
若L，则由性质:逼近性质有闭集使
令则是型集，且
从而.
若有型集使，则是可测集，
从而L.
综合命题2.1.4和2.1.5得出结论:区间的测度就是其长度；中开集的测度是其构成区间的长度之和；可测集的测度是包含该集的开集测度的下确界；每个可测集是一型集与一零测度集之并，或者是一型集与一零测度集之差.这些结论表明:具有Th2.1.1中性质
和的集族L与集函数L是惟一确定的.
对于，有完全类似的结果:
2.1.6定理(类似Th2.1.1)
存在惟一的集族L与集函数L，使得它们具有以下两组性质:
L.
若L，则L.
若L，则L.
若为开集，则L.
.
可加性：若L，互不相交，则
.
完备性: 若，则L.
测度单位: .
平移不变性: 若L，，则L，且
.
逼近性质: 任给L，，存在闭集与开集，使
且.
定义Th2.1.6中的称为维Lebesgue测度，L中的集称为维Lebesgue可测集.。