轴对称与全等三角形培优提高

轴对称与全等三角形培优提高
Eg1.【基础题】（1）三角形内一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形
____ ____的交点．
（2）三角形内一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形____ ____的交点．
Eg2．【“角平分线+平行→等腰”模型】
例：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；•③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
【跟踪练习1】.如图，在ΔABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm.
【跟踪练习2】.如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问
中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，
交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。

Eg3.【120°角构造特殊三角形】.如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，
那么这个六边形的周长是 cm．
E
D
C
A
B
F
Eg4.【“求边”方程思想】如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则
六边形的周长是 .
Eg5.【分类讨论思想】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，则它的顶角是_______.
Eg6.【作图题】
例1：如图，在直线CD上有一动点P，P在CD上从右往左运动的过程中，找出
（1）点P到A、B距离之和最小时的位置；
（2）点P到A、B距离相等时的位置；
（3）点P到A、B的距离之差最大时P的位置。

【跟踪练习1】.如图，已知直线及其两侧两点A、B。

（1）在直线上求一点P，使PA=PB；
（2）在直线上求一点Q，使平分∠AQB。

【跟踪练习2】已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

【思考题】如图，A、B是直线L同侧的两定点，定长线段PQ在L上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB 的长最短？(画出图形，不要说明理由)
l
l
l l
·
B
·
A
l
·
·
A
B
Eg7.【“求角”方程思想】.例： 如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，
求BAC ∠的度数。

A
B
C
D
【跟踪练习】如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB ，求∠A 的度数
Eg8.【角平分线辅助线的作法】
例1:已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + AD
【跟踪练习】如图，
中，
，
试说明：
．
例2：在Rt △ABC 中，∠B AC ＝90°，AB=AC ，CE ⊥BD 的延长线于E ，∠1=∠2求证：BD ＝2CE ． D
B A
C
A B C
D
E
E A
例：如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，
①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；
③判断△CFH 的形状并说明理由．
【跟踪练习1】．已知：在△AOB 和△COD 中，OA =OB ，OC =OD ．
（1）如图①，若∠AOB =∠COD =60°，求证：①AC =BD ；②∠APB =60°．
（2）如图②，若∠AOB =∠COD =α，则AC 与BD 间的等量关系式为＿＿＿＿，∠APB 的大小为＿＿＿．
【跟踪练习2】.如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，
（1）试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．
（2）园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？
A
G
F
C B
D
E
（图１）
E D
C
A
H F
例：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证DE +BF =EF ．
感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD ，BG=DE ， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上． ∵∠EAF =45° ∴∠2+∠3=∠BAD -∠EAF =90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF =∠_________． 又AG =AE ，AF =AF ∴△GAF ≌_______．
∴_________=EF ，故DE +BF =EF ．
（2）方法迁移：如图②，将ABC Rt ∆沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =21
∠DAB ．试
猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，E ，F 分别为DC ，BC 上的点，满足DAB EAF ∠=∠2
1
，试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE +BF =EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
【跟踪练习】.如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120°，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF=60°，求△AEF 的周长． 3
2
1G
E
F
D C B
A ①
E
F
D
C
B
A
②
E
F
D C
B
A
③
Eg10.【对角互补模型】.如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠ABP+∠ACP=180º，求证：PB+PC=PA
【跟踪练习】.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE=
【思考题】.如图，O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°, ∠BOC=α,点D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD
（1）试说明：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是以OD为底边的等腰三角形？
Eg11.【动点问题】.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，
∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；
若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在
射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，
则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不
变，则求出它的度数．
P
B C
A。