椭圆方程数值解

j. 椭圆方程数值解法

本章考虑椭圆微分方程数值解法。首先以二维二阶椭圆方程为例，给出矩形网和三角网上的差分法。然后以一维二阶椭圆方程为例，简要描述有限元法的基本思想。

J.1 矩形网上差分方程

考虑二维区域（区域=连通的开集）G 上的二阶椭圆型偏微分方程第一边值问题

（j.1） ()()()

,,,xx yy x y u u Cu Du Eu F x y u x y x y αΓ⎧--+++=∈⎪⎨

=⎪⎩G

其中C ,E D ,是常数；0≥E ；()()G C 0,∈=y x F F ；(,)x y α是给定的光滑函数；

Γ是G 的边界；G =ΓG 。假设（J.1）存在光滑的唯一解。

考虑一种简单情形，即求解区域G 是矩形区域，并且其四个边与相应坐标轴平行。令1h 和2h 分别为x 和y 方向的步长，用平行于坐标轴的直线段分割区域

G ，构造矩形网格： h G 为网格内点节点集合，h Γ为网格边界节点集合，=h G h G h Γ。

对于内点()j i y x ,h G ∈，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1）： (J.2)

1,1,,1,1

1,1,,1,1

2

2

212

1

2

2222i j ij i j

i j ij i j i j i j

i j i j ij ij

u u u u u u u u u u C

D

Eu F h h h h +++-+-+--+-+---

-

+++=其中),(j i ij y x F F =。（J.2）通常称为五点差分格式。

方程（J.2）可以整理改写为

（J.3） j i a ,1-j i u ,1-+j i a ,1+j i u ,1++1,-j i a 1,-j i u +1,+j i a 1,+j i u +j i a ,j i u ,ij F =

对每一内点()j i y x ,都可以列出这样一个方程。方程中遇到边界点时，注意到边界点上函数值u 已知，将相应的项挪到右端去。最后得到以u 的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当1h 和2h 足够小时是对角占优的。

用（J.1）的真解(,)u x y 在网点上的值(,)i j u x y 、1(,)i j u x y -等等分别替换（J.2）中的ij u 、1,i j u -等等，然后在(,)i j x y 点处作Tailor 展开，便知差分方程（J.2）

逼近微分方程（J.1）的截断误差阶为()

2221h h O +。另外可以证明，五点差分格式的收敛阶为2212()O h h +，并且关于右端和初值都是稳定的。

矩形网格差分格式的优点是计算公式简单直观。但是，当G 是非矩形区域，

并且边界条件包含法向导数（第二和第三边值条件）时，在矩形网格边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。矩形网格的另一个大缺点是不能局部加密网格。

图J.1 一般区域G 的矩形网格

J.2. 三角网差分格式

本节我们将积分插值法用于三角网，建立三角网差分格式。三角网差分格式具有网格灵活和法向导数边界条件易于处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒），深受使用者欢迎。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。

考虑有界区域G 上的Poisson 方程

（J.4） f u =∆-， (,)x y G ∈

在边界Γ的各个部分1Γ、2Γ和3Γ分别给定第一、第二和第三边值条件：

（J.5a ） 1

(,)u

x y ϕΓ=

（J.5b ） ),(y x u ψ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂2Γn

（J.5c ） ),(y x u u γκ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∂∂3

Γn

其中κ是常数，n 是边界Γ的外法向。

作G 的三角剖分：在Γ上取一系列点，连成闭折线≈Γ~Γ，并记G ~为由Γ~

围成且逼近G 的多边形区域。将G ~

分割成有限个三角形之和，使每个三角形的每个内角不大于 90，并且每个三角形的任一顶点与其他三角形或者不相交，或者相交于顶点。

引入如下术语。节点：三角形的顶点；单元：每个三角形；相邻节点：同一条边上的两个节点；相邻单元：有一条公共边的两个三角形。对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成区域G 的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。

图J.2 三角网及其对偶剖分

P Γ

~

Γ

图J.3 内点(a)与边界点(b)的对偶单元

11

m q u s ∂≈∂⎰d n ()01

01

1u u p p q m 1-⋅， 12

q q u s ∂≈∂⎰d n ()02

02

1u u p p q q 2-⋅， 23

q q u s ∂≈∂⎰d n ()03

03

2u u p p q q 3-⋅， 34

q m u s ∂≈∂⎰d n ()340044q m u u p p ⋅-， 对于

s u d n ∂∂⎰

4和s u

d n ∂∂⎰1

0，分别利用右矩形公式和梯形公式计算所涉及到的积分，导出如下差分近似：

()()

440404040

4040002m m p u s u s s u s m p u u γκγκγκ∂=-=-≈-⋅⋅+∂⎰⎰⎰⎰d d d d n ()

()440004000041222m m p u u m p u u u κκγγ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=-⋅+≈-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

()400

04324p p u u κγ⎛⎫=

-⋅+ ⎪⎝⎭

()10

10

m p m p u

s u s γκ∂=-∂⎰⎰d d

n ()100

01324p p u u κγ⎛⎫

≈

-⋅+ ⎪⎝⎭

这里00()p γγ=。将上述六个公式带入（J.6）中，就得到边界点0p 的差分方程。所有内点和边界点的差分方程构成一个封闭的线性方程组，其系数矩阵是稀疏的，并且当0κ=时是对称的。