2021届北京《金学导航》模拟卷样卷数学答案
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数学一参考答案 １．Ｃ（解析：因为 Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－ｘ－２＜０｝＝｛ｘ｜－１＜ｘ
＜２｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝槡ｘ｝＝｛ｘ｜－１≤ｙ≤１｝，则 Ａ∪Ｂ＝ ［－１，２），故选 Ｃ．）
２．（理）Ｃ（解 析：由 （１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝｜３＋４ｉ｜＝
槡３２＋４２＝５得 ｚ－ｉ＝１＋５２ｉ＝（１＋５（２１ｉ）－（１２ｉ－）２ｉ）＝
ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝４５，故选
Ａ．）
（文）Ｄ（解 析：因 为 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ＝槡５×
（槡１５ｓｉｎｘ＋槡２５ｃｏｓｘ）＝槡５ｓｉｎ（ｘ＋φ），其 中 φ满 足
ｓｉｎφ＝２，ｃｏｓφ＝１，因为 ｆ（α）＝槡５ｓｉｎ（α＋φ）＝０，
槡５
槡５
所以 α＋φ＝ｋπ，即 α＝ －φ＋ｋπ，所 以 ｃｏｓ２α＝
平面 ＰＡＢ，这与 Ｐ－ＡＢＣ为正四面体矛盾，所以假
设不成立，所以②错误；设正四面体 Ｐ－ＡＢＣ中，各
侧棱两两夹角为 α，ＰＣ与面 ＰＡＢ的夹角 为 β，则
ＶＳ－ＰＱＲ ＝１３Ｓ△ＰＱＲ·ｈ＝１３（１２ＰＱ·ＰＲｓｉｎα）·ＰＳ·
ｓｉｎβ，令 Ｏ到各个面的距离为 ｄ，则由体积分割法可
知
ＶＳ－ＰＱＲ
＝ＶＯ－ＰＱＲ
１－２ｉ，所以 ｚ＝１－ｉ，所以 ｚ的虚部为 －１．）
（文）Ｃ（解析：由（１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝５得 ｚ－ｉ＝１＋５２ｉ
＝（１＋５（２１ｉ）－（１２ｉ－）２ｉ）＝１－２ｉ，所以 ｚ＝１－ｉ，故选 Ｃ．）
３．Ｄ（解析：由题意知 ｌ∥ｍ是 α∥β的既不充分也
不必要条件，ｌ⊥ｍ是 α⊥β的既不充分也不必要条
１０．Ｃ（解析：因为若 ＭＮ∥ＡＢ，则 ＡＢ∥平面 ＳＱＲ，因
为平面 ＰＡＢ∩平面 ＳＱＲ＝ＱＲ，所以 ＡＢ∥ＲＱ，所以 ①正确；假设存在点 Ｓ，取 ＱＲ的中点 Ｄ，由 Ｐ→Ｓ· （Ｐ→Ｑ＋ＰＲ）＝０得 ２Ｐ→Ｓ·Ｐ→Ｄ＝０，所以 Ｐ→Ｓ⊥Ｐ→Ｄ，即
ＰＣ⊥ＰＤ，因为 ＰＣ⊥ＡＢ，ＡＢ与 ＰＤ相交，所以 ＰＣ⊥
２０２１，故选 Ｄ．）
（文）Ｂ（解析：因为双曲线 Ｃ的渐近线方程为 ｙ＝
±２ｘ，所以 Ｃ的方程为 ｙ２ －ｘ２＝ｍ或 ｘ２－ｙ２ ＝ｍ，可
４
４
得 Ｃ的离心率为槡５或槡２５，所以 Ｂ正确，Ａ、Ｃ、Ｄ均不 确定，故选 Ｂ．）
８．（理）Ａ（解 析：因 为 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ＝槡５×
（１ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ）＝槡５ｓｉｎ（ｘ＋φ），其中 φ满足 ｓｉｎφ 槡５ 槡５
件，ｌ⊥β是 α⊥β的充分不必要条件，ｌ∥β是 ｌ∥ｍ
的既不充分也不必要条件，所以只有 Ｄ正确，其它
均错误，故选 Ｄ．）
４．Ｄ（解析：在倾向选择报考警察院校的群中，农村
户籍人数为 ４０×８０％ ＝３２人，城镇户籍人数为 ８０
×４０％ ＝３２人，所以人数相等，所以 Ｄ错误，其他
均正确．故选 Ｄ．） ５．（理）Ｄ（解析：因为 ｌｇａ＝ｌｇｘｌｇｘ＝ｌｇｘ·ｌｇｘ＝ｌｇ２ｘ， ｌｇｂ＝ｌｇｙｌｇｙ ＝ｌｇｙ· ｌｇｙ＝ｌｇ２ｙ，ｌｇｃ＝ｌｇｘｌｇｙ ＝ｌｇｙ· ｌｇｘ， ｌｇｄ＝ｌｇｙｌｇｘ＝ｌｇｘ·ｌｇｙ，所以 Ａ和 Ｂ不确定，Ｃ一定
ｃｏｓ（－２φ＋２ｋπ）＝ｃｏｓ（－２φ）＝ｃｏｓ（２φ）＝２ｃｏｓ２φ
－１＝－３５，故选 Ｄ．）
９．Ａ（解析：根据题意画出函数 ｆ（ｘ）的图象如图所
示，由图象可知要使函数 ｙ＝ｆ（ｘ）与 ｙ＝－ｘ＋ｍ有
两个交点，只需使 ｙｘ＝２＝－２＋ｍ＜１，所以 ｍ＜３，故 选 Ａ．）
入 １号球槽，概率为 Ｐ＝（２）４＝１６，若四次中有三 ３ ８１
次向左、一次向右，则落入 ２好球槽，概率为 Ｐ＝
Ｃ１４（２ ３）３ ×１３ ＝３８２１，所 以 参 与 游 戏 者 每 玩 一 次 游 戏
老板亏损的概率为 １－１８６１－３ ８２ １＝２１７１，故选 Ａ．）
（文）Ｃ（解析：因为某日该超市采用手机支付的青
所以③正确，故选 Ｃ．）
１１．（理）Ａ（解析：因为 ｜ＡＢ｜ "
＝｜ＰＱ｜＝｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜，所
以△ＰＡＢ为等边三角形，令 ) 抛物线 Ｃ的准线 ｌ，作 ＰＤ⊥
# (
' $
ＡＢ于 Ｄ，ＰＤ⊥ｌ于 Ｇ，ＭＨ⊥
,
ｌ于 Ｈ，则 ｜ＰＤ｜＝槡２３｜ＰＱ｜， *
+& %
!
因为 ｜ＰＦ｜＝槡３｜ＰＱ｜，所以 ｜ＰＦ｜＝２｜ＰＤ｜，所以∠ＰＦＡ＝３０°，所以∠ＦＰＤ＝６０°，
不成立，故选 Ｄ．） （文）Ｃ（解析：因为 ｘ＞ｙ＞１，因为 ｌｇａ＝ｌｇｘｌｇｙ＝ｌｇｙ· ｌｇｘ，ｌｇｂ＝ｌｇｙｌｇｘ＝ｌｇｘ·ｌｇｙ，所以 ａ＝ｂ，故选 Ｃ．）
６．（理）Ａ（解析：由题意知小球下落过程中每次碰
撞向左落下的概率是 ２３，向右落下的概率是 １ ３，小
球经过四次碰撞下落到达球槽，若四次都向左则落
＝２，ｃｏｓφ＝１，当
槡５
槡５
ｆ（α）＝槡５ｓｉｎ（α＋பைடு நூலகம்）取 得 最 大
值时，α＋φ＝π２＋２ｋπ，即 α＝－φ＋π２ ＋２ｋπ，所以
ｓｉｎα＝ｓｉｎ（－φ＋π２ ＋２ｋπ）＝ｓｉｎ（－φ＋π２）＝ｃｏｓφ
＝槡１５，ｃｏｓα＝ｃｏｓ（－φ＋π２ ＋２ｋπ）＝ｃｏｓ（－φ＋π２）
＝ｓｉｎφ＝２，所以 槡５
则
｜ＡｎＢｎ｜＝
｜ｘｎ槡＋２ｙｎ｜，｜ＡｎＣｎ
｜＝
｜ｘｎ－ｙｎ｜，所 槡２
以
△ＡｎＢｎＣｎ为直角三角形，且面积
ａｎ＝１２
×｜ｘｎ＋ｙｎ｜ 槡２
×｜ｘｎ－ｙｎ｜＝｜ｘ２ｎ－ｙ２ｎ｜＝ ２ｎ ＝ ｎ ，所以
槡２
４ ５０５×４ １０１０
ａ１
＋
ａ２ ＋ａ３ ＋… ＋ａ２０２０ ＝１０１１０×２０２０×（１２＋２０２０）＝
＋ＶＯ－ＰＳＲ
＋ＶＯ－ＰＱＳ，即
１ ３
×１２ＰＱ·
ＰＲ·ＰＳｓｉｎα· ｓｉｎβ＝３ｄ ×１２ＰＱ· ＰＲ· ｓｉｎα＋３ｄ ×
１２ＰＳ·ＰＲ·ｓｉｎα＋３ｄ×１２ＰＳ·ＰＱ·ｓｉｎα，所以 ＰＱ
·ＰＲ·ＰＳ·ｓｉｎβ＝ｄ×ＰＱ·ＰＲ＋ｄ×ＰＳ·ＰＲ＋ｄ×
ＰＳ·ＰＱ，所以 ｜Ｐ→１Ｑ｜＋｜Ｐ１Ｒ｜＋｜Ｐ→１Ｓ｜＝ｓｉｄｎβ为定值，
年人的人数所占的比列为 １－３０％ －１５％ －１０％ ＝
４５％，所以 ６７５÷４５％ ＝１５００，故选 Ｃ．） ７．（理）Ｄ（解析：设 Ａｎ（ｘｎ，ｙｎ），双曲线 Ｅｎ：ｘ２ －ｙ２ ＝ ５２０ｎ５的两条渐近线 ｘ＋ｙ＝０与 ｘ－ｙ＝０互相垂直，
点 Ａｎ 在 两 条 渐 近 线 上 的 射 影 分 别 为 Ｂｎ、Ｃｎ，
＜２｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝槡ｘ｝＝｛ｘ｜－１≤ｙ≤１｝，则 Ａ∪Ｂ＝ ［－１，２），故选 Ｃ．）
２．（理）Ｃ（解 析：由 （１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝｜３＋４ｉ｜＝
槡３２＋４２＝５得 ｚ－ｉ＝１＋５２ｉ＝（１＋５（２１ｉ）－（１２ｉ－）２ｉ）＝
ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝４５，故选
Ａ．）
（文）Ｄ（解 析：因 为 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ＝槡５×
（槡１５ｓｉｎｘ＋槡２５ｃｏｓｘ）＝槡５ｓｉｎ（ｘ＋φ），其 中 φ满 足
ｓｉｎφ＝２，ｃｏｓφ＝１，因为 ｆ（α）＝槡５ｓｉｎ（α＋φ）＝０，
槡５
槡５
所以 α＋φ＝ｋπ，即 α＝ －φ＋ｋπ，所 以 ｃｏｓ２α＝
平面 ＰＡＢ，这与 Ｐ－ＡＢＣ为正四面体矛盾，所以假
设不成立，所以②错误；设正四面体 Ｐ－ＡＢＣ中，各
侧棱两两夹角为 α，ＰＣ与面 ＰＡＢ的夹角 为 β，则
ＶＳ－ＰＱＲ ＝１３Ｓ△ＰＱＲ·ｈ＝１３（１２ＰＱ·ＰＲｓｉｎα）·ＰＳ·
ｓｉｎβ，令 Ｏ到各个面的距离为 ｄ，则由体积分割法可
知
ＶＳ－ＰＱＲ
＝ＶＯ－ＰＱＲ
１－２ｉ，所以 ｚ＝１－ｉ，所以 ｚ的虚部为 －１．）
（文）Ｃ（解析：由（１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝５得 ｚ－ｉ＝１＋５２ｉ
＝（１＋５（２１ｉ）－（１２ｉ－）２ｉ）＝１－２ｉ，所以 ｚ＝１－ｉ，故选 Ｃ．）
３．Ｄ（解析：由题意知 ｌ∥ｍ是 α∥β的既不充分也
不必要条件，ｌ⊥ｍ是 α⊥β的既不充分也不必要条
１０．Ｃ（解析：因为若 ＭＮ∥ＡＢ，则 ＡＢ∥平面 ＳＱＲ，因
为平面 ＰＡＢ∩平面 ＳＱＲ＝ＱＲ，所以 ＡＢ∥ＲＱ，所以 ①正确；假设存在点 Ｓ，取 ＱＲ的中点 Ｄ，由 Ｐ→Ｓ· （Ｐ→Ｑ＋ＰＲ）＝０得 ２Ｐ→Ｓ·Ｐ→Ｄ＝０，所以 Ｐ→Ｓ⊥Ｐ→Ｄ，即
ＰＣ⊥ＰＤ，因为 ＰＣ⊥ＡＢ，ＡＢ与 ＰＤ相交，所以 ＰＣ⊥
２０２１，故选 Ｄ．）
（文）Ｂ（解析：因为双曲线 Ｃ的渐近线方程为 ｙ＝
±２ｘ，所以 Ｃ的方程为 ｙ２ －ｘ２＝ｍ或 ｘ２－ｙ２ ＝ｍ，可
４
４
得 Ｃ的离心率为槡５或槡２５，所以 Ｂ正确，Ａ、Ｃ、Ｄ均不 确定，故选 Ｂ．）
８．（理）Ａ（解 析：因 为 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ＝槡５×
（１ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ）＝槡５ｓｉｎ（ｘ＋φ），其中 φ满足 ｓｉｎφ 槡５ 槡５
件，ｌ⊥β是 α⊥β的充分不必要条件，ｌ∥β是 ｌ∥ｍ
的既不充分也不必要条件，所以只有 Ｄ正确，其它
均错误，故选 Ｄ．）
４．Ｄ（解析：在倾向选择报考警察院校的群中，农村
户籍人数为 ４０×８０％ ＝３２人，城镇户籍人数为 ８０
×４０％ ＝３２人，所以人数相等，所以 Ｄ错误，其他
均正确．故选 Ｄ．） ５．（理）Ｄ（解析：因为 ｌｇａ＝ｌｇｘｌｇｘ＝ｌｇｘ·ｌｇｘ＝ｌｇ２ｘ， ｌｇｂ＝ｌｇｙｌｇｙ ＝ｌｇｙ· ｌｇｙ＝ｌｇ２ｙ，ｌｇｃ＝ｌｇｘｌｇｙ ＝ｌｇｙ· ｌｇｘ， ｌｇｄ＝ｌｇｙｌｇｘ＝ｌｇｘ·ｌｇｙ，所以 Ａ和 Ｂ不确定，Ｃ一定
ｃｏｓ（－２φ＋２ｋπ）＝ｃｏｓ（－２φ）＝ｃｏｓ（２φ）＝２ｃｏｓ２φ
－１＝－３５，故选 Ｄ．）
９．Ａ（解析：根据题意画出函数 ｆ（ｘ）的图象如图所
示，由图象可知要使函数 ｙ＝ｆ（ｘ）与 ｙ＝－ｘ＋ｍ有
两个交点，只需使 ｙｘ＝２＝－２＋ｍ＜１，所以 ｍ＜３，故 选 Ａ．）
入 １号球槽，概率为 Ｐ＝（２）４＝１６，若四次中有三 ３ ８１
次向左、一次向右，则落入 ２好球槽，概率为 Ｐ＝
Ｃ１４（２ ３）３ ×１３ ＝３８２１，所 以 参 与 游 戏 者 每 玩 一 次 游 戏
老板亏损的概率为 １－１８６１－３ ８２ １＝２１７１，故选 Ａ．）
（文）Ｃ（解析：因为某日该超市采用手机支付的青
所以③正确，故选 Ｃ．）
１１．（理）Ａ（解析：因为 ｜ＡＢ｜ "
＝｜ＰＱ｜＝｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜，所
以△ＰＡＢ为等边三角形，令 ) 抛物线 Ｃ的准线 ｌ，作 ＰＤ⊥
# (
' $
ＡＢ于 Ｄ，ＰＤ⊥ｌ于 Ｇ，ＭＨ⊥
,
ｌ于 Ｈ，则 ｜ＰＤ｜＝槡２３｜ＰＱ｜， *
+& %
!
因为 ｜ＰＦ｜＝槡３｜ＰＱ｜，所以 ｜ＰＦ｜＝２｜ＰＤ｜，所以∠ＰＦＡ＝３０°，所以∠ＦＰＤ＝６０°，
不成立，故选 Ｄ．） （文）Ｃ（解析：因为 ｘ＞ｙ＞１，因为 ｌｇａ＝ｌｇｘｌｇｙ＝ｌｇｙ· ｌｇｘ，ｌｇｂ＝ｌｇｙｌｇｘ＝ｌｇｘ·ｌｇｙ，所以 ａ＝ｂ，故选 Ｃ．）
６．（理）Ａ（解析：由题意知小球下落过程中每次碰
撞向左落下的概率是 ２３，向右落下的概率是 １ ３，小
球经过四次碰撞下落到达球槽，若四次都向左则落
＝２，ｃｏｓφ＝１，当
槡５
槡５
ｆ（α）＝槡５ｓｉｎ（α＋பைடு நூலகம்）取 得 最 大
值时，α＋φ＝π２＋２ｋπ，即 α＝－φ＋π２ ＋２ｋπ，所以
ｓｉｎα＝ｓｉｎ（－φ＋π２ ＋２ｋπ）＝ｓｉｎ（－φ＋π２）＝ｃｏｓφ
＝槡１５，ｃｏｓα＝ｃｏｓ（－φ＋π２ ＋２ｋπ）＝ｃｏｓ（－φ＋π２）
＝ｓｉｎφ＝２，所以 槡５
则
｜ＡｎＢｎ｜＝
｜ｘｎ槡＋２ｙｎ｜，｜ＡｎＣｎ
｜＝
｜ｘｎ－ｙｎ｜，所 槡２
以
△ＡｎＢｎＣｎ为直角三角形，且面积
ａｎ＝１２
×｜ｘｎ＋ｙｎ｜ 槡２
×｜ｘｎ－ｙｎ｜＝｜ｘ２ｎ－ｙ２ｎ｜＝ ２ｎ ＝ ｎ ，所以
槡２
４ ５０５×４ １０１０
ａ１
＋
ａ２ ＋ａ３ ＋… ＋ａ２０２０ ＝１０１１０×２０２０×（１２＋２０２０）＝
＋ＶＯ－ＰＳＲ
＋ＶＯ－ＰＱＳ，即
１ ３
×１２ＰＱ·
ＰＲ·ＰＳｓｉｎα· ｓｉｎβ＝３ｄ ×１２ＰＱ· ＰＲ· ｓｉｎα＋３ｄ ×
１２ＰＳ·ＰＲ·ｓｉｎα＋３ｄ×１２ＰＳ·ＰＱ·ｓｉｎα，所以 ＰＱ
·ＰＲ·ＰＳ·ｓｉｎβ＝ｄ×ＰＱ·ＰＲ＋ｄ×ＰＳ·ＰＲ＋ｄ×
ＰＳ·ＰＱ，所以 ｜Ｐ→１Ｑ｜＋｜Ｐ１Ｒ｜＋｜Ｐ→１Ｓ｜＝ｓｉｄｎβ为定值，
年人的人数所占的比列为 １－３０％ －１５％ －１０％ ＝
４５％，所以 ６７５÷４５％ ＝１５００，故选 Ｃ．） ７．（理）Ｄ（解析：设 Ａｎ（ｘｎ，ｙｎ），双曲线 Ｅｎ：ｘ２ －ｙ２ ＝ ５２０ｎ５的两条渐近线 ｘ＋ｙ＝０与 ｘ－ｙ＝０互相垂直，
点 Ａｎ 在 两 条 渐 近 线 上 的 射 影 分 别 为 Ｂｎ、Ｃｎ，