高二下学期期中数学试卷(理科)套真题

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陕西省高二下学期期中联考数学(理)试题(解析版)

一、单选题1．已知是虚数单位，复数的虚部为（） i 51i +A ．-1 B ．0 C ．1 D ．i 【答案】C【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】由，虚部为1，故选项C 正确. 54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+故选：C.2．（）()1023d x x +=⎰A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】．()()112023d 34x x x x+=+=⎰故选：C3．如果函数在区间上的平均变化率为,则 ()f x ax b =+[1,2]3=a A ． B ． C ． D ．3-232-【答案】C【详解】根据平均变化率的定义，可知 ()()2321a b a b y a x +-+===-A A 故选C 4．函数的导数为（） ()sin cos f x x x =+A ． B ． C ．D ．0cos sin x x +cos sin x x -sin x -【答案】C【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数的导数. ()f x 【详解】∵ ，， (sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-∴ ， ()cos sin f x x x '=-故选：C. 5．函数的单调递减区间为（） 21ln 2y x x =-A ．（-1，1） B ．（0，1） C ．[1，+∞） D ．[0，+∞]【答案】B【分析】利用导数求函数单调区间.【详解】函数的定义域为， 21ln 2y x x =-()0+∞，， 211x y x x x-'=-=令，解得，令，解得， 210x x->1x >210x x -<01x <<则的单调递减区间为，单调递增区间为，21ln 2y x x =-()0,1()1,+∞故选：.B 6．已知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（）13A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) 【答案】C【分析】求导得，再解不等式即得解. 2211()()f x x a x '=+-+22140[()]≤a --【详解】由得， 321113()()f x x a x x =+-++2211()()f x x a x '=+-+根据题意得，解得． 22140[()]≤a --02a ≤≤故选：C7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆14的离心率为 ( ) A ．B ． 1312C ． D ．2334【答案】B【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 24b =，故选B. 12c e a ⇒==【解析】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到，利用方程思想和:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 2142b c e a =⇒==是本题的关键节点.24b=8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭12e =24y x =-圆方程为A ．B ．C ．D ．22143x y +=22186x y +=2212x y +=2214x y +=【答案】A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所24y x =-以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选22143x y +=A ．【解析】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺的双曲线C ：上支的2221(0)y x a a -=>一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则与P 到C 的一条渐近线的距离之PF 和的最小值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．4||PF PQ PF PQ +=++'【详解】依题意，双曲线，2221y x a-=则，解得，21514a +=2a =所以双曲线方程为，2214y x -=则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图， (0,F (F '12x y =±根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即， 1:2l x y =2y x =又点P 为双曲线上支上的动点，则， 24PF a PF PF '+=+'=过点P 作，垂足为Q ，过点作，垂足为M ， PQ l ⊥F 'F M l '⊥则，444415PF PQ PF PQ F M +=++≥+'+'==所以与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为． PF 5故选：C ．10．函数的极值点为（）()232ln 5f x x x =-+A ．8B ．C ．1D 6ln 3+【答案】D【分析】求出定义域为，然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数()f x ()0,∞+()f x '符号，进而可得出的极值点．()f x 【详解】依题意可得函数定义域为，()f x ()0,∞+则， ()()223126x f x x x x-'=-=令，解得()0f x '=x =x =则当时，，此时单调递减；x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x当时，，此时单调递增，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x所以是的极值点，且为极小值点． x =()f x 故选：D ．11．已知函数，下列说法正确的是（） ln ()xf x x=A ．在处的切线方程为B ．的单调递减区间为 ()f x 1x =1y x =+()f x (e,)+∞C ．的极小值为D ．方程有两个不同的解()f x 1e()1f x =-【答案】B【分析】求出函数的定义域及导数，再逐项求解判断作答. ()f x 【详解】函数的定义域为，求导得，ln ()xf x x=(0,)+∞21ln ()x f x x -'=对于A ，，而，因此图象在处的切线方程为，A 错误； (1)1f '=(1)0f =()f x 1x =1y x =-对于B ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,e)x ∈()0f x '>()f x (e,)x ∈+∞()0f x '<()f x B 正确；对于C ，由选项B 知，当时，取得极大值，C 错误；e x =()f x 1e对于D ，因为函数在上单调递增，且，()f x (0,e)e 1,(1)1)e0(f f =-<-=即方程在上有唯一解，而当时，恒有成立，即该方程在上无()1f x =-(0,1)1x >()0f x >(1,)+∞解，所以方程只有一个解，D 错误. ()1f x =-故选：B12．过点作曲线切线有且只有两条，则b 的取值范围为（） ()0,b e x y =A ． B ． ()0,1(),1-∞C ． D ．(],1-∞(]0,1【答案】A【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数()00,P x y ()00e 1xb x =-()()1exg x x =-分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b 的取值范围．()()1e xg x x =-()00e 1x b x =-【详解】设切点为， ()00,P x y 由，则，e x y =e x y '=所以过的切线方程为，即，()00,P x y ()000e e x x y x x -=-()000e 1e xx y x x =+-故有且仅有两根，()00e 1xb x =-设，则，()()1e xg x x =-()e xx g x '=-当时，，此时单调递增； 0x <()0g x '>()g x 当，，此时单调递减，0x >()0g x '<()g x 又当时，，，，0x <()0g x >()001e g ==()10g =所以的图象如下：()g x故有且仅有两根，则b 的取值范围为．()00e 1xb x =-()0,1故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．二、填空题13．抛物线的准线方程为______. 24y x =【答案】 116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是【解析】抛物线方程14．已知函数，则函数在处的切线方程是____________．()e xf x -=()f x 1x =【答案】e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由，则，()e x f x -=()e xf x -'=-所以，，()11ef =()e 11f '=-所以函数在处的切线方程为，即()f x 1x =()1e1e 1y x -=--e 20x y +-=故答案为：．e 20x y +-=15．求过点且与圆相切的直线方程为______. 3(4,)P -()()22139x y -+-=【答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，，解得k ＝，此时直线方程为3x +4y ＝0，34-当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意. (1,3)故答案为：x ＝4或3x +4y ＝0.16．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双()2222:10,0x y C a b a b-=>>l C a b -l 曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴下方），且，则的离心率C M N N x 2ON OM =C 为____________.【分析】作出图形，可求得，利用角平分线的性质可求得，结合勾股定理可求得FM b =FN ，进一步可求得，利用勾股定理可得出的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线OM ON 22b a 的离心率的值.C 【详解】如下图所示：因为直线的斜率为，由图可知，直线的斜率为，l ab -OM b a因为，所以，，1a bb a-⋅=-OM l ⊥易知直线的方程为，即， OM b y x a =0bx ay -=b =因为直线、关于轴对称，则， OM ON x MOF NOF ∠=∠由角平分线的性质可得，所以，， 12MOFNOF MFOM S S NF ON ===△△22FN FM b ==，所以，，a =22ON OM a ==由勾股定理可得，即，整理可得，222OMMN ON +=()()22232a b a +=2213b a =所以，双曲线的离心率为C c e a =====三、解答题17．已知直线与圆. 20x y m -+=225x y +=(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值. 【答案】(1) (,5)(5,)-∞-⋃+∞(2) m =【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.【详解】（1）由已知，得圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离(0,0)O r =20x y m -+=d ==∵直线与圆无公共点，或， d r ∴>5m >5m <-故m 的取值范围为(,5)(5,)-∞-⋃+∞（2）若直线和圆交于两点，两点，如图所示，A B两条半径、互相垂直，几何关系可知为等腰直角三角形，设到直线的距离为，OA OB AOB A O dd ∴==m =18．求下列函数的极值：（1）；()3126f x x x =-++（2）． ()2221xf x x =-+【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）极小值为，极大值为． 10-223-1-【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出变化时，，的变化x ()f x '()f x 情况即可.【详解】（1）．令，解得，．()()()2312322f x x x x '=-+=-+-()0f x '=12x =-22x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),2-∞-2-()2,2- 2()2,∞+()f x '-0+0-()f x 单调递减 10-单调递增 22 单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为2x =-()f x ()210f -=-2x =()f x ．()222f =（2）．令，解得，．()()()()()()22222221421111x x x x f x xx+-+-'==++()0f x '=11x =-21x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),1-∞-1-()1,1- 1()1,+∞()f x '-0+0-()f x 单调递减 3-单调递增 1-单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为=1x -()f x ()13f -=-1x =()f x ．()11f =-19．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.1111ABCD A B C D -(1)求证：；1BD AC ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值. 1BD 1ACD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；1AC BD ⊥（2）计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解. 1ACD 1CC 1CC 1ACD 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z间直角坐标系，则，，()()2,0,0,0,2,0A C ()()10,0,4,2,2,0D B ，()()12,2,0,2,2,4AC BD =-=-- ，即.114400,AC BD AC BD ⋅=-+=∴⊥ 1AC BD⊥（2）由（1）得，()()12,2,0,2,0,4AC AD =-=- 设平面的一个法向量为，1ACD (),,n x y z =r 则取则 1220240n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，2,x =()2,2,1n =()12,2,4BD =-- 设直线与平面所成角为，则： 1BD 1ACDθsin =cos ,n θ 所以直线与平面1BD 1ACD 20．已知椭圆倍，且右焦点为. 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线与椭圆C 交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线:l y kx m =+M N (2,0)Q MQ NQ 的斜率互为相反数，求证:直线过定点.l【答案】(1) 2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据长短轴关系得，再利用及关系即可得到椭圆方程；a =1c =,,abc （2）设，，联立直线与椭圆方程得，得到韦达()11,M x y ()22,N x y ()222214220k x kmx m +++-=定理式，根据，化简得，将韦达定理式代入化简即可0MQ NQ k k +=()()12122240kx x m k x x m +-+-=得到，则可得到定点坐标.m k =-【详解】（1）由椭圆．Ca =所以．)222b c =+又，所以，解得．所以()1,0F )221b =+1b =a =所以椭圆的标准方程为． C 2212x y +=（2）联立，得， 2212y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214220k x kmx m +++-=设，，可得，， ()11,M x y ()22,N x y 122421km x x k -+=+21222221m x x k -=+由题知，即， 0MQ NQ k k +=()()()()121212121212122240222222kx x m k x x m y y kx m kx m x x x x x x +-+-+++=+==------即，()()12122240kx x m k x x m +-+-=即， ()22222422402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++化简得，解得， 244021k m k --=+m k =-∴直线的方程为，故直线恒过定点.l ()1y k x =-l ()1,0【点睛】关键点睛：设，，联立直线与椭圆方程得()11,M x y ()22,N x y ，则得到韦达定理式，根据，则，展()222214220k x kmx m +++-=0MQ NQ k k +=1212022y y x x +=--开化简得，再将韦达定理式代入，则可得到定点坐标. ()()12122240kx x m k x x m +-+-=m k =-21．已知函数在处有极值.2()ln f x ax b x =+1x =12（1）求a ，b 的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.()y f x =【答案】（1）（2）单调减区间是，单调增区间是. 112a b ==-，()01，()1+∞，【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数，2()ln f x ax b x =+. ()2b f x ax x'=+ 又在处有极值，()f x 1x =12∴，即， 1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得. 112a b ==-，（2）由（1）可知，其定义域是， 21()ln 2f x x x =-()0+∞，且. 1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=令，解得，（舍），()0f x '=1x ==1x -由，得；()0f x '<01x <<由，得.()0f x '>1x >所以函数的单调减区间是，单调增区间是. ()y f x =()01，()1+∞，【点睛】本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.22．已知函数．()e ax f x x =-(1)讨论函数的单调性； ()f x (2)证明：． ()1ln 1+-≥x ax f x 【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分、与讨论求解单调性即可；0a =0a >a<0（2）可转化为，令，即证明.设()1ln 1+-≥x ax f x ()1ln e 10eax ax x x -+≥e ax t x =()1ln 100t t t -+≥>，利用导数求的最小值即可证明. ()()1ln 10g t t t t=-+>()g t 【详解】（1），()()e e e 1ax ax ax f x ax ax '=--=-+①当时，，在上单调递减；0a =()f x x =-R ②当时，令，得， 0a >()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x ¢>1x a>-()0f x '<③当时，令，得， a<0()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x '<1x a>-()0f x ¢>综上所述，当时，在上单调递减；0a =()f x R 当时，在上单调递增，在上单调递减； 0a >()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递增. a<0()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）,即为，即， ()1ln 1+-≥x ax f x 1ln 1e ax x ax x +-≥-()1ln e 10e ax axx x -+≥令，可得，即证明. e ax t x =0t >()1ln 100t t t-+≥>设，则， ()()1ln 10g t t t t =-+>()22111t g t t t t-'=-=当时，，函数单调递减；()0,1t ∈()0g t '<()g t 当时，，函数单调递增.()1,t ∈+∞()0g t '>()g t 所以，即. ()()1ln1110g t g ≥=-+=()1ln 100t t t-+≥>所以. ()1ln 1+-≥x ax f x 【点睛】结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

高二理科数学下册期中检测试卷及答案

～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1．本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。

本次考试时间为120分钟，满分160分。

考试结束后，只需将答题纸交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是：（１）零；（２）纯虚数；（３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２）（１）求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２）设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１）求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）；（２）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３）若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分（Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页共11页设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4，故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。

高二下学期期中数学试卷(理科)第25套真题

高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题1. 复数=（）A .B .C .D .2. 函数f（x）=（x+1）2（x﹣1）在x=2处的导数等于（）A . 1B . 4C . 9D . 153. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）A . 归纳推理B . 类比推理C . 合情推理D . 演绎推理4. 下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A . p2，p3B . p1，p2C . p2，p4D . p3，p45. 下列结论中正确的是（）A . 导数为零的点一定是极值点B . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值C . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值D . 如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值6. 用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A . a、b至少有一个不为0B . a、b至少有一个为0C . a、b全不为0D . a、b中只有一个为07. 等于（）A . 1B . e﹣1C . e+1D . e8. 当＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. 用数学归纳法证明“1+ + +…+ ＜n （n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A . 2k﹣1B . 2k﹣1C . 2kD . 2k+110. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的部分图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中的（）A .B .C .D .11. 在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是（）A . 12B . 13C . 14D . 1512. 已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f’（x）在R上恒有f’（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＞x+1的解集为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣1，1）D . （﹣∞，1）二、填空题13. z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R．z2=3﹣2i．则m=1是z1=z2的________条件.14. 曲线y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程________．15. 观察下列式子：1 ，1 ，1…，由此可归纳出的一般结论是________．16. 已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．三、解答题17. 若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式an ．18. 实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？19. 如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．20. 计算由直线y=6﹣x，曲线y= 以及x轴所围图形的面积．21. 已知函数f（x）= x3+ax2﹣bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，﹣）处的切线斜率为﹣4，（1）求f（x）的表达式．（2）求y=f（x）在区间[﹣3，6]上的最值．22. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ c＜c2恒成立，求c的取值范围．。

高二下学期期中考试数学(理)试卷

……………………… 5 分
两边求导得 n(1 x)n 1
n
kC
k n
xk
1
k1
令 x 1得到 n 2n 1
n
kCnk
k1
又
C
1 n
C
2 n
C
n n
2n 1
2
C
1 n
3C
2 n
4C
3 n
(n
1)C
n n
n 2 n 1 2 n 1 ……………………… 10 分
( 如采用组合恒等式证明相应给分 )
（ 2）（反证法）假设
则
．
而
．
， ①
②
由①②，得于是
，即，这与非零实数
，成公差不为零的等差数列矛盾，
故假设不成立，原命题结论成立，即
成立．………………… 14 分
17. 解：（ 1） 60 ……………………… 3 分 (2)480 ……………………… 6 分 (3)180 ……………………… 10 分
数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，且 Tn
1
1 bn
2
(1) 求数列 an 、 bn 的通项公式；
1 (2) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn , 试比较 bn 与 Sn 1 的大小，并用数学归纳法给予证明．
20. （本小题满分 16 分）
已知 fn( x) (1 x)n,( x 0且 x
－1＝
2 3n.
2 所以 an＝ 2n－ 1， bn＝ n.
3
1 (2) 因为 Sn＝
2n－1 2
× n＝n2，
所以
Sn＋1＝( n＋ 1)
2，
1 bn＝
3n .

新人教版高二(下)期中数学试卷(理科)含解析

新人教版高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的）1．（5分）已知复数z =11+i ，则z ﹣i 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（） A ．7B ．64C ．12D ．813．（5分）用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应假设（） A ．x ≠y ≠0B ．x ＝y ≠0C ．x ≠0且y ≠0D ．x ≠0或 y ≠04．（5分）f （x ）＝e x lnx ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为（） A ．1B ．eC ．2eD ．05．（5分）设函数f （x ）可导，则lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x 等于（）A ．﹣f '（1）B ．3f '（1）C ．−13f ′(1)D ．13f ′(1)6．（5分）曲线y ＝e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（） A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2D ．e 227．（5分）已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，则f ′（2）＝（） A ．32B ．1C ．﹣1D ．−328．（5分）设函数f(x)=x 3−12x 2−2x +5，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，则实数m 的取值范围为（） A ．（7，+∞）B ．（8，+∞）C ．[7，+∞）D ．（9，+∞）9．（5分）中华文化博大精深．我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁．乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄．根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（）A ．71岁B ．81岁C ．131岁D ．141岁10．（5分）函数f(x)=12x −sinx 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数是（） A ．74B ．121C ．﹣74D ．﹣12112．（5分）对于定义域为R 的函数f （x ），若满足①f （0）＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′（x ）＞0；③当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f （x 1）＜f （x 2），则称f （x ）为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1（x ）＝﹣x 3+32x 2；f 2（x ）＝e x ﹣x ﹣1；f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，f 4（x ）={x(12x −1+12)，x ≠00，x =0，则其中是“偏对称函数”的函数个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a ＝． 14．（5分）函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为．15．（5分）（√2−x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2的值为．16．（5分）设f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足f （x ）+xf ′（x ）＞0．则不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1）的解集为．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知复数z 满足|z |＝3+3i ﹣z ，求(1+3i)⋅(3+4i)z的值．18．（12分）有3名男生4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻． 19．（12分）已知a ＞0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 20．（12分）若函数f （x ）＝ax 3﹣bx +4，当x ＝2时，函数f （x ）有极值−43．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程f （x ）＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=an 1+a n．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜测a n 的表达式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）（e ＝2.71828…是自然对数的底数）．（1）判断f （x ）的单调性；（2）当f （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a 的取值范围．答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的） 1．解：∵z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ， ∴z ﹣i =12−32i ．∴z ﹣i 在复平面内对应的点为（12，−32），在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D ．2．解：∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条， ∴有3种不同的穿衣方案，∴共有3×4＝12种不同的搭配方法，故选：C ．3．解：用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应先假设x ≠0或 y ≠0．故选：D ．4．解：∵f （x ）＝e x lnx ， ∴f ′(x)=e x lnx +e xx ， ∴f ′（1）＝e ．故选：B ． 5．解：由lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13lim △x→0f(1+△x)−f(1)△x =−13f ′（1）， ∴lim△x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13f ′（1），故选：C ．6．解：依题意得y ′＝e x ，因此曲线y ＝e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2，相应的切线方程是y ﹣e 2＝e 2（x ﹣2），当x ＝0时，y ＝﹣e 2，即y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S =12×e 2×1=e 22．故选：D ．7．解：∵函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，（x ＞0） ∴f ′（x ）＝2f ′（1）+1x，把x ＝1代入f ′（x ）可得f ′（1）＝2f ′（1）+1，解得f ′（1）＝﹣1，∴f ′（2）＝2f ′（1）+12=−2+12=−32．故选：D ．8．解：∵f （x ）＜m 恒成立，即f （x ）的最大值＜m 恒成立， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2，当x ∈[﹣1，−23]时，f （x ）为增函数，当x ∈[−23，1]时，f （x ）为减函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）为增函数， ∴f （x ）的极大值为f （−23）＝52227，又f （2）＝7，且f （2）＞f （−23），所以f （x ）的最大值为7．所以m 的取值范围为（7，+∞）．故选：A ．9．解：由花甲指60岁，外加三七岁月指60+21＝81岁， “古稀双庆，更多一度春秋”，“古稀”指70岁，即这位老人的年龄为70×2+1＝141岁，故选：D ．10．解：∵函数f(x)=12x −sinx ，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A ．f '（x ）=12−cosx ，由f '（x ）=12−cosx =0，得cos x =12，∴函数的极值点由无穷多个，排除B ，D ，故选：C ．11．解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数C 53(−1)3+C 63(−1)3+C 73(−1)3+C 83(−1)3＝﹣10+（﹣20）+（﹣35）+（﹣56）＝﹣121 故选：D ．12．解：经验证，f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ），f 4（x ）都满足条件①；xf ′（x ）＞0⇔{x ＞0f ′(x)＞0，或{x ＜0f ′(x)＜0，即条件②等价于函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．f 1′（x ）＝﹣3x 2+3x ，xf 1′（x ）＝﹣3x 3+3x 2＝﹣3x 2（x ﹣1），当x ＞1时，xf 1′（x ）＜0，故f 1（x ）不满足条件②，不是“偏对称函数”；f 2′（x ）＝e x ﹣1，xf 2′（x ）＝x （e x ﹣1），满足条件②．由f 2（x ）的单调性知当x 1≠x 2，设x 1＜0＜x 2．﹣x 2＜0，f 2（x 1）﹣f 2（x 2）＝f 2（﹣x 2）﹣f 2（x 2）＝﹣e x 2+e ﹣x 2+2x 2．令F （x ）＝﹣e x +e ﹣x +2x ，x ＞0，F ′（x ）＝﹣e x ﹣e ﹣x +2≤﹣2√e x ⋅e −x +2＝0，当且仅当e x ＝e ﹣x 即x ＝0时，“＝”成立，所以F （x ）在[0，+∞）上是减函数，所以F （x 2）＜F （0）＝0，所以f 2（x ）是“偏对称函数”．由函数f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，满足条件①②，当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，设F （x ）＝ln （x +1）﹣2x ，x ＞0．则F ′（x ）=1x+1−2＜0，F （x ）在（0，+∞）上是减函数，可得F （x ）＜F （0）＝0，故f 3（x ）也满足条件③，所以f 3（x ）是“偏对称函数”；而容易验证f 4（x ）是偶函数，可知f 4（x ）在区间（﹣∞，0）递减和（0，+∞）递增，故f 4（x ）满足条件①②，但|x 1|＝|x 2|时，都有f 4（x 1）＝f 4（x 2），不满足条件③，则f 4（x ）不是“偏对称函数”．故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．解：曲线y ＝（ax +1）e x ，可得y ′＝ae x +（ax +1）e x ，曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a +1＝﹣2，解得a ＝﹣3．故答案为：﹣3．14．解：由题意，﹣1≤x ＜0时，图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12，0≤x ≤1时，f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫ 10e x dx =e x |01=e ﹣1，∴函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为12+e ﹣1＝e −12，故答案为：e −12．15．解：∵（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2＝（a 0+a 2+a 4+…+a 10+a 1+a 3+a 5+…+a 9）[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]，∴令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）+（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2−1）10，令x ＝﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2+1）10，∴两式相乘得：[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2]＝（√2+1）10•（√2−1）10＝[（√2）2﹣1]10＝110＝1．∴（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2＝1．故答案为：1．16．解：∵f （x ）+xf ′（x ）＞0，∴（ x •f （x ））′＞0，故函数y ＝x •f （x ）在R 上是增函数． ∴由不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1），可得 √x +1•f （√x +1）＞√x +1•√x −1•f （√x 2−1 ），即 √x +1•f （√x +1）＞√x 2−1•f （√x 2−1 ），∴√x +1＞√x 2−1，即{x +1≥0x ≥1，或x ≤−1x +1＞x 2−1，解得 1≤x ＜2，故答案为：{x |1≤x ＜2}．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．解：设z ＝x +yi ， ∵|z |＝3+3i ﹣z ，∴√x 2+y 2=3−x +(3−y)i ， ∴{√x 2+y 2=3−x3−y =0⇒{x =0y =3∴z =3i ，∴(1+3i)⋅(3+4i)z=(1+3i)⋅(3+4i)3i=133+3i ．18．解：（1）根据题意，先排最左边，除甲外有A 61种排法，剩下的6人全排列A 66，则符合条件的排法一共有A 61⋅A 66=4320种；（2）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A 44种顺序，再把4名女生作为一个整体和其他人全排列，有A 44种顺序，则有A 44⋅A 44=576种排法；（3）根据题意，先排好女生，有A 44种顺序，排好后，有5个空位，将3名男生安排在3个空位中，有A 53种排法，则有A 44⋅A 53=1440种排法．19．证明：要证√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2．只要证√a 2+1a2+2≥a +1a +√2 ∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（√a 2+12+2）2≥（a +1a +√2）2，只需证√a 2+1a 2≥√22（a +1a ），只需证a 2+1a 2≥12（a 2+1a2+2）即证a 2+12≥2，它显然成立． ∴原不等式成立．20．解：（1）f ′（x ）＝3ax 2﹣b由题意知{f ′(2)=12a −b =0f(2)=8a −2b +4=−43，解得{a =13b =4，∴所求的解析式为f （x ）=13x 3﹣4x +4；（2）由（1）可得f ′（x ）＝x 2﹣4＝（x ﹣2）（x +2）令f ′（x ）＝0，得x ＝2或x ＝﹣2， ∴因此，当x ＝﹣2时，f （x ）有极大值283，当x ＝2时，f （x ）有极小值−43；（3）由（2）知，得到当x ＜﹣2或x ＞2时，f （x ）为增函数；当﹣2＜x ＜2时，f （x ）为减函数，∴函数f （x ）=13x 3﹣4x +4的图象大致如图．由图可知：−43＜k ＜283．21．（1）解：由a n+1=a n1+a n 及a1＝1，得a2=a11+a1=12，进而a3=a21+a2=13，a4=a31+a3=14．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：猜想a n=1n，再用数学归纳法证明之．当n＝1时，a1=11=1，而已知a1＝1，所以n＝1时，猜想正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）假设当n＝k时，猜想正确，即a k=1k，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则n＝k+1时，a k+1=a k1+a k =1k1+1k=1k+1．所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述可知，对一切n∈N，猜想a n=1n都正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=1x−a=1−axx，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，得到x=1a，当x∈(0，1a)时，f'（x）＞0，f（x）在(0，1a)上单调递增，当x∈(1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）在(1a，+∞)上单调递减，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在(0，1a)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减．（2）由f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣ax＜0在（0，+∞）上恒成立，常规法分离参数得到a＞lnx x在（0，+∞）上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnxx2，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，故x＝e时，g(x)max=g(e)=1e，故a＞1e。

高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)

高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框中，应填入（） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=，又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分（2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以36BO PA =．如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系，设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分（2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=，整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+，所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠，所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('，记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ，即01)('000=+-=ax ex f x ，于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减；当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。

吉林省高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷

吉林省高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·宜春期中) 已知Cn+17﹣Cn7=Cn8 ，那么n的值是（）A . 12B . 13C . 14D . 152. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 对相关系数，下列说法正确的是（）A . 越大，线性相关程度越大B . 越小，线性相关程度越大C . 越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大D . 且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小3. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2017，σ2），则P（ξ＜2017）等于（）A .B .C .D .4. （2分）有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥ ”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误5. （2分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，…，n，且E（ξ）＝24，则D（ξ）的值为（）A . 8B . 12C .D . 166. （2分） (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）A . 1.23B . 1.24C . 1.33D . 1.347. （2分）(2017·衡阳模拟) 将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）A .B .D .9. （2分）设三位数n=（即n=100a+10b+c，其中a，b，c∈N*），若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A . 45个B . 81个C . 165个D . 216个10. （2分）(2017·嘉兴模拟) 随机变量X的分布列如下表，且E（X）=2，则D（2X﹣3）=（）X02aP pA . 2B . 3C . 4D . 511. （2分）若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（）A .B .C .12. （2分） (2016高二下·福建期末) 设a∈Z，且0≤a＜13，若512016+a能被13整除，则a=（）A . 0B . 1C . 11D . 12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·咸阳期末) 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（B|A）等于________．14. （1分）甲乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一辆车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场（在此期间货场没有其他车辆），则至少有一辆车需要等待装货物的概率是________．15. （1分）(2018·呼和浩特模拟) 展开式中，项的系数为________．16. （1分）勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2+b2=c2 ．类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d 的长方体中，有________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）综合题。

北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（）A ．1B ．3C 1D ．12. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．(,2)-∞- B ．(2,5)- C ．[)(,2)5,-∞-+∞ D ．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（）A ．5B ．54 4. 设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（） A.2211216x y += B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. x y =与2x y =围成的封闭图形的面积为（） A. 31 B. 41 C. 61 D. 21 6．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（）A ．193B ．163C ．133D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（） A.1-=x y B.1+-=x y C. 22-=x y D. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.8 9. dx x ⎰421等于（）A.2ln 2-B. 2ln 2C. 2ln -D. 2ln 10. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y)(xf'的图象） A B C D 11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A．9 B. 6 C. 4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线xxy43-=在点(1,3)-处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=xxxy的单调递增区间是_________________________ 15．设点P是双曲线x2－23y=1上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使|PA|+21|PF|有最小值时，则点P的坐标是．16. 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622=+yx所截得的线段的中点，则直线l的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bxaxxf+=，当1x=时，有极大值3；（1）求,a b的值；（2）求函数)(xf的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+yx有相同的焦点，与双曲线1222=-yx有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点1F作倾斜角为4π的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．20. 已知a为实数，()()2()4f x x x a=--。

高二下学期期中数学(理)真题02-(试卷配答案)

寄语：亲爱的小朋友，在学习过程中，的挑战就是逐级攀升的难度。

即使每一级都很陡峭，只要我们一步一个脚印地向上攀登，一层又一层地跨越，最终才能实现学习的目标。

祝愿你在学习中不断进步！相信你一定会成功。

相信你是最棒的！期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}{}0,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,5,1,2,4,6U A B ===，则=⋃B A C U )( A ．{4,6} B ．{1,2,4,6,7}C ． {0,1,2,4,6,7}D ．{0,4,6,7}2．设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则 1z 2z 13z i =+12z z =A ．10B ．C ．D ．-109i --9i -+3．已知向量，若，则 )4,(),3,2(x b a ==)(b a a -⊥x = A ．B ．1C ．2D ．3214．等比数列{}的前n 项和为，已知，=9，，则=n a n S 32110S a a =+5a 1a A ．B ．C ．D ．131913-19-5．设，为两个平面，则的充要条件是 αβ//αβ()A ．内有无数条直线与平行 B ．内有两条相交直线与平行 αβαβC ．，平行于同一条直线 D ．，垂直于同一平面 αβαβ6. 设，则“”是“”的（）a ∈R 1a >2a a >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则12,F F 22:13y C x -=O P C ||2OP =的面积为（）12PF F △A ．B ．2C ．D ．372528. 的展开式中的系数为252()x x+4x A ．10B ．20C ．40D ．8029．已知满足约束条件，若目标函数的最大值为3，y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤--≥++00202m y y x y x y x z -=2则实数m 的值为 A ．-1B ．0C ．1D ．210．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，A B C D ABC ∆93则三棱锥体积的最大值为 D ABC -()A ．B ．C ．D ．18312324354311．已知函数在区间上是增函数，且在)0(sin )42(cos sin 2)(22>--=ωωπωωx x x x f ]65,32[ππ-区间上恰好取得一次最大值，则的范围是 ],0[πωA ．B ．C ．D ．]53,0(]53,21[]43,21[)25,21[12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 A ．(,0)-∞B ．()4,e +∞C ．()4,e-∞D ． (0,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．的内角的对边分别为，若，则__ __． ABC ∆C B A ,,c b a ,,1,135cos ,54cos ===a B A =b 14．已知函数,若,则__________．1)1ln()(2+++=x x x f 2)(=a f =-)(a f 15．古浪二中高二年级4名同学到土门3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．16．已知四边形ABCD 为矩形，AB=2AD=4，M 为AB 的中点，将沿DM 折起，得到四棱ADM ∆锥，设的中点为N ，在翻折过程中，得到如下三个命题： DMBC A -1C A 1①，且的长度为定值； DM A //1平面BN BN 5②三棱锥的体积最大值为； DMC N -322③在翻折过程中，存在某个位置，使得 C A DM 1⊥其中正确命题的序号为__________．如，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，60BAD ∠= AC BD O ABCD AC B ACD -点是棱的中点，． M BC 62DM =（1）求证：平面⊥平面； ODM ABC （2）求二面角的余弦值． M AD C --如图，在四棱锥的取值范围.（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π-）＝1，∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，…8分∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得a 322622c sinA sinC ⨯⋅===， …10分∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得6＝b 2+4﹣2122b ⨯⨯⨯，解得b ＝13+，（负值舍去）， …11分 ∴S △ABC 12=ab sin C 162=⨯⨯（13+）23322+⨯=． …12分19.解：（1）证明：ABCD 是菱形，,OD AC ⊥ ………1分 AD DC ∴=ADC ∆中，12,120AD DC ADC ==∠= , ∴6OD =又M 是BC 中点， 16,622OM AB MD ∴=== ………3分 222,OD OM MD DO OM +=∴⊥ ,OM AC ⊂面,,ABC OM AC O OD =∴⊥ 面ABC ………5分又平面OD ⊂ODM 平面⊥平面………6分∴ODM ABC （2）由题意，, 又由（Ⅰ）知建立如图所示空间直角坐,OD OC OB OC ⊥⊥OB OD ⊥标系，由条件易知 ……7分()()()6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M - 故设平面的法向量，则)0,36,6(),3,39,0(==AD AM MAD ),,(z y x m = 即令，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD m AM m 93306630y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩3y =-3,9x z == 所以， ………9分 )9,3,3(-=m 由条件易证平面，故取其法向量为 ………10分 OB ⊥ACD )1,0,0(=n 所以， ………11分31933||||,cos =⋅>=<n m n m n m20则有2222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =，因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；……4分（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由2OM =可得6AB =，此时132AOB S OM AB ∆=⋅=； ……5分当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ……7分已知2OM =，可得()2222214116k t k+=+. ……8分()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. …10分将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2.综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. ……12分22.解（1）………1分)2)(1()1(2)1()('a e x x a e x x f x x ++=+++=（ⅰ）时，当时，；当时， 0≥a )1,(--∞∈x 0)('<x f ),1(+∞-∈x 0)('>x f 所以f(x)在单调递减，在单调递增； ……2分 )1,(--∞),1(+∞-（ⅱ）时 0<a ①若，则，所以f(x)在单调递增；……3分 ea 21-=))(1()('x x e e x x f --+=),(+∞-∞②若，则，故当时，， ea 21->1)2ln(-<-a ),1())2ln(,(+∞---∞∈ a x 0)('>x f ，；所以f(x)在单调递增，在 )1),2(ln(--∈a x 0)('<x f ),1()),2ln(,(+∞---∞a 单调递减； ………5分)1),2(ln(--a ③若，则，故当，， ea 21-<1)2ln(->-a )),2(ln()1,(+∞---∞∈a x 0)('>x f ，；所以f(x)在单调递增，在 ))2ln(,1(a x --∈0)('<x f )),2(ln(),1,(+∞---∞a 单调递减； ………6分))2ln(,1(a --（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增， )1,(--∞),1(+∞-又，，取b 满足，且， 01)1(<-=-e f 0)0(>=a f 1-<b 2ln 2a b <-则，所以f(x)有两个零点；………8分 0)23()1()2(2)2(22>-=-+->-b b a b a b a b f （ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点 ………9分 x xe x f =)(（ⅲ）当a<0,①若,则由（1）知，f(x)在单调递增。

2021-2022年高二下学期期中考数学(理)试题含答案

2021-2022年高二下学期期中考数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z=的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．利用数学归纳法证明“11113212224(,)n n Nn n n++>≥∍++”的过程中，由“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是 ( ) A.增加 B.增加和C.增加，并减少D.增加和，并减少3．若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A． B． C． D．4．若，则等于（）A．－2 B．－4 C．2 D．05．的展开式中，的系数等于，则等于（）A． B． C． D．6．3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A. 5040种B. 840种 C . 720种 D. 432种7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A． B． C． D．8．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．2 B．4 C．2或4 D．1或29．从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则＝（）A． B． C． D．10．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种 B．22 种C．24种D．36种11．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（）A． B． C．2 D．12．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题. （每小题5分，共20分）13．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|= ．14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法.15.．的展开式中含的项的系数是_______．16．已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．三、解答题：17. （本题满分10分）已知函数，其中为常数．（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调函数，求实数的取值范围．18. （本题满分12分）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积19.（本题满分12分）已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.20.（本题满分12分）9．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（2）任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（3）任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求Eξ与Dξ.21．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.22. （本题满分12分）已知函数．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：．1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11. A 12．C 13. 14. 150 15. 128 16.17. （1）当时，212x x1(2x1)(x1)f(x)2x1(x0)x x x--+-'=--==>所以在区间内单调递减，在内单调递增于是有极小值，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或解得实数的取值范围是18. 由，得交点为，由定积分的几何意义得，曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．19.（1）由已知得：，（2）通项，展开式中系数最大的项是第3项（r=2）：（3）由（2）得：，即所以展开式中所有的有理项为：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意得：1212125(1)(1)12111(1)(1)12P P P P P P ⎧⋅-+-⋅=⎪⎪⎨⎪--⋅-=⎪⎩ 解得：或， ∴.即，一个零件经过检测为合格品的概率为1/2（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为554555111312216C C ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）依题意知～B(4,1/2)，，21.（1）设事件为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . （2）依题意，的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ，，所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .22.（1）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在上恒成立．设，则．当时，；当时，，所以，．要使恒成立，必须．另一方面，当时，，要使恒成立，必须．所以，满足条件的的取值范围是．（2）当时，不等式等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-．令，设，则，在上单调递增，，所以，原不等式成立．28296 6E88 溈21430 53B6 厶40629 9EB5 麵i27319 6AB7 檷32230 7DE6 緦h 38759 9767 靧/38397 95FD 闽21876 5574 啴23747 5CC3 峃=。

高二下册期中考试数学试题(理)有答案

第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有不等式成立。

人教A版选修2-2高二(下)期中数学试卷(理科).docx

高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的除法法则即可得到答案．解答：解：===，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题．2．（5分）函数f（x）=在（0，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x﹣y+1=0 D．x﹣y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先对函数f（x）=进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线f（x）=在点x=0处的切线斜率，进而可得到切线方程．解答：解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（x）|x=0=﹣1，切点坐标（0，1）∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即x+y﹣1=0．故选A．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算．导数是由高等数学下放到高中数学的新内容，是高考的热点问题，每年必考，一定要强化复习．3．（5分）曲线y=x3﹣3x和y=x围成的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．9考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．解答：解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）曲线y=x3﹣3x与直线y=x在y轴右侧所围成的图形的面积是（x﹣x3+3x）dx=（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）=4，根据y=x3﹣3x与y=x都是奇函数，关于原点对称，y轴左侧的面积与第一象限的面积相等．∴曲线y=x3﹣3x与y=x所围成的图形的面积为2×4=8．故选B．点评：本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性．4．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2考点：反证法与放缩法．专题：证明题．分析：假设a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，得a++b++c+≤﹣6，因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，即a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．解答：解：假设a+，b+，c+都小于或等于﹣2，即a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，将三式相加，得a++b++c+≤﹣6，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．故选C．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．6．（5分）设，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C．D．考点：函数的表示方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据题中所给式子，求出f（n+1）和f（n），再两者相减，即得到f（n+1）﹣f（n）的结果．解答：解：根据题中所给式子，得f（n+1）﹣f（n）=﹣（）=﹣=故选C．点评：本题考查函数的表示方法，明确从n到n+1项数的变化是关键，属于基础题．7．（5分）把15个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是（）A．56 B．72 C．28 D．63考点：计数原理的应用．专题：计算题；分类讨论；概率与统计．分析：由题意知，本题限制条件较多，故应采取分类的方法，可按1号球中的小球的个数分类计数，选出正确答案解答：解：由题意，可按1号盒中小球的个数进行分类，进行计数若1号盒中小球的个数为2，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到9个，共7种放法；若1号盒中小球的个数为3，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到8个，共6种放法；若1号盒中小球的个数为4，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到7个，共5种放法；若1号盒中小球的个数为5，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到6个，共4种放法；若1号盒中小球的个数为6，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到5个，共3种放法；若1号盒中小球的个数为7，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到4个，共2种放法；若1号盒中小球的个数为8，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数只能为3个，共1种放法；综上，不同的放法种数是7+6+5+4+3+2+1=28种故选C点评：本题考查计数原理的应用，对于复杂问题的计数，找到合适的分类标准是准确计数的关键8．（5分）高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A．240 B．188 C．432 D．288考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，可先将两个音乐节目绑定，与另一个音乐节目看作两个元素，全排，由于三个音乐节目不能连排，故可按一个曲艺节目在此两元素之间与不在两元素之间分成两类分别记数，即可得到所有的排法种数，选出正确选项解答：解：由题意，可先将两个音乐节目绑定，共有=6种方法，再将绑定的两个节目看作一个元素与单独的音乐节目全排有=2第三步分类，若1个曲艺节目排在上述两个元素的中间，则它们隔开了四个空，将两2个舞蹈节目插空，共有=12种方法；若1个曲艺节目排不在上述两个元素的中间，则它有两种排法，此时需要从两2个舞蹈节目选出一个放在中间避免3个音乐节目相连，有两种选法，最后一个舞蹈节目有三种放法综上，所以的不同排法种数为6×2×（1×12+2×2×3）=288故选D点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解答的关键是熟练掌握计数的一些技巧及准确使用计数公式计数，本题是基础题，计算型9．（5分）的展开式中含x15的项的系数是（）A．17 B．﹣34 C．51 D．﹣18考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于15，求得r的值，即可求得展开式中的含x15的项的系数．解答：解：∵的展开式的通项公式为 T r+1=•x18﹣r•3﹣r•=•，令18﹣=15，解得 r=2，故展开式中含x15的项的系数是=17，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．（5分）（2013•宁波二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．11．（5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若a ij=2013，则i与j的和为（）A．105 B．103 C．82 D．81考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前32个奇数行内数的个数的和为1024，得到2013在第32个奇数行内，且奇数从大到小排列，从而得到结果．解答：解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，由2013=2×1007﹣1，得2013为第1007个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+…+61=961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2013在第32个奇数行内，所以i=63，且奇数从大到小排列因为第63行的第一个数为2×1024﹣1=2047，2013=2047﹣2（m﹣1），所以m=18，即j=18，所以i+j=81．故选D点评：本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．105考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：用列举法，由题意，14≥a≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．4解答：解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．点评：本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）若曲线y=e x+a与直线y=x相切，则a的值为﹣1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求导函数，利用曲线y=e x+a与直线y=x相切，可知切线的斜率为1，得出切点的横坐标，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值．解答：解：设切点为（x，y），∵y=e x+a，∴y′=e x，∵直线y=x与曲线y=e x+a相切，∴e x=1，即x=0．∵切点处的函数值相等，∴e0+a=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．14．（5分）若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2= 1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在（x+）4=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中利用赋值法，分别令x=1可求a0+a1+a2+a3+a4，令x=﹣1可求a0﹣a1+a2﹣a3+a4），而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4），代入可求解答：解：在（x+）4=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4=令x=﹣1可得，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=•=1故答案为：1点评：本题主要考查了二项展开式中利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和（注意是各项系数之和，要区别于二项式系数之和），解饿答本题还要注意所求式子的特点：符合平方差公式．15．（5分）= ．考点：定积分．专题：计算题．分析：由于=+．前半部分由积分的几何意义求解较好，其几何意义是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积．解答：解：由于=+．其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S△ACQ+S扇形ABQ+S△BDQ=++=+，又=6，∴=．故答案为：．点评：本题考查求定积分，解题的关键是掌握住求定积分的公式以及定积分的几何意义，对于有些原函数不易求出的积分的求解，用其几何意义比较方便．16．（5分）在等比数列{a n}中，若前n项之积为T n，则有．则在等差数列{b n}中，若前n项之和为S n，用类比的方法得到的结论是S3n=3（S2n﹣S n）．考点：类比推理．专题：压轴题；探究型．分析：由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．解答：解：在等差数列中S=S n+（S2n﹣S n）+（S3n﹣S2n）=（a1+a2+…+a n）++（S2n﹣S n）+（a2n+1+a2n+2+…+a3n）3n因为a1+a3n=a2+a 3n﹣1=…=a n+a2n+1=a n+1+a2n所以S n+（S3n﹣S2n）=2（S2n﹣S n），所以S3n=3（S2n﹣S n）．故答案为：S3n=3（S2n﹣S n）．点评：本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．（10分）（1）6名身高互不相等的学生，排成三排二列，使每一列的前排学生比后排学生矮，有多少种不同的排法？（2）6本不同的书分给3名学生，每人至少发一本，共有多少种不同的分法？考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可得到结论；（2）先分组，再分给3名学生，利用乘法原理，即可得到结论．解答：解：（1）从6人中任选2人排在第一列（前矮后高），有=15种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列（前矮后高），有=6种方法，最后剩余的两人排在第三列（前矮后高），有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有16×6=90；（2）先把6本书分成3组，包括1、1、4；1、2、3；2、2、2三种情况，共有=90种分法，再分给3名学生有=6种方法，故共有90×6=540种分法．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．18．（12分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中项的系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）前三项系数的绝对值成等差数列，可得，由此解得 n的值．（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项．（3）研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项的系数最大．解答：解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，∴，即 n2﹣9n+8=0，解得 n=8；（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为=．（3）先研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，故系数最大的项为第三项，即．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题．19．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N）（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想通项公式a n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据S=2n﹣a n，利用递推公式，求出a1，a2，a3，a4．n（II）总结出规律求出a n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．解答：解：（Ⅰ）由a=2﹣a1，得a1=1，1由a1+a2=2×2﹣a2，得a2=，由a1+a2+a3=2×3﹣a3，得a3=，由a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，得a4=，猜想a n=（Ⅱ）证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，（2）假设n=k时猜想成立，即a k=，此时S k=2k﹣a k=2k﹣，当n=k+1时，S k+1=2（k+1）﹣a k+1，得S k+a k+1=2（k+1）﹣a k+1，因此a k+1=[2（k+1）﹣S k]=k+1﹣（2k﹣）=，∴当n=k+1时也成立，∴a n=（n∈N+）．点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．20．（12分）证明：．考点：不等式的证明．专题：证明题．分析：利用数学归纳法的证题步骤证明即可．先证当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时不等式成立，可以分析法去证明当n=k+1时不等式也成立即可．解答：证明：（ⅰ）当n=1时，T==1，=，1＜，不等式成立；1（ⅱ）假设当n=k时，T k＜，则当n=k+1时，T k+1=T k+＜+，要证：T k+1＜，只需证：+＜，由于﹣==＜，所以：+＜，于是对于一切的自然数n∈N*，都有T n＜．点评：本题考查不等式的证明，突出考查数学归纳法，考查分析法与综合法的应用，考查推理分析与证明的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数不等式先判断函数的单调性，从而判断函数的极值．（2）将f（x1）＜g（x2）问题转化为求函数的最值问题．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得此时函数递减．此时函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．当a＜0时，函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；当a＜0时，又g（x2）=x22﹣2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max⁡=g（0）=2．所以，解得a＜﹣e﹣3．所以，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣3）．点评：本题的考点是利用导数求函数的极值以及求函数的最大值最小值．22．（12分）（2013•宁波二模）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx．a∈R．（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣时求出f′（x），在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则问题等价于g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，求导数g′（x），按照a的范围分类进行讨论可得g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的最大值，由最大值情况即可求得a的范围；解答：解：（Ⅰ）（x＞0），，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则有g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立．求导得，①当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；②当时，，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，此时不成立；③当，，则存在，有，所以不成立；综上得a≤0．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决，解决（Ⅱ）问的关键是正确理解题意并能合理进行转化．。

高二(下)期中数学试卷(理科)(内含答案)

高二年级数学期中理科卷班级：_____________ 姓名：_____________ 分数：_______________ 一、选择题（每小题5分，共50分）：1、1．函数()2()2f x x =的导数是（） A ． ()2f x x '= B ． x x f 4)(=' C ． x x f 8)(=' D ．x x f 16)(='2、因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3、下面几种推理过程是演绎推理的是（） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 4、用数学归纳法证明等式：()()+∈=-++++N n n n 212531 的过程中，第二步假设kn =时等式成立，则当1+=k n 时应得到（）()2.13521A k k +++++= ()()2.135211B k k +++++=+()()2.135212C k k +++++=+ ()()2.135213D k k +++++=+5、函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）A. 1,−1B. 1, −17C. 3, −17D. 9, −19 6、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( )A 13(,)x xB 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x7、设,a b R ∈，若1a bii+-为实数，则 ( ) A.0b a +≠ B.0b a -≠ C.0b a += D. 0b a -=8、设函数[]0)()(,,12)(3<∈+--=n f m f n m x x x x f 且则方程[]n m x f ,0)(在=上（） A.至少有三个实数根 B. 至少有两个实数根C. 有且只有一个实数根D 无实数根 9、已知函数(]0)(,3,0)()()(≠∈=x g x x g x f x h ，，对任意(])()()()(,3,0x g x f x g x f x '>'∈恒成立，则（） A.函数h(x)有最大值也有最小值 B. 函数h(x)只有最小值C ．函数h(x)只有最大值 D. 函数h(x)没有最大值也没有最小值10、一个作直线运动的物体，它的速度v (米/秒)与时间t （秒）满足3(0)v t t =≥　，如果它在a 秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a 等于（）A ．BC ．4D ．二、填空题（每小题5分，共25分）：11、设O 是原点，向量,OA OB 对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是_______12、已知曲线2x y =上一点P 处的切线与直线210x y -+=平行，则点P 的坐标为_______ 13、120(23)x x dx -=⎰_______14、已知函数()x x x f ln =，则)(e f '=___ _____. 15、下列命题中，错误命题的序号是____________．①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z ＝z ；⑦在复数集内，－1的平方根是±i ；⑧z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0. 三、解答题（共75分）：16、(1) 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围. (2) 已知函数f x x x ()=-+33，R x ∈;求f x ()的单调递增区间. （12分）17、（12分）设f (x )=2(0)ax bx c a ++≠，f ′(x )＝2x ＋2. 且方程f (x )＝0有两个相等的实根.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；18、若a 、b 、c 均为实数且22,22,12222+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

2021年高二下学期期中数学试卷(理科)含解析

2021年高二下学期期中数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A．正方形的对角线相等B．平行四边形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上均不正确3．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为04．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．k2+1 B．（k+1）2C． D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）25．（1+cosx）dx等于（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+26．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误7．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．8．复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2 B．8n﹣2 C．6n+2 D．8n+210．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2•+；其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．自然数按如图的规律排列：则上起第xx行左起xx列的数为（）A．xx2B．xx2C．xx×xx D．xx×xx12．若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）C．（a⊗b）2=a2⊗b2D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y=．14．设，则=．15．已知数列{a n}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=a n2+1（n=1，2…），试归纳成数列{a n}的一个通项公式为．16．复数的模为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？18．计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．19．（Ⅰ）求证： +＜2（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．20．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则+≥9．21．（1）用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，n是正整数；（2）用数学归纳法证明不等式：1+++…+＜2（n∈N*）22．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．xx学年北京市昌平区临川育人学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数四则运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选：C．2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A．正方形的对角线相等B．平行四边形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上均不正确【考点】进行简单的演绎推理．【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．【解答】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，故选A．3．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选A．4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．k2+1 B．（k+1）2C． D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2【考点】数学归纳法．【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选D．5．（1+cosx）dx等于（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+2【考点】定积分．【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f （x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D6．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．【解答】解：∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，是小前提，没有写出x的取值范围，∴本题中的小前提有错误，故选A．7．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．8．复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后求出z的共轭复数，得到坐标，则答案可求．【解答】解：z====﹣i，∴z的共轭复数=+i，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（，）∴z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限故选：A．9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2 B．8n﹣2 C．6n+2 D．8n+2【考点】归纳推理．【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则组成不同个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数．【解答】解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2故选：C．10．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2•+；其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】类比推理．【分析】分别利用运算的法则：①利用乘方的运算法则；②利用三角函数的运算法则；③利用幂的运算法则；逐个进行验证，判断每个小题的正误．【解答】解：根据乘方的运算法则知：（a+b）n≠a n+b n，①不正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α+β）≠sinαsinβ，②不正确；根据幂的运算法则知：（+）2=2+2•+2，③正确；故选B．11．自然数按如图的规律排列：则上起第xx行左起xx列的数为（）A．xx2B．xx2C．xx×xx D．xx×xx【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式．【分析】由题意可知：根据数的排列特征，可以从行和列两个角度观察分析，总结出这个自然数表的排列特征，由此能够求出结果．【解答】解：经观察，这个自然数表的排列特征有：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为（n﹣1）2+1；③第n行中从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列中从第1个数至第n个数依次递增1．故上起第xx行，左起第xx列的数，应是第xx列的第xx个数，即为[2+1]+xx=xx2+xx=xx×xx．故选D．12．若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）C．（a⊗b）2=a2⊗b2D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用题中的新定义知a⊗b表示a，b中的最大值，分别对各选项判断表示的值．【解答】解：由题中的定义知a⊗b表示a，b中的最大值a⊗b与b⊗a表示的都是a，b中的最大值（a⊗b）⊗c与a⊗（b⊗c）表示的都是a，b，c中的最大值c•（a⊗b）表示a，b的最大值与c的乘积；（c•a）⊗（c•b）表示c•a与c•b中最大值故c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）故A、B、D都对故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y=1．【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i利用复数相等的条件求出x、y，然后求x+y的值．【解答】解：因为实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，可得所以x=2，y=﹣1所以x+y=1故答案为：1．14．设，则=．【考点】微积分基本定理．【分析】由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．【解答】解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．15．已知数列{a n}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=a n2+1（n=1，2…），试归纳成数列{a n}的一个通项公式为a n=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由a1=2，a n+12=a n2+1，即a n+12﹣a n2=1，可得数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出结论．【解答】解：∵a1=1，a n+12=a n2+1，即a n+12﹣a n2=1，∴数列{}是等差数列，公差为1，首项为1．∴，a n＞0，∴a n=．故答案为：a n=．16．复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算性质化简，求模即可．【解答】解：∵===﹣i，∴模是=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的解析式可得，（1）当虚部等于零时，复数为实数；（2）当虚部不等于零时，复数为虚数；（3）当实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数；（4）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i，∴（1）当m2﹣m﹣2=0，即m=﹣1，或m=2时，复数为实数．（2）当m2﹣m﹣2≠0，即m≠﹣1，且m≠2时，复数为虚数．（3）当m2﹣m﹣2≠0，且m2﹣1=0时，即m=1时，复数为纯虚数．（4）当m2﹣1＞0，且m2﹣m﹣2＜0时，即1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．18．计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先利用定积分是几何意义将所求面积表示出来，然后进行定积分的计算．【解答】解：由题图得到S===．19．（Ⅰ）求证： +＜2（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）利用了分析法，和两边平方法，（Ⅱ）利用了反证法，假设：，都不小于2，则≥2，≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．【解答】（Ⅰ）证明：因为和都是正数，所以为了证明+＜2，只要证（+）2＜（2）2只需证：10＜20，即证：2＜10，即证：＜5，即证：21＜25，因为21＜25显然成立，所以原不等式成立．（Ⅱ）证明：假设：，都不小于2，则≥2，≥2，∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，∴1+b+1+a≥2（a+b）即a+b≤2这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．20．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则+≥9．【考点】反证法；分析法和综合法．【分析】分析法是从结论出发找出要证结论的充分条件；反证法是假设结论不成立，从假设出发：同分；两边同时乘以a（1﹣a）；得到不成立的结论，从而得证；综合法即将分析法的每一步倒过来．【解答】解：分析法： +≥9⇐≥9反证法：假设+＜9，通分得＜9．∵0＜a＜1，∴1+3a＜9a（1﹣a），整理得（3a﹣1）2＜0，这与平方数不小于0矛盾．∴假设不成立，则+≥9．综合法：由（3a﹣1）2≥0，变形得1+3a≥9a（1﹣a）．∵0＜a＜1，∴≥9，即+≥9．21．（1）用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，n是正整数；（2）用数学归纳法证明不等式：1+++…+＜2（n∈N*）【考点】数学归纳法．【分析】根据数学归纳法的证明步骤先验证n=1时结论成立，再假设n=k时，结论成立，推导n=k+1时结论成立即可．【解答】证明：（1）①n=1时，左边=12=1，右边==1，等式成立，②假设n=k时，等式成立，即12+22+32+…+k2=，则n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2= [2k2+k+6（k+1）]=（2k2+7k+6）==．∴当n=k+1时，等式成立，由①②得：12+22+32+…+n2=．（2）①n=1时，显然不等式成立，②假设n=k时，不等式成立，即1+++…+＜2．则当n=k+1时，1+++…++＜2+=＜=2．∴当n=k+1时，不等式成立．由①②得1+++…+＜2．22．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．【考点】归纳推理；三角函数恒等式的证明．【分析】分析已知条件中：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．【解答】解：由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．归纳推理的一般性的命题为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．证明如下：左边=++=﹣ [cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）]==右边．∴结论正确．精品文档xx年8月2日L35113 8929 褩t20994 5202 刂22334 573E 圾34389 8655 處28585 6FA9 澩,-/40025 9C59 鱙P39663 9AEF 髯23142 5A66 婦25013 61B5 憵实用文档。

2021-2022年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析

2021年高二下学期期中数学试卷（理科）含解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．32．若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinαC．sinα+cosαD．2sinα3．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．以上均不正确4．用数学归纳法证明：1+++…+=时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是（）A． B． C． D．5．已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则（+x）dx的值为（）A．2+πB．2+ C．4+2πD．4+4π6．设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（，e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）7．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）8．已知函数y=f（x）的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．10．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r= ．11．若函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为．12．设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是．13．函数f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是．14．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为．三、解答题（共6道题，共80分）15．当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．16．已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．17．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．19．已知函数f（x）=ax+lnx．a∈R（1）若函数f（x）在x∈（0，e]上的最大值为﹣3；求a的值；（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．20．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．xx天津市静海县六校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．2．若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinαC．sinα+cosαD．2sinα【考点】导数的运算．【分析】求导时应注意α，x的区分．【解答】f'（x）=sinx，f'（α）=sinα．故选B．3．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．以上均不正确【考点】归纳推理．【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．故选：B．4．用数学归纳法证明：1+++…+=时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是（）A． B． C． D．【考点】数学归纳法．【分析】n=k时，左边最后一项为，n=k+1时，左边最后一项为，由此即可得到结论．【解答】解：∵n=k时，左边最后一项为，n=k+1时，左边最后一项为，∴从n=k到n=k+1，不等式左边需要添加的项为．故选D．5．已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则（+x）dx的值为（）A．2+πB．2+ C．4+2πD．4+4π【考点】定积分；复数的基本概念．【分析】由复数定义易得a=2，可得（+x）dx=dx+xdx，由定积分的几何意义个定积分的计算可得．【解答】解：∵复数z=a+（a﹣2）i为实数，∴a=2，∴（+x）dx=dx+xdx，由定积分的几何意义可知dx表示圆x2+y2=4面积的四分之一，为π，∴（+x）dx=π+=π+2故选：A6．设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（，e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点⇔y′=0在区间（，e）有零点．由f′（x）=1+=．（x＞0）．可得，解出即可．【解答】解：函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点⇔y′=0在区间（，e）有零点．f′（x）=1+=．（x＞0）．∴，∴，解得．∴a取值范围为．故选：B．7．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x ﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．8．已知函数y=f（x）的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2【考点】函数零点的判定定理．【分析】将求g（x）的零点个数转化为求xg（x）的最值问题，由已知求出h（x）=xg （x）＞0，得出g（x）＞0恒成立．【解答】解：∵f′（x）+＞0，令h（x）=xf（x）+1，∴h′（x）=f（x）+xf′（x），∴x＞0时，h（x）单调递增，x＜0时，h（x）单调递减，∴h（x）min=h（0）=1＞0，∴x≠0时，g（x）＞0恒成立，故零点的个数是0个，故选：A．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．【考点】导数的运算；点到直线的距离公式．【分析】直线y=2x+3在曲线y=ln（2x+1）上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x﹣y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x﹣y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=1，把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，则（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故答案为：10．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r= ．【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r∴r=．故答案为：．11．若函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为﹣5 ．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）进行求导，根据函数在x=2处有极值，可得f′（2）=0，求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=1处有极值，∴f′（x）=（x2+c）+（x﹣2）×2x，∵f′（2）=0，∴（c+4）+（2﹣2）×2=0，∴c=﹣4，∴f′（x）=（x2﹣4）+（x﹣2）×2x，∴函数f（x）的图象x=1处的切线的斜率为f′（1）=（1﹣4）+（1﹣2）×2=﹣5，故答案为：﹣5．12．设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是a＞．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解，只需f′（）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵，∴函数的导数为f′（x）=﹣x2+x+2a，若函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，故答案为：a＞．13．函数f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是（﹣1，1] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】分别利用二次函数、反比例函数的单调性，确定a的范围，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=﹣x2+2ax的图象是开口朝下，以x=a为对称轴的抛物线，f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1①；∵g（x）==﹣a+在区间（1，2）上都单调递减，∴有a+1＞0，解得a＞﹣1②；综①②，得﹣1＜a≤1，即实数a的取值范围是（﹣1，1]．故答案为：（﹣1，1]．14．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a＜1＜10﹣a2；从而解得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．三、解答题（共6道题，共80分）15．当n∈N*时，，T n=+++…+．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想S n=T n，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，S k=T k，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．【解答】解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，，T n=+++…+．∴S1=1﹣=，S2=1﹣+﹣=，T1==，T2=+=（Ⅱ）猜想：S n=T n（n∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+（n∈N*）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，已证S1=T1②假设n=k时，S k=T k（k≥1，k∈N*），即：1﹣+﹣+…+﹣=+++…+则：S k+1=S k+﹣=T k+﹣=+++…++﹣=++…+++（﹣）=++…++=T k+1，由①，②可知，对任意n∈N*，S n=T n都成立．16．已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16，可得解此方程组即可得出a，b的值；（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c 的值，进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16∴，即，化简得解得a=1，b=﹣12（II）由（I）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x ∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f （2）=c﹣16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣417．已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln （﹣a），由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f （x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．19．已知函数f（x）=ax+lnx．a∈R（1）若函数f（x）在x∈（0，e]上的最大值为﹣3；求a的值；（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据函数的单调性即可求出最值．（2）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=a+=，x＞0①当a≥0时，f′（x）＞0，f′（x）在（0，e]上单调递增，f（x）=f（e）=ae+1=﹣3，（舍去），②当a＜0f′（x）=0 时ⅰ）当，即时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，最大值则a=﹣e2，ⅱ）当时，即时，f′（x）≥0 f（x）在（0，e]上单调递增，f（x）最大值f（e）=ae+1=﹣3，（舍去），综上：函数f（x）在x∈[0，e]上的最大值为﹣3时a=﹣e2，（2）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…由（1）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣e﹣3，故a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣3）20．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；（Ⅱ）求出方程f（x）﹣x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可，【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5，因为，所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5．当x=1时，y=6，将（1，6）代入，得．…（Ⅱ）f'（x）=3x2+5x+a，由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解．令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数．又，故实数b的取值范围是．…（Ⅲ）F（x）=ax﹣x2﹣lnx，所以．因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2﹣8≥0．显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则=＞，解得a2＞16，满足△＞0．又，即a＞0，故所求a的取值范围是（4，+∞）．…xx1月15日。

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高二下学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1. 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，M∩N=（）
A . {0}
B . {0，1}
C . {﹣1，1}
D . {﹣1，0}
2. 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）
A . 1﹣I
B . ﹣1+I
C . 1+I
D . ﹣1﹣i
3. 给出下列四个结论，其中正确的是（）
A . 若，则a＜b
B . “a=3“是“直线l1：a2x+3y﹣1=0与直线l2：x﹣3y+2=0垂直”的充要条件
C . 在区间[0，1]上随机取一个数x，sin 的值介于0到之间的概率是
D . 对于命题P：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬P：∀x∈R均有x2+x+1＞0
4. 在△ABC中，若•（﹣2 ）=0，则△ABC 的形状为（）
A . 直角三角形
B . 等腰三角形
C . 等边三角形
D . 等腰直角三角形
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件
可以是（）
A . k≥7
B . k＞7
C . k≤8
D . k＜8
6. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+ 的最小值为（）
A . 4
B .
C . 1
D . 2
7. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+ ）的图象，则只需将f（x）的图象（）
A . 向右平移个单位长度
B . 向右平移个单位长度
C . 向左平移个单位长度
D . 向左平移个单位长度
8. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）
A . 135
B . 172
C . 189
D . 216
9. 已知θ为锐角，且sin（θ﹣）= ，则tan2θ=（）
A .
B .
C . ﹣
D .
10. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
11. 设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）
A . 0＜g（a）＜f（b）
B . f（b）＜g（a）＜0
C . f（b）＜0＜g（a）
D . g（a）＜0＜f（b）
12. 若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）
A . 1
B . 3
C . 5
D . 7
二、填空题
13. 二项式的展开式中的常数项为________．
14. 圆心坐标为（1，2），且与直线2x+y+1=0相切的圆的方程为________．
15. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是________．
16. 已知从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m＜n，n，m∈N），共有Cn+1m种取法．在这Cn+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和（m﹣1）个白球，共有C10Cnm+C11Cnm﹣1种取法，即有等式Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m成立．试根据上述思想，化简下列式子：Cnm+Ck1Cnm﹣1+Ck2Cnm﹣2+…+CkkCnm﹣k=________．（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）
三、解答题
17. 数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn= ，前n项和为Pn，对于∀n∈N*不等式Pn＜t恒成立，求实数t的取值范围．
18. 在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（2）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
19. 已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，求a：b的值．
20. 设椭圆E：（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2 ．（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．
（1）当a=﹣，c= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当c= +1时，若f（x）≥ 对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2 ．若x1= ，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．
22. 已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m
（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围。