数学综合测试试卷(理2)

数学综合测试试卷(理2)

数学综合测试试卷二（理）

一、单项选择

1. 已知两点(1,0),(1,0),A B -且点(,)C x y 1,2=则AC BC +=（ ） A.6 B.2 C.4 D.不能确定

2. 已知,a b 是实数,则“1<

111->-b a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

3. 如果命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的（ ）

A ．逆命题

B ．否命题

C ．逆否命题

D ．以上均错

4. 在ABC ∆中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ）

A ．030

B ．060

C ．0120

D ．0150

5. 已知a n ＝n 2＋n ，那么( )

A ．0是数列中的项

B ．20是数列中的项

C ．3是数列中的项

D ．930不是数列中的项

6. 已知α、β是两个不重合的平面,l 是空间一条直线,命题p:若α∥l,β∥l,则α∥β;命题q:若α⊥l,β⊥l,则α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是( )

A.命题“p 且q”为真

B.命题“p 或q”为假

C.命题“p 或q”为真

D.命题“⌝p”且“⌝q”为真

7. 已知21,F F 是两个定点,点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且21PF PF ⊥,1e 和2e 分别是椭圆和双曲线的离心率,则有( )

A.221≥e e

B.42221≥+e e

C.2221≥+e e

D.21122

21=+e e 8. “α＝6π＋2k π(k ∈Z)”是“cos2α＝12

”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

9. 已知A.B.C 是锐角△ABC 的三个内角,向量(sin ,1)(1,)p A q cosB =-=,则p q 与的夹角是( )

A.锐角

B.钝角

C.直角

D.不确定

10. 对于任意实数,,,a b c d ，命题①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若

22ac bc >，则a b >；④若,a b >则；⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >．其中真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

11. 若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个 不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是

20. 已知33=a ，c ＝2，B ＝150°，边b 的长及三角形面积∆S 分别为 ．

三、解答题

21. 已知点(,4)(0)A m m >在抛物线24x y =上,过点A 作倾斜角互补的

两条直线1212,,l l l l 和且与抛物线另一个交点分别为B 、C.

(I)求证:直线BC 的斜率为定值;

(II)若抛物线上存在两点关于直线BC 对称,求|BC|的取值范围.

22. 如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为平行四边

形,22==AD AB ,3=BD ,PD ⊥底面ABCD .

(1)证明:平面⊥PBC 平面PBD ;

(2)若二面角D BC P --为6

π,求AP 与平面PBC 所成角的正弦值.

23. 在ABC ∆中,D 在边BC 上,且2BD =,1DC =,

60B ∠=︒,150ADC ∠=︒,求AC 的长及ABC ∆的面积.

24. 解不等式：1

211922+-+-x x x x ≥7.

25. 如图，矩形ABCD 是机器人踢足球的场地，170AB cm =，

80AD cm =，

机器人先从AD 的中点E 进入场地到点F 处，40EF cm =，EF AD ⊥．场地内有一小球从A 点沿AB 运动，机器人从F 点出发去截

小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动

的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则

机器人最快可在何处截住小球？

26. 如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,CC 1⊥底面ABC,AC ＝BC ＝2,AB ＝22,CC 1＝4,M 是棱CC 1上一点 (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若M,N 分别是CC 1,AB 的中点,求证:CN //平面AB 1M;

(Ⅲ)若C 1M ＝32

,求二面角A －MB 1－C 的大小.

27. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：21k k ⋅为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若

||2||OP OM =，求点M 的轨迹方程．

28. 设椭圆E 过M （2，2）,N (6,1)两点，O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点B A ,且OB OA ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.

29. 已知等比数列{}n a 的公比q>1, 42是1a 与4a 的一个等比中项，2a 与3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a = *()n N ∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S .

30. 已知数列}{n a 是首项为1、公比为21的等比数列；数列}{n b 的首项为2

11=b ，且数列}1{n b 是公差为1 的等差数列 (1) 求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；