土木工程制图第三章点,直线和平面的投影

投影特性：
b
V
d
a
B
c
A
C
D
空间两直线平行 则其各同面投影必相互 平行；各同名投影的长
a c
度之比相等；各同名投 影的指向相同。
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法：
若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断 两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该 投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
YH
求出 W面投影后可知：
AB与CD不平行。
2.相交两直线
土木工程制图
V c k
a
C
A
Xa
c
投影特点：
b
交点是两直线的共有点
d
B KD
d
k
b
c k a
X
Ha ck
b d
d b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
判断方法：
土木工程制图
若两直线的三组同面投影都 相交，且交点符合点的投影规律， 则两直线在空间相交；
例3：判断点C是否在线段AB上。
土木工程制图
o
① c
a
x
c a
b
o
b
② a
c●
b
x
ac b
点C在直 线AB上
点C不在直 线AB上
返回
例4：判断点C 是否在线段AB上。
土木工程制图
a
Z a
c● b
X a c●
b
● c b
o YW
因c不在a b
YH
上，故点C不在AB上。
3)点的正面投影到OX轴的距离等于空间点A到H面的距离a′aX=Aa。
三.点在三面投影体系中的投影
土木工程制图
Z
a 点A的正面投影
V
a●
a 点A的水平投影 X
A
●
● a
oW
a 点A的侧面投影
a●
H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
土木工程制图
(a) 空间状况
(b) 展开图
土木工程制图
已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影，已 知点的三面投影，可以量出该点的3个坐标。
例3：已知点A(18，15，20)，作点A的三
面投影图和立体图，如下图所示。
土木工程制图
方法一
方法二
立体图
分析：由于已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影图， 并且点的空间位置可用坐标来确定。
六、空间两点的相对位置
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
投影面垂直线
土木工程制图
(a) 水平线
(b) 正平线
(c) 侧平线
投影面垂直线投影特性
土木工程制图
铅垂线
a
Z
a
正垂线
c(d) ●
Z d
b
b
X
X
o
YW
d
●
a(b) YH
土木工程制图
b ● a 8
12
X bx
ax
a
10
●
b
Z
bz
b
●
az a
O
by YW
ay
ay by
YH
作图步骤：
1）在a′左方12 mm ， 上方8 mm 处确定b；
2）作b′b⊥OX 轴，且在 a 前10 mm 处确定b；
3）按投影关系求得b″。
2.重影点
空间两点在某一投影面上 的投影重合为一点时，则称此 两点为该投影面的重影点。
一、直线的投影
一般情况下，直线的
1.直线投影的形成 投影仍为直线。
a●
Z ●a
两点确定一条直线，将
b
●
● b 直线上两点的同名投影用直
X
o
a●
YW 线连接起来，就得到直线的 三个投影。
b●
YH
直线的投影规定用粗实线绘制。
直线与投影面的相对位置
土木工程制图
A●
M● B●
●
a≡b≡m
B
●
A●
●b a●
1）过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
2）点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
二.点的两面投影
土木工程制图
点的两面投影规律： 1)点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。a′a⊥OX。 2)点的水平投影到OX轴的距离等于空间点A到V面的距离aaX= Aa′。
另一判断法? 应用等比定理
例3.8：判断点K是否在线段AB上
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
Z
b′
b′
b″
k′
k′
k″
a′ OX
a′ OX
a″ YW
O
b
b
k
k
k1
a1
a
a
YH
三、两直线的相对位置关系
土木工程制图
空间两直线 分为 的相对位置
平行 相交 交叉 垂直
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
a’ X Za
b’ ΔZ
Zb O
a’ X
a ΔZ
B。
b’ ΔZ
O
αb 实 长
总结
土木工程制图
1、直角三角形法的四要素： 投影长、坐标差、实长和倾角
2、应用总结：不同条件的四要素
1）H面投影长、Z坐标差、、实长。 2）V面投影长、Y坐标差、、实长。 3）W面投影长、X坐标差、、实长。
图3.16 投影面垂直线在形体投影图和立体图中的位
两一般位置直线，任意两组 同面投影相交，且交点符合点的 投影规律，则可判断两直线在空 间相交；
两直线中其中之一平行于某 一投影面，则需作出两直线在该 投影面上的投影来判断；或者通 过定比性来判断。
例7：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
x
o
a
d
k
b
c●
思考：如果给出CD的长度， 解题过程有何变化？
的Y 坐标差，即可以
确定b。
B0 ΔY
x a'
实长
土木工程制图
b' o 作图过程及结果
a ΔY
b
二、 直线上的点
土木工程制图
Z V
b′
B b″ c′
a′
W
C
c″
X
O
A
b
a″
c
a
H
Y
Z
b′
b″
c′ a′ X
c a
O b
YH
c″
a″ YW
点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上且符合点
的投影规律。直线上两线段长度之比等于它们的同名投影长度 之比，即 AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a"c"：c"b"。
例5：判断图中两条直线是否平行
土木工程制图
b d
a c
X
a
c
bd
对于一般位 置直线，只要有 两个同面投影互 相平行，空间两 直线就平行。
AB//CD
例6：判断图中两条直线是否平行。 土木工程制图
c
a d
b
Xc b
da
Z c a
o
b
d
YW
对于特殊位 置直线，只有两 个同面投影互相 平行，空间直线 不一定平行。
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
土木工程制图
a
a
●
●
c●
●c
●
a (c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上 标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
3.2 直线的投影
土木工程制图
a
Z a
β
b
Xa
α b
YW
βγ
实长 b YH
ba
b
YH
YH
与H面的夹角:α
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
投影面平行线在形体投影图和立体图中的位置
土木工程制图
水平线
●B
α A●
●b a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
一、各种位置直线投影
土木工程制图
投影面平行线
水平线（平行于Ｈ面）
正平线（平行于Ｖ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
侧平线（平行于Ｗ面）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)投影面平行线的投影特点为：在它所平行的投 影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个 投影面的倾角。
投影面平行线
土木工程制图
(a) 水平线 (b) 正平线
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
a
Xa
水平线
b Z a b
实长
正平线
a Z a
b α γ
b
YW
X
YW
侧平线 实长
(c) 投影图
点的三面投影规律：
(1) 投影之间连系线垂直于投影轴，aa′⊥OX，a′a"⊥OZ。
(2) 点的H面投影a到OX的距离等于点的W面投影a"到OZ轴
的距离，aaX=a"aZ。
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
a x
a
yw
三个投影都不反映空
a
间线段的实长及与三个投
影面夹角的真实大小，且
b yH
与各投影轴都倾斜。
返回
直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角
土木工程制图
a’
x
Za
z
b’
实实 长长

A

a
BB。=Bb-bB。
B
=Zb-Za
B0 =ΔZ
Za
b
=ab
y
在直角三角形中
B
ΔZ
实
长
α
B。
A
=ab
求直线段AB的 实长和倾角α
a′
a″ YW b
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
Z b′ b″
b
A0 a″
YW
YH A0
已知
作图
例2：已知直线AB的投影a'b'和a及 AB=35mm，B点在A点的前方，求b。
土木工程制图
a' x
a
b'
分析：
由点的投影规律
可知，b 必定位于b′
o
正下方的H投影面上，
只要作出A、B 两点
用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意两面投影可以求出第三投影。
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影 应在OYH轴上。
五、点的坐标
第3章 点、直线和平面的投影 土木工程制图
教学提示：任何形体，不论其复杂程度如 何， 都可 以看成由空间几何元素点、线、面所组成。 本章主要研究点、各种位置直线、各种位 置平面的投影规律和图示方法，为正确绘 制和阅读形体的投影图打基础。
学习要求：掌握点、直线和平面的投影规律和方法， 在学习的过程中要注意将所学内容与实际 工程结合起来，以加强空间想象能力。
正平线
侧平线
2.投影面垂直线
土木工程制图
(1)投影面垂直线是指在空间与一个投影面垂 直， 同时与另外两个投影面平行的直线。
(2)投影面垂直线分为铅垂线、正垂线、侧垂线。
① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。
直线对投影面的倾角α、β
土木工程制图
H
△Y △Z
Z
V
b′ B
a′ X
B0 O
Ab
a
b′
A0
AB实长
△
Y a′
X b
A0 OX
△Z
a AB实长
B0
Y
直角三角形法求直线段的实长及倾角
图3.17 直角三角形法求直线段的实长和倾角
例1：用直角三角形法求α、β、γ
土木工程制图
a′ X
a
直线的投影
Z
b′
b″
b′ 实长
提示：H面投影反映实长。
先作正面投影
[例3.10]：判断两直线AB与CD是否相交。 土木工程制图
b′
c′ k′ d′
a′ X
a
c k bd
b′
c′
k′
d′
a′
OX
O
a
a1
c
k1
k
bd
b′
c′
k′ d′
a′ X
a
Z c″
a″ O
b″
k″ d″ YW
c
kd b
YH
分析：因两直线中CD平行于W投影面，则需作 出两直线在W投影面上的投影来判断； 或者通过定比性来判断。
土木工程制图
1.相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
X坐标值大的点在左，小的在右。 Y坐标值大的点在前，小的在后。 Z坐标值大的点在上，小的在下。
。A在B的左、 前、下方
例4：如图，已知点A 的三投影，另一点B在点 A 上方8 mm，左方12 mm，前方10 mm处， 求点B 的三个投影。
统称特殊位置直线
铅垂线（垂直于Ｈ面）
投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面
侧垂线（垂直于Ｗ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1.投影面平行线
土木工程制图
(1)投影面平行线是指在空间与一个投影面平行同 时与另外两个投影面倾斜的直线。
(2)投影面平行线分为水平线、正平线、侧平线。
① 水平线与H面平行同时与V面、W面倾斜。 ② 正平线与V面平行同时与H面、W面倾斜。 ③ 侧平线与W面平行同时与H面、V面倾斜。
⒊ 两直线交叉
a c'
1(2
)
3 ●
●
●4
c a
2
●
●
3.1 点的投影
如右图所示，一个形体 由多个侧面围成，各侧面相 交于多条侧棱，各侧棱相交 于多个顶点A、B、C…J 等。 如果画出各点的投影，再把 各点的投影一一连接，就可 以作出一个形体的投影。
点是形体的最基本的元 素。点的投影规律是点、线、 面投影的基础。
土木工程制图
一、点的单面投影
土木工程制图
c
o YH
投影特性
c YW
侧垂线
e
f Z e(f)
●
X
o
YW
e
f YH
（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2）另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相应
的投影轴。
投影面垂直线在形体投影图和立体图中的位置
土木工程制图
铅垂线
正垂线
侧垂线
3.一般位置直线
土木工程制图
z
b
b
投影特性：