例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换资料

例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换

计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法

在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R = R = R = R = R = R ，试求A、B两端的等51324效电阻R 。AB模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。

3R 。R =

答案：AB8【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R = 1Ω，R = 4Ω，R = 3Ω，R = 12Ω，R = 5324110Ω，试求A、B两端的等效电阻R 。AB模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R不存在，C、D两点的电势相等。5因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙

RR的关系，该桥式是非常容易的。事实上，只要满足=对于图8-5的乙图，求R31AB RR42电路平衡。15Ω。=

R答案：AB4两点之BA、【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求。R 间的等效电阻AB

?。ABCD是正四面体，每段导线的电阻都是1用导线连接成如图所示的框架，【例题4】A

间的总电阻。求AB

C

B

D

、电流分布法2应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电点流入、B点流出，A设有电流I从解出各支路（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，压的

思想，、两点间的电压AB电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算U?R AB U AB

I，再由即可求出等效电阻。AB B

的电阻丝接成如图所示的网络，试】17根电阻均为r【例题R、B两点之间的等效电阻A求出。AB A

、两点之间的等Br】10根电阻均为的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A2【例题R。效电

阻AB

之间是两根电阻丝并联C、D根电阻均为【例题3】8r的电阻丝接成如图所示的网络，R、B

两点之间的等效电阻。A而成，试求出AB

B

C

D

A

电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。

【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R，求A、B间等效电阻。

B

A

3、—△变换法YY在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的2211

型联接代换成等效Y有时把型或△，如图所示，RIIR12II12型联Y的△型联接，或把△型联接代换成等效的212R1接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等O RR31压接效代换要求Y 型联三个端纽的电R233I、I、IU、U、U II及流过的电流3312321123333与△型联接的三个端纽相同。型网络变换到△型电路中的变换式：⑴将Y RRR?RR?R?R123321

12R3

R?R?RRRR?R11323231R2

R?RR?RRR?R12332123R1

型电路的变换式：⑵将△型电路变换到Y RRR?31121R?R?R ?R23122RR??R311223RR?R2331

311223RR

3RR?R?311223以上两套公式的记忆方法：：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。Y△→．

：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。Y→△形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的Y当形联接的三个电阻相等，且等于Y三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的。原来的1/3 。【例题1】对不平衡的桥式

电路，求等效电阻R AB

提示：法一：“Δ→Y”变换；法二：基尔霍夫定律

?11（分别应I。2】试求如图所示电路中的电流【例题I用两种变换方式计算）?1?6?6V4?2??13?1?632

间等效电阻。、【课堂练习】分别求下图中ABCD)=4Ω0.5R; R答案：( PQ

4、无限网络，a?a?a???x?a（a若＞0）

?aa值毫x对x在求值时，注意到x组成，所以去掉左边第一个是由无限多个x?a?x即，效

等变换为将，x部，无影响即剩余分仍为，这样就可以原式20ax??x?。所以a411???x 2

无穷大和有限数的和仍为无穷那就是：这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，大。⑴

一维无限网络。R，每个电阻的阻值均为】【例题1在图示无限网络中，R 试求BA、两点间的电阻

AB．

”作为电路的一级，总电解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添路是这样无穷级的叠加。在图8-11 加一级后，仍为无限网络，即R∥R + R = R ABAB解这个方程就得出了R的值。AB51? R 答案：R。=

AB2

后，设第一IA端注入电流：解法二可以，在，则结合基尔霍夫第一定级的并联电阻分流为I1律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如所示图8-12对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有I R = 0 ?? I)R + (I ? I) IR (I 1111I1?5I =

解得 I12 R = U U很显然? IR ? I BA1515??1IR 即 UIR = = IR + AB22U51? R =

最后，R。 = AB AB I2间的b组成的无穷长梯形网络，求a、、2】如图所示，由已知电阻r1r2和r3【例题开端形）等效电阻R．（ab

间的b、和r1、r2r3组成的无穷长梯形网络，求a】如图所示，由已知电阻【例题3

闭端形．R等效电阻（）ab