线性代数-北京邮电大学出版社-戴赋祥

线性代数北京邮电大学出版社戴赋祥习题 三 （A 类）1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α3＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α) 整理得：α=16(3α1+2α2-5α3),即α=16(6,12,18,24) =(1,2,3,4)3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设112123123()()0,k k k αααααα+++++=即123123233()()0.k k k k k k ααα+++++=由123,,ααα线性无关，有1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩所以1230,k k k ===即112123,,αααααα+++线性无关.6.问a 为何值时，向量组'''123(1,2,3),(3,1,2),(2,3,)a ααα==-=线性相关，并将3α用12,αα线性表示.解：1322137(5),32A a a=-=-当a =5时，312111.77ααα=+7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为1010110010001001⎛⎫⎪-⎪⎪⎪⎝⎭.8. 设12,,,s ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r ααα线性表出.证明：12,,,r ααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若 12,,,r ααα (1) 线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组. 9. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),110101002a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121110002a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0).11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组. (1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2) α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；(3) α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α5＝(2，1，5，6). 解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B ，则1114110141141913951115409500000036701810000000A B ⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪=→→→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭52 0 50 0 99 可知：R （Α）=R （B ）=2，B 的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B 的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B 对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组. （2）同理，61701714010810111201201312438⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 1 -1 55 2 -9 0 4 40 - 55 7 -9 -9 0 -8 40 1 -6 0 5 -15 -10 5 -15 22 0 40 1111010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭-10 0 0 0 2 -9 07 2 -9 0 0 0 0 -5 -11 -5 0 0 0450 0 0 -0 0 10 00 0 1 0110 0 0 10 0 0 240 0 10 0 0 0 0110 0 0 0B⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10 0 0 0 可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组. (3)同理,A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 0 3 1 2 1 0 3 1 2 1 0 3 1 2 1 0 3 1 2-1 3 0 -1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 12 1 7 2 50 1 1 0 10 0 0 -4 -40 0 0 1 14 2 14 0 60 2 2 -4 -20 0 0 0 00 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 0 0, 可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示. (1) α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2) α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7). 解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式.11111100101A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3 -1 5 -1 0 11 - 5 -1 -1 5 -127 -2 3 2 -7 47 - 2 - 2223 -1 8 10 2 -7 40 0 0 00 0 0 01 3 -9 70 4 -14 8 0 0 0 00 0 0 0B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组.设α3=x 1α1+x 2α2,即12121212523839x x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪+=-⎩解得,1237,22x x ==-设α4=x 3α1+x 4α2,即12121212133137x x x x x x x x -=-⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩解得,121,2x x ==所以31241237,2.22a a a a a a =-=+(2)同理, 1111111A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=→→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 1 4 -3 1 1 4 -3 1 02 1 -21 -3 -2 -10 -2 2 -6 20 -1 3 -12 3 5 -50 - 1 -3 10 0 0 0 03 5 6 -70 -2 2 -6 20 0 0 0 0 可知, α1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x 1α1+x 2α 2可得：121213x x x x +=⎧⎨-=⎩即x 1=2,x 2=-1,令α4=x 3α1+x 4α2,可得：121242x x x x +=⎧⎨-=-⎩即x 1=1,x 2=3,令α5=x 5α1+x 6α2,可得：121231x x x x +=-⎧⎨-=-⎩即x 1=-2,x 2=-1,所以α3=2α1-α2α4=α1+3α2,α5=-2α1-α213. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ij jj a i r ===∑ αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r = β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.14. 设向量组α1,α2,…,αs 的秩为r 1,向量组β1,β2,…,βt 的秩为r 2,向量组α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt 的秩为r 3,试证:max{r 1,r 2}≤r 3≤r 1+r 2. 证明：设αs1,…，1r S α为α1,α2,…，αs 的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,2r t β为β1,β2,…,βt 的一个极大线性无关组. μ1，…，3r μ为α1, α2，…，αs ，β1，β2，…，βt 的一个极大线性无关组，则αs1,…，1r S α和βt1，…，βtr2可分别由μ1，…，3r μ线性表示，所以，r 1≤r 3，r 2≤r 3即max{r 1,r 2}≤r 3，又μ1，…，3r μ可由αs1,…，αsr1，βt1，…，βtr2线性表示及线性无关性可知：r 3≤r 1+r 2.15. 已知向量组α1=(1,a ,a ,a )′,α2=(a ,1,a ,a )′,α3=(a ,a ,1,a )′,α4=(a ,a ,a ,1)′的秩为3,试确定a 的值.解：以向量组为列向量，组成矩阵A ，用行初等变换化为最简形式：1113110a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-1 0 0 1- 0 0 1 -1 0 1- 00 0 1- 0 1-1 0 0 1-0 0 0 1- 由秩A=3.可知a ≠1,从而1+3a =0，即a =-13.16. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.17. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++ x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++= αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++= 所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.18. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3. 【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.19. 求由向量12345(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1),(4,5,6,4)=====ααααα所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400000=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.20. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,0131000001310000=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.21. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),110011001110101101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,111000x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε22. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX .则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A B 作初等行变换因有↔A E ,故123,,ααα为R 3的一个基，且1212323(,)(,,),3312⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ββααα即1123212323,332=+-=--βαααβααα.（B 类）1.A2.B3.C4.D5.a=2，b=46.a bc ≠07.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1) α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2) α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,k n,k n+1,使k1α1+k2α2+…+k n+1αn+1=0.证明:因为α1，α2，…，αn，αn+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，k n，k n+1使k1α1+k2α2+…+k n+1αn+1=0若k1=0，则k2α2+…+k n+1αn+1=0，由任意n个向量都性线无关，则k2=…=k n+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知k i≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,k n,k n+1,使k1a1+k2a2+…+k n+1a n+1=0.9. 设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.习题四（A类）1. 用消元法解下列方程组.(1)12341241234123442362242322312338;x x x x,x x x,x x x x,x x x x+-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩(2)1231231232222524246;x x x,x x x,x x x++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【解】(1)412213223123(1)14236142362204211021()322313223112338123381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦A b 32434243324142360129200426100112614236142360129201292,0011260011260042610007425r r r r r r r +↔++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得12342343444236 292 126 7425x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 所以1234187,74211,74144,7425.74x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩(2)解②-①×2得 x2-2x 3=0③-① 得 2x 3=4 得同解方程组233 24x ⎨⎪=⎩由⑥得 x 3=2, 由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=2-2x 3 -2x 2 = -10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(-10,4,2)T . 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) 123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)1234123412341234 5 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ (3) 1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4)123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)123123123320503580.x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 32213123132132132151021021358042000r r r r r r +--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A得同解方程组1323123232333723,23201,202,x x x x x x x x x x x x x ⎧=--=-⎪++=⎪⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎪=⎩得基础解系为T71122⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2) 系数矩阵为32213142413211511151112302743181027413970414811510274() 2.000000r r r r r r r r r r r ---------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A∴ 其基础解系含有4()2R -=A 个解向量.1342123434342343344331225077222227400110x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-=-⎧⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⇒==+⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎩⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦基础解系为31272,.20110⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3)213132232112271122723450010114356800202211122701011400007r r r r r r ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A得同解方程组12345245552270,140,700.x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+-=⎨⎪=⇒=⎩取3410,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得基础解系为(-2，0，1，0，0)T ,(-1，-1，0，1，0).(4) 方程的系数矩阵为2131322312221122211213200111247110033312221()2,0011100000r r r r r r R --+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥−−−→=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A∴ 基础解系所含解向量为n -R (A )=5-2=3个取245x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为自由未知量 245010,,,001100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得基础解系 324010,,.101001100--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 解下列非齐次线性方程组.(1) 123123121232122423442;x x x ,x x x ,x x ,x x x ++=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪++=⎩ (2) 12341234123421422221;x x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩(3) 123412341234212125;x x x x ,x x x x ,x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩ (4) 12345123452345123457323222623543312x x x x x ,x x x x x ,x x x x ,x x x x x .++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩【解】（1） 方程组的增广矩阵为32213142414324121121112121240322()12030322414203421121112103220322000000120024000r r r r r r r r r r r r ------↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A b得同解方程组3123323231232,21223222,3212 1.x x x x x x x x x x x x =⎧++=⎧⎪+⎪⎪--=⇒==-⎨⎨-⎪⎪=⎩⎪=--=-⎩ (2) 方程组的增广矩阵为312122*********()42212000102111100020r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦A b得同解方程组123444421,00,20,x x x x x x x +-+=⎧⎪⇒=-=⎨⎪-=⎩即123421,0.x x x x +-=⎧⎨=⎩ 令130x x ==得非齐次线性方程组的特解x T =(0，1，0，0)T .又分别取2310,01x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得其导出组的基础解系为TT1211;,,1,0,0,0,1,022⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ∴ 方程组的解为121211022110.,001000x k k k k ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R(3) 2131121111211112111000221211500004r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦()()R R ≠A A ∴ 方程组无解.(4) 方程组的增广矩阵为31413242351111171111173211320122623()01226230122623543311201226231111170122623,000000000r r r r r r r r --+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b分别令345010,,001100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得其导出组12345234502260x x x x x x x x x ++++=⎧⎨----=⎩的解为123123511622,,.010001100k k k k k k R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令3450x x x ===,得非齐次线性方程组的特解为：x T =(-16,23,0,0,0)T ,∴ 方程组的解为1231651123622001000010100x k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中123,,k k k 为任意常数.4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有112321233130.10.20.4522,0.20.20.30,0.50.1255.6,x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪--=⎩即 123123130.90.20.4522,0.20.80.30,0.50.8855.6,x x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩解之 123100,70,120;x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩5. λ取何值时，方程组12312321231,,,x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为211111;,11111111λλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B |A |=2(1)(2)λλ-+.(1) 当λ≠1且λ≠-2时，|A |≠0，R (A )=R (B )=3.∴ 方程组有惟一解212311(1),,.22(2)x x x λλλλλ--+===+++（2） 当λ=-2时，312121221111212121221111124112412121212,0333033303360003r r r r r r -↔+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦BR (A )≠R (B ),∴ 方程组无解.(3) 当λ=1时2131111111111111000011110000r r r r B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R (A )=R (B )<3,方程组有无穷解.得同解方程组123223 3.1,,x x x x x x x =--+⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 得通解为1212123111, ,.100010x x k k k k R x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6. 齐次方程组0020x y z ,x y z ,x y z λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩当λ取何值时，才可能有非零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为1111211λλ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A |A |=(4)(1)λλ-+当|A |=0即λ=4或λ=-1时，方程组有非零解.(i) 当λ=4时,21213123234215134111411411414110155211211093141141031031031000r r r r r r r r r r ↔--⋅-⋅--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A得同解方程组112322331340.13031x x x x x k k R x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤+-=⎢⎥⎡⎤⎢⎥⇒=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦(ii) 当λ=-1时,2121312111111111111111000211211013r r r r r r ↔+------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A得131232323332,03,30x x x x x x x x x x x=-⎧--=⎧⎪⇒=-⎨⎨+=⎩⎪=⎩ ∴ (123,,x x x )T =k ·(-2,-3,1)T .k ∈R7. 当a ,b 取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1） 123412341234123423123132236x x x x x x x x x x x x a x x x bx ++-=⎧⎪+++=⎪⎨---=⎪⎪+-+=-⎩ (2) 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨----=⎪⎪+++=-⎩【解】方程组的增广矩阵为(1)213132414237212311123111123101140()311207101323160172812311123110114001140003273003273006280r r r r r r r r r r a a b b a a b b -------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥----+-⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥−−→⎢⎥------⎢⎥---+⎣⎦A b .5222a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(i) 当b ≠-52时,方程组有惟一解12344(1)326(1),,352352318(1)2(1),.35252a a a a x x b b a a a x x b b +-+=-=-++-++=-+=-++(ii) 当b =-52,a ≠-1时，方程组无解.(iii) 当b =-52，a =-1时，方程组有无穷解. 得同解方程组123423434231403274x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--+=⎨⎪--=-⎩(*) 其导出组123423434230403270x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--+=⎨⎪--=⎩的解为1412423434442,21313.9,91.x x x x x x k k x x x x x x =⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=⎪⎢⎥⎢⎥=∈⎨⎢⎥⎢⎥=--⎪⎢⎥⎢⎥⎪=⎣⎦⎣⎦⎩R 非齐次线性方程组（*）的特解为取x 4=1, 12345335.32331x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴ 原方程组的解为5323513.3923131x k k ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦R(2)32414231111001221()01(3)23211111100122100101012311111001221.001010010r r r r r r a b a a b a a b a +-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥-+⎢⎥----⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦A b(i) 当a -1≠0时，R (A )=R (A )=4,方程组有惟一解.12342123.1110b a a x a b x a x b x a -+⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(ii) 当a -1=0时,b ≠-1时，方程组R (A )=2<R (A )=3, ∴ 此时方程组无解.(iii) 当a =1，b = -1时，方程组有无穷解. 得同解方程组12342340,22 1.x x x x x x x +++=⎧⎨++=⎩ 取13423433441,221,,,x x x x x x x x x x =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩∴ 得方程组的解为12121234111221.,100010x x k k k k x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦R8. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0. 【解】设B =(b 1 b 2 b 3),其中b i (i =1,2,3)为列向量,由123123()(1,2,3)i i =⇒=⇒==⇒AB A b b b Ab b b b 00为Ax =0的解.求123112224336x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=0的解.由 213123112112224000336000r r r r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A得同解方程组12322332,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 其解为121212312.,1001x x k k k k R x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦取123120;;,100010--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦b b b则120100010--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B9.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R (A )=1及122313111,,,011001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη求方程组Ax =b 的通解.【解】Ax =b 为三元非齐次线性方程组R (A )=1⇒Ax =0的基础解系中含有3-R (A )=3-1=2个解向量.131223121323110()(),01100110()(),110101-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=+-+==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=+-+==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ηηηηηηηηηηηη由123,,ηηη为Ax=b 的解1312,⇒--ηηηη为Ax=0的解,且1312(),()--ηηηη线性无关1312,⇒--ηηηη为Ax =0的基础解系. 又[]11223131()()()211112111,011022200112ηηηηηηη=+-+++⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∴ 方程组Ax=b 的解为11132121212()()1002.,0101012k k k k k k =+-+-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦x ηηηηηR10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1) 1223==;1001,-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ(2) 123121232==,=021352132,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξ【解】(1) 1223==1001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ设齐次线性方程组为Ax =0由12,ξξ为Ax =0的基础解系，可知11121222133223231001x x k k k k x x k x x k -+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x令 k 1=x 2 , k 2=x 3⇒Ax =0即为x 1+2x 2-3x 3=0.(2) A (123ξξξ)=0⇒A 的行向量为方程组为12345121232()0021352132x x x x x ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的解.即124512345123452302325302220x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-++-=⎨⎪-++-=⎩的解为 31212120311203123253012111212200111r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦得基础解系为1η=(-5 -1 1 1 0)T 2η=(-1 -1 1 0 1)TA =5111011101--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦方程为1234123550,0.x x x x x x x x --++=⎧⎨--++=⎩11. 证明：线性方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有解的充要条件是510i i a ==∑.【解】2152123451234151234125110000110000110000111000111000011000011000011010011100001100001100001100101r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦A 12345111000011000011000011001i i a a a a a =-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 方程组有解的充要条件，即R (A )=4=R (A )510i i a =⇔=∑得证.12. 设*η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，12n r ,,,-ξξξ 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明（1）1*n r ,,-,ξξ η线性无关； （2）1++***n r ,,-,ξξ ηηη线性无关. 【 证明】(1) 1*n r ,,-,ξξ η线性无关⇔110*n r n r k k k --+++=ξξ η成立,当且仅当k i =0(i =1,2,…,n -r ),k =01111()00*n r n r *n r n r k k k k k k ηη----+++=⇒+++=A ξξA A ξA ξ∵12n r ,,,-ξξξ 为Ax =0的基础解系0(1,2,,)i i n r ξ⇒==-A*0k ⇒=A η由于*0b =≠A η00.k b k ⇒⋅=⇒=.由于12n r ,,,-ξξξ 为线性无关112200(1,2,,)n r n r i k k k k i n r --+⋅++⋅=⇔==-ξξξ∴121*n ,,,-,ξξξ η线性无关. (2) 证1++***n r ,,-,ξξ ηηη线性无关.***11()()0n r n r k k k --⇔+++++=ξξ ηηη成立当且仅当k i =0(i =1,2,…,n -r ),且k =0***11()()0n r n r k k k --+++++=ξξ ηηη即*111()0n r n r n r k k k k k ---++++++=ξξ η由(1)可知，11*n ,,-,ξξ η线性无关. 即有k i =0(i =1,2,…,n -r ),且100n r k k k k -++=⇒=∴1++***n r ,,-,ξξ ηηη线性无关.（B 类）1.B2. C3. D4. C5. t=-36. R(A)=2；2；27. 设η1,η2,…,ηs 是非齐次线性方程组Ax=b 的一组解向量，如果c 1η1+c 2η2+…+c s ηs 也是该方程组的一个解向量，则c 1+c 2+…+c s = .解：因为η1, η2,…, ηs 是Ax=b 的一组解向量，则A η1=b, A η2=b,…, A ηs =b,又C 1η1+ C 2η2+…+ C s ηs 也是Ax=b 的一解向量，所以A(C 1η1+…+ C s ηs )=b ，即C 1A η1+ CA η2+…+ C s A ηs =b,即C 1b+ C 2b+…+ C s b=b,(C1+…+C s )b=b,所以C 1+…+ C s =1.8. 设向量组1α=（1，0，2，3），2α=（1，1，3，5），3α=（1，-1，a +2，1），4α=（1，2，4，a +8），β=（1，1，b +3，5）问：（1） a ，b 为何值时，β不能由1α，2α，3α，4α线性表出？（2） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α， 4α惟一地线性表出？并写出该表出式. （3） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式. 【解】11223344x x x x =+++βαααα (*)314132422321111101121()232433518511111111110112101121012100100225200010r r r r r r r r a b a a b a b a a ----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==−−−→⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦A A b(1) β不能由1α，2α，3α，4α线性表出⇔方程组（*）无解,即a +1=0,且b ≠0.即a =-1,且b ≠0.(2) β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出⇔方程组(*)有惟一解，即a +1≠0，即a ≠-1. (*) 等价于方程组12342343443231123121(1)(1)01011111210111121111x x x x x x x a x b a x b b a b x x x x a a a b b b x a a a b a b ba a a βααα+++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩++⇒===+=+=+++⎛⎫=---=-+ ⎪+++⎝⎭++∴=-+++++(3) β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且表出不惟一⇔方程组（*）有无数解，即有 a +1=0,b =0⇒a =-1,b =0.方程组（*）12112342122343142212121x k k x x x x x k k x x x x k x k =-⎧⎪+++==-+⎧⎪⇔⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎪=⎩1234,,,k k k k 为常数.∴2111221324(2)(21)k k k k k k =-+-+++βαααα9. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123423434521121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？ 解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换11026110261102641111051725001253110304162101014100120101400125 ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组142434020x x x x ⎪-=⎨⎪-=⎩ （*） 得方程组（*）的基础解系11121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ令40x =，得方程组（Ⅰ）的特解 2450-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦η于是方程组（Ⅰ）的通解为k =+ηξx ，k 为任意常数。